北京市西城区2018 -2019学年度第二学期期末考试高一数学试卷

2019学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷
【含答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________ 题号 总分
得分
、选择题
1. 对一个容量为-的总体抽取容量为 .的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样 和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为 f .广.A' 则（ ________ ）
2. 从1，2，3, 4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为 5的概率是 （_______ ）
A . - ________________________
B . - _________
C . - _____ K 4
1
S 值为（
c • ' 一 _______________ D 3. 执行如图所示的程序框图，输出的
押i *
参考答案及解析
第1题【答案】
j
【解析】
试题分■析：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三大拊样都是等槪率抽样，因此对一个容量対N的总体抽取容量为影的样轧不管用哪种抽样，总体中每个个体被抽中的概率都相等第2题【答案】
【解析】
之W葵的概戦I
第3题【答案】
【解析】
试题分析：根掳题青，第一次执行完循环结构时；当第二次执行完循环结构时，
13 2 5
X2.S = 1H ；当第三次执行循环结构时，^ = 3.5=1+| = | ；止匕时不满足上＜3 ,结束循环 ,冊S.S=|。

2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案（九）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．304．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．64 B．32 C．16 D．8二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为，=．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l1⊥l2，则a=．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的运算求出向量C即可．【解答】解：∵向量=（1，1），=（1，﹣1），∴=+=﹣（1，1）+（1，﹣1）=（﹣1，﹣2），则=（﹣1，﹣2），故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，是一道基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S17=170，∴=170，解得a9=10．故选：A．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；直线的斜率．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ的值．【解答】解：∵倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，故有tanθ==．再根据sin2θ+cos2θ=1，θ∈[0，π），可得sinθ=，cosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．【点评】本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．=S△BCD+S△ACP，即为4=d1+4d2，求得【分析】运用三角形的面积公式可得S△ABC=（d1+4d2）（）展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值．=S△BCD+S△ACP，【解答】解：如右图，可得S△ABCACBC=d1BC+d2AC，即为4=d1+4d2，则=（d1+4d2）（）=（1+4++）≥（5+2）=×（5+4）=．当且仅当=，即d1=2d2=，取得最小值．故选：C．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意运用等积法，以及乘1法，运用基本不等式求最值时，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω=6k（k∈N*），利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：由题意，所以ω=6k（k∈N*），因此f（x）=cos6kx，从而，可知不可能等于．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，是常考题型，属于中档题．8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．64 B．32 C．16 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知求出q2=1+，a6+a5==（a1q+a1）++16，由此利用基本不等式的性质能求出结果．【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，∴a1＞0，q＞0，∵a4+a3=a2+a1+8，∴，∴q2=1+，∴a6+a5==q2（a1q+a1+8）=（1+）[（a1q+a1）+8]=（a1q+a1）++16≥2+16=32，当且仅当时，取等号．∴a6+a5的最小值是32．故选：B．【点评】本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及基本不等式性质的合理运用．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为60°，=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模，计算即可．【解答】解：设与的夹角为θ，∵，且，∴（2+）=2+=2cosθ+1=2，∴cosθ=，∵0≤θ≤180°，∴θ=60°，∴2=（2+）2=4+4+=4+4×+1=7，∴=，故答案为：60°，【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积先求出向量夹角是解决本题的关键，属于中档题．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=2，若l1⊥l2，则a=2或﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．【分析】利用直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，可求a；利用平面中的直线垂直的条件A1A2+B1B2=0，求出a的值．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，∴a=2．∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）﹣2=0，∴（a﹣2）（a+1）=0，∴a=2或a=﹣1．故答案为：2；2或﹣1．【点评】本题考查了平面中的直线平行与垂直的应用问题，是基础题．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意画出图象，由D为AC中点求出CD，在RT△BCD中，由题意和正弦函数求出BD，由勾股定理求出BC，在RT△BCD中，由正切函数求出tanA 的值【解答】解：由题意画出图象：∵AC=2，且D为AC中点，∴CD=1，在RT△BCD中，∵sin∠CBD=，∴，得BD=3，则BC==，在RT△BCD中，tanA===，故答案为：；．【点评】本题考查直角三角形中三角函数的定义，以及勾股定理，属于基础题．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为﹣8．【考点】二次函数的性质．【分析】代入已知条件，化简表达式，通过配方法求解最小值即可．【解答】解：正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy=x2+y2﹣4x﹣4y=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣8≥﹣8．当且仅当x=y=2时取等号．故答案为：﹣8．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值，考查计算能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是a≤﹣或a≥．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出M的轨迹，转化为直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设M（x，y），则∵点A（0，1），满足|MA|=2，∴M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=4，圆心为（0，1），半径为2．∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），直线l上存在点M，满足|MA|=2，∴直线与圆有交点，∴圆心到直线的距离d=，∴a≤﹣或a≥．故答案为：a≤﹣或a≥．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系．是中档题，15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由绝对值和向量的模的性质≤1，即为≥1，解得即可．【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立，∵＞|﹣|，∴|﹣x|≤|﹣|＜||，∴≤1，则有≥1，即λ≥2那么实数λ的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查最值的求法，注意运用特值法，以及恒成立思想的运用，考查向量的运算性质，属于中档题．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinBsinA=，结合sinA≠0可得tanB=，且0＜B＜π从而可求B（II）由二倍角的余弦可得，cosA=，进而可得sinA=，sinC=sin（A+），利用和角公式展开可求．