2015届北京市西城区(南区)高一第二学期期末数学试题(含答案)word版

北京市西城区2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知数列}{n a 满足21+=+n n a a ，且21=a ，那么5a ＝（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 112. 如果0<<b a ，那么下列不等式正确的是（ ） A. 2a ab > B. 22b a < C.b a 11< D. ba 11-<- 3. 在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B A 发生的概率为（ ）A.31 B. 21 C. 32 D. 654. 下图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（ ）A. 30B. 25C. 22D. 205. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的i 值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 在不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域内任取一个点),(y x P ，使得1≤+y x 的概率为（ ）A.21 B. 41 C. 81 D. 121 7. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]5,(-∞B. ]4,(-∞C. ]2,(-∞D. ]1,(-∞ 8. 在△ABC 中，若C bacos <，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲 20108乙10 20 10在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（ ）A. 65元B. 62元C. 60元D. 56元 10. 设R b a ∈,，给出下列判断：①若111=-ab ，则1≤-b a ； ②若133=-b a ，则1≤-b a ；③若b a ,均为正数，且122=-b a ，则1≤-b a ；④若b a ,均为正数，且1=-b a ，则1≥-b a 。

北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1. 与角－70°终边相同的角是 A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21-B.21 C.23D. 23-3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是 A. －2B. 2C. 0D.58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππB. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点（1，1），（2，31+），则此直线的倾斜角的大小为 A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为 A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图所示， M 是△ABC 的边AB 的中点，若b CA a CM ==,，则CB ＝A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是 A. 012=-+y x B. 012=-+y x C. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A （1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是 A. 0543=+-y x 和1=x B. 0534=+-y x 和1=y C. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为A. －8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q （2，0），O 为坐标原点，则QP OP ⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设集合，集合，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ． 12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则PA ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。

北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷 3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I卷（选择题共40 分）1．设集合，集合 ，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x> a - x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则P A ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。

北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科） 2015．5第一部分（选择题 共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合{}10A x x =->，集合{}3B x x =≤，则AB =（ ）．A ．()1,3-B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,3-2．已知平面向量a ，b ，c 满足()1,1a =-，()2,3b =，()2,c k =-，若()//a b c +，则实数k =（ ）． A ．4 B ．4- C ．8 D 8-3．设命题p ：函数()1x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()()cos πf x x =+为奇函数．则下列命题中真命题是：（ ）．A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝ 4．执行如图所示的程序框图，若输入的{}1,2,3n ∈，则输出的s 属于（ ）． A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}2,3 D ．{}1,3,95．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 的前21项的和等于（ ）．A ．212B ．21C ．42D ．84 7．若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是：（ ）． A ．3a > B ．3a < C ．4a > D ．4a <8．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，（点P Q 、可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ）．A B C ．34 D ．1第二部分（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数10i3i=+______． 10．双曲线22:184x y C -=的离心率为_________；渐近线的方程为_________．11．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α=______;cos 2α=_________．12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于B C 、，且2PC PA =，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于E ，若34PB =，则PA =_____；AD DE =________．13．