2019北京西城区高一第二学期 期末数学试卷及答案

2019学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷
【含答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________ 题号 总分
得分
、选择题
1. 对一个容量为-的总体抽取容量为 .的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样 和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为 f .广.A' 则（ ________ ）
2. 从1，2，3, 4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为 5的概率是 （_______ ）
A . - ________________________
B . - _________
C . - _____ K 4
1
S 值为（
c • ' 一 _______________ D 3. 执行如图所示的程序框图，输出的
押i *
参考答案及解析
第1题【答案】
j
【解析】
试题分■析：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三大拊样都是等槪率抽样，因此对一个容量対N的总体抽取容量为影的样轧不管用哪种抽样，总体中每个个体被抽中的概率都相等第2题【答案】
【解析】
之W葵的概戦I
第3题【答案】
【解析】
试题分析：根掳题青，第一次执行完循环结构时；当第二次执行完循环结构时，
13 2 5
X2.S = 1H ；当第三次执行循环结构时，^ = 3.5=1+| = | ；止匕时不满足上＜3 ,结束循环 ,冊S.S=|。

北京市西城区2018 — 2019学年度第二学期期末试卷高一数学2019.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知点(1,2)P ，(3,0)Q ，则线段PQ 的中点为（） （A ）(4,2)（B ）(2,1)（C ）(2,4)（D ）(1,2)2．直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（） （A ）2（B ）2-（C ）12（D ）12-3．下列直线中，与直线320x y +-=平行的是（） （A ）30x y -= （B ）30x y -= （C ）30x y +=（D ）30x y +=4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（） （A ）①② （B ）①③ （C ）②④（D ）③④ 5．圆226160x x y -+-=的周长是（） （A ）25π （B ）10π（C ）8π（D ）5π6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若E F G H ,,,分别 是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（）（A ）1//BD GH（B ）//BD EF（C ）平面//EFGH 平面ABCD（D ）平面//EFGH 平面11A BCD7．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体 的三视图如图所示，则截去的几何体是（） （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥（D ）四棱柱8．已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是（） （A ）(1,1)- （B ）(1,0)- （C ）(0,1)-（D ）(2,1)-9．已知圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，那么这两个圆的 位置关系不可能是（） （A ）外离 （B ）外切 （C ）内含（D ）内切10．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6， 平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ．记四边形 EFGH 的面积为y ，设BExAB=，则（） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =为偶函数（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．直线1y =+的倾斜角的大小是______．12．对于任意实数k ，直线1y kx =+经过的定点坐标为______．13．圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______．14．圆心为(1,0)，且与直线0x y -=相切的圆的方程是______．15．设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的 体积是______．16．已知点(1,0)M -,(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）在图中作出点P 在底面ABC 的正投影，并说明理由．18．（本小题满分12分）已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得//BM 平面PAD ？说明理由．B 卷 [学期综合]本卷满分：50一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价， 该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是_____．2．从某校3000名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟） 的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学 生人数为_____．3．设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大 于2的概率是_____．4．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第 一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．5．在△ABC 中，2a =，c sin cos 0A A +=，则角B 的大小为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6．（本小题满分10分）为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128100*********B组：10010297101100（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅱ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．7．（本小题满分10分）已知ABC△同时满足下列四个条件中的三个：①π3A=；②2cos3B=-；③7a=；④3b=．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC△的面积．8．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，已知圆22:(3)(4)4M x y-+-=及其上一点A．（Ⅰ）求||OA的最大值；（Ⅱ）设(3,2)A，点T在x轴上．若圆M上存在两点P和Q，使得TA TP TQ+=，求点T 的横坐标的取值范围．北京市西城区2018— 2019学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2019.7A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.B9.C 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.60︒12.(0,1)13.4π14.221(1)2x y -+=15.1616.