【解答】解：（I）∵．由正弦定理得，sinBsinA=，∵sinA≠0，即tanB=，由于0＜B＜π，所以B=．（II）cosA=，因为sinA＞0，故sinA=，所以sinC=sin（A+）==．【点评】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，二倍角公式的应用，及三角形内角和的运用，属于对基础知识的综合考查．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．【考点】待定系数法求直线方程；恒过定点的直线．【分析】（1）直线l解析式整理后，找出恒过定点坐标，判断即可得证；（2）由题意得到直线l1过的两个点坐标，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，令，解得：，则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），设直线l1解析式为y=kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．【点评】此题考查了待定系数法求直线方程，以及恒过定点的直线，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列；数列递推式．【分析】（1）由题意得，利用a n与S n的关系求出{a n}的通项公式，单独求出n=1时a1的值，验证其是否满足通项公式，即可求出{a n}的通项公式；利用等比数列的性质将{b n}的公比求出，即可求出其通项公式；（2）由（1）中求出的{a n}和{b n}的通项公式代入新数列中，写出新数列的通项公式，利用错位相减法求出其前n项和T n．【解答】解：由题意得：=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，（1）因为S n=2n2+n①，所以S n﹣1=4n﹣1（n≥2）；所以①﹣②得：a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3；所以a n=4n﹣1，n∈N*，又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，所以=8，所以q=2，所以b n=2n﹣1；（2）由（1）可知a n b n=（4n﹣1）2n﹣1，所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，T n=5+（4n﹣5）×2n．【点评】（1）本题难度中档，解题关键在于对a n=S n﹣S n的关系熟练掌握，以﹣1及等比数列相关知识点的掌握；（2）难度中上，解题关键在于对错位相减法求数列前n项和的方法的掌握和应用．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可求得数列{a n}的首项与公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）结合（Ⅰ）a n=n+1，可求得b n=2+﹣，累加即可求数列{b n}的前n 项和S n；﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立⇔（Ⅲ）依题意，应有c n+1﹣﹣λ＜0恒成立⇔λ＞，设f（n）=﹣，可求得f（n+1）﹣f（n）=，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）max，问题得到解决．【解答】解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，则=a1（a1+6d），a1d=2d2，∵d≠0∴a1=2d．…又∵a2=3，∴a1+d=3，∴a1=2，d=1…∴a n=n+1．…（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）=2n+．…（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…则c n+1即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…设f（n）=﹣，f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+=+﹣=2++1+﹣3﹣=…∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…当n=2或n=3时，f（n）max=，∴=所以λ＞．…【点评】本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题．。

北京市西城区2018— 2019学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2019.7A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. B2.A3. C4. D5. B6. D7. B8.B9.C 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 60︒ 12. (0,1) 13. 4π 14. 221(1)2x y -+=15. 1616. [三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以 //DE PC ． ………… 3分因为 DE ⊄平面PAC ， ………… 4分所以 //DE 平面PAC ． ………… 5分（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以 PD BC ⊥，AD BC ⊥． ………… 8分 所以 BC ⊥平面PAD ． ………… 9分 所以 平面ABC ⊥平面PAD ． …………10分 （Ⅲ）解： 在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影． 理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC平面PAD AD =， 又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥，所以 PO ⊥平面ABC ，即点O 为点P 在底面ABC 的正投影． …………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：圆C 的半径为 ||5OC =， ………… 2分 从而圆C 的方程为 22(4)(3)25x y -+-=． ………… 4分（Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ． ………… 5分在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD =， ………… 7分所以 ||4AD ==． ………… 9分所以 ||2||8AB AD ==． …………10分所以 △ABC 的面积1||||122S AB CD ==． …………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥． ………… 2分 因为 AC PD ⊥， ………… 3分 所以 AC ⊥平面PBD ． ………… 4分 （Ⅱ）证明：连接PO ．由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为 平面PAC ^平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC ． ………… 5分因为 PO ⊂平面PAC ，所以 BD PO ⊥． ………… 6分因为 底面ABCD 是菱形，所以 BO DO =． ………… 7分所以 PB PD =． ………… 8分 （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得//BM 平面PAD ．因为菱形ABCD 中，//BC AD ， 且BC ⊄平面PAD ，所以 //BC 平面PAD ．又因为 BM ⊂平面PBC ，所以 平面//PBC 平面PAD ． …………11分 这显然矛盾！从而，棱PC 上不存在点M ，使得//BM 平面PAD ． …………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1．分层抽样 2．900 3．4π4- 4．38 5．π12二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种． ………… 2分 从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,97,100， 共4312⨯=种； ………… 3分 从A 组中取到100时，B 组中符合题意的取法为100,102,97,101,100，共155⨯=种； ………… 4分 因此符合题意的取法共有12517+=种， ………… 5分 所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P =. ………… 7分 （Ⅱ）解：B 组数据的方差小于A 组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程 运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障． …………10分7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下： ………… 1分 若ABC △同时满足①，②．因为 21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈， 所以 2π3B >． 所以 πA B +>，矛盾． ………… 3分 所以 ABC △只能同时满足③，④．所以 a b >，所以 A B >，故ABC △不满足②． ………… 5分 故ABC △满足 ①，③，④．（Ⅱ）解：因为 2222cos a b c bc A =+-， ………… 6分 所以 222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得 8c =，或5c =-（舍）． ………… 8分所以 △ABC 的面积1sin 2S bc A ==． …………10分。

