西城区高一期末数学试卷及答案

X 市西城区〔南区〕202X-202X 学年下学期高一期末质量检测数学卷子本卷子总分值100分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分。

1. 与角－70°终边相同的角是A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21- B. 21 C. 23 D. 23- 3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，假设向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是A. －2B. 2C. 0D. 58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是 A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππ B. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 假设直线过点〔1，1〕，〔2，31+〕，则此直线的倾斜角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为A. 5B. 6C. 8D. 107. 如下图， M 是△ABC 的边AB 的中点，假设b CA a CM ==,，则CB ＝A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是A. 012=-+y xB. 012=-+y xC. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A 〔1，2〕，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是A. 0543=+-y x 和1=xB. 0534=+-y x 和1=yC. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为A. －8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q 〔2，0〕，O 为坐标原点，则QP OP ⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分。

2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届北京市西城35中数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的面积为210cm ，半径为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数为 A ．54B ．32C ．34D ．122．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π64．已知(4-2),b (cos ,sin )a ，αα==且a b ⊥，则33sin cos sin cos αααα+-为（ ） A ．2B ．95C ．3D ．355．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A ．PA BC ⊥B ．BC ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥D ．PC BC ⊥6．函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到7．若0a b <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．222a b ab +> D ．22a b <8．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．510．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）A. 63° B. 153°C. 207°D. 387°【答案】D 【解析】【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27°角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z a a =°+×°Î，取1k =，可得387a =°.∴与27°角终边相同的是387°.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为（ ）A. 220cm p B. 210cm p C. 228cm p D. 214cm p 【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为()222520cm S p p =´´=侧.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. sin 2p a æö+=ç÷èø（ ）A. sin a B. cos aC. sin a- D. cos a-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意sin cos 2p a a æö+=ç÷èø.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则a =（ ）A. 23p -或23p B. 3p-或3pC. 3p-或23pD. 23p -或3p 【答案】A 【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则23p a =-或23p.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则2a b +=r r （ ）A. 3 C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则a +==r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以p 为最小正周期，且在区间0,2p æöç÷èø上为增函数的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. tan y x= D. sin2x y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，sin 2y x =没有单调性，故排除A .在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，cos 2y x =单调递减，故排除B .在区间0,2p æöç÷èø上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为p ，故C 正确；根据函数以p 为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412pp=，可排除D .故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为q，则cos q =，又因为0180q °££°，所以45q =°．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设a ，()0,b p Î，且a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. sin sin a b < B. sin sin a b> C. cos cos a b< D. cos cos a b>【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在()0,p 上的单调性求解即可.【详解】因a ，()0,b p Î，且a b >，而sin y x =在()0,p 上有增有减；故sin a 与sin b 大小关系不确定，cos y x =在()0,p 上单调递减；若a b >，则cos cos a b <成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移j (02pj <£)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则j =（ ）A.6p B.4p C.3pD.2p【答案】C 【解析】【分析】由图可知，17248g f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø()()sin 2x g x j =-，于是推出为1717sin 22424g p p j æöæö=-=ç÷ç÷èøèø1722124k p p j p -=+或324k p p +，k Z Î，再结合02p j <£，解之即可得j 的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f pp p æöæöæö==´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，因为()f x 的图象向右平移j 个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x j =-，所以171717sin 2sin 2242412g pp p j j æöæöæö=-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以1722124k p p j p -=+或17322124k p pj p -=+，k Z Î，解得712k p j p =-或3k pj p =-，k Z Î，因02p j <£，所以3pj =.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y ，棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】设棱锥的体积为V ，则y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故而得解.为【详解】设棱锥的体积为V ，则V 为定值，所以y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则5p的圆心角所对的弧长为______.【答案】25p 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得2255l r pp a ==´=.故答案为：25p 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 和角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3a =，则sin b =______.【答案】13-【解析】【分析】由题意可得()sin sin b a =-，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，∴()1sin sin sin 3b a a =-=-=-，故答案为：13-【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量a r ，b r满足1b =r ，1a b ×=r r .若()a b b l -^r r r ，则实数l =______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵()a b b l -^r r r ，∴()20a b b a b b l l -×=×-=r r r r r r ，即10l -=，解得1l =.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】(1). 12p 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则()2222222212r =++=，解得r =，故球直径为.球的表面积为2412S p p =´´=.故答案为：12p .【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点；③()f x 的值域是[]1,1-.其中，正确结论的序号是______.的【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p -£<ì=í££î，①由于()()1,sin 0f fp p p -=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x p=-，0x =，x p =，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16.设函数()()sin 06f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k p p p w p -+=-，k Z Î，解方程可得w 的最小值.【详解】解：若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k pppw p -+=-，k Z Î，即有26k w =-，k Z Î，由0>w ，可得w 的最小值为2，此时0k =.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知0,2p a æöÎç÷èø，且4cos 5a =.（1）求tan a 的值；（2）求2sinsin 22aa +的值.【答案】（1）34；（2）5350.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin a ，再由商的关系求得tan a ；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵0,2a p æöÎç÷èø，且4cos 5a =，∴3sin 5a ==，则sin 3tan cos 4a a a ==；（2）∵3sin 5a =，4cos 5a =，∴21cos sinsin 22sin cos 22a a a a a -+=+4134535225550-=+´´=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =×=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =´´´°=△则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .且13OD AD ==.在Rt POD V 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ×=△【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C p =，sin A =.（1）求sin B 的值；（2）若5c a -=，求ABC V 的面积.【答案】（12）52.