[三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点， 所以//DE PC ．…………3分 因为DE ⊄平面PAC ，…………4分 所以//DE 平面PAC ．…………5分（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点， 所以PD BC ⊥，AD BC ⊥．…………8分 所以BC ⊥平面PAD ．…………9分 所以平面ABC ⊥平面PAD ．…………10分（Ⅲ）解：在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影． 理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC 平面PAD AD =，又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥， 所以PO ⊥平面ABC ，即点O 为点P 在底面ABC 的正投影．…………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：圆C 的半径为 ||5OC =， …………2分 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=．…………4分 （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．…………5分在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD =，…………7分所以||4AD ==．…………9分 所以||2||8AB AD ==．…………10分所以△ABC 的面积1||||122S AB CD ==．…………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥．…………2分 因为 AC PD ⊥，…………3分 所以 AC ⊥平面PBD ．…………4分 （Ⅱ）证明：连接PO ． 由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为平面PAC平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC ．…………5分 因为 PO ⊂平面PAC ， 所以 BD PO ⊥．…………6分 因为 底面ABCD 是菱形， 所以BO DO =．…………7分 所以 PB PD =．…………8分 （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得//BM 平面PAD ． 因为菱形ABCD 中，//BC AD ，且BC ⊄平面PAD ， 所以 //BC 平面PAD ．又因为BM ⊂平面PBC ，所以 平面//PBC 平面PAD ．…………11分 这显然矛盾！从而，棱PC 上不存在点M ，使得//BM 平面PAD ．…………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1．分层抽样2．9003．4π4-4．385．π12二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种． …………2分从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,97,100， 共4312⨯=种； …………3分 从A 组中取到100时，B 组中符合题意的取法为100,102,97,101,100， 共155⨯=种； …………4分 因此符合题意的取法共有12517+=种，…………5分 所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P =. …………7分 （Ⅱ）解：B 组数据的方差小于A 组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程 运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………10分7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：…………1分 若ABC △同时满足①，②．因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾．…………3分 所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②．…………5分 故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-，…………6分所以222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得8c =，或5c =-（舍）．…………8分所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==．…………10分 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：圆22:(3)(4)4M x y -+-=的圆心为(3,4)M ，半径2r =．根据平面几何知识得||OA 的最大值为||27OM r +=．…………3分 （Ⅱ）解：设1122(,),(,),(,0)P x y Q x y T t ．因为TA TP TQ +=，所以1122(3,2)(,)(,)t x t y x t y -+-=-， 即21213,2.x x t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上，所以 2222(3)(4)4x y -+-=．②将①代入②，得2211()(2)4x t y -+-=．…………6分于是点11(,)P x y 既在圆M 上，又在圆22()(2)4x t y -+-=上，从而圆22:(3)(4)4M x y -+-=与圆22()(2)4x t y -+-=有公共点．………… 8分所以2222-+，…………9分解得33t -+≤10分。

北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高一数学 2020.7本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列各角中，与27︒角终边相同的是 （A ）63︒ （B ）153︒ （C ）207︒（D ）387︒（2）圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为 （A ）220cm π （B ）210cm π （C ）228cm π （D ）214cm π（3）sin()2απ+= （A ）sin α （B ）cos α （C ）sin α-（D ）cos α-（4）设(,)α∈-ππ，且1cos 2α=-，则α=（A ）2π3-或2π3 （B ）π3-或π3（C ）π3-或2π3（D ）2π3-或π3（5）设a ，b 均为单位向量，且14⋅=a b ，则2+=|a b |（A ）3 （B （C ）6（D ）9（6）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,)2π上为增函数的是（A ）sin 2y x = （B ）cos2y x = （C ）tan y x =（D ）sin 2xy =（7）向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则,〈〉=a b（A ）45︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）135︒（8）设(0,)αβ,∈π，且αβ>，则下列不等关系中一定成立的是 （A ）sin sin αβ< （B ）sin sin αβ> （C ）cos cos αβ<（D ）cos cos αβ>（9） 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移π(0)2ϕϕ<≤个单位，得到函数()g x 的图像．在同一坐标系中，这两个函数的部分图像如图所示，则ϕ=（A ）π6 （B ）π4（C ）π3（D ）π2（10）棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为y ， 棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图像为（A ） （B ） （C ） （D ）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第1页（共5页）北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案 2020.7一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1）D （2）A （3）B （4）A （5）B （6）C （7）D（8）C（9）C（10）A二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） （11）2π5（12）13-（13）1 （14）；12π（15）②③（16）2注：（14）题每空2分；（15）题少解给2分，有错解不给分。