现有6人要排成一排照相，其中①②，则不同的排法有______种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x []()0,πx ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③任意12π,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜ 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分）在锐角ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知a =3b =sin B A +=． （Ⅰ）求角A 的大小． （Ⅱ）求ABC △的面积．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”的数量为n ，比较m n 、的大小关系．（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为和值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D DC ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1A E ⊥BCDE ．（Ⅱ）求二面角1E A B C --的余弦值；（Ⅲ）判断在线段EB 上是否存在点P ，使平面1A DP ⊥1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数()211xf x ax -=+，其中R a ∈．（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＞时，证明：存在实数0m ＞，使得对于任意的实数x ，都有()f x m ≤成立．19．（本小题满分14 分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且2AB =．（Ⅰ）若椭圆E E 的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：OP >20．（本小题满分13 分）无穷数列12:,,,,n P a a a ，满足i a N *∈，且1()i i a a i N *+∈≤．对于数列P ，记{}()m i n ()k n T P na k k N *=∈≥，其中{}min n n a k ≥表示集合{}n n a k ≥中最小的数． （Ⅰ）若数列:1,3,4,7,P ，写出1()T P ，2()T P ，，()s T P ；（Ⅱ）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和； （Ⅲ）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++的值．北京市西城区高三年级二模数学试卷（理工类） 2015．5一、选择题：二、填空题：三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，3sin B=3sin B A =，解得sin A =， 因为ABC △为锐角三角形，所以π3A =． （Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去．当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>．且b c >，b a >．所以ABC △为锐角三角形，符合题意．所以ABC △的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=．16．（本小题满分13分）（Ⅰ）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=．由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =， 乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =． 所以m n =．（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，且02552102(0)9C C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，20552102(2)9C C P X C ===，所以X 的分布列：所以252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）当0b =时，2s 达到最小值． 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）因为DE BE ⊥，BE DC ∥， 所以DE DC ⊥，又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ， 所以DC ⊥平面1A DE ， 所以1DC A E ⊥，又因为1A E DE ⊥，DC DE D =I ， 所以1A E ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1A E ，DE ，BE 两两垂直，以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系．易知DE =则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，所以1(2,0,2)BA =-u u u r，BC =u u u r， 平面1A BE 的一个法向量为(0,1,0)n =r， 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r， 由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r，得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,m =u r，所以cos ,m n m n m n⋅<>==⋅u r ru r r u r r 由图，得二面角1E A B C --的平面角为钝二面角， 所以二面角1E A B C --的余弦值为．（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r，12)A D =-u u u r ， 设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t =u r ， 因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0+=， 解得3t =-， 因为02t ≤≤，所以在线段上EB 不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-． 其定义域为{|2}x x ∈≠±R ，求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--，所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减． （Ⅱ）当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R ，求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+，令()0f x '=，解得110x =-，211x =+， 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， 又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+， 所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤，记12max{(),()}M f x f x =，其中12max{(),()}f x f x 为两数1()f x ，2()f x 中最大的数 综上，当0a >时，存在实数[),m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()f x M ≤恒成立． 