【解析】【分析】（1）先根据sin A =cos A 的值，再由4B A p =-得到sin sin 4B A p æö=-ç÷èø，根据两角和与差的公式可求得sin B 即可；（2）由34C p =可求得sin C 的值，进而根据正弦定理可求得a ，c 的关系，再由5c a -=-可求出a ，c 的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为34C p =，sin A =，所以cos A ==由已知得4B A p=-.所以sin sin sin cos cos sin 444B A A A p p p æö=-=-==ç÷èø（2）由（1）知34C p =，所以sin C =且sin B =由正弦定理得sin sin a A c C ==.又因为5c a -=-，所以5c =，a =.所以15sin 522ABC S ac B ===△.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数()cos2sin cos x f x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02p éùêúëû，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ；（2）1；（3）()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()4f x x p æö=+ç÷èø，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()4f x x p æö=+ç÷èø，利用余弦函数的性质，令 224k x k p p p p £+£+求解.【详解】（1）因sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø，解得4x k pp +¹，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ为（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++，cos sin x x =-，4x p æö=+ç÷èø又0,2x p éùÎêúëû，所以3,444x p p p éù+Îêúëû，cos 4x p éæö+Îêç÷èøë，所以()f x 区间02p éùêúëû，上的最大值是1；（3）令 224k x k p p p p £+£+，解得 32244k x k p p p p -££+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点.（1）在图中作出平面1AD E 和底面ABCD 的交线，并说明理由；（2）平面1AD E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）7:17.【解析】【分析】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，可证F Î平面ABCD 且F Î平面1AD E ，得到平面1AD E Ç平面ABCD AF =；（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，证明1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.求出棱台1CGE DAD -的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，∵F DC Î，DC Ì平面ABCD ，则F Î平面ABCD ，∵1F D E Î，1D E Ì平面1AD E ，∴F Î平面1AD E .∴平面1AD E Ç平面ABCD AF =.（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，∴1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.1111-77178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V S FD ---=-==´´=△棱台.∴另一部分几何体的体积为3717233-=.∴两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形OAB 中，120AOB Ð=°，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ^，求PA PB ×uuu r uuu r 的值；（2）求PA PB ×uuu r uuu r 的最小值.【答案】（1）2-；（2）2-.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB Ð=°，120APB Ð=°，再在POB V中，由余弦定理可求得PB =uuu r cos PA PB PA PB APB ×=×Ðuuu r uuu r uuu r uuu r ，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有a 的式子表示出PA PB ×uuu r uuu r，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ^时，如图所示，的∵120AOB Ð=°，∴1209030POB Ð=°-°=°，18030752OPB °-°Ð==°，∴7545120APB Ð=°+°=°，在POB V中，由余弦定理，得222222cos 22222cos308PB OB OP OB OP POB =+-×Ð=+-´´´°=-∴PB ==uuu r ，又PA OA ==uuu r ，∴1cos 22PA PB PA PB APB æö×=×Ð=´-=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB Ð=°，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB a a a a ×=--×---uuu r uuur 2222cos 4cos 4sin a a a a=--+-+2cos 24sin 26p a a a æö=--+=-++ç÷èø.∵20,3p a éùÎêúëû，∴5,666p p p a éù+Îêúëû，1sin ,162p a æöéù+Îç÷êúèøëû，∴当62ppa +=，即3pa =时，PA PB ×uuu r uuu r取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．。

2024届北京市西城区第14中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．为了得到函数y sin 23x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度2．已知sin()sin()m αβαβ-=+，且tan 2tan 0αβ=≠，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．12C ．3D ．133．已知直线1l ：10x ay +-=，2l ：(1)0a x ay +-=，若p ：12l l //；:2q a =-，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．一游客在A 处望见在正北方向有一塔B ，在北偏西45︒方向的C 处有一寺庙，此游客骑车向西行1km 后到达D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东30和北偏西15︒，则塔B 与寺庙C 的距离为( ) A ．2kmB ．3kmC ．2kmD ．1km5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．7616π+B ．6012π+C ．4416π+D ．4412π+6．直线3230x y -+=被圆224x y +=截得的劣弧与优弧的长之比是（ ） A ．1:5B ．1:2C ．1:3D ．1:47．执行如图所示的程序，已知i 的初始值为1，则输出的S 的值是（ ）A ．5B ．9C ．13D ．178．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为 A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.159．ABC ∆中，若cos c a B =⋅，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．直角三角形10．若 则( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022北京西城高一（下）期末数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）在复平面内，复数2z i i =+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（4分）设向量(3,1)a =，(1,2)b =−，则(2)(a b b −⋅= ) A ．11−B ．9−C ．7−D ．5−3．（4分）设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面．若//αβ，//m n ，m α⊥，则( ) A ．//n β B ．n β⊥C ．//m βD ．以上答案都不对4．（4分）若3cos 5α=，则3sin()(2πα−= )A ．35B ．35−C ．45 D ．45−5．（4分）函数()sin(2)6f x x π=+，[0x ∈，]2π的最大值和最小值分别为( )A ．1，1−B ．11,22−C ．1，12 D ．1，12−6．（4分）在ABC ∆中，若222a b c kab +−=，则实数k 的取值范围是( ) A ．(2,2)−B ．(1,1)−C ．1(2−，1)2D ．(0,1)7．（4分）已知向量a ，b 满足||4a =，||2b =，()a b b +⊥，那么向量a ，b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．（4分）函数1cos 2()sin xf x x−=的图像( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x π=对称D ．关于点(2π，0)对称9．（4分）设(,)αππ∈−，则“(4πα∈−，3)4π”是“sin cos 0αα+>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是( )A ．[1−，2]B ．[0，2]C ．[0，4]D ．[1−，4]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2024届北京市西城区北京师大附属实验中学数学高一第二学期期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．12D ．2-2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =-B ．3y x =-C ．1y x=-D ．||y x x =3．阅读如图所示的程序框图，当输入5n =时，输出的S =（ ）A ．6B ．4615C ．7D ．47154．若满足条件60,3,C AB BC a =︒==的三角形ABC 有两个，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,2D ．()1,25．已知数列{}n a 的通项公式是23n a n =-，则该数列的第五项是（ ） A ．13-B ．13C ．11-D ．16-6．盒中装有除颜色以外，形状大小完全相同的3个红球、2个白球、1个黑球，从中任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个白球；至少有一个红球 B ．至少有一个白球；红、黑球各一个 C ．恰有一个白球：一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；都是白球7．若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前12项值的数列为（ ） A ．31{}k a + B ．41{}k a +C ．51{}k a +D ．61{}k a + 8．在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π10．圆22240x y x y +-+=与直线()2220tx y t t R ---=∈的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年北京市西城区高一上册数学期末试题（含解析）一、单选题1．已知集合{}2{|51},9A x x B x x =-≤<=≤，则A B ⋃=（）A ．[5,3]-B ．(3,1]-C ．[3,1)-D ．[3,3]-【答案】A【分析】先化简集合B ，再求并集即可.【详解】因为{}2]|9[3,3B x x ==-≤，所以[5,3]A B ⋃=-.故选：A2．已知命题p ：∃x <1，21x ≤，则p ⌝为A ．∀x ≥1,2x ＞1B ．∃x <1,21x >C ．∀x <1,21x >D ．∃x ≥1,21x >【答案】C【详解】根据全称命题与存在性命题之间的关系，可知命题2:1,1p x x ∃<≤的否定为21,1x x ∀<>，故选C ．3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A ．CB B ．ADC ．BD D ．CD【答案】B【分析】根据向量运算得AC AB AD -=.【详解】由图知AC AB BC AD -==，故选：B.4．若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b <B ．22a b >C ．e e a b--<D ．ln ln a b>【答案】C【分析】利用特殊值判断AB ，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C ，由特殊值及对数的意义判断D.【详解】当1,1a b ==-时，11a b>，故A 错误；当1,1a b ==-时，22a b =，故B 错误；由a b a b >⇒-<-，因为e x y =为增函数，所以e e a b --<，故C 正确；当1,1a b ==-时，ln b 无意义，故ln ln a b >不成立，故D 错误.故选：C 5．不等式2112x x +≤-的解集为（）A ．[3,2]-B ．(,3]-∞-C ．[3,2)-D ．(,3](2,)-∞-+∞ 【答案】C【分析】将不等式移项通分得到302x x +≤-，再转化为二次不等式即可得答案.【详解】21310022x x x x ++-≤⇒≤--，即(3)(2)0(20)x x x +-≤-≠，解得：32x -≤<，∴不等式的解集为[3,2)-，故选：C.6．正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=（）A ．1B ．3CD【答案】D【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.【详解】在正方形ABCD 中，如图所示,2222|2|(2)441045AB AD AB AD AB AB AD AD +=+=+⋅+=++= ，2AB AD ∴+=故选：D.7．