北京市西城区第二学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x _______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-.（Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ+L +++≤，求实数λ的最小值.吨a21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2019-2020学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. [2,2]-； 12. 52； 13. 172，45； 14.73； 15. 59； 16. 4，29. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4=- ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C =. …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++L3125(21)(21)(21)n ---=++++++L3125(222)n n ---=++++L ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24nn =-+. ………………………9分 （Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--L L +++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---L11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-L +++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ+L +++≤， 所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分 当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，L 所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++L71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =，即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。

北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. 从原点O 射出的光线OP 经 BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处. ①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______；②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.正（主）视图C′B ′A ′ D ′C 1A 1B 118．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程. 19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =.（Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）B 卷一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.不小于5的3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和概率为_____．4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论：①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下： （Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数． 7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sinC 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值． 8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE .因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点， 所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE (5)分 （Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点，所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB =M 的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M 的圆心到所求直线的距离为2=.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==10分ABCDPEO2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11A C C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=，所以11190BB E A GB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线A F ⊥平面11B D E .…………………9分 . …………………12分 B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234..②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分.DBCA 1B 1C 1D 1AEF G H二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.0255950.1578.6⨯+⨯+⨯=．（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b 4B π=，sin sin a b A B=. 所以sin sin 4a A B b π==. …………………2分 当A 为锐角时，cos A sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分 ==. …………………4分 当A 为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+-. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-， 分数所以，过点M 的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. …………3分 （Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025tk t -=-， …………………5分所以直线EF 方程为210()225ty x t t -=---.当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=--.…………………6分 所以810(5,)5t F t +--，所以△DEF 的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-.由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分 所以2861B m y m -+=+，…………………9分所以2161A B my y m -=+.又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--，212()1A B A B A B mx x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分 所以直线AB 的斜率2216411231A B ABA B my y m k m x x m -+===-+.即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分 注：其他解法相应给分.点M '.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠，所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅；所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第1页（共5页）北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案 2020.7一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1）D （2）A （3）B （4）A （5）B （6）C （7）D（8）C（9）C（10）A二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） （11）2π5（12）13-（13）1 （14）；12π（15）②③（16）2注：（14）题每空2分；（15）题少解给2分，有错解不给分。