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设由题意，得224a b +=，且c a =解得a 1b =，c =所以椭圆E 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意，的224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，c ，设00(,)P x y ， 由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，所以直线2F P 的方程为00(c)y y x x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)y cQ x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， 化简，得22200(24)y x a =--，①又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内， 所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >，② 由①②，解得202a x =，20122y a =-，所以22222001(2)22OP x y a =+=-+，因为22242a b a +=<，所以22a >，OP > 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =． （Ⅱ）由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，L 因为2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k =≥， 所以32a ≥，且22a <，同理，由3()5T P =，()min{|}k n T P n a k =≥， 得53a ≥，且43a <，以此类推，得74a ≥，64a <；L ；21n a n -≥，22n a n -<；L 因为1()i i a a i +∈*N ≤，i a ∈*N ，所以121a a ==，342a a ==，L ，212n n a a n -==，L当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n a a a -+++++=++++=L L ，当n 为偶数时，21222(12)24n n n na a a ++++=+++=L L ，所以数列{}n a 前n 项的和22(1),21,42,2,4n n n k S k n n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩*N （Ⅲ）解法一：考察符合条件的数列P 中，若存在某个(119)i i ≤≤满足1i i a a +<，对应可得()k T P ， 及12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 因为()min{|}k n T P n a k =≥，所以1()1i a T P i +=+．下面将数列P 略作调整，仅将第i a 的值增加1，具体如下：设1j j a a '=+，对于任何(1)j j ≠，令j j a a '=，可得数列P '及其对应数列()k T P '， 根据数列()k T P '的定义，可得1()i a T P i +'=，且()()(1)j j i T P T P j a '=≠+． 显然11()()1i i a a T P T P ++'=-．所以12201246()()()s a a a T P T P T P '''''''=+++++++L L121120121246(1)()()(1)()i i i i i a a a a a a a a T P T P T T T P -+++=++++++++++++-+++L L L L 12201246()()()a a a T P T P T P s =+++++++=L L ． 即调整后得s s '=，如果数列{}n a '还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{}n a 中的每一项变为相等，且操作中保持s 的值不变， 而当122046a a a ====L 时，1246()()()1T P T P T P ====L ， 所以12201246()()()966s a a a T P T P T P =+++++++=L L ．解法二：将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 当1n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，故11112s a a a =+⨯=．当2n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，1()2i a T P +=，2()2i a T P +=，L ，2()2a T P =， 故1242421()23s a a a a a a =++⨯+-⨯=，猜想(1)n s n a =+，下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，由以上叙述可知，命题成立． （2）假设当n k =时，命题成立，即4(1)s k a =+． 当1n k =+时， 若1k k a a +=，则12112()()()k k a s a a a a T P T P T P +=++++++++L L 11(1)(2)k k k k a a k a ++=++=+，命题成立． 若1k k a a +>，则11211212()()()()()()k k k k k k a a a a s a a a a T P T P T P T P T P T P ++++=++++++++++++L L L112112()()()(1)(1)(1)k k k k k a a a a a a a T P T P T P k k k ++-=+++++++++++++++L L L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)(1)(1)k k k k a a k a a k k k ++-=+++++++++L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)()k k k k k a a k a a ++=++++-1(2)k k a +=+，命题成立．由（1）和（2），得(1)()n s n a n =+∈*N ． 所以当2046a =时，(201)46966s =+⨯=．北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）选填解析1. 【答案】B【解析】{}1A x x =>，{}3B x x =≤，所以(]1,3A B =． 故答案为B ．2. 【答案】D【解析】()1,4a b +=，且()//a b c +，所以有4812k k =⇒=--． 故答案为D ．3. 【答案】D【解析】由题意得命题p 为真，命题q ：函数()()cos πcos f x x x =+=-为偶函数，命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，从而()p q ∧⌝为真命题． 故答案为D ．4. 【答案】A【解析】当1n =时，经过判断得31n s =⇒=，所以输出1s =，当2n =时，经过判断得92n s =⇒=，所以输出2s =，当3n =时，经过判断得1s =，所以输出1s =，综上输出的s 满足的集合为{}1,2． 故答案为A ．5. 【答案】B【解析】设平均费用为y ，则246464432x y x x x+==+≥，当且仅当644x x =，即4x =时取到最小值．故答案为B ．6. 【答案】B【解析】由数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质得2420a a a +++()2205a a =+()121510a a =+=，所以()1212a a +=，则()1212121212a a S +⨯==．故答案为B ．7. 【答案】A【解析】由于1x >是2x a x >-的必要而不充分条件，所以2x a x >-，即2x x a +>的解集是{}1x x > 的子集，令()2xf x x =+，则()f x 为增函数，那么()()13f x f >=，则3a >，此时满足2x x a +>条件的x 一定是{}1x x >的子集． 故答案为A ．8. 【答案】C【解析】对角线1AC 上的动点P 到底面ABCD 上的Q 点的最小值为点P 在底面ABCD 上的投影，即直线AC 上，所以选择确定点Q ，点1B 沿着线1AC 旋转，使得11ACC B 在一个平面上，过1AB 的中点M 做AC 的垂线，垂足为Q ，MQ 与1AC 的交点为P ，线段MQ 的长度为我们求的最小值．由题意长方体1111ABCD A B C D -，11AB BC AA ===可得111π6B AC CAC ∠=∠=，则1π3MAC ∠=，另外1AB =则AM =π334MQ ==． 故答案为C ．9. 