2019北京市西城区高一(上)期末数学

2019北京市西城区高一（上）期末数学 2019.1 试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分（A）向右平移6个单位（B）向右平移3个单位（C）向左平移π6个单位（D）向左平移π3个单位11．若1cos2θ=−，且θ为第三象限的角，则tanθ=______．12．已知向量(1,2)=a．与向量a共线的一个非零向量的坐标可以是______．13．如果πtan()0(0)3x x +=>，那么x 的最小值是______．14．如图，已知正方形ABCD ．若AD AB AC λμ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=______． 15．在直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，M 是坐标平面内的一点．① 若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ② 若2PA PB PM ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→+=，则点M 的坐标为______．16．设函数π()sin()3f x x ω=+．若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则ω的取值集合是_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,)2απ∈，且3sin 5α=．（Ⅰ）求πsin()4α−的值；（Ⅱ）求2πcos tan()24αα++的值．18．（本小题满分12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0,0,||πA ωϕ>><． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]2ππ上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A −，B ，(cos ,sin )C θθ，其中[0,]2θπ∈．（Ⅰ）求AC BC ⋅的最大值；（Ⅱ）是否存在[0,]2θπ∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =−<<，则A B =_____． 2．函数21()log f x x=的定义域为_____. 3．已知三个实数123a =，b =，3log 2c =．将,,a b c 按从小到大排列为_____．4．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =−，其中00.005A =是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为_____级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍．5．已知函数21,2,(),3.x x x c f x x c x −⎧+−⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值 域是1[,2]4−，则实数c 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数2()1xf x x =−． （Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)−上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上，其中[2,0]a ∈−． （Ⅰ）若1a =−，求()f x 的最小值； （Ⅱ）求()f x 的最大值．8．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()2()2x x f x f x f ++<，则称函数()f x 为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数1()2f x x =与2()f x =（Ⅱ）若函数()2x f x a b =⋅+（,a b 为常数）是“凸函数”， 求a 的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在1(,)2+∞上的“凸函数”()f x ，满足0()f x x <<．（只需写出结论）数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. C3. B4. C5. B6. D7. D8. B9.A 10.A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.(2,4)（答案不唯一） 13.2π314.1− 15.(6,3)；(4,2) 16.{|61,}k kωω=+∈Z 注：第15题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为π0,2α∈()，3sin5α=，所以cosα=……………………2分45=．……………………3分所以πsin()cos)42ααα−=−……………………5分=．……………………6分（Ⅱ）解：因为3sin5α=，4cos5α=，所以sintancosααα=……………………8分34=．……………………9分所以2π1cos1tancos tan()2421tanααααα++++=+−……………………11分7910=．……………………12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：由图象可知 3A =． ……………………1分因为 ()f x 的最小正周期为 66T 7ππ=−=π， 所以 2Tω2π==． ……………………3分 令 262ϕππ⨯+=， 解得 6ϕπ=，适合||ϕ<π． 所以 π()3sin(2)6f x x =+． ……………………5分（Ⅱ）解：因为[,]2x π∈π，所以π2[,]666x 7π13π+∈． ……………………6分 所以，当π13π266x +=，即πx =时，()f x 取得最大值32； ……………………8分 当π3π262x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值3−． ……………………10分 （Ⅲ）解：()f x 的单调递增区间为[,]36k k πππ−π+（k ∈Z ）． ……………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：(cos 1,sin )AC θθ=+，(cos ,sin BC θθ=−． ……………………2分所以 (cos 1)cos sin (sin AC BC θθθθ⋅=+⋅+⋅ ……………………3分cos 1θθ=−+π2cos()13θ=++． ……………………4分因为 [0,]2θπ∈，所以 π[,]336θπ5π+∈． ……………………5分所以 当ππ33θ+=，即0θ=时，AC BC ⋅取得最大值2． ……………………6分（Ⅱ）解：因为||2AB =，||AC =，||BC =又 [0,]2θπ∈，所以 sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，所以 ||2AC ≤，||2BC ≤．所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角，从而0CA CB ⋅<．………………8分由（Ⅰ）得π2cos()103θ++<，解得π1cos()32θ+<−． ……………………9分所以 π(,]336θ2π5π+∈， 即(,]32θππ∈． ……………………11分 反之，当(,]32θππ∈时，0CA CB ⋅<，又 ,,A B C 三点不共线，所以 △ABC 为钝角三角形．综上，当且仅当(,]32θππ∈时，△ABC 为钝角三角形． ……………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|13}x x −<<2.{|01x x <<，或1}x >3.c b a <<4.5；10005.1[,)4−+∞；1[,1]2注：第4题、第5题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±. ……………………1分对于任意x D ∈，因为 2()()()1xf x f x x −−==−−−， ……………………3分所以 ()f x 是奇函数． ……………………4分 （Ⅱ）解：函数2()1xf x x =−在区间(1,1)−上是减函数． ……………………5分 证明：在(1,1)−上任取1x ，2x ，且 12x x <， ……………………6分则 1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +−−=−=−−−−． ……………………8分 由 1211x x −<<<，得 1210x x +>，210x x −>，2110x −<，2210x −<，所以 12()()0f x f x −>，即 12()()f x f x >. 所以 函数2()1xf x x =−在区间(1,1)−上是减函数. ……………………10分 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当1a =−时， 2211()()24f x x x x =−+=−−+． ……………………2分所以 ()f x 在区间1(0,)2上单调递增，在1(,2)2上()f x 单调递减．因为 (0)0f =，(2)2f =−，所以 ()f x 的最小值为2−． ……………………4分 （Ⅱ）解：① 当0a =时，()f x x =． 所以 ()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以 ()f x 的最大值为(2)2f =． ……………………5分当20a −<≤时，函数2()f x ax x =+图像的对称轴方程是12x a=−. ………6分 ② 当1022a <−≤，即124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a−=−. ………8分 ③ 当104a −<<时，()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以 ()f x 的最大值为(2)42f a =+． ……………………9分综上，当124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a−=−；当104a −<≤时，()f x 的最大值为42a +． ……………………10分8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：对于函数1()2f x x =，其定义域为R ．取120,1x x ==，有12()()(0)(1)2f x f x f f +=+=，1212()2()222x x f f +==，所以 1212()()2()2x x f x f x f ++=， 所以 1()2f x x =不是“凸函数”．…………2分对于函数 2()f x =[0,)+∞． 对于任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，由222221212[()()][2()]02x x f x f x f ++−=−=−<， 所以 221212[()()][2()]2x x f x f x f ++<． 因为 12()()0f x f x +>，122()02x x f +>，所以 1212()()2()2x x f x f x f ++<， 所以 2()f x =4分 （Ⅱ）解：函数()2x f x a b =⋅+的定义域为R ． 对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠， 1212()()2()2x x f x f x f ++− 12122(2)(2)2(2)x x x x a b a b a b +=⋅++⋅+−⋅+ ……………………5分12122(2222)x x x x a +=+−⨯12222(22)x x a =−． (7)分依题意，有12222(22)0x x a −<．因为 12222(22)0x x −>，所以 0a <． ……………………8分（Ⅲ）1()()2f x x >．（注：答案不唯一）……………………10分word 下载地址。