三、解答题（共6小题，共76分） （17）（共12分）解：（Ⅰ）因为 π0,2α∈()，4cos 5α=，所以3sin 5α=． ……… 3分 所以 sin 3tan cos 4ααα==． ……… 6分 （Ⅱ）因为 3sin 5α=，4cos 5α=，所以 21cos sin sin 22sin cos 22ααααα-+=+ ……… 10分 5350=． ……… 12分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第2页（共5页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）取BC 的中点D ，连接PD ．在Rt PBD △中，PD ==，………1分所以 12PBC S BC PD =⋅=△ ………3分 因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，所以正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△． ……… 5分 因为正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，所以正三棱锥P ABC -……… 7分 所以正三棱锥P ABC -的表面积为． ……… 8分 （Ⅱ）连接AD ，设点O 是正ABC △的中心，则PO 垂直于底面ABC ，且13OD AD =． ……… 10分 在Rt POD △中，3PO ==， ……… 11分 所以正三棱锥P ABC -的体积为133ABC S PO ⋅=△． ……… 13分（19）（共12分） 解：（Ⅰ）因为34C π=， 所以(0,4A π∈． ……… 1分所以 cos 5A ==． ……… 3分 由已知得4B A π=-， ……… 4分所以sin sin()sin cos cos sin 44410B A A A πππ=-=-=． ……… 6分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin a cA C=， (8)分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第3页（共5页）所以sin sin a A c C ==． ……… 9分又因为 5c a -=-解得 a =5c =． ……… 10分所以 15sin 22ABC S ac B ==△. ……… 12分（20）（共14分） 解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……… 1分得π04x +≠， ……… 2分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ……… 3分所以 ()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠-∈Z ． ……… 4分（Ⅱ）22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ ……… 6分 cos sin x x =- ……… 7分π4x =+． ……… 8分因为 02x π≤≤， 所以 ππ444x 3π+≤≤， ……… 9分所以 当π44x π+=，即0x =时，()f x 取得最大值1． ……… 11分（Ⅲ）因为函数cos y x =的单调递减区间为[2π,2ππ]()k k k +∈Z ． ……… 12分 由 π2π2ππ4k x k ++≤≤，ππ()4x k k ≠-∈Z ， ……… 13分 得 π3π2π2π44k x k -<<+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为π3π(2π,2π)44k k -+()k ∈Z ． ……… 14分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第4页（共5页）（21）（共12分）解：（Ⅰ）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F = ，连结AF ． ……… 2分 因为F DC ∈⊂平面ABCD ，且1F D E ∈⊂平面1AD E ． ……… 4分 所以平面1AD E 底面ABCD AF =．… 5分（Ⅱ）设BC AF G = ，连结GE ．由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，所以1//EG AD ． ……… 7分 所以平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -． ……… 8分 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2． 111177178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V V S FD ----=-==⨯⨯=棱台△． ……… 10分 所以另一部分几何体的体积为3717233-=， ……… 11分 所以两部分的体积之比是7:17． ……… 12分（22）（共13分）解：（Ⅰ）当OA OP ⊥时，在POB △中，由余弦定理，得 2222cos PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠ 2222222cos30︒=+-⨯⨯⨯8=-2分所以||PB =． ……… 3分又因为||PA =，120APB ∠= ，所以||||cos 2PA PB PA PB APB ⋅=∠=-． (5)分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第5页（共5页）（Ⅱ）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系． ……… 6分 由题意知(2,0)A ，由120AOB ∠=，得(B -． 设(2cos ,2sin )P αα，其中[0,]3α2π∈． ……… 7分则(22cos ,2sin )(12cos 2sin )PA PB αααα⋅=--⋅---……… 8分2222cos 4cos 4sin αααα=--+-+2cos 2αα=--+4sin()26απ=-++．……… 10分因为 [0,3α2π∈， 所以 [,]666αππ5π+∈， 所以 1sin([,1]62απ+∈， ……… 11分所以当3απ=时，PA PB ⋅ 取得最小值2-． ……… 13分。

北京市西城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷A 卷[立体几何初步与解析几何初步]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知点(1,2)P ，(3,0)Q ，则线段PQ 的中点为（）A. (4,2)B.(2,1)C. (2,4)D. (1,2)【答案】B【解析】因为点(1,2)P ，(3,0)Q ，所以PQ 的中点的横坐标为1322+=，纵坐标为2012+=，所以线段PQ 的中点为(2,1)，故本题选B.2.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A. 2B. 2-C. 12D.12-【答案】A【解析】因为直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，所以直线l 的斜率为1(1)210--=-，故本题选A.3.下列直线中，与直线320x y +-=平行的是（） A. 30x y -=B. 30x y -=C. 30x y +=D.30x y +=【答案】C【解析】直线320x y +-=的斜率为3-，在纵轴上的截距为2. 选项A:直线30x y -=的斜率为3，显然不与直线320x y +-=平行；选项B:直线30x y -=的斜率为13，显然不与直线320x y +-=平行；选项C:直线30x y +=的斜率为3-，在纵轴上的截距为0，故与与直线320x y +-=平行；选项D:直线30x y +=的斜率为13-，显然不与直线320x y +-=平行，故本题选C.4.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④【答案】D【解析】命题①:平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题； 命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.5.圆226160x x y -+-=的周长是（） A. 25πB. 10πC. 8πD. 5π【答案】B【解析】22226160(3)25x x y x y -+-=⇒-+=，所以圆的半径为5，因此圆的周长为10π，故本题选B.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（）A. 1BD GHB. BD EFC. 平面EFGH 平面ABCDD. 平面EFGH 平面11A BCD【答案】D【解析】选项A:由中位线定理可知：1GH D C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1EFA B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1EFA B，而直线1A B与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111,EF A B EH A D ，所以有EF 平面11A BCD ，EH平面11A BCD 而EFEH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD ，故本题选D.7.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD -，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F-，故选B.8.已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是（）A. (1,1)-B. (1,0)-C. (0,1)-D. (2,1)-【答案】B【解析】因为点B 在直线10x y ++=上运动，所以设点B 的坐标为(,1)x x --，由两点间距离公式可知：AB ==1x =-时, ||AB B 的坐标是(1,0)-，故本题选B.9.已知圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，那么这两个圆的位置关系不可能是（） A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切【答案】C 【解析】因为圆1O 的方程为224x y +=，所以圆1O 的圆心坐标为(0,0)，半径为2，又因为圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，所以圆2O 的圆心坐标为(,1)a ，半径为1，因此有121O O =≥，两圆的半径和为3，半径差的绝对值为1，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.10.如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BE x AB =，则（）A. 函数()y f x =值域为(0,4]B. 函数()y f x =的最大值为8C. 函数()y f x =在2(0,)3上单调递减D. 函数()y f x =满足()(1)f x f x =-【答案】D【解析】由题可得，////EF AC HG AC ，，所以//EF HG ．同理////EH BD GF BD ，，所以//EH GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC BD ⊥，所以EF EH ⊥，所以平行四边形EFGH 为矩形．