【答案】13i +【解析】()()()()10i 3i 10i 3i 10i13i 3i 3i 3i 10--===+++-． 故答案为13i +．10. y =【解析】由题意得，2228,412a b c ==⇒=，所以离心率c e a ===，渐近线为b y x a =±==．y x =．11. 【答案】35-，725-【解析】由题意得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⋅--=- ⎪⎝⎭．故答案为35-，725-．12. 【答案】32， 98【解析】由切割线定理得22PA PB PC PB PA =⋅=⋅，所以32PA =3PC =；再根据相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，由D 是PC 的中点，所以32DC =，34BD PD PB =-=，则339248AD DE BD DC ⋅=⋅=⋅=．故答案为32，98．13. 【答案】288【解析】所有甲乙不相邻的排法为4245A A ，排除甲与乙两人不相邻，但甲站在两端的情况为114244C C A ，故所以满足条件的排法为4211445244288A A C C A -= 故答案为288．14. 【答案】①②【解析】①如图，当π3AOP ∠=时，OP 与AM 相交于点M ，因为1AO =，则AM =，π132f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭正确；②由于对称性ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰好是正方形的面积，所以ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确； ③显然()f x 是增函数，所以()()12120f x f x x x ->-，错误．故答案为①②．。

1．设集合，集合 ，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A．B．21 C．42D．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x >a -x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ． 若PB ＝34，则P A ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝ 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）A. 63° B. 153°C. 207°D. 387°【答案】D 【解析】【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27°角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z a a =°+×°Î，取1k =，可得387a =°.∴与27°角终边相同的是387°.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为（ ）A. 220cm p B. 210cm p C. 228cm p D. 214cm p 【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为()222520cm S p p =´´=侧.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. sin 2p a æö+=ç÷èø（ ）A. sin a B. cos aC. sin a- D. cos a-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意sin cos 2p a a æö+=ç÷èø.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则a =（ ）A. 23p -或23p B. 3p-或3pC. 3p-或23pD. 23p -或3p 【答案】A 【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则23p a =-或23p.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则2a b +=r r （ ）A. 3 C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则a +==r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以p 为最小正周期，且在区间0,2p æöç÷èø上为增函数的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. tan y x= D. sin2x y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，sin 2y x =没有单调性，故排除A .在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，cos 2y x =单调递减，故排除B .在区间0,2p æöç÷èø上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为p ，故C 正确；根据函数以p 为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412pp=，可排除D .故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为q，则cos q =，又因为0180q °££°，所以45q =°．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设a ，()0,b p Î，且a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. sin sin a b < B. sin sin a b> C. cos cos a b< D. cos cos a b>【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在()0,p 上的单调性求解即可.【详解】因a ，()0,b p Î，且a b >，而sin y x =在()0,p 上有增有减；故sin a 与sin b 大小关系不确定，cos y x =在()0,p 上单调递减；若a b >，则cos cos a b <成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移j (02pj <£)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则j =（ ）A.6p B.4p C.3pD.2p【答案】C 【解析】【分析】由图可知，17248g f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø()()sin 2x g x j =-，于是推出为1717sin 22424g p p j æöæö=-=ç÷ç÷èøèø1722124k p p j p -=+或324k p p +，k Z Î，再结合02p j <£，解之即可得j 的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f pp p æöæöæö==´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，因为()f x 的图象向右平移j 个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x j =-，所以171717sin 2sin 2242412g pp p j j æöæöæö=-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以1722124k p p j p -=+或17322124k p pj p -=+，k Z Î，解得712k p j p =-或3k pj p =-，k Z Î，因02p j <£，所以3pj =.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y ，棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】设棱锥的体积为V ，则y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故而得解.