2015-2016年北京市西城区高一上学期数学期末试卷和解析

北京市西城区一般中学2015— 2016 学年度第一学期期末高一数学人教 B 版 必修四 检测卷本卷满分： 100 分一、选择题：本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合要求的 .1. sin( 60 ) 的值等于（） D1B.1C.3 D.3A.22222. 以下函数中，最小正周期为的是（ ） BA. ycos 4xB.ysin 2xC.y sinxD.ycosx243. 已知 tan1，且[0, ) ，那么的值等于（ ） CA.B.2C.3 D.534434. 已知平面向量 a( 1，2)， b (1，0) ，则向量 3a + b 等于（）AA.2,6 B.2, 6C.2,6 D.2, 65. 在 ABC 中， D 是 BC 边上一点，则AD AC 等于（） CA. CBB.BCC.CDD.DC6. 若 tan3 ， tan2 ，则 tan() 等于（） DA. 3B.3C.1 17D.77. 函数 ysin x 图象的一个对称中心的坐标是（） AA. (0,0)B.(,0) C.( ,0) D.( ,0)4428. 以下各式中，值为3的是（）C2A. 2sin15 cos15B.sin 2 15 cos 2 15C. 1 2sin 215D.sin 2 15 cos 2 159. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，设 AB a ， BC b ， AC c ，则 a b c 等于（）CA.0B.2C.2D.10. 函数 yf ( x) 在区间 [π， π]上的简图如右图所示，则函数2y f ( x) 的分析式能够是（） BA. f (x)sin(2 x 3 ) B.f (x) sin(2 x2 )3 C. f (x)sin( x) D.f ( x)sin( x2 )33二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上11. 已知 AB (1,1) ，那么 AB_________.212. 已知角的终边经过点P 4,3 ，则 cos的值为 _________. 4513. cos 40 cos 20 sin 40 sin 20 的值等于 __________. 1214. 函数 y sin x cos x 的最小值是 _________.1215. 已知向量 a = ( 1,2) ， b = (3, 4) ，则 a a b = __________. 016. 如图，圆 O 的半径为 2 ， l 为圆 O 外一条直线，圆心 O 到直线 l 的PAOP 0，点 P 从P 0处开始距离 OA 3， 0 为圆周上一点，且6以 2 秒一周的速度绕点 O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.① 1 秒钟后，点 P 的横坐标为 _________ ；② t 秒钟后， 点 P 到直线 l 的距离用 t 能够表示为 ______________.3 ， 3 2cos( t) ， t 062 2y1xO2631.yPMP30AO xl三、解答题：本大题共3 小题，共 36 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17. （本小题满分 10 分）已知向量 a 、b知足 a b 1 ，且a与b的夹角为60.（1）求a a a b；（2）若a与a +b垂直，务实数的值.18. （本小题满分12 分）已知, cos 3.25（1）求tan的值；（2）求cos 2sin() 的值.219.（本小题满分 14 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 2,0)， B(0,2 3) ，C (2cos,sin ) ，其中[0, ]．2（1）若AB // OC，求tan的值；（2）设点D (1,0)，求AC BD 的最大值；（3）设点E(a,0)， a R，将OC CE表示成的函数，记其最小值为 f ( a) ，求 f (a)的表达式，并求 f (a)的最大值 .参照答案及分准一、：本大共10 小，每小 4 分，共40 分.1. D;2. B;3. C;4. A;5. C;6. D;7. A;8. C;9. C; 10. B.二、填空：本大共 6 小，每小 4 分，共 24 分 . （一两空的目每空 2 分）11. 2 ;12. 4 ;13. 1 ;14.1;52215. 0;16.3， 3 2cos( t) ， t0 .6三、解答：本大共 3 小，共36 分.17. 解：（ 1）a a a2a b cos60⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分b = a1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 2（2）由已知，a(a + b) = 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因此 a a + a b = 0，2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18. 解：（ 1）因， cos 3sin43 分2，因此，⋯⋯⋯⋯⋯⋯55故 tan 45 分. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3（ 2）cos2sin()2cos 2 1 cos⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分229138. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2552519. 解：（ 1）由已知，得AB(2,23)，OC(2cos,sin ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因 AB // OC ，因此 43cos2sin， tan 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（ 2）由已知，AC(2cos2,sin)，BD(1, 2 3)，AC BD2cos23 sin24cos() 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3又[ 5, ] ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分33 6因此，当0 ， AC BD 获得最大 ，最大 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分（ 3）由已知， CE (a 2cos , sin ) ，因此， OC CE 2a cos4cos 2sin 23cos 22a cos 1，tcos ，OC CE3t 2 2at 1, t [0,1] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分当 a1，即 a3， f (a)2a 4 ，3 22当a1，即 a3， f (a)1 ，3222a 4, a3,因此， f ( a)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分1,a3 ,2因 当 a3 ， f (a) f ( 3)1，当 a 3 ， f ( a)1 ，222 因此 f (a) 的最大 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。

故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A交点个数为（【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB = a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）ABC【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 【知识点】倍角公式 【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以， 故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以，的夹角等于。