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离s （单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，s 的值为（）A ．20B ．C ．40D ．400【答案】A【分析】根据均值不等式求解即可.【详解】因为8002200020002080C s s =++≥=，当且仅当8002s s=，即20s =时等号成立，所以当C 最小时，s 的值为20.故选：A8．设2log 3a =，则122a +=（）A ．8B ．11C ．12D ．18【答案】D【分析】计算22log 9a =，122222a a +=⨯，代入计算即可.【详解】2log 3a =，则2222log 3log 9a ==，22log 91228a a+=⨯=⨯=⨯=，故选：D.9．己知a为单位向量，则“||||1a b b +-= ”是“存在0λ>，使得b a λ= ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例0b =即可，对于后者是否推前者，由后者可得,a b共线且同方向，则||||||1a b b a b b a +-=+-==，即后者能推出前者，最后即可判断.【详解】若0b = ，则||||1a b b a +-== ，但此时不存在0λ>，使得b a λ=，故不存在0λ>，使得b a λ=，故前者无法推出后者，若存在0λ>，使得b a λ=，则,a b 共线且同方向，此时||||||1a b b a b b a +-=+-==，故后者可以推出前者，故“||||1a b b +-= ”是“存在0λ>,使得b a λ=的必要不充分条件”，故选：B.10．近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k 与能见度x 满足函数关系：0.2,0.11.4,0.1101,10bx k ax x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩（,a b 是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b 的值是（参考数据：lg 30.48≈）（）A ．0.24-B ．0.48-C ．0.24D ．0.48【答案】A【分析】分别代入两点坐标得0.1 1.2b a ⋅=-，100.4b a ⋅=-，两式相比得结合对数运算得lg32b =-，解出b 值即可.【详解】当0.1x =时，0.1 1.40.20.1 1.2b b a a ⋅+=⇒⋅=-①，当10x =时，10 1.41100.4b b a a ⋅+=⇒⋅=-②，①比②得0.113310100bb b ⎛⎫=⇒⇒ ⎪⎝⎭，()22103103bb --∴=⇒=，lg30.48lg320.2422b b ∴=-⇒=-≈-=-故选：A.二、填空题11．函数2()log (1)f x x =-的定义域是_____________．【答案】[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010x x x ->⎧⇒≤<⎨≥⎩，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)12．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]12.5,25，样本数据分组为[)12.5,15，[)15,17.5，[)17.5,20，[)20,22.5，[]22.5,25．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是________________．【答案】60【分析】首先计算频率为0.3，再乘以总人数即可.【详解】由频率分布直方图可知每周自习时间不少于20小时的频率为(0.080.04) 2.50.3+⨯=,故200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为2000.360⨯=人.故答案为：60.13．写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =_____________．①对12,(0,)x x ∀∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+；②当(4,)x ∈+∞时，()1f x >恒成立．【答案】2l og x (答案不唯一)【分析】由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.【详解】解：因为由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，当2()log f x x =时，对12,(0,)x x ∀∈+∞，()12212212212log ()log log ()()f x x x x x x f x f x ==+=+,满足条件①；当(4,)x ∈+∞时，2()log 421f x >=>，满足条件②.故答案为：2l og x (答案不唯一)14．函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①③【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.【详解】因为x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，所以1(0)(0)f f =，即(0)1f =或1-，故①正确；不妨取()1f x =，则1()1()f x f x -==，即()()f x f x -=恒成立，所以()f x 是偶函数，故②错误；设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则210x x -<-<，所以21()()f x f x -<-，即21110()()f x f x <<，所以12()()f x f x <，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，故③正确；不妨取,0()1,01,0x x f x x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩，则满足1()()f x f x -=，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.故答案为：①③三、双空题15．已知函数()2,0,0x a x f x ax x ⎧+≥=⎨<⎩，若4a =-，则()0f x >的解集为___________；若x ∀∈R ，()0f x >，则a 的取值范围为_____________．【答案】{|0x x <或}2x >；10a -<<.【分析】代入4a =-，分0x ≥和0x <两种情况，分别求解()0f x >，最后取并集即可得出()0f x >的解集；原题等价于“当0x ≥时，20x a +>恒成立”以及“当0x <时，0ax >恒成立”同时满足，分别求出a 的取值范围，最后取公共部分即可得到.【详解】当4a =-时，()24,04,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩.当0x ≥时，由()0f x >可得240x ->，解得2x >；当0x <时，由()0f x >可得40x ->，解得0x <.综上所述，()0f x >的解集为{|0x x <或}2x >.“若x ∀∈R ，()0f x >”等价于“当0x ≥时，20x a +>恒成立”以及“当0x <时，0ax >恒成立”同时满足.当0x ≥时，20x a +>恒成立，因为当0x ≥时，2x y a =+单调递增，所以应满足0210a a +=+>，即1a >-；当0x <时，0ax >恒成立，则a<0.则由“当0x ≥时，20x a +>恒成立”以及“当0x <时，0ax >恒成立”同时满足可得，10a -<<.故答案为：{|0x x <或}2x >；10a -<<.四、解答题16．某射手打靶命中9环、10环的概率分别为0.25，0.2．如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响．(1)求该射手两次共命中20环的概率；(2)求该射手两次共命中不少于19环的概率．【答案】(1)0.04(2)0.14【分析】（1）根据相互独立事件概率的乘法公式即可求解，（2）分类讨论，结合独立事件的概率公式即可求解.【详解】（1）两次共命中20环,意味着两次都是命中10环，根据相互独立事件的概率公式可得概率为：00202004P ...=´=（2）第一次9环第二次10环的概率为102502005P ...=´=,第一次10环第二次9环的概率为202025005P ...=´=,两次都是10环的概率为00202004P ...=´=，所以两次共命中不少于19环的概率为120005005004014P P P P ....=++=++=17．已知函数2()1xf x x =+．(1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明函数()f x 在[1,)+∞上是减函数；(3)写出函数()f x 在(,1]-∞-上的单调性（结论不要求证明）．【答案】(1)()f x 为奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3)函数()f x 在(,1]-∞-上的单调递减【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可；（3）结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可.【详解】（1）解：()f x 为奇函数，理由如下：函数2()1xf x x =+，定义域为R ，所以x ∈R ，R x -∈则()()22()11xxf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 为奇函数.（2）证明：任取12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()()22122112121212122222221212121()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为211x x >>，所以21120,10x x x x ->->所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在[1,)+∞上是减函数.（3）解：由（1）知函数()f x 为R 上的奇函数，由（2）知函数()f x 在[1,)+∞上是单调递减所以函数()f x 在(,1]-∞-上的单调递减.18．甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72(1)计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；(2)从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；(3)甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】(1)4.82(2)25(3)甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【详解】（1）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.（2）列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===（3）从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19．函数()|1lg |f x x c =--，其中c ∈R ．(1)若0c =，求()f x 的零点；(2)若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，求124x x +的取值范围．【答案】(1)10x =(2)[)40+¥，【分析】（1）令()0f x =，即可求解零点，（2）令()|1lg |=0f x x c =--得111210,10c c x x -++==，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当0c =时，()|1lg |f x x =-，令()0f x =，则lg 1x =，故10x =，所以()f x 的零点为10x =.（2）令()|1lg |=0f x x c =--，则|1lg |x c -=，()0c >，故1lg x c -=±，由于12x x <，所以111210,10c c x x -++==，因此1112441010=40101010c c c c x x -++-+=⨯+⨯+⨯，由于100,100c c ->>，由基本不等式可得124=40101010c c x x -+⨯+⨯≥，当且仅当4010=1010c c -⨯⨯，即lg 2c =时取等号，故12440x x +≥，所以124x x +的取值范围为[)40+¥，20．某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r （单位：元）与时间t （120,t t ≤≤∈N ，单位：天）之间的函数关系式为1104r t =+，且日销售量p （单位：箱）与时间t 之间的函数关系式为1202p t =-．(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠()m m *∈N元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．【答案】(1)第10天的销售利润最大,最大值是1250元.(2)510m ≤≤,且*N m ∈.【分析】（1）通过计算得21()(10)12502f t rp t ==--+，根据二次函数最值即可得到答案；（2）计算21()(102)12001202g t t m t m =-+++-，根据题意得到不等式10219.5m +>，且1104m +≤对于120,N t t *∈≤≤均成立以及N m *∈，最后取交集即可.【详解】（1）设第t 日的销售利润为()f t ，则1()(10)(1202)4f t rp t t ==+-211012002t t =-++21(10)12502t =--+.120,t t ≤≤∈N ，当10t =时，max ()1250f t =.所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.（2）设捐赠之后第t 日的销售利润为()g t ，则1()(10)(1202)4g t t m t =+--21(102)12001202t m t m =-+++-.依题意，m 应满足以下条件：①N m *∈；②192010219.52m ++>=，即 4.75m >；③1104m t +≤对于120,N t t ∈≤≤均成立，即10.25m ≤.综上510m ≤≤，且*N m ∈.21．设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[,](,)I a b a b I D =<⊆，若满足以下两条性质之一，则称I 为()f x 的一个“Ω区间”．