为【详解】设棱锥的体积为V ，则V 为定值，所以y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则5p的圆心角所对的弧长为______.【答案】25p 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得2255l r pp a ==´=.故答案为：25p 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 和角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3a =，则sin b =______.【答案】13-【解析】【分析】由题意可得()sin sin b a =-，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，∴()1sin sin sin 3b a a =-=-=-，故答案为：13-【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量a r ，b r满足1b =r ，1a b ×=r r .若()a b b l -^r r r ，则实数l =______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵()a b b l -^r r r ，∴()20a b b a b b l l -×=×-=r r r r r r ，即10l -=，解得1l =.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】(1). 12p 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则()2222222212r =++=，解得r =，故球直径为.球的表面积为2412S p p =´´=.故答案为：12p .【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点；③()f x 的值域是[]1,1-.其中，正确结论的序号是______.的【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p -£<ì=í££î，①由于()()1,sin 0f fp p p -=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x p=-，0x =，x p =，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16.设函数()()sin 06f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k p p p w p -+=-，k Z Î，解方程可得w 的最小值.【详解】解：若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k pppw p -+=-，k Z Î，即有26k w =-，k Z Î，由0>w ，可得w 的最小值为2，此时0k =.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知0,2p a æöÎç÷èø，且4cos 5a =.（1）求tan a 的值；（2）求2sinsin 22aa +的值.【答案】（1）34；（2）5350.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin a ，再由商的关系求得tan a ；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵0,2a p æöÎç÷èø，且4cos 5a =，∴3sin 5a ==，则sin 3tan cos 4a a a ==；（2）∵3sin 5a =，4cos 5a =，∴21cos sinsin 22sin cos 22a a a a a -+=+4134535225550-=+´´=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =×=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =´´´°=△则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .且13OD AD ==.在Rt POD V 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ×=△【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C p =，sin A =.（1）求sin B 的值；（2）若5c a -=，求ABC V 的面积.【答案】（12）52.【解析】【分析】（1）先根据sin A =cos A 的值，再由4B A p =-得到sin sin 4B A p æö=-ç÷èø，根据两角和与差的公式可求得sin B 即可；（2）由34C p =可求得sin C 的值，进而根据正弦定理可求得a ，c 的关系，再由5c a -=-可求出a ，c 的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为34C p =，sin A =，所以cos A ==由已知得4B A p=-.所以sin sin sin cos cos sin 444B A A A p p p æö=-=-==ç÷èø（2）由（1）知34C p =，所以sin C =且sin B =由正弦定理得sin sin a A c C ==.又因为5c a -=-，所以5c =，a =.所以15sin 522ABC S ac B ===△.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数()cos2sin cos x f x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02p éùêúëû，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ；（2）1；（3）()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()4f x x p æö=+ç÷èø，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()4f x x p æö=+ç÷èø，利用余弦函数的性质，令 224k x k p p p p £+£+求解.【详解】（1）因sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø，解得4x k pp +¹，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ为（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++，cos sin x x =-，4x p æö=+ç÷èø又0,2x p éùÎêúëû，所以3,444x p p p éù+Îêúëû，cos 4x p éæö+Îêç÷èøë，所以()f x 区间02p éùêúëû，上的最大值是1；（3）令 224k x k p p p p £+£+，解得 32244k x k p p p p -££+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点.（1）在图中作出平面1AD E 和底面ABCD 的交线，并说明理由；（2）平面1AD E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）7:17.【解析】【分析】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，可证F Î平面ABCD 且F Î平面1AD E ，得到平面1AD E Ç平面ABCD AF =；（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，证明1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.求出棱台1CGE DAD -的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，∵F DC Î，DC Ì平面ABCD ，则F Î平面ABCD ，∵1F D E Î，1D E Ì平面1AD E ，∴F Î平面1AD E .