绝密★启用前2015-2016学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：70分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、关于函数，给出下列三个结论：①函数的最小值是； ②函数的最大值是；③函数在区间上单调递增.其中全部正确结论的序号是（ ）A ．②B ．②③C ．①③D ．①②③2、函数的图象与直线的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．83、已知非零向量a,b 夹角为,且,. 则等于（ ）4、若直线是函数图象的一条对称轴，则的值可以是（）A． B． C． D．5、是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数6、函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．7、若向量共线，则实数的值是（）A． B． C． D．8、化简等于（）A． B． C． D．9、如果，且，则是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角10、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）D．向右平移个单位长度第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度(单位：升/小时)与液体所处环境的温度(单位：℃)近似地满足函数关系（为自然对数的底数，为常数). 若该液体在℃的蒸发速度是升/小时，在℃的蒸发速度为升/小时，则该液体在℃的蒸发速度为_____升/小时．12、已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．13、已知函数 且，则实数_____．14、_____，_____．15、设，，，则_____．16、已知函数（其中）图象过点，且在区间上单调递增，则的值为_______.17、已知，且，则_____.18、 设向量，则的夹角等于_____.19、 角终边上一点的坐标为，则_____.20、如图所示，为中边的中点，设，，则_____.（用，表示）21、_____.参考答案1、D2、C3、A4、A5、D6、C7、B8、B9、C10、D11、12、； .13、；14、；15、；16、17、18、19、20、21、【解析】1、试题分析：由题，去绝对值得：结合图像易得正确的为：①②③考点：绝对值的性质及三角恒等变形和分类思想.2、试题分析：由题可画出对应的函数图像，由图可得：有7个交点。

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（ ）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）3π2（C ）π（D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ）（A ）6π （B ）6π-（C ）3π （D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ）（A ）4（B ）2（C （D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos f x x x =的值域是（ ）（A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ） （A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移2π3个单位 （D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ）（A （B ）1（C ）||m（D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,)22=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}AB a b c =的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则 实数m 的取值范围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13. (,)42ππ；14.32； 1516. ① ② ③. 注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ， 【 1分】所以 11(,)22+a b =， 【 2分】所以 ||+=a b 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(2=-b ，得 1(cos ,sin 2+=-+ααa b ，1(cos ,sin 2-=+ααa b ， 由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 7分】 所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒， 所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-+=αα， 即 π1sin()62-=α. 【12分】 因为 π02<<α， 所以 πππ663-<-<α， 【13分】 所以 ππ66-=α， 即3π=α. 【14分】19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x a π≠，所以 1k aπ>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 4；2.12； 3. 2-，1； 4. (2,2)-； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+． （Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】·11· 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】。

北京市西城区2015—2016学年度第二学期期末试卷高一数学2016.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.B发生的概率为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 不等式11x>的解集为_______. 12. 右侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名 选手打出的分数情况. 则去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均值为_______，方差为_______.13. 某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以 上的概率为54，其成绩等级为“A 或B ”的概率为51，则a =______；b =______. 14. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =,则132a a +的最小值是_______. 15. 某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_______.16. 已知数列{}n a 中，1(01)a a a =<≤，*11,1,().3,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩N ①若31,6a =则a =_______； ②设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2016S =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）等差数列{}n a 的首项11=a ,其前n 项和为n S ,且3547+=+a a a . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式32<-n n S a 的n 的值.18．（本小题满分13分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23C π=,6a =. （Ⅰ）若14=c ,求A sin 的值； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为求c 值.19．（本小题满分13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到右侧的频率分布表.