32018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01、选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知集合 A 二｛1,2｝，B 二｛x|0 ：：：x ：：：2｝，则 AP1B 二已知向量 a = (m,6)，b = (-1,3)，且 a ； b ，则 m =(A ) f(x) =2〉(B)f(x) =x 3(C ) f(x)=lg x(D ) f (x) =s in x(4) 命题P ： 一x 2, 2 x -1 0，则—p 是( )(A ) -x 2, x 2-仁0(B )-xE2, 2x -1 0(C )x 2, x 2-仁0(D ) x 空2, 2x -仁0(5) 3已知tan ：sin :- :::0，则 cs :- —.(4(A ) 3(B )3 (C ) 4(D45555(6) 若角a 的终边经过点(1, y 0)，则下列三角函数值恒为正的是()(A ) sin 二 (B )COS J(C ) tan:-(D ) sin( n J )(3)()(7)F 列函数中，既是奇函数又在 (0,；)上是增函数的是学校班级姓名 成绩(A ) {1}(B ) {1,2} (C ) {0,1,2} (D ) {x0*2}(1) (2) (A ) 18(B ) 2(C ) -18n为了得到函数 y =-sin(x - )的图象，只需把函数y =sin x 的图象上的所有点32 n(A )向左平移耳个单位长度(C )向右平移n 个单位长度3(B )向左平移n 个单位长度3 (D )向右平移个单位长度3(8)如图，在平面直角坐标系xOy中，角:-以Ox为始边，终边与单位圆O相交于点过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角:-的函数记为f(>).则3下 列 关 于 函 数 f(〉) 的 说 法 正 确 的 是( )n(A) f C )的定义域是{=2k n ，5 K Z } (B)f G )的图象的对称中心是(k n ,0), k • Z2(C) f C )的单调递增区间是［2k n 2k n n ,k • Z (D)f(：)对定义域内的〉均满足f ( n-：) = f(：)二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分，把答案填 在题中横线上•(9)已知 f(x)= Inx ,贝U f(e 2)=.(10)已知 a = (1,2) , b = (3,4)，则 a ‘b = ________ ； a — 2b = ____ .(11 )已知集合 A 二{1,2,3,4,5} , B ={3,5},集合 S 满足 S i A , SUB 二 A .则一个满足条件的集合S 是(12)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x3 0时，f (x) = .. x + x ，则不等式f(x)- 2> 0的解集是(13)如图，扇形AOB 中，半径为1, AB 的长为2,则AB 所对的圆心角的大小为 ___________ 弧(I)若函数f (x)没有零点，则实数 a 的取值范围是 ______________(n)称实数a 为函数f (x)的包容数，如果函数f(x)满足对任意x^ (-：：,a)，都存在X 2 (a,：：)，使得 f (X 2) = f (儿).11 3在①—一：②一：③1 ；⑷:⑤一中，函数f (x)的包容数是.(填2 2 2度；若点P 是AB 上的一个动点, 最大值时，：：：OA,OP = _ OP - OB OP 取得(14 )已知函数l 2xA"—a,x : a, x _a.则当出所有正确答案的序号)三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•(15)(本小题共11分)n已知函数f(x)=2sin(2x ).3(I)求f (x)的最小正周期T ；(n)求f (x)的单调递增区间；n n(川)在给定的坐标系中作出函数f(x)(x€ [———+ T])的简图，并直接写出函数f(x)6 6n2 一在区间[—n上的取值范围•6 3(16)(本小题共10分)已知函数f (x) = x2bx c，存在不等于1的实数x0使得f (2 -怡)=f (x0).(I)求b的值；(n)判断函数f(x)在(1,=)上的单调性，并用单调性定义证明；(川)直接写出f(3c)与f(2c)的大小关系(17)(本小题共11分)(18)(本小题共12分)设函数f (x)定义域为I ，对于区间D 二I ，如果存在x 1, x 2 D ，捲=x 2，使得f(X 1) f(X 2)=2，则称区间D 为函数f (x)的？区间•(I)判断(」：，■：：)是否是函数y = 3x ■ 1的？区间;1(n)若［—,2］是函数y 二log a X (其中a • 0,a = 1 )的？区间，求a 的取值范围；2(川)设，为正实数，若［n2 n 是函数y =cos x 的？区间，求，的取值范围如图，在四边形OBCD 中,CD = 2BO , OA = ，也 D =90。

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第3页（共11页）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. sin(−π3)的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】解：sin(−π3)=−sin π3=−√32，故选：D ．由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论． 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(x 2+π3)的最小正周期为：T =2π12=4π．故选：C ．直接利用三角函数的周期求解即可．本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3. 如果向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)，那么|a ⃗ +2b⃗ |=( ) A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】解：由向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)， 所以a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有：|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5， 故选：B ．本由向量加法的坐标运算有：a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5，得解．本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题． 4.sin(π2−α)cos(−α)=( )A. tanαB. −tanαC. 1D. −1【答案】C 【解析】解：sin(π2−α)cos(−α)=cosαcosα=1．故选：C ．利用诱导公式化简即可计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5. 已知函数y =sinx 和y =cosx 在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A. (0,π2)B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)【答案】B【解析】解：A ：y =sinx 在(0,π2)上是增函数； C ：y =cosx 在(π,3π2)上是增函数；D ：y =cosx 在(3π2,2π)上是增函数． 故选：B ．依次分析四个选项可得结果．本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案． 考查向量加法和减法的几何意义．7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22，那么向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角是( )A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4【答案】D【解析】解：∵a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22；又0≤<a ⃗ ,b ⃗ >≤π；∴<a ⃗ ,b ⃗ >=3π4．故选：D ．根据条件即可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22，根据向量夹角的范围即可求出向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角． 考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8. 设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)【答案】B【解析】解：∵α∈[0,2π)，sinα>12， ∴π6<α<5π6．∴设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是(π6,5π6).故选：B ．利用正弦函数的图象和性质直接求解．本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 已知函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示.为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位【答案】A【解析】解：函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示， 可见f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)，在g(x)的图象上对应(π6,0)，为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，在向右平移π6个单位， 故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10. 在△ABC 中，A =π2，AB =2，AC =1.D 是BC 边上的动点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]【答案】A【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)， 设D(x,y)，则x2+y =1，x ∈[0,2]； ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =−2x +(1−12x)=−52x +1∈[−4,1]，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,1]． 故选：A ．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可． 本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11. 若cosθ=−12，且θ为第三象限的角，则tanθ=______． 【答案】√3【解析】解：∵cosθ=−12，且θ为第三象限的角， ∴sinθ=−√1−sin 2θ=−√32， ∴tanθ=sinθcosθ=−√32−12=√3．故答案为：√3．由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12. 已知向量a ⃗ =(1,2).与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是______． 【答案】(2,4)【解析】解：2a⃗ =(2,4)与a ⃗ 共线； 即与向量a⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)． 故答案为：(2,4)．可求出2a ⃗ =(2,4)，而2a ⃗ 与a ⃗ 共线，即得出与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)．考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13. 如果tan(x +π3) =0 (x >0)，那么x 的最小值是______． 【答案】2π3【解析】解：tan(x +π3) =0 (x >0)， 可得x +π3=kπ， 即x =kπ−π3，k ∈N ∗， 可得x 的最小值为π−π3=2π3，故答案为：2π3，由正切韩寒说的图象和性质可得x +π3=kπ，k 为正整数，即可得到所求最小值． 本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14. 如图，已知正方形ABCD.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R ，则λμ=______．【答案】−1【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−1，μ=1， ∴λμ=−1， 故答案为：−1．利用向量加减法容易把AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得λ，μ，得解． 此题考查了向量加减法，属容易题．15. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M 是坐标平面内的一点．①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ②若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为______． 