性质1：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质2：对任意x I ∈，有()f x I ∉．(1)分别判断区间[]1,2是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；①3y x =-；②3y x=；(2)若[,]()m m >00是函数2()2f x x x =-+的“Ω区间”，求m 的取值范围；(3)已知定义在R 上，且图象连续不断的函数()f x 满足：对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，有()()21211f x f x x x -<--．求证：()f x 存在“Ω区间”，且存在0x ∈R ，使得0x 不属于()f x 的所有“Ω区间”．【答案】(1)①是，②不是；(2)[1,2]m ∈；(3)证明见解析.【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；（2）根据[,]()m m >00是函数2()2f x x x =-+的“Ω区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解；（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为()f x x =不恒成立，()f x 存在“Ω区间”，再构造函数()()g x f x x =-，证明有唯一零点，且0x I ∉.【详解】（1）对①，当[1,2]x ∀∈，3[1,2]y x =-∈，满足性质1，[]1,2是函数的“Ω区间”，对②，当1x =时，3[1,2]y =∉，当2x =时，3[1,2]2y =∈，故不满足性质1,2，[]1,2不是函数的“Ω区间”.（2）记[,]()I m m =>00，{()|}S f x x I =∈，注意到(0)0[0,]f m =∈，因此，若I 为函数()f x 的“Ω区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆.22()2(1) 1.f x x x x =-+=--+当01m <<时，()f x 在I 上单调递增，且()(1)0f m m m m -=-->，所以[0,()]S f m =不包含于[,]I m =0，不合题意；当12m ≤≤时，()()][[0,1]0,10,S f f m I ⎡⎤==⊆=⎣⎦，符合题意；当m>2时，()(2)(0)0f m f f <==，所以()f m I ∉，不合题意.综上，[1,2]m ∈.（3）对于任意区间[,]()I a b a b =<，记{()|}S f x x I =∈，依题意，()f x 在I 上单调递减，则][(),()S f b f a =.因为()()1f b f a b a-<--，所以()()f a f b b a ->-，即S 的长度大于I 的长度，故不满足性质①.因此，如果I 为()f x 的“Q 区间”，只能满足性质②，即S I =∅ ，即只需存在R a ∈使得()f a a <，或存在R b ∈使得()f b b >.因为()f x x =不恒成立，所以上述条件满足，所以()f x 一定存在“Q 区间".记()()g x f x x =-，先证明函数()g x 有唯一零点；因为()f x 在R 上单调递减，所以()g x 在R 上单调递减.若(0)0f =，则00x =为()g x 的唯一零点；若(0)0f t =>，则()(0)f t f t <=，即(0)0,()0g g t ><，由零点存在定理，结合()g x 单调性，可知存在唯一0(0,)x t ∈，使得0()0g x =；若(0)0f t =<，则()(0)f t f t >=，即(0)0,()0g g t <>，由零点存在定理，结合()g x 单调性，可知存在唯一0(,0)x t ∈，使得0()0g x =；综上，函数()g x 有唯一零点0x ，即00()f x x =，已证()f x 的所有“Q 区间”I 都满足条件②，所以0x I ∉.【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.。

北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷（含答案）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤9，则A B =（A ）[5,3]-（B ）(3,1]-（C ）[3,1)-（D ）[3,3]-（2）已知命题:p 1x ∃<，21x ≤，则p⌝为（A ）1x ∀≥,21x >（B ）1x ∃<,21x >（C ）1x ∀<,21x >（D ）1x ∃≥,21x >（3）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（A ）CB（B ）AD（C ）BD （D ）CD （4）若a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）11a b<（B ）22a b >（C ）e e a b--<（D ）ln ln a b>（5）不等式2112x x +-≤的解集为（A ）[3,2]-（B ）(,3]-∞-（C ）[3,2)-（D ）(,3](2,)-∞-+∞ （6）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=uu u r uuu r（A ）1（B ）3（C （D （7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，的值为（A ）20（B ）（C ）40（D ）400（8）设2log 3a =，则122a +=（A ）8（B ）11（C ）12（D ）18（9）已知为单位向量，则“||||1+-=a b b ”是“存在0λ>，使得λb =a ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：0.20.1,1.4,0.110,110,b x k ax x x ⎧<⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎩≤≤，，（,a b 是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是（参考数据：lg30.48≈）（A ）0.24-（B ）0.48-（C ）0.24（D ）0.48第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2024届北京市西城区高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为8:5，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ） A．BCD ．872．点()2,5P 关于直线0x y +=对称的点的坐标是（ ） A ．()5,2--B ．()2,5-C ．()5,2D ．()2,5--3．已知函数()f x 满足下列条件：①定义域为[)1,+∞；②当12x <≤时()4sin()2f x x π=；③()2(2)f x f x =. 若关于x 的方程()0f x kx k -+=恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是 A ．11[,)143B ．11(,]143C ．1(,2]3D ．1[,2)34．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A．B． CD． 5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 8＝（ ） A ．36B ．42C ．48D ．606．在数列{}n a 中，若11a =，212a =，()12211n n n n N a a a *++=+∈，设数列{}n b 满足()21log n nb n N a *=∈，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．21n -B ．22n -C ．121n +-D ．122n +-7．已知数列12:,,,n A a a a ⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题： ① 若数列A 具有性质P ，则10a =；② 若数列1a ，2a ，3a （1230a a a ≤<<）具有性质P ，则1322a a a +=； 下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题8．如果点()sin cos cos P θθθ,位于第四象限，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为310．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届北京市西城区鲁迅中学数学高一下期末检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC2．在ABC ∆中，3B π=，M 为AC 边上的一点，且2BM =，若BM 为ABC ∠的角平分线，则21AM CM- 的取值范围为（ ） A ．3,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎤- ⎥ ⎝⎦C ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦3．函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）A ．102sin 116x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．102sin 116x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭4．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 5．设201a b -<<<<，则-a b 的取值范围是（ ） A ．(3,1)--B ．(3,0)-C ．(1,1)-D ．(2,1)-6．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．35-D ．45-7．矩形ABCD 中，6, 4AB =AD =，若在该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆的面积不大于3的概率是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．128．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．99．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．4510．若角α的终边与单位圆交于点132P ⎛ ⎝⎭，则sin α=（ ）A ．12B 3C 3D ．不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,4)，则a⃗⋅b⃗ =()A. 11B. 9C. 7D. 52.sin330°=()A. 12B. −12C. √32D. −√323.在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数z−=()A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i4.某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为()A. 12πcm3B. 15πcm3C. 36πcm3D. 45πcm35.函数f(x)=cos22x−sin22x的最小正周期是()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.若sinα=0.4，α∈(−3π2,3π2)，则符合条件的角α有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是()A. f(x)=3sin(π4x+π2) B. f(x)=3sin(π4x+3π4)C. f(x)=3sin(π8x+π4) D. f(x)=3sin(π8x+3π4)8.向量a⃗=(cos50°,sin50°)与b⃗ =(cos10°,sin10°)的夹角为()A. 30°B. 40°C. 60°D. 90°9.在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a>b是sinA>sinB的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知单位向量e⃗1，e⃗2满足e⃗1⋅e⃗2=−12，若非零向量a⃗=x e⃗1+y e⃗2，其中x，y∈R，则|x||a⃗ |的最大值为()A. 43B. 23C. √22D. 2√33二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.设复数z=1+2i3−i，则|z|=______．12.已知半径为r的球的表面积为36πcm2，那么半径为2r的球的表面积为______cm2．13.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinB=12b，则A=______．14.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=5，|b⃗ |=4，(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，那么|a⃗−b⃗ |=______．15.设函数f(x)=sinπx，g(x)=x2−x+1，有以下四个结论．①函数y=f(x)+g(x)是周期函数；②函数y=f(x)−g(x)的图像是轴对称图形；③函数y=f(x)⋅g(x)的图像关于坐标原点对称；④函数y=f(x)g(x)存在最大值．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知tan(θ+π4)=−3．(Ⅰ)求tanθ的值；(Ⅱ)求sin2θ的值．17.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，且AB=AD=2，AA1=1．(Ⅰ)求三棱锥B1−ABD的体积；(Ⅱ)求证：BC//平面ADD 1A 1； (Ⅲ)求证：AC ⊥B 1D .18. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，cosC =−14．(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx +m(ω>0)同时满足下列三个条件中的二个：①f(0)=2；②最大值为2；③最小正周期为π． (Ⅰ)求出所有可能的函数f(x)，并说明理由； (Ⅱ)从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间．20.