三、解答题（共6小题，共76分） （17）（共12分）解：（Ⅰ）因为 π0,2α∈()，4cos 5α=，所以3sin 5α=． ……… 3分 所以 sin 3tan cos 4ααα==． ……… 6分 （Ⅱ）因为 3sin 5α=，4cos 5α=，所以 21cos sin sin 22sin cos 22ααααα-+=+ ……… 10分 5350=． ……… 12分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第2页（共5页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）取BC 的中点D ，连接PD ．在Rt PBD △中，PD ==，………1分所以 12PBC S BC PD =⋅=△ ………3分 因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，所以正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△． ……… 5分 因为正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，所以正三棱锥P ABC -……… 7分 所以正三棱锥P ABC -的表面积为． ……… 8分 （Ⅱ）连接AD ，设点O 是正ABC △的中心，则PO 垂直于底面ABC ，且13OD AD =． ……… 10分 在Rt POD △中，3PO ==， ……… 11分 所以正三棱锥P ABC -的体积为133ABC S PO ⋅=△． ……… 13分（19）（共12分） 解：（Ⅰ）因为34C π=， 所以(0,4A π∈． ……… 1分所以 cos 5A ==． ……… 3分 由已知得4B A π=-， ……… 4分所以sin sin()sin cos cos sin 44410B A A A πππ=-=-=． ……… 6分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin a cA C=， (8)分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第3页（共5页）所以sin sin a A c C ==． ……… 9分又因为 5c a -=-解得 a =5c =． ……… 10分所以 15sin 22ABC S ac B ==△. ……… 12分（20）（共14分） 解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……… 1分得π04x +≠， ……… 2分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ……… 3分所以 ()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠-∈Z ． ……… 4分（Ⅱ）22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ ……… 6分 cos sin x x =- ……… 7分π4x =+． ……… 8分因为 02x π≤≤， 所以 ππ444x 3π+≤≤， ……… 9分所以 当π44x π+=，即0x =时，()f x 取得最大值1． ……… 11分（Ⅲ）因为函数cos y x =的单调递减区间为[2π,2ππ]()k k k +∈Z ． ……… 12分 由 π2π2ππ4k x k ++≤≤，ππ()4x k k ≠-∈Z ， ……… 13分 得 π3π2π2π44k x k -<<+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为π3π(2π,2π)44k k -+()k ∈Z ． ……… 14分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第4页（共5页）（21）（共12分）解：（Ⅰ）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F = ，连结AF ． ……… 2分 因为F DC ∈⊂平面ABCD ，且1F D E ∈⊂平面1AD E ． ……… 4分 所以平面1AD E 底面ABCD AF =．… 5分（Ⅱ）设BC AF G = ，连结GE ．由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，所以1//EG AD ． ……… 7分 所以平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -． ……… 8分 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2． 111177178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V V S FD ----=-==⨯⨯=棱台△． ……… 10分 所以另一部分几何体的体积为3717233-=， ……… 11分 所以两部分的体积之比是7:17． ……… 12分（22）（共13分）解：（Ⅰ）当OA OP ⊥时，在POB △中，由余弦定理，得 2222cos PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠ 2222222cos30︒=+-⨯⨯⨯8=-2分所以||PB =． ……… 3分又因为||PA =，120APB ∠= ，所以||||cos 2PA PB PA PB APB ⋅=∠=-． (5)分北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第5页（共5页）（Ⅱ）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系． ……… 6分 由题意知(2,0)A ，由120AOB ∠=，得(B -． 设(2cos ,2sin )P αα，其中[0,]3α2π∈． ……… 7分则(22cos ,2sin )(12cos 2sin )PA PB αααα⋅=--⋅---……… 8分2222cos 4cos 4sin αααα=--+-+2cos 2αα=--+4sin()26απ=-++．……… 10分因为 [0,3α2π∈， 所以 [,]666αππ5π+∈， 所以 1sin([,1]62απ+∈， ……… 11分所以当3απ=时，PA PB ⋅ 取得最小值2-． ……… 13分。