【答案】(6,3) (4,2)【解析】解：①设M(x,y)，则：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)； ∵四边形APBM 是平行四边形； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(−1,−2)=(5−x,1−y)； ∴{1−y =−25−x=−1； 解得{y =3x=6；∴点M 的坐标为(6,3)；②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)； ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(1,2)+(3,0)=2(x −2,y −1)； ∴(4,2)=(2(x −2),2(y −1))； ∴{2(y −1)=22(x−2)=4； 解得{y =2x=4；∴点M 的坐标为(4,2)． 故答案为：(6,3)，(4,2)．①可设M(x,y)，得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)，根据四边形APBM 为平行四边形即可得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出(−1,−2)=(5−x,1−y)，从而得到{1−y =−25−x=−1，解出x ，y 即可；②可求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)，根据PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(4,2)=(2(x −2),2(y −1))，从而得出{2(y −1)=22(x−2)=4，解出x ，y 即可．考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16.设函数f(x)=sin(ωx+π3).若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则ω的取值集合是______．【答案】{ω|ω=6k+1,k∈Z}【解析】解：由题意ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，得ω=6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω=6k+1,k∈Z}．利用正弦函数图象的对称轴为x=kπ+π2，列出关于ω的方程，得解．此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．17.若集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=______．【答案】{x|−1<x<3}【解析】解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，∴A∪B={x|−1<x<3}．故答案为：{x|−1<x<3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.函数f(x)=1log2x的定义域是______．【答案】{x|0<x<1或x>1}【解析】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，解得函数的定义域为{x|0<x<1或x>1}，故答案为{x|0<x<1或x>1}．由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，由此求得函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．19.已知三个实数a=312，b=√2，c=log32.将a，b，c按从小到大排列为______．【答案】c<b<a【解析】解：312=√3>√2>1，log32<log33=1；∴c<b<a．故答案为：c<b<a．容易得出312>√2>1，log32<1，从而a，b，c从小到大排列为c<b<a．考查对数函数和y =√x 的单调性，以及增函数的定义．20. 里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 0=0.005是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为______级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍. 【答案】5 1000【解析】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5． 设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 8=lgx +5，5=lgy +5，解得x =103，y =1， ∴x y=1000．故答案为：5；1000．根据题意中的假设，可得M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5；设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，8=lgx +5，5=lgy +5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．21. 已知函数f(x)={x −1, c <x ≤3.x 2+x, −2≤x≤c若c =0，则f(x)的值域是______；若f(x)的值域是[−14,2]，则实数c 的取值范围是______．______． 【答案】[−14,+∞) [12,1] [12,1]【解析】解：c =0时，f(x)=x 2+x =(x +12)2−14， f(x)在[−2,−12)递减，在(−12,0]递增， 可得f(−2)取得最大值，且为2，最小值为−14； 当0<x ≤3时，f(x)=1x 递减，可得f(3)=13， 则f(x)∈[13,+∞)，综上可得f(x)的值域为[−14,+∞)；∵函数y =x 2+x 在区间[−2,−12)上是减函数， 在区间(−12,1]上是增函数，∴当x ∈[−2,0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14， 最大值是f(−2)=2；由题意可得c>0，∵当c<x≤3时，f(x)=1x 是减函数且值域为[13,1c)，当f(x)的值域是[−14,2]，可得12≤c≤1．故答案为：[−14,+∞)；[12,1]．若c=0，分别求得f(x)在[−2,0]的最值，以及在(0,3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f(x)在[−2,1]的值域，以及在(c,3]的值域，注意c>0，运用单调性，即可得到所求c的范围．本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.已知α∈(0,π2)，且sinα=35．(Ⅰ)求sin(α−π4)的值；(Ⅱ)求cos2α2+tan(π4+α)的值．【答案】解(Ⅰ)：因为α∈(0,π2)，sinα=35，所以cosα=√1−sin2α=45．所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=−√210．(Ⅱ)：因为sinα=35，cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．所以cos2α2+tan(π4+α)=1+cosα2+1+tanα1−tanα=7910．【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，(Ⅱ)根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题23.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象可知 A =3， 因为 f(x)的最小正周期为T =7π6−π6=π，所以 ω=2πT=2．令 2×π6+φ=π2，解得 φ=π6，适合|φ|<π． 所以 f(x)=3sin(2x +π6)．(Ⅱ)解：因为x ∈[π2,π]，所以2x +π6∈[7π6, 13π6]．所以，当2x +π6=13π6，即x =π时，f(x)取得最大值32，当2x +π6=3π2，即x =2π3时，f(x)取得最小值−3．(Ⅲ)解：结合f(x)的图象可得它的单调递增区间为[ kπ−π3, kπ+ π6 ](k ∈Z)． 【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值． (Ⅲ)由f(x)的图象，可得它的单调递增区间．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．24. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(−1,0)，B(0,√3)，C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[ 0, π 2]． (Ⅰ)求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；(Ⅱ)是否存在θ∈[ 0, π 2]，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1,sinθ)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ−√3)； ……………………(2分)所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1)⋅cosθ+sinθ⋅(sinθ−√3)……………………(3分)=cosθ−√3sinθ+1=2cos(θ+π3)+1； ……………………(4分)因为 θ∈[ 0, π2]，所以 θ+π3∈[π3, 5π6]； ……………………(5分)所以 当θ+π3=π3，即θ=0时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2； ……………………(6分) (Ⅱ)因为|AB|=2，|AC| =√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2+2cosθ，|BC| =√cos 2θ+(sinθ−√3)2=√4−2√3sinθ； 又 θ∈[ 0, π2]，所以 sinθ∈[0,1]，cosθ∈[0,1]， 所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角， 从而CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0；………………(8分) 由(Ⅰ)得2cos(θ+π3)+1<0，解得cos(θ+π3)<−12； ……………………(9分)所以 θ+π3∈(2π3, 5π6]，即θ∈(π3, π2]； ……………………(11分) 反之，当θ∈(π3, π2]时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0， 又 A ，B ，C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形；综上，当且仅当θ∈(π3, π2]时，△ABC 为钝角三角形.……………………(12分)【解析】(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值2； (Ⅱ)由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC 为钝角三角形时角C 是钝角， 利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合题意求得θ的取值范围． 本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．25. 已知函数f(x)=xx 2−1．(Ⅰ)证明：f(x)是奇函数；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】解：(Ⅰ)：函数f(x)的定义域为D ={x|x ≠±1}.……………………(1分) 对于任意x ∈D ，因为 f(−x)=−x(−x)2−1=−f(x)，……………………(3分) 所以 f(x)是奇函数. ……………………(4分)(Ⅱ)解：函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(5分) 证明：在(−1,1)上任取x 1，x 2，且 x 1<x 2，……………………(6分)则 f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−1−x2x 22−1=(1+x 1x 2)(x 2−x 1)(x 12−1)(x 22−1). ……………………(8分)由−1<x 1<x 2<1，得 1+x 1x 2>0，x 2−x 1>0，x 12−1<0，x 22−1<0，所以 f(x 1)−f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2).