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O为BD1的中点．(Ⅰ)求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；(Ⅱ)求证：EO//平面ABCD；(Ⅲ)设P为正方体ABCD−A1B1C1D1棱上一点，给出满足条件OP=√2的点P的个数，并说明理由．21.设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0,A>0)，使得对于任意x∈R，f(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P．(Ⅰ)判断函数y=x和y=cosx具有性质P？(结论不要求证明)(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T=π，A=2.已知当x∈(0,π]时，f(x)= sinx，求函数f(x)在区间[−π,0]上的最大值；(Ⅲ)若函数g(x)具有性质P，且直线x=m为其图像的一条对称轴，证明：g(x)为周期函数．答案和解析1.【答案】D【解析】解：向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,4)，则a⃗⋅b⃗ =−3+8=5．故选：D．直接利用向量的数量积的运算公式求解即可．本题考查向量的数量积的求法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：sin330°=sin(270°+60°)=−cos60°=−12．故选：B．由诱导公式知sin330°=sin(270°+60°)=−cos60°，由此能求出其结果．本题考查诱导公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号．3.【答案】B【解析】解：由图可知，点Z对应的复数z=2+i，则z−=2−i，故选：B．由图可得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．4.【答案】A【解析】解：圆锥的母线长l=5cm，底面半径长r=3cm，所以圆锥的高ℎ=√l2−r2=√52−32=4(cm)，所以该圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×32×4=12π(cm)3．根据圆锥的母线长和底面半径求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为f(x)=cos22x−sin22x=cos4x，所以f(x)的最小正周期T=2π4=π2，故选：A．利用二倍角的余弦公式化简f(x)，再求出f(x)的最小正周期即可．本题考查了二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：利用正弦函数y=sinx，x∈(−3π2,3π2)的图象，和函数y=0.4的图象，所以这两个函数的图象有3个交点，如图所示：故满足条件的角有3个．故选：C．直接利用正弦函数y=sinx，x∈(−3π2,3π2)的图象，和函数y=0.4的图象求出交点的个数．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【解析】解：由图象得函数f(x)的最小正周期为T =4(6−2)=16，所以ω=2πT=π8；由图象的最高点为(2,3)，得A =3，且f(2)=3， 即sin(π4+φ)=1，由0<φ<π，解得φ=π4． 故选：C ．利用相邻的对称轴x =2及对称中心(6,0)求周期，进而求ω的值；利用最高点(2,3)求A ，φ．本题考查由三角函数的图象求解析式，考查三角函数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设两个向量的夹角为θ， 向量a ⃗ =(cos50°,sin50°)与b ⃗ =(cos10°,sin10°)，则|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =cos50°cos10°+sin50°sin10°=cos40°， 则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=cos40°，又由0°≤θ≤180°，故两个向量的夹角为40°， 故选：B ．根据题意，设两个向量的夹角为θ，由向量的坐标可得a ⃗ 、b ⃗ 的模以及a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量的夹角，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：在三角形中，若a >b ，由正弦定理asinA =bsinB ，得sinA >sinB ． 若sinA >sinB ，则正弦定理asinA =bsinB ，得a >b ， 所以，a >b 是sinA >sinB 的充要条件． 故选：C ．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．10.【答案】D【解析】解：因为单位向量e ⃗ 1，e ⃗ 2满足e ⃗ 1⋅e ⃗ 2=−12， 所以<e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ >=2π3，设e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(−12,√32)，所以a ⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ =x(1,0)+y(−12,√32=(x −y2,√32y)， 所以|a ⃗ |=y 2)(√32=√x 2−xy +y 2，所以|x||a ⃗ |=√x 2−xy+y 2=√x 2x 2−xy+y 2当x =0时，|x||a⃗ |=0， 当x ≠0时，|x||a ⃗ |=√11−y x +y 2x 2，令t =yx ，则1−t +t 2=(t −12)2+34≥34， 所以√11−t+t 2≤2√33， 所以|x||a ⃗ |的最大值为2√33． 故选：D ．由单位向量e ⃗ 1，e ⃗ 2满足e ⃗ 1⋅e ⃗ 2=−12，推出<e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ >=2π3，设e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(−12,√32)，进而可得a ⃗ =(x −y 2,√32y)，则|x||a⃗ |=√x 2x 2−xy+y 2，分两种情况：当x =0时，当x ≠0时，求出|x||a ⃗ |的最大值． 本题考查向量的运算，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．11.【答案】√22【解析】解：因为z =1+2i 3−i=(1+2i)(3+i)(3−i)(3+i)=3+5i−29+1=110+710i ，所以|z|=√(110)2+(710)2=√22，故答案为：√22．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】144π【解析】解：由题意，4πr 2=36π，解得r =3， 那么半径为2r 的球的表面积为4π×62=144πcm 2， 故答案为：144π．由已知球的表面积求得r ，进一步可得半径为2r 的球的表面积． 本题考查球的表面积公式的应用，是基础题．13.【答案】π6【解析】解：因为asinB =12b ， 所以由正弦定理可得sinAsinB =12sinB ， 因为sinB ≠0， 所以sinA =12， 又A 为锐角， 所以A =π6． 故答案为：π6．利用正弦定理化简已知的等式，根据sin B 不为0，两边同时除以sin B 后得到sin A 的值，由A 为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．此题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】√73【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=5，|b ⃗ |=4，(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=a ⃗ ⋅b ⃗ +16=0，∴a⃗ ⋅b ⃗ =−16， ∴|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√25+32+16=√73， 故答案为：√73．由题意，求出a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，再根据|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2，求出|a⃗ −b ⃗ |． 本题主要考查向量垂直的性质和向量的模，属于基础题．15.【答案】②④【解析】解：对于①：因为函数f(x)=sinπx 是周期函数，但是g(x)=x 2−x +1不是周期函数，所以y =f(x)+g(x)不是周期函数，故①不正确；对于②：因为函数f(x)=sinπx 对称轴为x =12+k ，k ∈Z ，所以x =12是f(x)的一条对称轴，因为g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34，对称轴为x =12，所以y =f(x)−g(x)的对称轴为x =12，故②正确；对于③：因为函数f(x)=sinπx 是关于原点对称，但是g(x)=x 2−x +1不关于原点对称，所以y =f(x)⋅g(x)不是关于原点对称，故③不正确；对于④：y =f(x)g(x)=sinπx x 2−x+1，f(x)=sinπx ，当x =12时，f(x)max =1，因为g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34，则g(x)min =g(12)=34，所以y =f(x)g(x)有最大值为43，故④正确．故答案为：②④．由函数的周期性，对称性，最值定义，逐个判断即可得出答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵tan(θ+π4)=−3=tanθ+11−tanθ，∴tanθ=2．(Ⅱ)sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=44+1=45．【解析】(Ⅰ)由题意利用两角和的正切公式，计算tanθ的值即可．(Ⅱ)根据sin2θ=2tanθtan2θ+1，结合tanθ=2，求出sin2θ的值．本题考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)V B1−ABD =13⋅S△ABD⋅BB1=13⋅(12⋅2⋅2)⋅1=23．(Ⅱ)证明：因为AD//BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以BC//平面ADD1A1．(Ⅲ)证明：因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以BB1⊥AC.又因为AC⊥BD，BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BB1D.又因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.【解析】(Ⅰ)根据三棱锥的体积公式求解即可；(Ⅱ)结合AD//BC可证明BC//平面ADD1A1；(Ⅲ)结合AC⊥平面BB1D可证明AC⊥B1D.本题考查三棱锥体积的求法，考查线面平行和线线垂直的证明，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =9+BC2−162×3×BC=−14，解得：BC=2或BC=−72(舍)，又∵cosC=−14，0<C<π，∴sinC=√154，∴S△ABC=12×BC×AC×sinC=12×2×3×√154=3√154；(Ⅱ)在△ABC 中，由正弦定理可得：AC sinB =AB sinC ，则sinB =AC×sinC AB =3×√1544=3√1516， ∵BC <AC <AB ，∴∠B 为锐角，∴cosB >0，∴cosB =1116，∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosB =4×3×1116=334．【解析】(Ⅰ)根据余弦定理求出BC 的值，求出sin C ，求出三角形的面积即可； (Ⅱ)根据正弦定理求出sin B ，从而求出cos B 的值，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值即可．本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的数量积，是中档题．19.【答案】解：(I)f(x)=2sin(ωx +π6)+m ；若选①②，则{1+m =22+m =2，无解，f(x)不存在； 若选①③，则{1+m =22πω=π，解得m =1，ω=2，f(x)=2sin(2x +π6)+1；若选②③，则{2+m =22πω=π，解得m =0，ω=2，f(x)=2sin(2x +π6)．(II)若f(x)=2sin(2x +π6)，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,k ∈Z ，所以增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)． 若f(x)=2sin(2x +π6)+1，其增区间与f(x)=2sin(2x +π6)相同，为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)．【解析】(I)分选①②、①③，②③三种情况讨论，利用三角函数的图象与性质列方程求解；(II)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,k ∈Z 得f(x)的增区间．本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．20.【答案】(Ⅰ)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，∵A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，A 1D 1⊂平面A 1BD 1，∴平面A 1BD 1⊥平面ABB 1A 1．(Ⅱ)证明：连接BD ，AC ，设BD ∩AC =G ，连接0G ．∵ABCD−A1B1C1D1为正方体，DD1，且G是BD的中点，∴AE//DD1，且AE=12又因为O是BD1的中点，DD1，∴OG//DD1，且OG=12∴OG//AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE//AG，又∵EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以EO//平面ABCD．(Ⅲ)解：满足条件OP=√2的点P有12个．理由如下：因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，AA1=2，所以AC=2√2．AC=√2．