因为//EF AC ，所以EF BFx AC AB ==，所以4EF x =,因为//EH BD ，所以1AE EHx AB BD ==-，所以()61-EH x =．所以矩形EFGH 的面积()()24101y x x x =-<<．函数()y f x =图象关于12x =对称，在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，可求得()max 162f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以值域是(]0,6. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11.直线1y =+的倾斜角的大小是______． 【答案】π3（或60）【解析】πtan [0,π)3θθθ=∈∴=. 12.对于任意实数k ，直线1y kx =+经过的定点坐标为______． 【答案】(0,1)【解析】对于任意实数k ，直线1y kx =+在纵轴上的截距圴为1，因此直线1y kx =+经过的定点坐标为(0,1).13.圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______． 【答案】4π【解析】因为圆柱的侧面积公式为:2πS rl =，（其中,r l 分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线），因为圆柱的高是2，所以圆柱的母线也是2，因此圆柱的侧面积为2π4πS rl ==. 14.圆心为(1,0)，且与直线0x y -=相切的圆的方程是______． 【答案】221(1)2x y -+=【解析】圆心(1,0)到直线0x y -=2=，而直线0x y -=是圆的切线，所以圆的半径为2，因此圆的方程为221(1)2x y -+=.15.设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积是______．【答案】16【解析】由题意可知:,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以有PA ⊥平面PBC ,所以三棱锥P ABC -的体积是-P ABC A PBC V V -==11113326BPC S AP PB PC PA ∆⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=.16.已知点(1,0)M -,(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是______．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥， 由平面向量数量积的坐标表示公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=，222210x mx m ⇒-+-=，由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）在图中作出点P 在底面ABC 的正投影，并说明理由． （Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以DE PC ． 因为DE ⊄平面PAC ，所以DE 平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以PD BC ⊥，AD BC ⊥．所以BC ⊥平面PAD ．所以平面ABC ⊥平面PAD ． （Ⅲ）解：在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影．理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC平面PAD AD =，又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABC ， 即点O 为点P 在底面ABC 的正投影．18.已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：圆C 的半径为||5OC ==，从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD ==，所以||4AD ==．所以||2||8AB AD ==．所以△ABC 的面积1||||122S AB CD ==．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ？说明理由． （Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥．因为AC PD ⊥，BD PD D =，,BD PD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）证明：连接PO ．由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ． 因为PO ⊂平面PAC ，所以BD PO ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以BO DO =．所以PB PD =． （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得BM 平面PAD ．因为菱形ABCD 中，BC AD ，且BC ⊄平面PAD ，所以BC 平面PAD ． 又因为BM ⊂平面PBC ，所以平面PBC 平面PAD ．这显然矛盾！ 从而，棱PC 上不存在点M ，使得BM ∥平面PAD ．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 20.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________. 【答案】分层抽样【解析】由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样.21.从某校3000名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟）的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学生人数为_____．【答案】900【解析】因为在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以有下列等式成立：(0.0050.0350.0200.010)1010.03a a ++++⨯=⇒=，在[70,80)这个组内，频率与组距之比的值为0.03，所以频率为0.03100.3⨯=，因此3000名学生每天阅读时间在[70,80)的学生人数为0.33000=900⨯.22.设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是_____． 【答案】4π4- 【解析】正方形ABCD 的面积为224⨯=，如下图所示：阴影部分的面积为:21π2π4⋅⋅=，在正方形内，阴影外面部分的面积为4π-，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是4π4-.23.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．【答案】38【解析】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 24.在△ABC 中，2a =，c =sin cos 0A A +=，则角B 的大小为_____．【答案】π12【解析】因为角A 是三角形的内角，所以(0,π)A ∈，又因为sin cos 0A A +=，所以有tan 1A =-，所以3π4A =，由正弦定理可知：1sin sin sin sin 2a c C A C C=⇒=⇒=，因为3π4A =，所以π(0,)4C ∈，因此π6C =，由三角形内角和定理可知：ππ12 B A C=--=.二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128100*********B组：10010297101100（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅱ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．（Ⅰ）解：从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种．从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,97,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,97,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725 P=.（Ⅱ）解：B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．26.已知ABC△同时满足下列四个条件中的三个：①π3A=；②2cos3B=-；③7a=；④3b=．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC△的面积．（Ⅰ）解：ABC△同时满足①，③，④．理由如下：若ABC△同时满足①，②．因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾． 所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②． 故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯．解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC的面积1sin 2S bc A ==．27.在直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(4)4M x y -+-=及其上一点A ． （Ⅰ）求||OA 的最大值；（Ⅱ）设(3,2)A ，点T 在x 轴上．若圆M 上存在两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求点T 的横坐标的取值范围．（Ⅰ）解：圆22:(3)(4)4M x y -+-=的圆心为(3,4)M ，半径2r =． 根据平面几何知识得||OA的最大值为||27OM r +=．（Ⅱ）解：设1122(,),(,),(,0)P x y Q x y T t ．因为TA TP TQ +=，所以1122(3,2)(,)(,)t x t y x t y -+-=-，即21213,2.x x t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上，所以2222(3)(4)4x y -+-=．② 将①代入②，得2211()(2)4x t y -+-=．于是点11(,)P x y 既在圆M 上，又在圆22()(2)4x t y -+-=上，从而圆22:(3)(4)4M x y -+-=与圆22()(2)4x t y -+-=有公共点．所以2222-+，解得33t -+≤。