所以 函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求定义域，再用奇函数的定义f(−x)=−f(x)证明f(x)为奇函数； (Ⅱ)按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明． 本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26. 已知函数f(x)=ax 2+x 定义在区间[0,2]上，其中a ∈[−2,0]．(Ⅰ)若a =−1，求f(x)的最小值； (Ⅱ)求f(x)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，当a =−1时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14； 所以 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减． 因为 f(0)=0，f(2)=−2， 所以 f(x)的最小值为−2． (Ⅱ)①当a =0时，f(x)=x ． 所以 f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=2．当−2≤a <0时，函数f(x)=ax 2+x 图象的对称轴方程是x =−12a ． ②当0<−12a ≤2，即−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ． ③当−14<a <0时，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=4a +2．综上，当−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ； 当−14<a ≤0时，f(x)的最大值为4a +2．【解析】(Ⅰ)根据题意，将a =−1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减，分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，按a 的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案． 本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27. 已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2，都有f(x 1)+f(x 2)<2f(x 1+x 22)，则称函数f(x)为“凸函数”．(Ⅰ)判断函数f 1(x)=2x 与f 2(x)=√x 是否为“凸函数”，并说明理由； (Ⅱ)若函数f(x)=a ⋅2x +b(a,b 为常数)是“凸函数”，求a 的取值范围； (Ⅲ)写出一个定义在(12,+∞)上的“凸函数”f(x)，满足0<f(x)<x.(只需写出结论)【答案】(本小题满分10分)(Ⅰ)解：对于函数f 1(x)=2x ，其定义域为R ．取x 1=0，x 2=1，有f(x 1)+f(x 2)=f(0)+f(1)=2，2f(x 1+x 22)=2f(12)=2，所以 f(x 1)+f(x 2)=2f(x 1+x 22)，所以 f 1(x)=2x 不是“凸函数”.…………(2分)对于函数f 2(x)=√x ，其定义域为[0,+∞)．对于任意x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，由[f(x1)+f(x2)]2−[2f(x1+x22)]2=(√x1+√x2)2−(2√x1+x22)2=−(√x1−√x2)2<0，所以[f(x1)+f(x2)]2<[2f(x1+x22)]2．因为f(x1)+f(x2)>0，2f(x1+x22)>0，所以f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22)，所以f2(x)=√x是“凸函数”.……………(4分) (Ⅱ)解：函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=(a⋅2x1+b)+(a⋅2x2+b)−2(a⋅2x1+x22+b)……………………(5分)=a(2x1+2x2−2×2x1+x22)=a(2x12−2x22)2.……………………(7分)依题意，有a(2x12−2x22)2<0．因为(2x12−2x22)2>0，所以a<0.……………………(8分)(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12).(注：答案不唯一)……………………(10分)【解析】(Ⅰ)取x1=0，x2=1，有f(x1)+f(x2)=f(0)+f(1)=2，2f(x1+x22)=2f(12)=2，验证，然后利用单调性证明即可．(Ⅱ)函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R.对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)转化证明即可．(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12)．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。

北京市西城区 2019—2019学年度第一学期期末试卷高一数学参照答案及评分标准A 卷[必修模块4] 满分100分一、：本大共10小，每小 4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5. D ；6. D ； ；8.A ；9.C ； 10.D.二、填空：本大共6小，每小 4分，共 24分.11.2； 12. 1(ba )；13.4 ；22314.； 15.；16.3.382三、解答：本大共 3小，共 36分.17.（本小分 12分）解：（Ⅰ）因( ,)，且sin3，2 5因此cos1 sin 24 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分5因此tansin3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分cos.4因此tan() tan 17.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1tan4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin22si ncos24⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分，251 cos22cos 232 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分25sin2cos 24 4 1因此25 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1cos232.825（本小分12分）（Ⅰ）由意f ( )2sin(2 x)，x 3因0x，因此02x.因此2x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分3.233因此3sin(2x)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23因此3f(x) 2，函数f(x)的域[3,2] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅱ）由已知(,) ， 13，( ,0) ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分A C( ,A) D12 312因此( , )， 3DBDC ( ,A).44因BDCD ，因此DB32A 20 ，解得A3 DC ，DBDC.164又A0，因此 A3⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.419.（本小分 12分）解：（Ⅰ）ABBCAB (AC AB)AB AC21 13AB.22（Ⅱ）成立如所示的平面直角坐系，B(1,0)，C(1,3).2 2P(cos,sin )，[0,]，3由APxAB yAC ，得(cos ,sin )x(1,0)y(1 3).C,22因此cosxy,sin3y .22因此xcos3sin，y23sin ，33xy23sincos2sin 23sin211cos23333 32(3sin21cos2 ) 1 3 2 2 321sin(2).363 因[0,2]，2[6 , ].366因此，当 26 ，即，xy 的最大1.23⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分yPx AB⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分B 卷[学期综合]满分50分一、填空：本大共5小，每小4分，共20分.1. {x|0x1}；2. 1,6；3.1；4. {aa2}；5. .2注：2每空2分.二、解答：本大共 3小，共30分.6.（本小分 10分）解:（Ⅰ）因f(x)6x，因此f( x)x 6x f(x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此f(x)x212 1奇函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）由不等式f(2x)2x，得62x2x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22x1整理得22x5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此2xlog 25，即x1log 25.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2（本小分10分）解: （Ⅰ）当a1，f(x)x 22x .二次函数象的称x1，张口向上.因此在区[0,2]上，当x 1，f(x)的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 当x0 或x2 ，f(x)的最大0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因此f(x)在区[0, 2]上的域[ 1,0].⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）注意到f(x)x 2 2ax 的零点是0和2a ，且抛物张口向上.当a0 ，在区[0,2]上g(x) f(x)x 22ax ，g(x)的最大t(a)g(2)4 4a .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当0a1，需比g(2)与g(a)的大小，g(a)g(2)a 2 (44a)a 24a 4，因此，当0 a2 2 2 ，g(a) g(2) 0 ；当 2 22a1 ，g(a)g(2)0 .因此，当 0 a2 22 ，g(x)的最大 t(a) g(2) 44a .⋯⋯⋯5分当22 2 a 1，g(x)的最大t(a)g(a)a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当1 a 2，g(x)的最大t(a)g(a) a 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当a2 ，g(x)的最大t(a) g(2)4a4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分44a,a 2 2 2,因此，g(x)的最大值 t(a) a 2, 2 2 2 a 2,4a 4,a 2.因此，当a2 2 2时，t(a)的最小值为12 82.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知x 11，x 21 .42因此dmax{max{x 1,x 2x 1},max{x 2 x 1,1 x 2}}1 1 1 1max{ 1 11max{max{,},max{,}},}.44421 42 2（Ⅱ）取x 11，x 2，此时试验的估计偏差为.333以下证明，这是使试验估计偏差达到最小的试验设计.9分10分4分5分证明：分两种情况议论 x 1点的地点.①当x 11时，如下图，3假如1 x2 2d 1 x 21 ，那么；3 33 假如2x 2 1，那么 d x 2 x 113 .3当x 1 11 . ②，dx 133综上，当x 1113 时，d .3(同理可适当x 22时，d1 )33即x 11，x 2时，试验的估计偏差最小.33（Ⅲ）当x 11和x 12时估计偏差d 的最小值分别为45注：用平常语言表达证明过程也给分 .1x 1 12 3 3 4 5 67 89 10 11 12 13 14 15 1617和1.45x 217分8分10分。