（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进行测试；（Ⅲ）在(Ⅱ)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试,求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分13分）已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R .（Ⅰ）当1=m 时，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值； （Ⅱ）解关于x 的不等式()1f x >-；（Ⅲ）当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0>f x ，求m 的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已知{}n a 是递增的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且55S =，347,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12100a a a +++L 的值；（Ⅲ）若集合*{(1),}2n n n a n n λ->∈N 中有且仅有2个元素，求λ的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足12n n S a a =-，*n ∈N . （Ⅰ）若11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若对于正整数,,()m p q m p q <<，5,,m p q a a a 这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m 表示p 和q ；（Ⅲ）已知数列{},{}n n t r 满足n n n t r a ==，数列{},{}n n t r 的前100项和分别为100100,T R ，且100100T R =，试问：是否对于任意的正整数(1100)k k ≤≤均有k k t r =成立，请说明理由.。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。

北京市西城区2015—2016学年度第二学期期末试卷高一数学2016.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.B发生的概率为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 不等式11x>的解集为_______. 12. 右侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名 选手打出的分数情况. 则去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均值为_______，方差为_______.13. 某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以 上的概率为54，其成绩等级为“A 或B ”的概率为51，则a =______；b =______. 14. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =,则132a a +的最小值是_______. 15. 某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_______.16. 已知数列{}n a 中，1(01)a a a =<≤，*11,1,().3,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩N ①若31,6a =则a =_______； ②设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2016S =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）等差数列{}n a 的首项11=a ,其前n 项和为n S ,且3547+=+a a a . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式32<-n n S a 的n 的值.18．（本小题满分13分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23C π=,6a =. （Ⅰ）若14=c ,求A sin 的值； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为求c 值.19．（本小题满分13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到右侧的频率分布表.（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进行测试；（Ⅲ）在(Ⅱ)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试,求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分13分）已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R .（Ⅰ）当1=m 时，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值； （Ⅱ）解关于x 的不等式()1f x >-；（Ⅲ）当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0>f x ，求m 的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已知{}n a 是递增的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且55S =，347,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12100a a a +++L 的值； （Ⅲ）若集合*{(1),}2nn n a n n λ->∈N 中有且仅有2个元素，求λ的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足12n n S a a =-，*n ∈N . （Ⅰ）若11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若对于正整数,,()m p q m p q <<，5,,m p q a a a 这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m 表示p 和q ；（Ⅲ）已知数列{},{}n n t r 满足n n n t r a ==，数列{},{}n n t r 的前100项和分别为100100,T R ，且100100T R =，试问：是否对于任意的正整数(1100)k k ≤≤均有k k t r =成立，请说明理由.。