2019-2020学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.下列各角中，与27°角终边相同的是()A. 63°B. 153°C. 207°D. 387°2.圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为()A. 20πcm2B. 10πcm2C. 28πcm2D. 14πcm23.sin(π2+α)=()A. sinαB. cosαC. −sinαD. −cosα4.设α∈(−π,π)，且cosα=−12，则α=()A. −2π3或2π3B. −π3或π3C. −π3或2π3D. −2π3或π35.设a⃗，b⃗ 均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =14，则|a⃗+2b⃗ |=()A. 3B. √6C. 6D. 96.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,π2)上为增函数的是()A. y=sin2xB. y=cos2xC. y=tanxD. y=sin x27.向量a⃗，b⃗ 在正方形网格中的位置如图所示，则<a⃗，b⃗ >=()A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°8.设α，β∈(0,π)，且α>β，则下列不等关系中一定成立的是()A. sinα<sinβB. sinα>sinβC. cosα<cosβD. cosα>cosβ9.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ≤π2)个单位，得到函数g(x)的图象．在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=()A. π6B. π4C. π3D. π210.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 已知圆的半径为2，则π5的圆心角所对的弧长为______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若sinα=13，则sinβ=______．13. 向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1.若(λa ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数λ=______．14. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______． 15. 已知函数f(x)={cosx,−π≤x <0,sinx,0≤x ≤π,给出下列三个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有且仅有3个零点； ③f(x)的值域是[−1,1]．其中，正确结论的序号是______．16. 设函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)，若f(x)≥f(−π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共76.0分） 17. 已知α∈(0,π2)，且cosα=45．(Ⅰ)求tanα的值； (Ⅱ)求sin 2α2+sin2α的值．18. 如图，正三棱锥P −ABC 的底面边长为2，侧棱长为3．(Ⅰ)求正三棱锥P −ABC 的表面积；(Ⅱ)求正三棱锥P−ABC的体积．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=34π，sinA=√55．(Ⅰ)求sin B的值；(Ⅱ)若c−a=5−√10，求△ABC的面积．20.已知函数f(x)=cos2xsinx+cosx．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值；(Ⅲ)求f(x)的单调递减区间．21.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．(Ⅰ)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；(Ⅱ)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．22. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB =120°，半径OA =OB =2，P 为弧AB 上一点．(Ⅰ)若OA ⊥OP ，求PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (Ⅱ)求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k⋅360°,k∈Z}，取k=1，可得α=387°．∴与27°角终边相同的是387°．故选：D．写出与27°终边相同角的集合，取k值得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础的概念题．2.【答案】A【解析】解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为S侧=2π×2×5=20π(cm2).故选：A．根据圆柱的侧面积公式计算即可．本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin(π2+α)=cosα．故选：B．直接利用诱导公式得答案．本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为α∈(−π,π)，且cosα=−12，则α=−2π3或2π3．故选：A．由已知角及范围，结合特殊角的三角函数即可求解．本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：a⃗，b⃗ 均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =14，则|a⃗+2b⃗ |=√|a⃗+2b⃗ |2=√a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1+4×14+4=√6．故选：B．利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】C【解析】解：在区间(0,π2)上，2x ∈(0,π)，y =sin2x 没有单调性，故排除A ． 在区间(0,π2)上，2x ∈(0,π)，y =cos2x 单调递减，故排除B ． 在区间(0,π2)上，y =tanx 单调递增，且其最小正周期为π，故C 正确； 根据函数以π为最小正周期，y =sin x2的周期为2π12=4π，可排除D ．故选：C ．利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，设网格的一个单位长度为1，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10，由余弦定理得，cosA =2√5×√5=0，∴∠A =90°，且AB =AC ，∴∠B =45°， ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=135°． 故选：D ． 可作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，然后根据余弦定理即可求出cosA =0，从而可得出∠B ，进而得出<a ⃗ ,b ⃗ >的值．本题考查了相等向量的定义，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题． 8.【答案】C【解析】解：因为α，β∈(0,π)，且α>β， 而y =sinx 在(0,π)上有增有减； y =cosx 在(0,π)上单调递减；故sinα与sinβ大小关系不确定，cosα<cosβ成立； 故选：C ．根据正弦函数以及余弦函数在(0,π)上的单调性求解即可．本题主要考查正弦函数以及余弦函数在(0,π)上的单调性，属于基础题． 9.【答案】C【解析】解：由图可知，g(17π24)=f(π8)=sin(2×π8)=√22， 因为f(x)的图象向右平移φ个单位，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=sin2(x −φ)，所以g(17π24)=sin2(17π24−φ)=sin(17π12−2φ)=√22， 所以17π12−2φ=π4+2kπ或3π4+2kπ，k ∈Z ， 解得φ=7π12−kπ或π3−kπ，k ∈Z ， 因为0<φ≤π2，所以φ=π3． 故选：C ．由图可知，g(17π24)=f(π8)=√22，根据函数图象的平移变化法则可知g(x)=sin2(x−φ)，于是推出g(17π24)=sin2(17π24−φ)=√22，即17π12−2φ=π4+2kπ或3π4+2kπ，k∈Z，再结合0<φ≤π2，解之即可得φ的值．本题考查正弦函数的图象与性质以及函数图象的平移变化法则，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设棱锥的体积为V，则V为定值，所以y=V−x，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故选：A．设棱锥的体积为V，则y=V−x，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解．本题考查函数的图象，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】2π5【解析】解：由弧长公式可得l=αr=π5×2=2π5．故答案为：2π5由已知结合弧长公式即可直接求解．本题主要考查了弧长公式的简单应用，属于基础试题．12.【答案】−13【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，∴sinβ=sin(−α)=−sinα=−13，故答案为：−13．