所以OE=AG=12在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以AA1⊥AG，又因为EO//AG，所以AA1⊥OE，则点O到棱AA1的距离为√2，所以在棱AA1上有且只有一个点(即中点E)到点O的距离等于√2，同理，正方体ABCD−A1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于√2，所以在正方体ABCD−A1B1C1D1棱上使得OP=√2的点P有12个．【解析】(Ⅰ)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，利用面面垂直的性质推断出平面A1BD1⊥平面ABB1A1．(Ⅱ)连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G.因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，进而可知AE//DD1，且AE=12DD1，且G是BD的中点，又因为O是BD1的中点，所以OG//DD1，且OG=12DD1，所以OG//AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE//AG，又因为EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD.所以EO//平面ABCD．(Ⅲ)解：因根据ABCD−A1B1C1D1为正方体，AA1=2，所以求得AC=，所以求得OE= AG.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，判断出AA1⊥AG，又因为EO//AG，所以AA1⊥OE，则点O到棱AA1的距离为，所以在棱AA1上有且只有一个点(即中点E)到点O的距离等于，同理，正方体ABCD−A1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于，在正方体ABCD−A1B1C1D1棱上使得OP=√2的点P有12个．所以在正方体ABCD−A1B1C1D1棱上使得OP=√2的点P有12个．本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理．考查了学生分析推理的能力．21.【答案】解：(Ⅰ)函数y=x不具有性质P；函数y=cosx具有性质P．(Ⅱ)设x∈(−π,0]，则x+π∈(0,π]．由题意，得f(x+π)=2f(x)=sin(x+π)，所以当f(x)=−12sinx，x∈(−π,0]由f(−π+π)=2f(−π)，f(0+π)=2f(0)，得f(−π)=14f(π)=0．所以当x∈[−π,0]时，f(x)=−12sinx．故当x=−π2时，f(x)在区间[−π,0]上有最大值f(−π2)=12．(Ⅲ)证明：当g(x)=0，x∈R时，结论显然成立；下面考虑g(x)不恒等于0的情况，即存在x0，使得g(x0)≠0，由于直线x=m为函数g(x)图象的一条对称轴，所以g(2m−x0)=g(x0)≠0，由题意，存在T0，A0，(T0>0,A0>0)，使得g(x+T0)=A0g(x0)成立，所以g(2m−x0)=A0g(2m−x0−T0)，即g(2m−x0−T0)=1Ag(x0)，由直线x=m是函数g(x)图像的一条对称轴，得g(2m−x0−T0)=g(x0+T0)，又因为g(x0+T0)=A0g(x0)，g(x0)≠0，所以1A0g(x0)=A0g(x0)，即A0=1，故对于任意x∈R，g(x+T0)=g(x)成立，其中T0>0．综上，g(x)为周期函数．【解析】根据题中给出的性质p的定义，结合函数周期性进行判断解题．本题为函数创新型题目，考查函数周期性的应用，需要对知识有一定的运用能力，为中等题目．。

北京市西城区北京市第四中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数()323x f x x =+-的零点所在的区间是（ ）． A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)2．已知两点()()0,3,4,0A B -，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则ABP ∆面积的最大值为（ ） A ．13B ．3C ．132D ．323．已知全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==，则集合U C A = A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,24．已知角α的终边经过点（3，-4），则sin cos αα+的值为（ ） A ．15-B ．15C ．15±D ．1755±±或5．若函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（ ） A ．在59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．图象关于直线12x =对称 C ．图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 的值域为)26．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ）A ．49πB ．494πC ．14πD ．143π7．在等比数列{}n a 中，39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3或-3B ．3C ．-3D ．不存在8．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．已知数列{}log a n b (0a >且)1a ≠是首项为2，公差为1的等差数列，若数列{}n a 是递增数列，且满足lg n n n a b b =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2021-2022学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点在（ ）2i i z =+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B【分析】先化简计算出，然后根据对应的点的坐标判断出所在象限即可.z z 【详解】因为，所以对应点的坐标为，2i i 1i z =+=-+z ()1,1-所以对应点所在象限为第二象限，z 故选：B.2．设向量，，则（ ）()3,1a =()1,2b =-()2a b b -⋅=A ．-11B ．-9C ．-7D ．-5A【分析】利用向量坐标运算求坐标，再由数量积的坐标运算求.2a b - ()2a b b-⋅ 【详解】由题设，，2(5,3)a b -=- 所以.()25(1)(3)211a b b -⋅=⨯-+-⨯=-故选：A3．设，为两条直线，，为两个平面.若，，，则（ ）m n αβαβ∥m n ∥m α⊥A ．B ．C ．D ．以上答案都不n β∥n β⊥m β∥对B【分析】由空间中的线面关系判断即可.【详解】解：，，m n ∥m α⊥n α∴⊥又，.αβ∥n β∴⊥故选：B.4．若，则（ ）3cos 5α=3sin 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．3535-4545-B【分析】利用诱导公式化简目标式，即可得答案.【详解】.33sin cos 25παα⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭故选：B5．函数，的最大值和最小值分别为（ ）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦A ．1，-1B ．，C ．1，D ．1，1212-1212-D【分析】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.【详解】由题设，，故，72[,]666x πππ+∈()1sin 2[,1]62x f x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭=所以最大值和最小值分别为1，.()f x 12-故选：D6．在中，若，则实数的取值范围是（ ）ABC 222a b c kab +-=k A ．B ．C ．D ．()2,2-()1,1-11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,1A【分析】由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围.(1,1)2k∈-k 【详解】由，故.222cos (1,1)22kab a b C c ==∈+--()2,2k ∈-故选：A7．已知向量，满足，，，那么向量，的夹角为（ ）a b 4a = 2b = ()a b b +⊥ a b A ．B ．C ．D ．6π3π23π56πC【分析】设向量，的夹角为，由得，即可求出a b θ()a b b +⊥ 2cos 0a b b θ⋅+= ，即可求出向量，的夹角.1cos 2θ=-a b【详解】设向量，的夹角为，a bθ因为，则，()a b b+⊥ ()200a b b a b b +⋅=⇒⋅+= 所以，解得：，2cos 042cos 40a b b θθ⋅+=⇒⨯⋅+=1cos 2θ=-所以.23πθ=故选：C.8．函数的图像（ ）()1cos 2sin xf x x -=A ．关于原点对称B ．关于轴对称y C ．关于直线对称D ．关于点对称x π=,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭A【分析】利用二倍角余弦公式化简，注意定义域，进而判断奇偶性，代入法验证()f x 对称轴和对称中心.【详解】由题设，且，()2sin f x x ={|}x x k π≠Z k ∈所以为奇函数，关于原点对称，A 正确，B 错误；()f x ，关于对称，C 错误；()2sin 0f ππ==()f x (,0)π，关于对称，D 错误；()2sin 222f ππ==()f x 2x π=故选：A9．设，则“”是“”的（ ）(),αππ∈-3,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin cos 0αα+>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C【分析】由，利用正弦型函数的性质及充分、必要性定义sin cos )4πααα+=+判断条件间的充分必要关系.【详解】由，sin cos )4πααα+=+当，则，此时，充分性成立；3,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭(0,)4παπ+∈sin cos 0αα+>当，则且，即且sin cos 0αα+>[2,2]4k k παπππ+∈+Z k ∈3[2,244k k ππαππ∈-+，又，故，必要性成立；Z k ∈(),αππ∈-3,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以“”是“”的充分必要条件.3,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin cos 0αα+>故选：C10．如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则ABCD P ABCD 的取值范围是（ ）PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]1,2-[]0,2[]0,4[]1,4-D【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则，()()0,2,2,2A B 当点P 在CD 上时，设，()(),002P x x ≤≤则，()(),2,2,2P A x P B x =-=--所以；()()224133,4P A P B x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ 当点P 在BC 上时，设，()()2,02P y y ≤≤则，()()2,2,0,2P A y P B y =-=-所以；()220,4P A P B y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦当点P 在AB 上时，设，()(),202P x x ≤≤则，()(),0,2,0P A x P B x ==-所以；()()22111,0P A P B x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ 当点P 在AD 上时，设，()()0,02P y y ≤≤则，()()0,2,2,2P A y P B y =-=--所以；()220,4P A P B y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ 综上：的取值范围是.PA PB ⋅ []1,4-故选：D 二、填空题11．设复数满足，则___________.z i 1iz ⋅=-z =【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为复数满足，z i 1i z ⋅=-所以复数，()21i i1i 1i i i --===--z=12．在中，，，，则___________.ABC 3a =3A π=sin B =b =2【分析】直接由正弦定理，求解边长b 即可.【详解】解：由正弦定得：，所以.sin sin b aB A=sin 2sin a Bb A===故2.13．已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于_______________．50π根据长方体的结构特征，可得长方体的体对角线长等于其外接球的直径，由此求出球的半径，进而可得球的表面积.【详解】因为长方体的体对角线长等于其外接球的直径，该长方体的棱长分别为3，4，5，所以外接球的直径为，2r ==r =所以该球的表面积为.2450S r ππ==故50π14．在直角中，斜边，则___________.ABC 4AB =AB AC BC BA ⋅+⋅=16【分析】利用相反向量和向量的加法法则即可求解.【详解】()2216AB AC BC BA AB AC CB AB AB AC CB AB AB ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=== 故1615．已知为常数，，关于的方程有以下四个结论：a [)0,2θ∈πθ2sin cos 0a θθ-+=①当时，方程有2个实数根；0a =②存在实数，使得方程有4个实数根；a ③使得方程有实数根的的取值范围是；a []1,1-④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么，.n n M 1M ∈3M ∈其中，所有正确结论的序号是___________.