高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx —第一学期期末试卷高三数学（理科）20xx.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x ，1{|||}B x x ≤，则集合AB（）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若3a ，2b ，1cos()3AB ，则c（）（A ）4（B ）15（C ）3（D ）172．已知复数z 满足2i =1iz ，那么z 的虚部为（）（A ）1（B ）i（C ）1（D ）i4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34（B ）45（C ）56（D ）16．若曲线221axby为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b （B ）11ab （C ）0ab （D ）0ba7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x ，且当(0,1]x时，2()f x xx ，则当[2,1]x时，()f x 的最小值为（）（A ）116（B ）18（C ）14（D ）05．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧?AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）（A ）22y x =+-（B ）112y x =+-（C ）22y x =-+（D ）12y x =+-i=1，S=0开始1(1)SSi i i=i+15i ≥输出S 结束否是8. 如图，正方体1111ABCDA BC D 的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BPx ，则当[1,5]x时，函数()y f x 的值域为（）（A ）[26,66]（B ）[26,18]（C ）[36,18]（D ）[36,66]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k ，若向量OA AB ，则实数k_____．10．若等差数列{}n a 满足112a ，465a a ，则公差d______；24620a a a a ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）ABA 1B 1DC D 1C 1P侧(左)视图213．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA，3BC ，则PB______；AC AB______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2xy x y xy ≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T vxy的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v .（1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()3cos f x x ，π()sin()(0)3g x x，且()g x 的最小正周期为π. （Ⅰ）若6()2f ，[π,π]，求的值；（Ⅱ）求函数()()yf xg x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；APB CO .（Ⅲ）当2a 时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角HBDC 的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a ，其中e 是自然对数的底数，a R .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a时，试确定函数2()()g x f x a x 的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W yx 上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐甲组乙组8 91a8 22FB CEAHD标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2）,记[]n n b a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q .（Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N**挝.北京市西城区20xx —第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B5．A 6．C 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．410．125511．2312．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x的最小正周期为π，所以2||ω，解得2ω．………………3分由6()2f，得63cos22，即2cos22，………………4分所以π22π4k，k Z.因为[π,π]，所以7πππ7π{,,,}8888. ………………6分（Ⅱ）解：函数π()()3cos2sin(2)3yf xg x x x ππ3cos2sin 2cos cos 2sin33x x x ………………8分13sin 2cos222xxπsin(2)3x，………………10分由2πππ2π2π232k k x≤≤，………………11分解得5ππππ1212k k x ≤≤．………………12分所以函数()()y f x g x 的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k kZ ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得11(889292)[9091(90)]33a ，………………2分解得1a .………………3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，………………4分依题意0,1,2,,9a ，共有10种可能. ………………5分由（Ⅰ）可知，当1a时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ．……………… 7分（Ⅲ）解：当2a时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，………………9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分因此2(0)9P X，2(1)9P X ，1(2)3P X，1(3)9P X ，1(4)9P X .……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：X 01234P2929131919………………12分所以X 的数学期望221115()1234993993E X ．……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD .………………1分因为平面BDEF 平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以ED 平面ABCD ，………………2分又因为AC 平面ABCD ，所以ED AC . ………………3分因为ED BDD ，所以AC平面BDEF .………………4分（Ⅱ）解：设AC BD O ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，又因为ED平面ABCD ，所以ON 平面ABCD ，由ACBD ，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系.………………5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD，3BF，所以(0,3,0)A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D ，(1,0,3)E ，FEzN(1,0,3)F ，(0,3,0)C ，133(,,)222H .………………6分因为AC 平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量(0,23,0)AC . …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为，由333(,,)222DH，得3332307222sin |cos ,|721232DH AC DH AC DH AC，所以直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值为77. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得133(,,)222BH，(2,0,0)DB.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z n，所以0,0,BH DBn n ………………10分即1111330,20,x y z x 令11z ，得(0,3,1)n.………………11分由ED平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED，则00(3)01(3)1cos ,232ED EDEDn n n .………………13分由图可知二面角H BD C 为锐角，所以二面角HBDC 的大小为60.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a ，xR ，所以()(1)e xf x xa ．………………2分令()0f x ，得1xa ．………………3分当x 变化时，()f x 和()f x 的变化情况如下：x(,1)a 1a (1,)a ()f x 0()f x ↘↗………………5分故()f x 的单调减区间为(,1)a ；单调增区间为(1,)a ．…………6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点.………………7分理由如下：由2()()0g x f x a x，得方程2ex ax x ，显然0x 为此方程的一个实数解.所以0x 是函数()g x 的一个零点. ………………9分当0x 时，方程可化简为e xax .设函数()ex aF x x ，则()e1x aF x ，令()0F x ，得xa ．当x 变化时，()F x 和()F x 的变化情况如下：x(,)a a(,)a ()F x 0()F x ↘↗即()F x 的单调增区间为(,)a ；单调减区间为(,)a ．所以()F x 的最小值min()()1F x F a a .………………11分因为1a ，所以min()()10F x F a a ，所以对于任意xR ，()0F x ，因此方程e x ax 无实数解．所以当0x时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x 的焦点为1(0,)4.………………1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x ，………………2分令0x ，得1y k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k .………………3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以114k ，解得34k.………………5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x yx 消去y ，得210xkx k ，由韦达定理，得11x k ，所以11x k .………………7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k ，211x k.………………8分对函数2y x 求导，得2y x ，所以抛物线2yx 在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y xx x x ，即2112y x x x.………………9分同理，抛物线2y x 在点C 处的切线CD 的方程为2222yx xx .………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x yx x x 解得12311(2)22x x x kk ，3121y x x k k，所以点D 的坐标为111((2),)2kk kk.………………11分因此点D 在定直线220xy 上.………………12分因为点O 到直线220x y 的距离22|2002|25521d，所以255OD ≥，当且仅当点42(,)55D 时等号成立．………………13分由3125y kk，得1265k，验证知符合题意.所以当1265k时，OD 有最小值255. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<.