2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知数列{a n}满足a n+1=a n+2，且a1=2，那么a5=（）A．8 B．9 C．10 D．112．如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．3．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．4．如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30 B．25 C．22 D．205．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．7．若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]8．在△ABC中，若＜cosC，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元10．设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3=1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2=1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．不等式的解集是．12．如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为，方差为．13．某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a=；b=．14．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．15．某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．16．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2016=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．19．某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：4（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．21．已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5=5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1=1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|=|r n|=a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100=R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k=r k成立，请说明理由．2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知数列{a n}满足a n+1=a n+2，且a1=2，那么a5=（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=a n+2，且a1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．那么a5=2+2×（5﹣1）=10．故选：C．2．如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知中a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＜a2，故A错误；a2＞b2，故B错误；ab＞0，故，即＞，故C错误；﹣＜﹣，故D正确；故选：D3．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率的基本性质．【分析】由已知得P（A）=，P（）=，由此能求出一次试验中，事件A∪发生的概率．【解答】解：∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，∴P（A）==，P（）=，∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：P（A∪）=P（A）+P（）==．故选：C．4．如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30 B．25 C．22 D．20【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，计算模块测试成绩落在[50，70）中的频率以及频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得：10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故选：B．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据输入A 的值，然后根据S 进行判定是否满足条件S ＞2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S ＞2，退出循环体，输出n 的值为5．【解答】解：模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件S ＞2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件S ＞2，执行循环体，S=，n=3不满足条件S ＞2，执行循环体，S=，n=4不满足条件S ＞2，执行循环体，S=，n=5满足条件S ＞2，退出循环，输出n 的值为5．故选：C ．6．在不等式组表示的平面区域内任取一个点P （x ，y ），使得x +y ≤1的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【分析】绘制不等式平面区域，及x +y ≤1所围的面积，根据几何概型，求得概率．【解答】解：不等式组组，得x +y ≤1概率为阴影部分的面积，则P==，故答案选：C ．7．若关于x 的不等式x +≥a 对于一切x ∈（0，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5] B ．（﹣∞，4]C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，1]【考点】基本不等式．【分析】根据条件，由基本不等式即可得出，而条件对任意x∈（0，+∞）恒成立，这样便可得出实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0；∴，当x=，即x=2时取等号；∴的最小值为4；∴4≥a；∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选B．8．在△ABC中，若＜cosC，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【考点】正弦定理．【分析】由＜cosC，利用正弦定理可得sinA＜sinBcosC，即sin（B+C）＜sinBcosC，展开化简即可判断出结论．【解答】解：在△ABC中，∵＜cosC，∴sinA＜sinBcosC，∴sin（B+C）＜sinBcosC，展开化为：cosBsinC＜0，∵B，C∈（0，π）．∴cosB＜0，B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．故选：A．一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元【考点】简单线性规划的应用．【分析】运送甲x件，乙y件，利润为z，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z=8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x +10y 得y=﹣x +，平移直线y=﹣x +，由图象知当直线y=﹣x +经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由，得，即B （4，3），此时z=8×4+10×3=32+30=62，故选：B ．10．设a ，b ∈R ，给出下列判断：①若，则a ﹣b ≤1；②若a 3﹣b 3=1，则a ﹣b ≤1；③若a ，b 均为正数，且a 2﹣b 2=1，则a ﹣b ≤1；④若a ，b 均为正数，且，则a ﹣b ≥1．则所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．③C ．③④D ．②④【考点】不等式的基本性质．【分析】①若，取a=2，b=，即可判断出正误；②若a 3﹣b 3=1，取a=，b=﹣，即可判断出正误；③由a ，b 均为正数，且a 2﹣b 2=1，则a=，可得a ﹣b==，即可判断出正误；④由a ，b 均为正数，且，则，两边平方可得：a=1+2+b ，可得a﹣b=1+2，即可判断出正误．【解答】解：①若，取a=2，b=，则a ﹣b=＞1，因此①不一定正确；②若a3﹣b3=1，取a=，b=﹣，则a﹣b=＞1，因此不一定正确；③若a，b均为正数，且a2﹣b2=1，则a=，∴a﹣b==≤1，因此正确；④若a，b均为正数，且，则，两边平方可得：a=1+2+b，∴a﹣b=1+2≥1，因此正确．则所有正确判断的序号是（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．