∴平面1AD E Ç平面ABCD AF =.（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，∴1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.1111-77178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V S FD ---=-==´´=△棱台.∴另一部分几何体的体积为3717233-=.∴两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形OAB 中，120AOB Ð=°，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ^，求PA PB ×uuu r uuu r 的值；（2）求PA PB ×uuu r uuu r 的最小值.【答案】（1）2-；（2）2-.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB Ð=°，120APB Ð=°，再在POB V中，由余弦定理可求得PB =uuu r cos PA PB PA PB APB ×=×Ðuuu r uuu r uuu r uuu r ，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有a 的式子表示出PA PB ×uuu r uuu r，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ^时，如图所示，的∵120AOB Ð=°，∴1209030POB Ð=°-°=°，18030752OPB °-°Ð==°，∴7545120APB Ð=°+°=°，在POB V中，由余弦定理，得222222cos 22222cos308PB OB OP OB OP POB =+-×Ð=+-´´´°=-∴PB ==uuu r ，又PA OA ==uuu r ，∴1cos 22PA PB PA PB APB æö×=×Ð=´-=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB Ð=°，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB a a a a ×=--×---uuu r uuur 2222cos 4cos 4sin a a a a=--+-+2cos 24sin 26p a a a æö=--+=-++ç÷èø.∵20,3p a éùÎêúëû，∴5,666p p p a éù+Îêúëû，1sin ,162p a æöéù+Îç÷êúèøëû，∴当62ppa +=，即3pa =时，PA PB ×uuu r uuu r取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．。

2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2，且a1＝2，那么a5＝（）A．8B．9C．10D．112．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．3．（4分）在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．4．（4分）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30B．25C．22D．205．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．66．（4分）在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 8．（4分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．（4分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元10．（4分）设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）不等式的解集是．12．（5分）如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为，方差为．13．（5分）某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝；b＝．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝2，则a1+2a3的最小值是．15．（5分）某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*）①若a3＝，则a＝；②记S n＝a1+a2+…+a n，则S2016＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）等差数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且a3+a5＝a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C＝，a＝6．（Ⅰ）若c＝14，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．19．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．20．（13分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．21．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5＝5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|＝|r n|＝a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100＝R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k＝r k成立，请说明理由．2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2，且a1＝2，那么a5＝（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵a n+1＝a n+2，且a1＝2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．那么a5＝2+2×（5﹣1）＝10．故选：C．2．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＜a2，故A错误；a2＞b2，故B错误；ab＞0，故，即＞，故C错误；﹣＜﹣，故D正确；故选：D．3．（4分）在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，∴P（A）＝＝，P（）＝，∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：P（A∪）＝P（A）+P（）＝＝．故选：C．4．（4分）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30B．25C．22D．20【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得：10（2a+3a+7a+6a+2a）＝1，解得a＝；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）＝50a＝50×＝，∴对应的学生人数是100×＝25．故选：B．5．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟执行程序，可得A＝2，S＝0，n＝1不满足条件S＞2，执行循环体，S＝1，n＝2不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝3不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝4不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝5满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．6．