北京市西城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷A 卷[立体几何初步与解析几何初步]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知点(1,2)P ，(3,0)Q ，则线段PQ 的中点为（）A. (4,2)B.(2,1)C. (2,4)D. (1,2)【答案】B【解析】因为点(1,2)P ，(3,0)Q ，所以PQ 的中点的横坐标为1322+=，纵坐标为2012+=，所以线段PQ 的中点为(2,1)，故本题选B.2.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A. 2B. 2-C. 12D.12-【答案】A【解析】因为直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，所以直线l 的斜率为1(1)210--=-，故本题选A.3.下列直线中，与直线320x y +-=平行的是（） A. 30x y -=B. 30x y -=C. 30x y +=D.30x y +=【答案】C【解析】直线320x y +-=的斜率为3-，在纵轴上的截距为2. 选项A:直线30x y -=的斜率为3，显然不与直线320x y +-=平行；选项B:直线30x y -=的斜率为13，显然不与直线320x y +-=平行；选项C:直线30x y +=的斜率为3-，在纵轴上的截距为0，故与与直线320x y +-=平行；选项D:直线30x y +=的斜率为13-，显然不与直线320x y +-=平行，故本题选C.4.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④【答案】D【解析】命题①:平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题； 命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.5.圆226160x x y -+-=的周长是（） A. 25πB. 10πC. 8πD. 5π【答案】B【解析】22226160(3)25x x y x y -+-=⇒-+=，所以圆的半径为5，因此圆的周长为10π，故本题选B.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（）A. 1BD GHB. BD EFC. 平面EFGH 平面ABCDD. 平面EFGH 平面11A BCD【答案】D【解析】选项A:由中位线定理可知：1GH D C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1EFA B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1EFA B，而直线1A B与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111,EF A B EH A D ，所以有EF 平面11A BCD ，EH平面11A BCD 而EFEH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD ，故本题选D.7.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD -，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F-，故选B.8.已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是（）A. (1,1)-B. (1,0)-C. (0,1)-D. (2,1)-【答案】B【解析】因为点B 在直线10x y ++=上运动，所以设点B 的坐标为(,1)x x --，由两点间距离公式可知：AB ==1x =-时, ||AB B 的坐标是(1,0)-，故本题选B.9.已知圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，那么这两个圆的位置关系不可能是（） A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切【答案】C 【解析】因为圆1O 的方程为224x y +=，所以圆1O 的圆心坐标为(0,0)，半径为2，又因为圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，所以圆2O 的圆心坐标为(,1)a ，半径为1，因此有121O O =≥，两圆的半径和为3，半径差的绝对值为1，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.10.如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BE x AB =，则（）A. 函数()y f x =值域为(0,4]B. 函数()y f x =的最大值为8C. 函数()y f x =在2(0,)3上单调递减D. 函数()y f x =满足()(1)f x f x =-【答案】D【解析】由题可得，////EF AC HG AC ，，所以//EF HG ．同理////EH BD GF BD ，，所以//EH GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC BD ⊥，所以EF EH ⊥，所以平行四边形EFGH 为矩形．因为//EF AC ，所以EF BFx AC AB ==，所以4EF x =,因为//EH BD ，所以1AE EHx AB BD ==-，所以()61-EH x =．所以矩形EFGH 的面积()()24101y x x x =-<<．函数()y f x =图象关于12x =对称，在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，可求得()max 162f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以值域是(]0,6. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11.直线1y =+的倾斜角的大小是______． 【答案】π3（或60）【解析】πtan [0,π)3θθθ=∈∴=. 12.对于任意实数k ，直线1y kx =+经过的定点坐标为______． 【答案】(0,1)【解析】对于任意实数k ，直线1y kx =+在纵轴上的截距圴为1，因此直线1y kx =+经过的定点坐标为(0,1).13.圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______． 【答案】4π【解析】因为圆柱的侧面积公式为:2πS rl =，（其中,r l 分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线），因为圆柱的高是2，所以圆柱的母线也是2，因此圆柱的侧面积为2π4πS rl ==. 14.圆心为(1,0)，且与直线0x y -=相切的圆的方程是______． 【答案】221(1)2x y -+=【解析】圆心(1,0)到直线0x y -=2=，而直线0x y -=是圆的切线，所以圆的半径为2，因此圆的方程为221(1)2x y -+=.15.设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积是______．【答案】16【解析】由题意可知:,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以有PA ⊥平面PBC ,所以三棱锥P ABC -的体积是-P ABC A PBC V V -==11113326BPC S AP PB PC PA ∆⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=.16.已知点(1,0)M -,(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是______．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥， 由平面向量数量积的坐标表示公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=，222210x mx m ⇒-+-=，由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）在图中作出点P 在底面ABC 的正投影，并说明理由． （Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以DE PC ． 因为DE ⊄平面PAC ，所以DE 平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以PD BC ⊥，AD BC ⊥．所以BC ⊥平面PAD ．所以平面ABC ⊥平面PAD ． （Ⅲ）解：在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影．理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC平面PAD AD =，又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABC ， 即点O 为点P 在底面ABC 的正投影．18.