12．如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为92，方差为 2.8．【考点】茎叶图．【分析】先由题意列出所剩数据，由平均数和方差公式依次求出均数、方差即可．【解答】解：由题意所剩数据：90，90，93，93，94，所以平均数=（90+90+93+93+94）=92，方差S= [（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]=2.8，故答案为：92，2.8；13．某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5530率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a=5；b=10．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意利用等可能事件概率计算公式列出方程组，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，∴，解得a=5，b=10．故答案为：5，10．14．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：15．某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的对立事件为甲和乙都没被录用，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲或乙被录用的概率．【解答】解：某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，基本事件总数为n==10，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的对立事件为甲和乙都没被录用，∴甲或乙被录用的概率为p=1﹣=．故答案为：．16．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2016=1512．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满足条件．∴a=．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）利用等差数列{a n}的通项公式求出公差d=2，由此能求出a n．（Ⅱ）由a1=1，a n=2n﹣1，求出，由此能求出满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．因为a3+a5=a4+7，所以2a1+6d=a1+3d+7．…．因为a1=1，所以3d=6，即d=2，…．所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…．（Ⅱ）因为a1=1，a n=2n﹣1，所以，…．所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理即可得出．（II）利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，∴，即．（Ⅱ）∵，解得b=2．又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，∴．19．某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：4【分析】（Ⅰ）求出第2组的频数，第3组的频率，即可求出①处的数据为35，②处的数据为0.300．（Ⅱ）因利用分层抽样，求解第3，4，5组分别抽取人数．（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，列出从6位同学中抽两位同学有15种可能，第4组的两位同学至少有一位同学被选中的数目，然后求解概率．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…20．已知函数f（x）=mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=x2﹣2x﹣4在（﹣2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，即可求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，则（1﹣3m）2+16m＞0，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=x2﹣2x﹣4在（﹣2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数．又f（﹣2）=4，f（1）=﹣5，f（2）=﹣4，所以，f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为4和﹣5．（Ⅱ）不等式f（x）＞﹣1，即mx2+（1﹣3m）x﹣3＞0，当m=0时，解得x＞3．当m≠0时，（x﹣3）（mx+1）=0的两根为3和，当m＞0时，，不等式的解集为．当m＜0时，，所以，当时，，不等式的解集为．当时，不等式的解集为∅．当时，，不等式的解集为．综上，当m＞0时，解集为；当m=0时，解集为{x|x＞3}；当时，解集为；当m=﹣时，解集为∅；当时，解集为．（Ⅲ）因为m＜0，所以f（x）=mx2+（1﹣3m）x﹣4是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，则（1﹣3m）2+16m＞0，即9m2+10m+1＞0，解得m＜﹣1或，综上，m的取值范围是．21．已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5=5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由S 5=5，可得，由a 3，a 4，a 7成等比数列，可得，联立解出即可得出．（Ⅱ）解2n ﹣5＜0，可得，因此数列{a n }中a 1＜0，a 2＜0，其余各项均大于零．利用等差数列的求和公式即可得出．（III ）设，c n ﹣c n ﹣1=，令c n ﹣c n ﹣1＞0，得，可得：c 1＜c 2＜c 3＜c 4，c 4＞c 5＞c 6＞…，又由，知c 1＜0，c 2＜0，其余各项均大于零．在中，，且t 4＞t 6＞t 8＞…，计算得t 1，t 4，t 6，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由S 5=5，可得，由a 3，a 4，a 7成等比数列，可得，∴解得（舍）或，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣5．（Ⅱ）解2n ﹣5＜0，可得，∴数列{a n }中a 1＜0，a 2＜0，其余各项均大于零．∴|a 1|+|a 2|+…+|a 100|=﹣a 1﹣a 2+a 3+…+a 100==．（Ⅲ）设，，令c n ﹣c n ﹣1＞0，得，所以c 1＜c 2＜c 3＜c 4，c 4＞c 5＞c 6＞…，又由，知c 1＜0，c 2＜0，其余各项均大于零．在中，，且t 4＞t 6＞t 8＞…，计算得，∴λ的取值范围是．22．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足S n =2a n ﹣a 1，n ∈N *． （Ⅰ）若a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若对于正整数m ，p ，q （m ＜p ＜q ），5a m ，a p ，a q 这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m 表示p 和q ；（Ⅲ）已知数列{t n }，{r n }满足|t n |=|r n |=a n ，数列{t n }，{r n }的前100项和分别为T 100，R 100，且T 100=R 100，试问：是否对于任意的正整数k （1≤k ≤100）均有t k =r k 成立，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由，利用当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，整理得a n =2a n ﹣1，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a n }是公比为2的等比数列．