（4分）在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组组，得x+y≤1概率为阴影部分的面积，则P＝＝，故选：C．7．（4分）若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：∵x＞0；∴，当x＝，即x＝2时取等号；∴的最小值为4；∴4≥a；∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：B．8．（4分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：在△ABC中，∵＜cos C，∴sin A＜sin B cos C，∴sin（B+C）＜sin B cos C，展开化为：cos B sin C＜0，∵B，C∈（0，π）．∴cos B＜0，B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．故选：A．9．（4分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z＝8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝8x+10y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z＝8×4+10×3＝32+30＝62，故选：B．10．（4分）设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④【解答】解：①若，取a＝2，b＝，则a﹣b＝＞1，因此①不一定正确；②若a3﹣b3＝1，取a＝，b＝﹣，则a﹣b＝＞1，因此不一定正确；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a＝，∴a﹣b＝＝≤1，因此正确；④若a，b均为正数，且，则，两边平方可得：a＝1+2+b，∴a﹣b＝1+2≥1，因此正确．则所有正确判断的序号是（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）不等式的解集是{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵＞1，∴﹣1＝＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．12．（5分）如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为92，方差为 2.8．【解答】解：由题意所剩数据：90，90，93，93，94，所以平均数＝（90+90+93+93+94）＝92，方差S2＝[（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]＝2.8，故答案为：92，2.8；13．（5分）某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝5；b＝10．【解答】解：∵在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，∴，解得a＝5，b＝10．故答案为：5，10．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝2，则a1+2a3的最小值是4．【解答】解：∵a2＝2，且a n＞0由基本不等式可得，a 1+2a3≥2＝＝4即最小值为故答案为：15．（5分）某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．【解答】解：某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，基本事件总数为n＝＝10，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的对立事件为甲和乙都没被录用，∴甲或乙被录用的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*）①若a3＝，则a＝；②记S n＝a1+a2+…+a n，则S2016＝1512．【解答】解：①∵a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*），∴a2＝﹣a1+＝﹣a+．当时，a3＝﹣a2+＝a＝，舍去；当时，a3＝a2﹣1＝﹣a+＝，解得a＝，满足条件．∴a＝．②a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*），∴a2＝﹣a1+＝﹣a+．当时，a3＝﹣a2+＝a，∴a4＝﹣a2+＝﹣a，∴a n+2＝a n．S2016＝（a1+a2）×1008＝1512．当时，a3＝a2﹣1＝﹣a+＝﹣a+，∴a4＝﹣a3+＝﹣+＝a+1＞1，∴a5＝a4﹣1＝a．∴a n+4＝a n．∴S2016＝（a1+a2+a3+a4）×504＝3×504＝1512．综上可得：S2016＝1512．故答案分别为：；1512．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）等差数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且a3+a5＝a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5＝a4+7，所以2a1+6d＝a1+3d+7．…．（3分）因为a1＝1，所以3d＝6，即d＝2，…．（5分）所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1＝1，a n＝2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C＝，a＝6．（Ⅰ）若c＝14，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，∴，即．（Ⅱ）∵，解得b＝2．又∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴，∴．19．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为．即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P＝．…（13分）20．（13分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m＝1时，函数f（x）＝x2﹣2x﹣4在（﹣2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数．（2分）又f（﹣2）＝4，f（1）＝﹣5，f（2）＝﹣4，所以，f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为4和﹣5．（4分）（Ⅱ）不等式f（x）＞﹣1，即mx2+（1﹣3m）x﹣3＞0，当m＝0时，解得x＞3．（5分）当m≠0时，（x﹣3）（mx+1）＝0的两根为3和，（6分）当m＞0时，，不等式的解集为．（7分）当m＜0时，，所以，当时，，不等式的解集为．（8分）当时，不等式的解集为∅．（9分）当时，，不等式的解集为．（10分）综上，当m＞0时，解集为；当m＝0时，解集为{x|x＞3}；当时，解集为；当m＝﹣时，解集为∅；当时，解集为．（Ⅲ）因为m＜0，所以f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，（11分）若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，则（1﹣3m）2+16m＞0，（12分）即9m2+10m+1＞0，解得m＜﹣1或，综上，m的取值范围是．（13分）21．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5＝5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由S5＝5，可得，由a3，a4，a7成等比数列，可得，∴解得（舍）或，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣5．（Ⅱ）解2n﹣5＜0，可得，∴数列{a n}中a1＜0，a2＜0，其余各项均大于零．∴|a1|+|a2|+…+|a100|＝﹣a1﹣a2+a3+…+a100＝＝．（Ⅲ）设，，令c n﹣c n﹣1＞0，得，所以c1＜c2＜c3＜c4，c4＞c5＞c6＞…，又由，知c1＜0，c2＜0，其余各项均大于零．