由题意可得sinβ=sin(−α)，由此能求出结果．本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．13.【答案】1【解析】解：∵(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(λa⃗−b⃗ )⋅b⃗ =λa⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，即λ−1=0，解得λ=1．故答案为：1．根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可．本题主要考查平面向量数量积的定义与运算，考查学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】2√312π【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则：(2r)2=22+22+22=12，解得r =√3， 故球的直径为2√3．球的表面积为S =4×π×(√3)2=12π． 故答案为：2√3；12π．首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15.【答案】②③【解析】解：函数f(x)={cosx,−π≤x <0sinx,0≤x ≤π，①f(x)是非奇非偶函数，所以①不正确；②f(x)=0，可得x =−π2，x =0，x =π，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确； ③函数f(x)={cosx,−π≤x <0sinx,0≤x ≤π，f(x)的值域是[−1,1]，正确； 正确结论的序号是：②③． 故答案为：②③．判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的性质的应用，是基本知识的考查． 16.【答案】2【解析】解：若f(x)≥f(−π3)对任意的实数x 都成立， 可得f(x)的最小值为f(−π3)， 可得−π3ω+π6=2kπ−π2，k ∈Z ， 即有ω=2−6k ，k ∈Z ， 由ω>0，可得ω的最小值为2，此时k =0． 故答案为：2．由题意可得f(x)的最小值为f(−π3)，可得−π3ω+π6=2kπ−π2，k ∈Z ，解方程可得ω的最小值．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是正弦函数的最值，以及方程思想和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵α∈(0,π2)，且cosα=45，∴sinα=√1−cos 2α=35， 则tanα=sinαcosα=34； (Ⅱ)∵sinα=35，cosα=45，∴sin 2α+sin2α=1−cosα+2sinαcosα=1−4 52+2×35×45=5350．【解析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式求得sinα，再由商的关系求得tanα；(Ⅱ)直接利用二倍角的正弦及余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式与同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)取BC的中点D，连接PD，在Rt△PBD中，可得PD=√PB2−BD2=2√2．∴S△PBC=12BC⋅PD=2√2．∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P−ABC的侧面积是3S△PBC=6√2．∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴S△ABC=12×2×2×sin60°=√3．则正三棱锥P−ABC的表面积为6√2+√3；(Ⅱ)连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO⊥底面ABC．且OD=13AD=√33．在Rt△POD中，PO=√PD2−OD2=√693．∴正三棱锥P−ABC的体积为13S ABC⋅PO=√233．【解析】(Ⅰ)取BC的中点D，连接PD，利用勾股定理求得PD，可得三角形PBC的面积，进一步可得正三棱锥P−ABC的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P−ABC的表面积可求；(Ⅱ)连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO⊥底面ABC.求解PO，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)因为C=34π，sinA=√55，所以cosA=√1−sin2A=2√55．由已知得B=π4−A．所以sinB=sin(π4−A)=sinπ4cosA−cosπ4sinA=√22×2√55−√22×√55=√1010．(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=3π4，所以sinC=√22且sinB=√1010．由正弦定理得ac =sinAsinC=√105．又因为c−a=5−√10，所以c=5，a=√10．所以S△ABC=12acsinB=12×√10×5×√1010=52．【解析】(Ⅰ)先根据sinA=√55求得cos A的值，再由B=π4−A得到sinB=sin(π4−A)，然后根据两角和与差的公式可求得sin B的值．(Ⅱ)由C=3π4可求得sin C的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由c−a=5−√10可求出a，c的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式、正弦定理和三角形面积公式的应用．20.【答案】解：(Ⅰ)由sinx+cosx≠0，可得√2sin(x+π4)≠0，所以x+π4≠kπ，k∈Z，即x≠kπ−π4，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠kπ−π4,k∈Z}；(Ⅱ)f(x)=cos2xcosx+sinx =cos2x−sin2xcosx+sinx=cosx−sinx=√2cos(x+π4)，因为0≤x≤π2，所以π4≤x+π4≤3π4，则x+π4=π4，即x=0时，f(x)取得最大值1；(Ⅲ)由y=cosx的减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，可得2kπ≤x+π4≤2kπ+π，且x≠kπ−π4，k∈Z，即为2kπ−π4<x<2kπ+3π4，k∈Z，所以f(x)的减区间为(2kπ−π4,2kπ+3π4)，k∈Z．【解析】(Ⅰ)由分母不为0，结合辅助角公式和正弦函数的图象可得所求定义域；(Ⅱ)运用二倍角公式和余弦函数的图象和性质，可得所求最大值；(Ⅲ)由余弦函数的递减区间，解不等式可得所求减区间．本题考查三角函数的图象和性质，重点考查余弦函数的最值和单调性，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，∵F∈DC，DC⊂平面ABCD，则F∈平面ABCD，∵F∈D1E，D1E⊂平面AD1E，∴F∈平面AD1E.∴平面AD1E∩平面ABCD=AF．(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，由E为CC1的中点，得G为BC的中点，∴EG//AD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1．设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．V棱台CGE−DAD1=V F−DAD1−V F−CGE=78V F−DAD1=78×13S△DAD1×FD=73．∴另一部分几何体的体积为23−73=173．∴两部分的体积比为7：17．【解析】(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，可证F∈平面ABCD且F∈平面AD1E，得到平面AD1E∩平面ABCD=AF；(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，证明EG//AD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2.求出棱台CGE−DAD1的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案．本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当OA⊥OP时，如图所示，∵∠AOB=120°，∴∠POB=120°−90°=30°，∠OPB=180°−30°2=75°，∴∠APB= 75°+45°=120°，在△POB中，由余弦定理，得PB2=OB2+OP2−2OB⋅OPcos∠POB=22+22−2×2×2×cos30°=8−4√3，∴|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8−4√3=√6−√2，又|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅OA=2√2，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB=2√2×(√6−√2)×(−12)=2−2√3．(Ⅱ)以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0)，∵∠AOB=120°，OB=2，∴B(−1,√3)，设P(2cosα,2sinα)，其中α∈[0,2π3]，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2cosα,−2sinα)⋅(−1−2cosα,√3−2sinα)=−2−2cosα+4cos2α−2√3sinα+4sin2α=−2cosα−2√3sinα+2=−4sin(α+π6)+2．∵α∈[0,2π3]，∴α+π6∈[π6,5π6]，sin(α+π6)∈[12,1]，第11页，共12页第12页，共12页 ∴当α+π6=π2，即α=π3时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−2．【解析】(Ⅰ)先通过倒角运算得出∠POB =30°，∠APB =120°，再在△POB 中，由余弦定理可求得|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6−√2，然后根据平面向量数量积的定义PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB ，代入数据进行运算即可得解； (Ⅱ)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设P(2cosα,2sinα)，其中α∈[0,2π3]，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解．本题主要考查平面向量数量积的运算，还涉及余弦定理、三角恒等变换和正弦函数的值域问题等基础知识，遇到规则几何图形，一般可建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