对5a m 为a p ，a q 三项的顺序分类讨论，利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．（III ）由，得，可得：t 100=r 100或t 100=﹣r 100，若t 100=﹣r 100，不妨设t 100＞0，r 100＜0，则=a 1．则=﹣a 1．由已知a 1＞0，∴R 100＜T 100，与已知不符，因此t 100=r 100，同理可得R 99=T 99，如此下去，t 98=r 98，…，t 1=r 1，．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣a 1，∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2a n ﹣a 1）﹣（2a n ﹣1﹣a 1），整理得a n =2a n ﹣1，又a n ＞0，∴=2，数列{a n }是公比为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a n }是公比为2的等比数列． ①若5a m 为a p ，a q 的等差中项，则2×5a m =a p +a q ，∴，化为2p ﹣m ﹣1+2q ﹣m ﹣1=5，又m＜p＜q，m，p，q∈N*，∴2p﹣m﹣1=1，2q﹣m﹣1=4，∴p﹣m﹣1=0，q﹣m﹣1=2．即p=m+1，q=m+3．②若a p为5a m，a q的等差中项，则2a p=5a m+a q，∴，∴2p=5×2m﹣1+2q﹣1，∴2p﹣m+1﹣2q﹣m=5，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立，舍去．③若a q为5a m，a p的等差中项，则2a q=5a m+a p，同理也不成立．综上，p=m+1，q=m+3．（Ⅲ）由，得，∴t100=r100或t100=﹣r100，若t100=﹣r100，不妨设t100＞0，r100＜0，则=．则=．由已知a1＞0，∴R100＜T100，与已知不符，∴t100=r100，∴R99=T99，同上可得t99=r99，如此下去，t98=r98，…，t1=r1，即对于任意的正整数k（1≤k≤100），均有t k=r k成立．2016年8月30日。

北京市西城区2015 —2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）2. 下列函数中，值域为的偶函数是（）（A）（B）（C）（D）3．设是所在平面内一点，且，则（）（A）（B）（C）（D）4．设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（）（A）“”为真命题（B）“”为真命题（C）“”为真命题（D）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）6. “”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7. 设，满足约束条件1,3,,x yy my x+-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若的最大值与最小值的差为7，则实数（）（A）（B）（C）（D）8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中○1处应填（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数满足，那么____.10．若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则____；ABC的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时.○1该食品在的保鲜时间是_____小时；○2已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：.16．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)=，.f x x x x（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，, ,分别为的中点，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积.18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（Ⅱ）如果，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率； （Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，点在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线， 的斜率分别为，，求证：为定值.20．（本小题满分13分）已知函数，直线. （Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9． 10．11. 9 12． 13． 14．4 是 注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设等比数列的公比为， 因为是公差为的等差数列， 所以……………… 2分 即……………… 3分解得. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 . ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =2sin cos1)x x x=+-………………4分，………………6分所以函数的最小正周期. ………………8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222xk k-+≤≤，，………………9分得，所以函数的单调递增区间为，. ………………11分所以当时，的增区间为，. ………………13分（注：或者写成增区间为，. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以.由分别为的中点，得，所以.………………1分因为侧面底面，且，所以底面. ………………2分又因为底面，所以. ………………3分又因为，平面，平面，所以平面. ………………5分（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面. ………………7分同理，得平面.又因为，平面，平面，所以平面平面. ………………9分又因为平面，所以平面. ………………10分（Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略）， 由，得， 又因为，所以， ……………… 12分 因为底面，所以底面，所以四棱锥的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以中至少有一个小于6， ……………… 4分 又因为，且， 所以，所以. ……………… 5分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，……………… 6分 记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：， ，，，，，，，，，，，，，，. ……………… 7分 而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，， ……………… 8分 因此事件的概率. ……………… 10分（Ⅲ）解：的可能取值为，，. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，， ……………… 2分 又因为点在椭圆上，所以， ……………… 3分解得，，，所以椭圆C 的方程为. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，易得直线， 的斜率之积. …………… 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即. ……………… 9分 由方程组 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设，，则，， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将代入上式，得.综上，为定值. ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数定义域为， ……………… 1分 求导，得， ……………… 2分 令，解得．当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，……………… 3分 所以函数有极小值，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切， ……………… 5分 设切点为，又因为， 所以切线满足斜率，且过点， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由方程，得. ……………… 9分 令，则，其中，且. 考察函数，其中， 因为时，所以函数在单调递增，且. ……………… 11分 而方程中，，且.所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一 根，故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点. ……………… 13分。