①②④【分析】由可得：，令，所以方程2sin cos 0a θθ-+=2cos cos 10a θθ+--=cos t θ=变为：，所以关于的方程有根问题就转化为210t t a +--=θ2sin cos 0a θθ-+=与，的交点个数，对选项一一分析即可得出答案.y t =cos y θ=[)0,2θ∈π【详解】由可得：，2sin cos 0a θθ-+=2cos cos 10a θθ+--=令，所以方程变为：，cos t θ=210t t a +--=所以关于的方程有根问题就转化为θ2sin cos 0a θθ-+=与，的交点个数.y t =cos y θ=[)0,2θ∈π对于①，当时，方程变为：，则，则设方程0a =210t t +-=1450∆=+=>的两根为，，210t t +-=12,t t [][]121,1,1,1t t =-=-而与，的图象有2个交点，故①正确；1y t =cos y θ=[)0,2θ∈π对于②，当时，方程有4个实数根，故②正确.()12,1,1t t ∈-对于③，当时，方程为，则，所以，54a =-2104t t ++=()2210t +=12t =-则与，的图象有2个交点，所以③不正确；12y =-cos y θ=[)0,2θ∈π对于④，当时，方程为，解得：，则1a =-20t t +=121,0t t =-=则与，的图象有2个交点，与，的0y =cos y θ=[)0,2θ∈π1y =-cos y θ=[)0,2θ∈π图象有1个交点，故关于的方程有3个实根.θ2sin cos 0a θθ-+=当时，方程为，解得：，则1a =220t t +-=121,2t t ==-则与，的图象有1个交点，与，的1y =cos y θ=[)0,2θ∈π2y =-cos y θ=[)0,2θ∈π图象没有个交点，故关于的方程有1个实根.所以④正确.θ2sin cos 0a θθ-+=故选：①②④三、解答题16．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点.xOy θOx ()1,2--(1)求的值；tan 2θ(2)求的值.cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)；43-【分析】（1）利用三角函数的定义先求，再利用二倍角公式求解即可；tan θtan 2θ（2）利用三角函数的定义先求，再利用余弦两角和公式求解即sin ,cos θθcos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可【详解】(1)解：角以为始边，终边经过点θOx ()1,2--所以2tan 21θ-==-所以.222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---(2)解：角以为始边，终边经过点θOx ()1,2--所以sin θθ====所以cos cos cos sin sin (444πππθθθ⎛⎫+=⋅-⋅=-=⎪⎝⎭17．如图，在四棱锥中，平面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD //AD BC 90BAD ∠=︒，E 为PD 的中点.2AD BC =(1)若，求四棱锥的体积；2PA AD AB ===P ABCD -(2)求证：平面；BC ⊥PAB (3)求证：平面.//EC PAB (1)；2(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面ABCD PA ⊥知四棱锥的高为，利用体积公式求体积.ABCD P ABCD -PA （2）由题设得，线面垂直的性质有，根据线面垂直的判定证结论.BC AB ⊥PA BC ⊥（3）若为中点，连接，根据中位线、平行四边形性质可得，最F PA ,EF BF //EC BF 后由线面平行的判定证结论.【详解】(1)由，知：为直角梯形，//AD BC 90BAD ∠=︒ABCD 又，且平面，2AD BC =2PA AD AB ===PA ⊥ABCD 所以，故，1BC =12(12)32ABCD S =⨯⨯+=所以四棱锥的体积.P ABCD -12323V =⨯⨯=(2)由题设知：，而，故，AD AB ⊥//AD BC BC AB ⊥又平面，平面，可得，PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥，面，故平面.AB PA A ⋂=,AB PA ⊂PAB BC ⊥PAB (3)若为中点，连接，E 为PD 的中点，F PA ,EF BF所以且，又，，//EF AD 12EF AD =//AD BC 2AD BC =所以且，故为平行四边形，//EF BC EF BC =EFBC 则，面，面，//EC BF EC ⊄PAB BF ⊂PAB 所以平面.//EC PAB18．在中，，，从①；②；③这三个ABC b =23B π=2c a =sin A =2a =条件中任选一个作为题目的已知条件.(1)求的值；sin C (2)求的面积.ABC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)【分析】（1）选①，由余弦定理求出，再由正弦定理代入即可求出答案；2,4a c ==选②，由由两角和的正弦公式代入即可求出答案；选③，由正弦定()sin sin C A B =+理求出，再由由两角和的正弦公式代入即可求出答案；sin A ()sin sin C A B =+（2）选①或③，直接由面积公式代入即可得出答案；选②，，由正弦定理求出，再a 由由面积公式代入即可得出答案.【详解】(1)由题知，三角形为钝角三角形选①，由余弦定理得：，解得：，222224281cos 2222a c b a a B ac a a +-+-===-⋅2,4a c ==所以由正弦定理得.sin sin sin sin c b c B C C Bb =⇒==选②，因为，所以，所以sin A=cos A =()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A Bπ=--=+=+12⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭选③，由正弦定理得：，sin sin sin sin a b a B A A Bb =⇒===所以cos A =()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A Bπ=--=+=+12⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭(2)选①，因为，，所以的面积为：2,4a c ==23B π=ABC11sin 2422S ac B ==⨯⨯=选②，由正弦定理得：，sin 2sin sin sin a b b Aa A B B=⇒===.11sin 222S ab C ==⨯⨯=选③，因为，，b =2a =sin C =所以.11sin 222S ab C ==⨯⨯=19．已知函数.()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期；()f x (2)设，若函数在区间上单调递增，求的最大值.0a >()f x ()0,a a (1)；π(2).12π【分析】（1）利用和角正弦公式、辅助角公式可得，即可求最小正周()sin(23f x x π=+期；（2）由题设，根据正弦型函数的性质求a 的范围，即可得最大值.2(,2)333x a πππ+∈+【详解】(1)由题设，，1()cos (sin )sin 22sin(2)23f x x x x x x x π=⋅+==+所以的最小正周期.()f x 22T ππ==(2)当且，则，且在上单调递增，()0,∈x a 0a >2(,2)333x a πππ+∈+()f x ()0,a 所以，则，232a ππ+≤12a π≤综上，，故最大值为.012a π<≤a 12π20．如图，在正方体中，，为上底面的中心.1111ABCD A B C D -12AA =O 1111D C B A(1)求证：；AO BD ⊥(2)求点到平面的距离；A 1A BD (3)判断棱上是否存在一点，使得？并说明理由.1CC E AO BE ∥(1)见解析(3)不存在【分析】（1）连接，三角形是等边三角形，即可证明，进一11,AB AD 11AB D 11AO B D ⊥步通过，所以.11//BD B D AO BD ⊥（2）设点到平面的距离为，所以，代入即可得出答案.A 1A BD d 11A A BD A ADB V V --=【详解】(1)连接，因为，为的中点，11,AB AD 11AB AD =O 11B D 所以，又因为，所以.11AO B D ⊥11//BD B D AO BD ⊥(2)设点到平面的距离为，所以，A 1A BD d 11A A BD A ADB V V --=所以，所以.111133A BD ABD S d S AA = 212222d ⋅=⨯⨯⨯d =所以到平面A 1A BD(3)不存在,如下图，作一个相同的正方体，取为上底面的中11BCFM B C GH -1O 11B C GH 心，连接，易知是平行四边形，所以，而与相交，11,OO O B 1AOO BAO //1O B 1O B BE 所以棱上不存在一点，使得.1CC E AO BE ∥21．设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的()f x 21,a ⎡⎤⎣⎦1a >0T >，都有，则称函数具有性质.[]1,x a ∈()()f ax T f x =⋅()f x P (1)当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明）[]1,100x ∈2y x =cos y x π=P (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式3a =()f x P []1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x >(3)已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在()f x P ()10f =()f x ()f x 上有最大值，且存在使得，求证：其对应的[]1,a ()0A A >011,x a a a ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦()0f x A =.1T =(1)具有性质，不具有性质；2y x =P cos y x π=P (2)；(]6,9(3)证明见解析.【分析】（1）由函数具有性质判断即可；()f x P （2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，3a =()f x P []1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭T 再利用性质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可；P ()f x []3,9x ∈（3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值()f x P []1,a，分别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明.()0A A >01T <<1T >【详解】(1)解：函数具有性质；函数不具有性质；2y x =P cos y x π=P (2)解：若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得3a =()f x P 0T >[]1,3x ∈，又当时，()3()f x T f x =⋅[]1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故当时，有，即，所以1x =()3(1)f T f =⋅sin 3sin 166T ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⋅⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2T =所以当时，，，[]1,3x ∈[]33,9x ∈()32sin 6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭即时，[]3,9x ∈()2sin 18f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故当时，不等式，无解；[]1,3x ∈()f x >sin 6x π⎛⎫>⎪⎝⎭当时，不等式，[]3,9x ∈()f x >π2sin 18x ⎛⎫ ⎪⎝⎭πππ,1862x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故不等式解得：，即解集为.69x <≤(]6,9(3)证明：已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有()f x P 0T >[]1,x a ∈，所以，()()f ax T f x =⋅()22()(1)0f a Tf a T f ===所以函数的图像端点为和()f x (1,0)2(,0)a 由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线：()f x 212a x +=①若，因为时，01T <<[]1,x a ∈()f x A≤所以对任意，有2,x a a ⎡⎤∈⎣⎦()(xf x Tf TA A a =≤<由基本不等式得，有1a >212a a+>所以对任意，有221,2a x a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x A <根据图像的对称性，得对任意，有21,x a ⎡⎤∈⎣⎦()f x A<这样与存在矛盾.()0f x A=②若，由，得1T >011,x a a a ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦()00()f ax Tf x TA A ==>又，由图像的对称性知，201ax a a ≥+-200()(1)f ax f a ax =+-且，所以[]2011,a ax a +-∈200(1)()f a ax f ax TA A+-==>这与在上有最大值矛盾.()f x []1,a()0A A >综上.1T =本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论.。

【详解】函数 在区间 内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知 ，即 ，解得
所以实数 的取值范围是
故选：B
6、A
【解析】由题意利用函数 的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数 的图象向右平移 个的单位长度，可得 的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为 ，故选
当 时， ，符合要求；
当 时， ，符合要求，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对应的集合与 对应集合互不包含
21、（1）
（2）
【解析】（1）函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，有 ，代入即可得出 的值；
（2） 时， 恒成立转化为即 ，令 ，求 在 的最大值即可.