2018-2019学年 北京市西城区北师大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：()0,2和()2,1--；半径分别为：11r =，24r = 则圆心距：d ==2121r r d r r -<<+Q ∴两圆位置关系为：相交本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定. 2．在ABC ∆中，若3b =，6A π=，4B π=，则a =（）ABC ．D ．2【答案】D【解析】由正弦定理构造方程即可求得结果. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：33sinsin 6sin 2sin 4b A a B ππ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.3．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。

若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A．30 B．40 C．70 D．90【答案】C【解析】根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】由题意可得，抽样比为：201 120060=则小学和初中共抽取：()1240018007060+⨯=人本题正确选项：C【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.4．下列命题中不正确的是（）A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB.平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线【答案】A【解析】逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，可能a在平面β内或与β相交，a不一定平行于平面β，题中说法错误；B . 由面面平行的定义可知：若平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，题中说法正确；C . 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；D . 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确. 本题选择A 选项. 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5．如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥A -BB 1C 1的体积为（）A ．312B 3C ．612D ．64【答案】A【解析】根据垂直关系可知11113A BCC B ACC ABC V V S BB --∆==⋅，计算可得13A BCC V -=；由111BCC BB C S S ∆∆=且A 到平面11BB C C 的距离固定，可知111A BB C A BCC V V --=，从而可得结果. 【详解】Q 三棱柱的棱长均为1 ABC ∆∴为等比三角形1311sin 6024ABC S ∆∴=⨯⨯⨯=o 1AA ⊥Q 平面ABC ，11//AA BB 1BB ∴⊥平面ABC11113312A BCC B ACC ABC V V S BB --∆∴==⋅=111BCC BB C S S ∆∆=Q 1113A BB C A BCC V V --∴==本题正确选项：A 【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够通过体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=o ，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错．误．的是（ ）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBD D ．三棱锥D PBQ -的体积为14【答案】B【解析】根据余弦定理可求得23BD =，利用勾股定理证得AD DB ⊥，由线面垂直性质可知PD AD ⊥，利用线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PBD ，利用线面垂直性质可知A 正确；假设B 正确，由DB BC ⊥和假设可证得DB ⊥平面PBC ，由线面垂直性质可知DB PB ⊥，从而得到//PB PD ，显然错误，则B 错误；由面面垂直判定定理可证得C 正确；由1122D PBQ D PBC C PBD V V V ---==可求得三棱锥体积，知D 正确，从而可得选项. 【详解】1AD =Q ，2AB =，60DAB ∠=o2222cos 3BD AD AB AD AB DAB ∴=+-⋅∠=222AD BD AB ∴+= AD DB ∴⊥PD ⊥Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ∴⊥PD AD又,PD DB ⊂平面PBD ，PD DB D =I AD ∴⊥平面PBDPB ⊂Q 平面PBD AD PB ∴⊥，则A 正确；若PQ DB ⊥，又//AD BC 且AD DB ⊥ DB BC ∴⊥,PQ BC ⊂Q 平面PBC ，PQ BC C =I DB ∴⊥平面PBCPB ⊂Q 平面PBC DB PB ∴⊥又DB PD ⊥ //PB PD ∴，与PB PD P =I 矛盾，假设错误，则B 错误；AD ⊥Q 平面PBD ，//AD BC BC ∴⊥平面PBD又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PBD ，则C 正确；Q Q 为PC 中点 111226D PBQ D PBC C PBD PBD V V V S BC ---∆∴===⋅PD BD ==Q PD DB ⊥ 1322PBDS PD BD ∆∴=⋅= 1311624D PBQ V -∴=⨯⨯=，则D 正确本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中相关命题的判断，涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用、面面垂直关系的判定、三棱锥体积的求解等知识，是对立体几何部分的定理的综合考查，关键是能够准确判定出图形中的线面垂直关系.7．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U【答案】D【解析】由直线方程可得直线恒过点()1,0C ，利用两点连线斜率公式可求得临界值AC k 和BC k ，从而求得结果. 【详解】直线()1y k x =-恒过点()1,0C则20131AC k -==-，10101BC k -==-- (][),11,k ∴∈-∞-+∞U 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.8．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．【考点】两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．9．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．2,3]B ．[2,5]C ．2,6]D ．2,7]【答案】C【解析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+max 156EF +=则线段EF 长度的取值范围为：2,6⎡⎣本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.10．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】先求得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （b a -，0），由b a-≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b 13=；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b 12＜； ③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b＞122-．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果． 【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12）， 把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得 b 12＜， 故有13＜b 12＜． ③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|． 由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得2（1﹣b ）21a =-＜1，∴1﹣b 2，化简可得 b ＞122-， 故有122-b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是 2112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题11．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为________. 【答案】56【解析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，∴甲不输的概率为115326P =+=12．在ABC ∆中，若3a =，4c =，1cos 4C =-，则b =________。