2015-2016学年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C． D．3．（4分）已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A．B． C． D．4．（4分）已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6） D．（2，﹣6）5．（4分）在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A．B．C．D．6．（4分）若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C．D．7．（4分）函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B．C．D．8．（4分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215°D．sin215°+cos215°9．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B．C．2 D．10．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知，那么=．12．（4分）已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为．13．（4分）cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于．14．（4分）函数y=sinxcosx的最小值是．15．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=．16．（4分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．18．（12分）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（14分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．2015-2016学年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．2．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C． D．【解答】解：A、y=cos4x的周期T==，本选项错误；B、y=sin2x的周期T==π，本选项正确；C、y=sin的周期为T==4π，本选项错误；D、y=cos的周期为T==8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y=sin2x．故选：B．3．（4分）已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A．B． C． D．【解答】解：∵已知t anα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线y=﹣x （x ≤0）上，故α=，故选：C．4．（4分）已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6） D．（2，﹣6）【解答】解：=3（﹣1，2）+（1，0）=（3×（﹣1）+1，3×2+0）=（﹣2，6）故选：A．5．（4分）在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得=，故选：C．6．（4分）若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C．D．【解答】解：tan（α﹣β）===，故选：D．7．（4分）函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B．C．D．【解答】解：因为函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标（kπ，0）k∈Z，当k=1时对称中心坐标为（0，0）．故选：A．8．（4分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215°D．sin215°+cos215°【解答】解：因为2sin15°cos15°=sin30°=，sin215°﹣cos215°=﹣cos30°=﹣，1﹣2sin215°=cos30°=；sin215°+cos215°=1；所以1﹣2sin215°的值为：；故选：C．9．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B．C．2 D．【解答】解析：如图，，有||=|2 |，又||=1∴有||=2，故选：C．10．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=﹣∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）已知，那么=．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．12．（4分）已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，3），∴cosα==，故答案为：13．（4分）cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于．【解答】解：cos40°cos20°﹣sin40°sin20°=cos（20°+40°）=cos60°=故答案为．14．（4分）函数y=sinxcosx的最小值是．【解答】解：∵y=sinxcosx∴y=sin2x又∵x∈R∴∴∴故答案为：15．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=0．【解答】解：||2﹣•═（﹣1，2）•（﹣1，2）﹣（﹣1，2）•（3，4）=（﹣1）2+22﹣[（﹣1）×3+2×4]=5﹣5=0故答案为：016．（4分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为﹣；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为，t≥0．【解答】解：①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，则此时点P的横坐标为，所以点P到直线l的距离为，t≥0．故答案为；，t≥0．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．【解答】解：（1）=||2﹣||||cos60°=（2）∵∴即解得λ=﹣218．（12分）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为，，所以，…（3分）故．…（5分）（2）…（10分）=．…（12分）19．（14分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．【解答】解：（1）由已知，得，，…（2分）因为，所以，．…（3分）（2）由已知，，，…（5分）又，…（6分）所以，当θ=0时，取得最大值，最大值为4．…（8分）（3）由已知，，所以，，设t=cosθ，…（10分）当，即时，f（a）=2a﹣4，当，即时，f（a）=﹣1，所以，…（12分）因为当时，，当时，f（a）=﹣1，所以f（a）的最大值为﹣1．…（14分）。