已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：圆C 的半径为||5OC ==，从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD ==，所以||4AD ==．所以||2||8AB AD ==．所以△ABC 的面积1||||122S AB CD ==．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ？说明理由． （Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥．因为AC PD ⊥，BD PD D =，,BD PD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）证明：连接PO ．由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ． 因为PO ⊂平面PAC ，所以BD PO ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以BO DO =．所以PB PD =． （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得BM 平面PAD ．因为菱形ABCD 中，BC AD ，且BC ⊄平面PAD ，所以BC 平面PAD ． 又因为BM ⊂平面PBC ，所以平面PBC 平面PAD ．这显然矛盾！ 从而，棱PC 上不存在点M ，使得BM ∥平面PAD ．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 20.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________. 【答案】分层抽样【解析】由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样.21.从某校3000名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟）的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学生人数为_____．【答案】900【解析】因为在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以有下列等式成立：(0.0050.0350.0200.010)1010.03a a ++++⨯=⇒=，在[70,80)这个组内，频率与组距之比的值为0.03，所以频率为0.03100.3⨯=，因此3000名学生每天阅读时间在[70,80)的学生人数为0.33000=900⨯.22.设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是_____． 【答案】4π4- 【解析】正方形ABCD 的面积为224⨯=，如下图所示：阴影部分的面积为:21π2π4⋅⋅=，在正方形内，阴影外面部分的面积为4π-，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是4π4-.23.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．【答案】38【解析】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 24.在△ABC 中，2a =，c =sin cos 0A A +=，则角B 的大小为_____．【答案】π12【解析】因为角A 是三角形的内角，所以(0,π)A ∈，又因为sin cos 0A A +=，所以有tan 1A =-，所以3π4A =，由正弦定理可知：1sin sin sin sin 2a c C A C C=⇒=⇒=，因为3π4A =，所以π(0,)4C ∈，因此π6C =，由三角形内角和定理可知：ππ12 B A C=--=.二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128100*********B组：10010297101100（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅱ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．（Ⅰ）解：从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种．从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,97,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,97,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725 P=.（Ⅱ）解：B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．26.已知ABC△同时满足下列四个条件中的三个：①π3A=；②2cos3B=-；③7a=；④3b=．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC△的面积．（Ⅰ）解：ABC△同时满足①，③，④．理由如下：若ABC△同时满足①，②．因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾． 所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②． 故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯．解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC的面积1sin 2S bc A ==．27.在直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(4)4M x y -+-=及其上一点A ． （Ⅰ）求||OA 的最大值；（Ⅱ）设(3,2)A ，点T 在x 轴上．若圆M 上存在两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求点T 的横坐标的取值范围．（Ⅰ）解：圆22:(3)(4)4M x y -+-=的圆心为(3,4)M ，半径2r =． 根据平面几何知识得||OA的最大值为||27OM r +=．（Ⅱ）解：设1122(,),(,),(,0)P x y Q x y T t ．因为TA TP TQ +=，所以1122(3,2)(,)(,)t x t y x t y -+-=-，即21213,2.x x t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上，所以2222(3)(4)4x y -+-=．② 将①代入②，得2211()(2)4x t y -+-=．于是点11(,)P x y 既在圆M 上，又在圆22()(2)4x t y -+-=上，从而圆22:(3)(4)4M x y -+-=与圆22()(2)4x t y -+-=有公共点．所以2222-+，解得33t -+≤。