在中，，且t4＞t6＞t8＞…，计算得，∴λ的取值范围是．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|＝|r n|＝a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100＝R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k＝r k成立，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣a1，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣a1）﹣（2a n﹣1﹣a1），整理得a n＝2a n﹣1，又a n＞0，∴＝2，数列{a n}是公比为2的等比数列，∴数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a n}是公比为2的等比数列．①若5a m为a p，a q的等差中项，则2×5a m＝a p+a q，∴，化为2p﹣m﹣1+2q﹣m﹣1＝5，又m＜p＜q，m，p，q∈N*，∴2p﹣m﹣1＝1，2q﹣m﹣1＝4，∴p﹣m﹣1＝0，q﹣m﹣1＝2．即p＝m+1，q＝m+3．②若a p为5a m，a q的等差中项，则2a p＝5a m+a q，∴，∴2p＝5×2m﹣1+2q﹣1，∴2p﹣m+1﹣2q﹣m＝5，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立，舍去．③若a q为5a m，a p的等差中项，则2a q＝5a m+a p，同理也不成立．综上，p＝m+1，q＝m+3．（Ⅲ）由，得，∴t100＝r100或t100＝﹣r100，若t100＝﹣r100，不妨设t100＞0，r100＜0，则＝．则＝．由已知a1＞0，∴R100＜T100，与已知不符，∴t100＝r100，∴R99＝T99，同上可得t99＝r99，如此下去，t98＝r98，…，t1＝r1，即对于任意的正整数k（1≤k≤100），均有t k＝r k成立．。

北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，集合，则（ ）{|10}A x x =->3{|}B x x =≤A B = （A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题：函数在上为增函数；命题：函数为奇函数. 则p 1()e x f x -=R q ()cos 2f x x = 下列命题中真命题是（） （A ） （B ） （C ） （D ）p q ∧()p q ⌝∨()()p q ⌝∧⌝()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的，{1,2,3}n ∈ 则输出的属于（ ）s （A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{2,3}（D ）{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）2．已知平面向量满足，，，若，则实数（ ,,a b c (1,1)=-a (2,3)=b (2,)k =-c ()//+a b c k =）（A ）4（B ）4- （C ）8（D ）8-（A ） （B ） （C ） （D ）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）2464y x =+（A ） （B ） （C ） （D ）34567. “”是“曲线为双曲线”的（ ）3m >22(2)1mx m y --=（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在长方体中，，点为对角线上的动点，点为底1111ABCD A B C D-11AB BC AA ===P 1AC Q 面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ）ABCD P Q 1B P PQ +第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数____.10i 3i=+10. 抛物线的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的24C y x =：l C l 方程是____.11．设函数则____；函数的值域是____.,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤[(2)]f f =()f x 12．在中, 角，，所对的边分别为， 若，，，ABC ∆A B C ,,a bc a =3b =2c = 则____；的面积为____.A =ABC ∆13. 若满足若的最大值为，则实数____.,x y ,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤z x my =+53m =14. 如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至ABCD O AD OP OA O （A （B （C ）32（D ）2，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）OD AOP ∠([0,π])x x ∈OP ABCD 的面积，那么对于函数有以下三个结论：()S f x =()f x ○1π()3f = 函数在区间上为减函数；○2()f x π(,π)2 任意，都有.○3π[0,]2x ∈()(π)4f x f x +-= 其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数.cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-（Ⅰ）求函数的定义域；()f x （Ⅱ）求函数的单调增区间.()f x 16．（本小题满分13分）设数列的前n 项和为，且，．{}n a n S 11a =*11()n n a S n +=+∈N （Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）若数列为等差数列，且，公差为. 当时，比较与的大小．{}n b 11b a =21a a 3n ≥1nb +121n b b b ++++ 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，，平面, 平面，E ABCD -AE DE ⊥CD ⊥ADE AB ⊥ADE ，，.6CD DA ==2AB =3DE =（Ⅰ）求棱锥的体积；C ADE -（Ⅱ）求证：平面平面；ACE ⊥CDE （Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.DE F //AF BCE EFED18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断b 为何值时，达到最小s 2s 2值．（只需写出结论） （注：方差，其中为，，…，2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- x 1x 2x n x 的平均数）19．（本小题满分14分）设，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭1F 2F 2222 + 1(0)x y E a b a b =>>：A E B 圆的上顶点，且.E ||2AB =（Ⅰ）若椭圆的方程；E E （Ⅱ）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点. 若以为直径的圆经P E 2F P y Q PQ 过点，证明：点在直线上.1F P 20x y +-=20．（本小题满分13分）已知函数，其中.21()1xf x ax -=+a ∈R （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；14a =-()f x (1,(1))f（Ⅱ）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；0a >0m >x ()m f x m -≤≤（Ⅲ）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的2a =k x ()()f x k x a =-12a =-情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科）试题及答案第11页共11页。