【小问1详解】
函数 的图象关于原点对称，则函数 为奇函数，有 ，
即 ，解得 ，当 时，不满足题意，所以 ；
A. B.
C. D.
6．将函数 的图象向右平移 个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
7．将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则正数 的最小值是（）
A. B.
C. D.
8．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据： ， ）

2023-2024学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知向量，，若向量，则()A.2B.C.8D.3.在中，，，，则()A. B. C. D.4.平面向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为l，则()A.B.0C.1D.25.已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中不正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，则的取那值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A.B.C.D.8.已知函数和，的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域.理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号.如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数的对称轴为C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.复数，则______.12.已知函数若非零实数a，b，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是______，______只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______，表面积为______.14.在中，，，，则______，______.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是，其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。

2023北京西城高一（下）期末数学2023.7本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数1i z =+，则在复平面内z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．tan y x=C ．cos 2y x=D ．sin 2y x =3．在ABC △中，2a b =，60C =︒，c =a =（）A ．12B ．1C ．D ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份()1,2,3,,12x x =⋅⋅⋅的关系可近似地用三角函数()()sin 306y a A x A π⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A =（）A ．5B ．10C ．15D ．205．复数cos isin z αα=+，且2z 为纯虚数，则α可能的取值为（）A ．0B ．4πC ．3πD ．2π6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（）A ．若m α∥，n α⊂，则m n ∥B ．若m α∥，n α∥，则m n ∥C ．若m α⊥，n α∥，则m n⊥D ．若m n ⊥，n α∥，则m α⊥7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,2P -，()3,4Q ，则cos POQ ∠=（）A ．53B ．55C ．53-D ．55-8．已知等边ABC △的边长为4，P 为ABC △边上的动点，且满足12AP AB ⋅≤，则点P 轨迹的长度是（）A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则“()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且AB =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3-C ．[]2,3-D ．[]1,2-第二部分（选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()3,4-，则5z为______．12．设向量()1,2a = ，()4,b x =，若a b ⊥ ，则x =______．13．已知圆柱的底面半径为3，体积为323π的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．14．写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =______．①x ∀∈R ，()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；②x ∀∈R ，()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立．15．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段11B D 上，且11114D E B D =，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面11PB D ∥平面1C BD ；②存在点P ，使得11PB D △是等腰直角三角形；③若5PE ≤，则点P 轨迹的长度为④当13AP PC =时，则平面11PB D 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知2παπ<<，4sin 5α=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos 2cos 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．（本小题13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1DD ，11C D 的中点．（Ⅰ）证明：1A B ⊥平面11ADC B ；（Ⅱ）证明：1B F ∥平面1A BE．18．（本小题14分）已知在ABC △中，cos cos 2cos a B b A c A +=．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若4c =，在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在且唯一，求ABC △的周长．①ABC △的面积为；②a =AB 边上的高线CD 长为32．19．（本小题15分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）若函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（本小题15分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD AD ===，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CNCS；若不存在，说明理由．21．（本小题15分）对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T ，若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数．（Ⅰ）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+．（Ⅱ）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（Ⅲ）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2TT ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-．若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．-213．2，36π14．sin 2x （答案不唯一）15．①③④注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．16．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为22sin cos 1αα+=，4sin 5α=，所以29cos 25α=，3cos 5α=±．又因为2παπ<<，所以3cos 5α=-．所以sin 4tan cos 3ααα==-．（Ⅱ）)22cos 22cos sin 52cos 42αααπα==+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题13分）（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -，所以11B C ⊥平面11ABBA ．因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111B C A B ⊥．因为11A ABB 为正方形，所以11A B AB ⊥，又因为1111B C AB B ⋂=，所以1A B ⊥平面11ADC B ．（Ⅱ）设11AB A B O ⋂=，连接OE ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11B A C D ∥，且11B A C D =，所以11B O C D ∥，且1112B OCD =．因为E ，F 分别1DD ，11C D 的中点，所以1EF C D ∥，且112EF C D =．所以1EF B O ∥，且1EF B O =．所以四边形1B OEF 为平行四边形．所以1B F OE ∥．又因为1B F ⊄平面1A BE ，OE ⊂平面1A BE ，所以1B F ∥平面1A BE ．18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．所以()sin 2sin cos A B C A +=．因为A B C π++=，所以()sin sin A B C +=，所以sin 2sin cos C C A =．因为()0,C π∈，sin 0C ≠，所以2cos 1A =，即1cos 2A =．又因为()0,A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）选择①因为ABC S =△1sin 2bc A =，即1422b ⨯⨯⨯=，所以5b =．又因为2222cos a b c bc A =+-，即2125162542a =+-⨯⨯⨯，所以a =，所以ABC △的周长为9．选择③因为AB 边上的高线CD 长为32，即3sin 2b A =，所以1b =．又因为2222cos a b c bc A =+-，即211162142a =+-⨯⨯⨯所以a =ABC △的周长为5+19．（本小题15分）解：（Ⅰ）2sin 2cos 11666f πππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭．（Ⅱ）()231sin 22cos 1sin 22cos 2622f x x x x x x π⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭31sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+．所以()f x 的单调递增区间是(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（Ⅲ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．依题意2236m πππ<+<，解得11171212m ππ<<．所以m 的取值范围为11171212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．20．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥．因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD SA ⊥．（Ⅱ）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ⋂平面ABCD EM =，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，所以CD EM ∥，又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点．M 到平面SCD 的距离为32．（Ⅲ）存在，N 为SC 中点，连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ．因为ED CM ∥，并且ED CM =，所以四边形EMCD 为平行四边形，所以EO CO =．又因为N 为SC 中点，所以NO SE ∥．因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，又SE ⊂平面SAD ，由已知SE AD ⊥，所以SE ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ．又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．所以存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，12CN CS =．21．（本小题15分）解：（Ⅰ）①否；②是．（Ⅱ）因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T +-=+++-+=+-+⎡⎤⎣⎦．所以，对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2T k π=，*k ∈N ．（Ⅲ）1a =．函数()()F x f x x b =--，则有：()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=．取3344TTb f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则有：3330444T T T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T TF F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有：()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T ．又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Z ，有：044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T TF kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34TmT +．综上所述，存在3344TTb f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点：14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，…，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452Tx x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=．。