2019-2020学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.下列各角中，与27°角终边相同的是()A. 63°B. 153°C. 207°D. 387°2.圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为()A. 20πcm2B. 10πcm2C. 28πcm2D. 14πcm23.sin(π2+α)=()A. sinαB. cosαC. −sinαD. −cosα4.设α∈(−π,π)，且cosα=−12，则α=()A. −2π3或2π3B. −π3或π3C. −π3或2π3D. −2π3或π35.设a⃗，b⃗ 均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =14，则|a⃗+2b⃗ |=()A. 3B. √6C. 6D. 96.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,π2)上为增函数的是()A. y=sin2xB. y=cos2xC. y=tanxD. y=sin x27.向量a⃗，b⃗ 在正方形网格中的位置如图所示，则<a⃗，b⃗ >=()A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°8.设α，β∈(0,π)，且α>β，则下列不等关系中一定成立的是()A. sinα<sinβB. sinα>sinβC. cosα<cosβD. cosα>cosβ9.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ≤π2)个单位，得到函数g(x)的图象．在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=()A. π6B. π4C. π3D. π210.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 已知圆的半径为2，则π5的圆心角所对的弧长为______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若sinα=13，则sinβ=______．13. 向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1.若(λa ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数λ=______．14. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______． 15. 已知函数f(x)={cosx,−π≤x <0,sinx,0≤x ≤π,给出下列三个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有且仅有3个零点； ③f(x)的值域是[−1,1]．其中，正确结论的序号是______．16. 设函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)，若f(x)≥f(−π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共76.0分） 17. 已知α∈(0,π2)，且cosα=45．(Ⅰ)求tanα的值； (Ⅱ)求sin 2α2+sin2α的值．18. 如图，正三棱锥P −ABC 的底面边长为2，侧棱长为3．(Ⅰ)求正三棱锥P −ABC 的表面积；(Ⅱ)求正三棱锥P−ABC的体积．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=34π，sinA=√55．(Ⅰ)求sin B的值；(Ⅱ)若c−a=5−√10，求△ABC的面积．20.已知函数f(x)=cos2xsinx+cosx．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值；(Ⅲ)求f(x)的单调递减区间．21.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．(Ⅰ)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；(Ⅱ)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．22. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB =120°，半径OA =OB =2，P 为弧AB 上一点．(Ⅰ)若OA ⊥OP ，求PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (Ⅱ)求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k⋅360°,k∈Z}，取k=1，可得α=387°．∴与27°角终边相同的是387°．故选：D．写出与27°终边相同角的集合，取k值得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础的概念题．2.【答案】A【解析】解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为S侧=2π×2×5=20π(cm2).故选：A．根据圆柱的侧面积公式计算即可．本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin(π2+α)=cosα．故选：B．直接利用诱导公式得答案．本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为α∈(−π,π)，且cosα=−12，则α=−2π3或2π3．故选：A．由已知角及范围，结合特殊角的三角函数即可求解．本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：a⃗，b⃗ 均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =14，则|a⃗+2b⃗ |=√|a⃗+2b⃗ |2=√a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1+4×14+4=√6．故选：B．利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】C【解析】解：在区间(0,π2)上，2x ∈(0,π)，y =sin2x 没有单调性，故排除A ． 在区间(0,π2)上，2x ∈(0,π)，y =cos2x 单调递减，故排除B ． 在区间(0,π2)上，y =tanx 单调递增，且其最小正周期为π，故C 正确； 根据函数以π为最小正周期，y =sin x2的周期为2π12=4π，可排除D ．故选：C ．利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，设网格的一个单位长度为1，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10，由余弦定理得，cosA =2√5×√5=0，∴∠A =90°，且AB =AC ，∴∠B =45°， ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=135°． 故选：D ． 可作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，然后根据余弦定理即可求出cosA =0，从而可得出∠B ，进而得出<a ⃗ ,b ⃗ >的值．本题考查了相等向量的定义，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题． 8.【答案】C【解析】解：因为α，β∈(0,π)，且α>β， 而y =sinx 在(0,π)上有增有减； y =cosx 在(0,π)上单调递减；故sinα与sinβ大小关系不确定，cosα<cosβ成立； 故选：C ．根据正弦函数以及余弦函数在(0,π)上的单调性求解即可．本题主要考查正弦函数以及余弦函数在(0,π)上的单调性，属于基础题． 9.【答案】C【解析】解：由图可知，g(17π24)=f(π8)=sin(2×π8)=√22， 因为f(x)的图象向右平移φ个单位，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=sin2(x −φ)，所以g(17π24)=sin2(17π24−φ)=sin(17π12−2φ)=√22， 所以17π12−2φ=π4+2kπ或3π4+2kπ，k ∈Z ， 解得φ=7π12−kπ或π3−kπ，k ∈Z ， 因为0<φ≤π2，所以φ=π3． 故选：C ．由图可知，g(17π24)=f(π8)=√22，根据函数图象的平移变化法则可知g(x)=sin2(x−φ)，于是推出g(17π24)=sin2(17π24−φ)=√22，即17π12−2φ=π4+2kπ或3π4+2kπ，k∈Z，再结合0<φ≤π2，解之即可得φ的值．本题考查正弦函数的图象与性质以及函数图象的平移变化法则，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设棱锥的体积为V，则V为定值，所以y=V−x，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故选：A．设棱锥的体积为V，则y=V−x，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解．