………………1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==.………………2分即,6,2,4,17,3.nnnT n ≥………………3分（Ⅱ）证明：因为201421()nT n n ≤，所以113b T ==，120142(2)n nnb T T n ≤≤.………………4分因为[]n n b a =，所以1[3,4)a ，2014[2,3)(2)n a n ≤≤.………………5分由21a qa ，得1q.………………6分因为201220142[2,3)a a q ，所以20122223qa ≥，所以2012213q ，即120122()13q .………………8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N*?，q N *?，所以11n n a a qN-*=?，所以[]n n n b a a ==对一切正整数n 都成立.因为12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以n n S T =.………………9分（必要性）因为对于任意的n N *?，n n S T =，当1n时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n nn a S S ，1n n n b T T ，得n n a b .所以对一切正整数n 都有nn a b .由n b Z ?，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N*?，………………10分所以公比21a qa 为正有理数.………………11分假设q N *?，令p q r=，其中,,1p r rN *?，且p 与r 的最大公约数为1.因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N ?，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r 整除.又因为111211k k kk a p a a qr，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +?，这与n a N *?（n N *?）矛盾. 所以q N . 因此1a N *?，qN .……………13分。

2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校 班级 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =I ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a b P ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤->（C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是（ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，S B A =U .则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，»AB 的长为2，则»AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是»AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r取得最大值时，,OA OP <>=u u u r u u u r . （14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，90D ∠=︒，且1BO AD ==u u u r u u u r. （Ⅰ）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值围.附加题：（本题满分5分。

2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A. {﹣1，1}【答案】CB. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x y 02.方程组的解集是（）y 2x22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}B.{(1，1),(﹣1，﹣1)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x y 0x 1x 1【详解】方程组的解为或，y 2y 1y 1x22其解集为{(1,1),(1,1)}．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(x,y)，一个解可表示为(1,1)．13.函数y＝x的定义域是（）x 1A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】x 0由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 x 1 0，解出即可求得定义域．x 0【详解】依题意， x 1 0，解得x ≥0 且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） y l og xA. y ＝x +1 【答案】DB. y ＝x ﹣1 C. y ＝2xD.2 12【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x ﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 2 对于C ，y ＝2 ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；x y l og x对于D ，，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；1 2故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 2 A. a ＜b ＜c 【答案】A0.4，b ＝0.4 ，c ＝2 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）20.4B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0 和 1 比较．【详解】∵log 0.4＜log 1＝0，∴a＜0，22∵0.4 ＝0.16，∴b＝0.16，2∵2 ＞2 ＝1，∴c＞1，0.40∴a＜b＜c，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．b0c d06.若a，，则一定有（）A.ac b d ac bdB.C.ad bcD.ad bc【答案】B【解析】d0c d0，由于a b0试题分析：根据c，有bd,ac bd，故选B.，两式相乘有ac考点：不等式的性质.a,b R ，则a b a b7.设“”的（）”是“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】b试题分析：因为a成立，a,b的符号是不确定的，所以不能推出a b成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）A. 2000(1﹣0.2x )mgB. 2000(1﹣0.2)x mgD. 2000•0.2x mgC. 2000(1﹣0.2 )mgx 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg ，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y ＝2000× (1﹣20%) ＝2000×0.8 (mg )， x x 即 y 与 x 的关系式为 y ＝2000×0.8． x 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． r r9.如图，向量a b 等于（）u r u u r A. 3 ﹣ u r u u r e 3eu r u u r 3e eu r u u r e 3eD.e eB. C.12121212【答案】B 【解析】 【分析】r r根据向量减法法则，表示出a b，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． u r u u rr r a b e 3e，【详解】 ＝ 12故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调 整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2） 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图 （3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和 x ，则x +x ＝_____． 222 1 2 1 2【答案】14 【解析】 分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和x ， 2 1 2x +x ＝4，x x ＝1， 1 2 1 2x +x ＝ (x +x ) ﹣2x x ＝16﹣2＝14， 2 2 2 1 2 1 2 1 2故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．r r r r r12.已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中 m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】3 5 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出 m ，再由模的坐标运算计算出模．r r【详解】∵ ， 共线，∴m －6＝0，m ＝6，a br∴ b (3) 6 3 5 ． 22 故答案为：3 5 ．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． a 1b 913.已知函数 f (x )＝log 3x ．若正数 a ，b 满足，则 f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入函数式计算．a 1f (b) l og a l og b l og l og 2 【详解】 f (a) ． b 93 3 3 3 故答案为： ．2 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．x 2,x 0f x 14.函数 的零点个数是_____；满足 f (x 0 )＞1 的 x 的取值范围是_____． x 2 3,x 0【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】 【分析】(x) 0 直接解方程 f 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x )＞1 也同样由函数 0 解析式去求解．0 f (x) x3 0 0 ， 3 ，当 x 时， f(x) x 2 0, x 2 ，共 2 个零点，即 【详解】 x 时， 2 x 零点个数为 2；0 f (x) x3 1 x 0 ( ) 2 1, 1 时， f x x ，即 1 0 ，x当 x ∴ f 时， ， 2 ，当 x 2 x (x ) 1 (1,0) U (2, ) 的 的取值范围是 x． 0 0故答案为：2；(1,0)U (2, )．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范 围即可．15.已知集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中 c ∈R ．①集合∁ A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 2 Rx ∈B ，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3}(2). （﹣∞，﹣2]【解析】 【分析】①先求出集合 A ，再利用补集的定义求出∁ A ；R ②由对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，所以 A ∪B ＝R ，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}， 2 ∴∁ A ＝{x |﹣2＜x ＜3}； R②∵对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合 A ＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }， ∴c ≤﹣2，∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x |﹣2＜x ＜3}； (﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属 于基础题．