本题考查函数的图象，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】2π5【解析】解：由弧长公式可得l=αr=π5×2=2π5．故答案为：2π5由已知结合弧长公式即可直接求解．本题主要考查了弧长公式的简单应用，属于基础试题．12.【答案】−13【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，∴sinβ=sin(−α)=−sinα=−13，故答案为：−13．由题意可得sinβ=sin(−α)，由此能求出结果．本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．13.【答案】1【解析】解：∵(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(λa⃗−b⃗ )⋅b⃗ =λa⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，即λ−1=0，解得λ=1．故答案为：1．根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可．本题主要考查平面向量数量积的定义与运算，考查学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】2√312π【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则：(2r)2=22+22+22=12，解得r =√3， 故球的直径为2√3．球的表面积为S =4×π×(√3)2=12π． 故答案为：2√3；12π．首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15.【答案】②③【解析】解：函数f(x)={cosx,−π≤x <0sinx,0≤x ≤π，①f(x)是非奇非偶函数，所以①不正确；②f(x)=0，可得x =−π2，x =0，x =π，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确； ③函数f(x)={cosx,−π≤x <0sinx,0≤x ≤π，f(x)的值域是[−1,1]，正确； 正确结论的序号是：②③． 故答案为：②③．判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的性质的应用，是基本知识的考查． 16.【答案】2【解析】解：若f(x)≥f(−π3)对任意的实数x 都成立， 可得f(x)的最小值为f(−π3)， 可得−π3ω+π6=2kπ−π2，k ∈Z ， 即有ω=2−6k ，k ∈Z ， 由ω>0，可得ω的最小值为2，此时k =0． 故答案为：2．由题意可得f(x)的最小值为f(−π3)，可得−π3ω+π6=2kπ−π2，k ∈Z ，解方程可得ω的最小值．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是正弦函数的最值，以及方程思想和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵α∈(0,π2)，且cosα=45，∴sinα=√1−cos 2α=35， 则tanα=sinαcosα=34； (Ⅱ)∵sinα=35，cosα=45，∴sin 2α+sin2α=1−cosα+2sinαcosα=1−4 52+2×35×45=5350．【解析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式求得sinα，再由商的关系求得tanα；(Ⅱ)直接利用二倍角的正弦及余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式与同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)取BC的中点D，连接PD，在Rt△PBD中，可得PD=√PB2−BD2=2√2．∴S△PBC=12BC⋅PD=2√2．∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P−ABC的侧面积是3S△PBC=6√2．∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴S△ABC=12×2×2×sin60°=√3．则正三棱锥P−ABC的表面积为6√2+√3；(Ⅱ)连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO⊥底面ABC．且OD=13AD=√33．在Rt△POD中，PO=√PD2−OD2=√693．∴正三棱锥P−ABC的体积为13S ABC⋅PO=√233．【解析】(Ⅰ)取BC的中点D，连接PD，利用勾股定理求得PD，可得三角形PBC的面积，进一步可得正三棱锥P−ABC的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P−ABC的表面积可求；(Ⅱ)连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO⊥底面ABC.求解PO，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)因为C=34π，sinA=√55，所以cosA=√1−sin2A=2√55．由已知得B=π4−A．所以sinB=sin(π4−A)=sinπ4cosA−cosπ4sinA=√22×2√55−√22×√55=√1010．(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=3π4，所以sinC=√22且sinB=√1010．由正弦定理得ac =sinAsinC=√105．又因为c−a=5−√10，所以c=5，a=√10．所以S△ABC=12acsinB=12×√10×5×√1010=52．【解析】(Ⅰ)先根据sinA=√55求得cos A的值，再由B=π4−A得到sinB=sin(π4−A)，然后根据两角和与差的公式可求得sin B的值．(Ⅱ)由C=3π4可求得sin C的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由c−a=5−√10可求出a，c的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式、正弦定理和三角形面积公式的应用．20.【答案】解：(Ⅰ)由sinx+cosx≠0，可得√2sin(x+π4)≠0，所以x+π4≠kπ，k∈Z，即x≠kπ−π4，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠kπ−π4,k∈Z}；(Ⅱ)f(x)=cos2xcosx+sinx =cos2x−sin2xcosx+sinx=cosx−sinx=√2cos(x+π4)，因为0≤x≤π2，所以π4≤x+π4≤3π4，则x+π4=π4，即x=0时，f(x)取得最大值1；(Ⅲ)由y=cosx的减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，可得2kπ≤x+π4≤2kπ+π，且x≠kπ−π4，k∈Z，即为2kπ−π4<x<2kπ+3π4，k∈Z，所以f(x)的减区间为(2kπ−π4,2kπ+3π4)，k∈Z．【解析】(Ⅰ)由分母不为0，结合辅助角公式和正弦函数的图象可得所求定义域；(Ⅱ)运用二倍角公式和余弦函数的图象和性质，可得所求最大值；(Ⅲ)由余弦函数的递减区间，解不等式可得所求减区间．本题考查三角函数的图象和性质，重点考查余弦函数的最值和单调性，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，∵F∈DC，DC⊂平面ABCD，则F∈平面ABCD，∵F∈D1E，D1E⊂平面AD1E，∴F∈平面AD1E.∴平面AD1E∩平面ABCD=AF．(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，由E为CC1的中点，得G为BC的中点，∴EG//AD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1．设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．V棱台CGE−DAD1=V F−DAD1−V F−CGE=78V F−DAD1=78×13S△DAD1×FD=73．