16.给定函数 y ＝f (x )，设集合 A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得 x +y ＝0 成立，1x1则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②y ；③y＝lgx．其中，具有性质的函Pyx2数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5 人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5 人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．3【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5 人中男生人数和女生人数．(Ⅰ)记这5人中3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1 名女1 2 3 1 2生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19232012832053，女生人数为52．(Ⅰ)记这5人中的3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，1 2 3 1 2则样本空间为：Ω＝{(B，B)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2(G ，G )}，1 2 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，则 A ＝{ (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )}， 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 63P A事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 10 5 3所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．5【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x 3f x l og8 2 的图象为曲线 C ，函 数 g x 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线x13C ． 2（Ⅰ）比较 f （2）和 1 的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线 C 在直线 y ＝1 的下方时，求 x 的取值范围； 1 （Ⅲ）证明：曲线 C 和 C 没有交点．1 2 【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 5,3)；（Ⅲ）证明见解析 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 f2l og 8 2 l og 4 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的大小．2332 1 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，推出log 8 ．求解即可．x3(Ⅰ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 和 C 没有交点．1 2 f 2 l og 8 2 l og 4 【详解】解： (Ⅰ)因为，2 33又函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数， 3 所以 f (2)＝log 4＞log 3＝1．3 3 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，log 8 2 1 所以．x 3因为 函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数，3 所以 0＜8﹣2 ＜3， x 即 5＜2＜8， x 所以 x 的取值范围是 (log 5，3)．2(Ⅰ)因为f(x)有意义当且仅当8﹣2 ＞0，x解得x＜3．所以f(x)的定义域为D＝(﹣∞，3)．1g(x)有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g(x)的定义域为D＝[3，+∞)．2因为D∩D＝，1 2所以曲线C和C没有交点．1 2【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1 次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）3【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲8【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(I I)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(I I I)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5 个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．a1(0.190.450.290.01)0.06【详解】(I)由题意；(II)记事件 A 甲中射击一次中靶环数大于 7，则 P (A) 0.45 0.29 0.01 0.75，甲射击 2 次，恰有 1 次中靶数大于 7 的概率为：3P P(AA) P(AA) P(A)P(A) P(A)P(A)0.750.25 0.250.75； 8(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本 数据特征，属于基础题．x 1, 20.已知函数． f x x21 （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数； （Ⅲ）当 x ∈[﹣4，﹣2]时，求 f (x )的值域．1,1 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】 【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2] 上的单调性，可得最大值和最小值，得值域． 【详解】(I)函数定义域是{x |x 1},x 1 x 1 f (x )f (x) , (x ) 1 x 12 2 (x) ∴ f 是偶函数；1 x 1 1 x 11 x x (II)当 x 时， f x，设， 1 x 1 x 1 1 2 x2 2 11xx(x ) f (x )则 f ， 2 1 1 2x11 x21 (x 1)(x 1)121 x x x 1 0, x1 0, x x 0，∵，∴ 121221f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) ，∴ ，即 1 2 1 2在(1,)上是减函数；(x) ∴ f(III)由 (I) (II)知函数 f(x) [4,2] 在 上是增函数， 4 1 1 2 1 (x)f (4)f (x) f (2) ， 1， ∴ f (43 (2) 1min2 max 2 1[ ,1] ∴所求值域为 ． 3【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量 x （单位：千件）183x 5,0 x 6 8 间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是Sx . 14, x 6（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．183x5 (3 x),0 x6 S C 8 y (万元)，则 y【详解】(I)设利润是 x ， 14 (3 x), x 6 182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6∴ ； 18 9 0 x 6时， 2 2 2[(8 x) ]18 y x (II)， x 8 8 x9 由“对勾函数”知，当8 x，即 x 6 5时， 6 ， y 8 xm ax 6 11 5 当 x ∴ x时， y x 是减函数， x 时， y， m ax5时， 6 ，ym ax∴生产量为 5 千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．x , x P f x 22.设函数 其中 P ，M 是非空数集．记 f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }． x , x M（Ⅰ）若 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求 f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若 P ∩M ＝∅，且 f (x )是定义在 R 上 增函数，求集合 P ，M ； （Ⅲ）判断命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．的【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出 f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出 f (P )∪f (M )．(Ⅰ)由 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0，得到当 x ＜0 时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0， +∞)⊆P ． 由此能求出 P ，M ．(Ⅰ)假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ．证明 0∈P ∪M ．推导出 f (﹣x )＝﹣x ，且 0 0 f (﹣x )＝﹣ (﹣x )＝x ，由此能证明命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”是真命题． 0 0 0 【详解】(Ⅰ)因为 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)， 所以 f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)， 所以 f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅰ)因为 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0， 所以当 x ＜0 时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ． 同理可证(0，+∞)⊆P ． 因为 P ∩M ＝∅，所以 P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}． (Ⅰ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ． 首先证明 0∈P ∪M ．否则，若 0∉P ∪M ，则 0∉P ，且 0∉M ， 则 0∉f (P )，且 0∉f (M )，即 0∉f (P )∪f (M )，这与 f (P )∪f (M )＝R 矛盾． 若∃x ∉P ∪M ，且 x ≠0，则 x ∉P ，且 x ∉M ， 00 0 0所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式求解三角函数值即可.【详解】由题意可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于基础题目.2.函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合最小正周期公式求解函数的最小正周期即可.【详解】由最小正周期公式可得函数的最小正周期为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，属于基础题.3.如果向量，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得的坐标表示，然后求解其模长即可.【详解】由题意可得，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合诱导公式化简三角函数式即可.【详解】由题意结合诱导公式可得：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐一考查函数在所给区间的单调性确定满足题意的区间即可.【详解】逐一考查所给的区间：A.，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减，不合题意；B.，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，符合题意；C.，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，不合题意；D.，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，不合题意；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.如图，在中，D是BC上一点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量的运算整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法公式、减法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知为单位向量，且，那么向量的夹角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量的夹角公式求解向量的夹角即可.【详解】设向量的夹角是，由题意可得：，则，即向量的夹角是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量夹角的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设，则使成立的的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合三角函数的图像确定不等式的解集即可.【详解】绘制函数在区间上的图像如图所示，且易知，观察可得，使成立的的取值范围是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，三角函数图像的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数，，其图象如图所示为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后确定函数的变换即可.【详解】由图1可知，函数的周期为，则，当时，，则，令可得，则，同理可得.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，据此可得函数的解析式为：，而，则图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再将函数图像向右平移个单位即可得到函数的图象.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.10.在中，，，是BC边上的动点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合平面向量的加减法和向量的数量积运算法则确定的取值范围即可.【详解】设，则：，，由于，故：，由于，故，结合一次函数的性质可知.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.若，且为第三象限的角，则______．【答案】【解析】【分析】由题意结合同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意结合同角三角函数基本关系可得：，则.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知向量与向量共线的一个非零向量的坐标可以是______．【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件确定一个非零向量的坐标即可.【详解】由向量共线的充分必要条件可知满足题意的向量为：，取可得：与向量共线的一个非零向量的坐标可以是.【点睛】本题主要考查向量共线的定义及其应用，属于基础题.13.如果，那么x的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由题意求解三角方程确定x的最小值即可.【详解】解三角方程可得：，则，由于，故取可得的最小值为.【点睛】本题主要考查三角方程的解法，正切函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.如图，已知正方形．若，其中，，则______．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定的值，然后求解其比值即可.【详解】由题意可得：，则，即.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15.在直角坐标系中，已知点，，，是坐标平面内的一点．①若四边形是平行四边形，则点的坐标为______；②若，则点的坐标为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算求解点的坐标即可.【详解】①.设点的坐标为，四边形是平行四边形，则：，，据此可得：，点的坐标为.②.由题意可得：，，故，设，由题意可得：，据此可得：，解得：，点的坐标为.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.设函数若的图象关于直线对称，则的取值集合是___．【答案】【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质确定的取值集合即可.【详解】由题意可知，函数的对称轴方程为：，即，结合题意有：，整理可得的取值集合是.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，三角函数的对称轴等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.，且．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)首先求得的值，然后利用两角和差正切公式求解三角函数式的值即可；(Ⅱ)由题意结合降幂公式和两角和的正切公式求解三角函数式的值即可.【详解】（Ⅰ）因为，，所以．所以．（Ⅱ）因为，，所以．所以．【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，三角函数公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.函数的部分图象如图所示，其中，，．Ⅰ求的解析式；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值；Ⅲ写出的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值；最小值．（Ⅲ）（）．【解析】【分析】(Ⅰ)结合函数图像分别确定的值即可确定函数的解析式；(Ⅱ)由函数的解析式结合正弦函数的性质确定函数的最值即可；(Ⅲ)结合函数的解析式写成函数的单调增区间即可.【详解】（Ⅰ）由图象可知．因为的最小正周期为，所以．令，解得，适合．所以．（Ⅱ）因为，所以．所以，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．（Ⅲ）的单调递增区间满足：，求解不等式组可得其在区间为：（）．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，函数最值的求解，函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.在直角坐标系xOy中，已知点，，，其中．Ⅰ求的最大值；Ⅱ是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)首先求得向量的坐标表示，然后求解其数量积，结合三角函数的性质确定其最大值即可；(Ⅱ)首先确定最大的角，然后结合(Ⅰ)中的结论求解三角不等式确定的取值范围即可.【详解】（Ⅰ），．所以．因为，所以．所以当，即时，取得最大值．（Ⅱ）因为，，．又，所以，，所以，．所以若△为钝角三角形，则角是钝角，从而．由（Ⅰ）得，解得．所以，即．反之，当时，，又三点不共线，所以△为钝角三角形．综上，当且仅当时，△为钝角三角形．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.B卷 [学期综合]本卷满分：50分四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20.若集合，，则____．【答案】【解析】【分析】结合题意由并集的定义求解即可.【详解】由题意结合并集的定义可得：.【点睛】本题主要考查并集的定义，属于基础题.21.函数的定义域是____．【答案】，或【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数的定义域即可.【详解】函数有意义，则：，求解不等式组可得函数的定义域为，或.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．22.已知三个实数，，将a，b，c按从小到大排列为___．【答案】【解析】【分析】由题意结合函数的单调性和所给的数与1的大小关系比较其大小即可.【详解】由题意可得：，，则a，b，c按从小到大排列为.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．23.里氏震级M的计算公式为：，其中是标准地震的振幅，A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为__级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的___倍【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意结合定义的知识和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，地震曲线的最大振幅是500时，地震的里氏震级为级，设8级地震的最大振幅为，则：，解得：，据此可知：8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【点睛】本题主要考查新定义的应用，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24.已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】(1). (2).【解析】若，由二次函数的性质，可得，的值域为，若值域为，时，且时，，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为.五、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25.已知函数．Ⅰ证明：是奇函数；Ⅱ判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)首先确定函数的定义域，然后考查与的关系即可证得函数为奇函数；(Ⅱ)由题意结合函数的单调性的定义确定并证明函数的单调性即可.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为.对于任意，因为，所以是奇函数．（Ⅱ）函数在区间上是减函数．证明：在上任取，，且，则．由，得，，，，所以，即.所以函数在区间上是减函数.【点睛】本题主要考查奇函数的判定，函数的单调性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26.已知函数定义在区间上，其中．Ⅰ若，求的最小值；Ⅱ求的最大值．【答案】(Ⅰ)-2；(Ⅱ)当时，的最大值为；当时，的最大值为．【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合函数的解析式确定函数的单调性，然后确定函数的最值即可；(Ⅱ)由题意分类讨论，，和三中情况确定函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ）当时，．所以在区间上单调递增，在上单调递减．因为，，所以的最小值为．（Ⅱ）①当时，．所以在区间上单调递增，所以的最大值为．当时，函数图像的对称轴方程是.②当，即时，的最大值为.③当时，在区间上单调递增，所以的最大值为．综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为．【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．27.已知函数的定义域为若对于任意，，且，都有，则称函数为“凸函数”．Ⅰ判断函数与是否为“凸函数”，并说明理由；Ⅱ若函数b为常数是“凸函数”，求a的取值范围；Ⅲ写出一个定义在上的“凸函数”，满足只需写出结论【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合“凸函数”的定义判断所给的函数是否是“凸函数”即可；(Ⅱ)由题意得到关于a的不等式，讨论确定实数a的取值范围即可；(Ⅲ)按照“凸函数”的定义给出一个满足题意的函数即可.【详解】（Ⅰ）对于函数，其定义域为．取，有，，所以，所以不是“凸函数”．对于函数，其定义域为．对于任意，且，由，所以．因为，，所以，所以是“凸函数”．（Ⅱ）函数的定义域为．对于任意，且，．依题意，有．因为，所以．（Ⅲ）．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。