∴另一部分几何体的体积为23−73=173．∴两部分的体积比为7：17．【解析】(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，可证F∈平面ABCD且F∈平面AD1E，得到平面AD1E∩平面ABCD=AF；(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，证明EG//AD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2.求出棱台CGE−DAD1的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案．本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当OA⊥OP时，如图所示，∵∠AOB=120°，∴∠POB=120°−90°=30°，∠OPB=180°−30°2=75°，∴∠APB= 75°+45°=120°，在△POB中，由余弦定理，得PB2=OB2+OP2−2OB⋅OPcos∠POB=22+22−2×2×2×cos30°=8−4√3，∴|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8−4√3=√6−√2，又|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅OA=2√2，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB=2√2×(√6−√2)×(−12)=2−2√3．(Ⅱ)以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0)，∵∠AOB=120°，OB=2，∴B(−1,√3)，设P(2cosα,2sinα)，其中α∈[0,2π3]，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2cosα,−2sinα)⋅(−1−2cosα,√3−2sinα)=−2−2cosα+4cos2α−2√3sinα+4sin2α=−2cosα−2√3sinα+2=−4sin(α+π6)+2．∵α∈[0,2π3]，∴α+π6∈[π6,5π6]，sin(α+π6)∈[12,1]，第11页，共12页第12页，共12页 ∴当α+π6=π2，即α=π3时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−2．【解析】(Ⅰ)先通过倒角运算得出∠POB =30°，∠APB =120°，再在△POB 中，由余弦定理可求得|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6−√2，然后根据平面向量数量积的定义PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB ，代入数据进行运算即可得解； (Ⅱ)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设P(2cosα,2sinα)，其中α∈[0,2π3]，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解．本题主要考查平面向量数量积的运算，还涉及余弦定理、三角恒等变换和正弦函数的值域问题等基础知识，遇到规则几何图形，一般可建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．。

2018-2019学年 北京市西城区北师大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：()0,2和()2,1--；半径分别为：11r =，24r = 则圆心距：d ==2121r r d r r -<<+Q ∴两圆位置关系为：相交本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定. 2．在ABC ∆中，若3b =，6A π=，4B π=，则a =（）ABC ．D ．2【答案】D【解析】由正弦定理构造方程即可求得结果. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：33sinsin 6sin 2sin 4b A a B ππ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.3．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。

若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A．30 B．40 C．70 D．90【答案】C【解析】根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】由题意可得，抽样比为：201 120060=则小学和初中共抽取：()1240018007060+⨯=人本题正确选项：C【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.4．下列命题中不正确的是（）A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB.平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线【答案】A【解析】逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，可能a在平面β内或与β相交，a不一定平行于平面β，题中说法错误；B . 由面面平行的定义可知：若平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，题中说法正确；C . 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；D . 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确. 本题选择A 选项. 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5．如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥A -BB 1C 1的体积为（）A ．312B 3C ．612D ．64【答案】A【解析】根据垂直关系可知11113A BCC B ACC ABC V V S BB --∆==⋅，计算可得13A BCC V -=；由111BCC BB C S S ∆∆=且A 到平面11BB C C 的距离固定，可知111A BB C A BCC V V --=，从而可得结果. 【详解】Q 三棱柱的棱长均为1 ABC ∆∴为等比三角形1311sin 6024ABC S ∆∴=⨯⨯⨯=o 1AA ⊥Q 平面ABC ，11//AA BB 1BB ∴⊥平面ABC11113312A BCC B ACC ABC V V S BB --∆∴==⋅=111BCC BB C S S ∆∆=Q 1113A BB C A BCC V V --∴==本题正确选项：A 【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够通过体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=o ，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错．误．的是（ ）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBD D ．三棱锥D PBQ -的体积为14【答案】B【解析】根据余弦定理可求得23BD =，利用勾股定理证得AD DB ⊥，由线面垂直性质可知PD AD ⊥，利用线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PBD ，利用线面垂直性质可知A 正确；假设B 正确，由DB BC ⊥和假设可证得DB ⊥平面PBC ，由线面垂直性质可知DB PB ⊥，从而得到//PB PD ，显然错误，则B 错误；由面面垂直判定定理可证得C 正确；由1122D PBQ D PBC C PBD V V V ---==可求得三棱锥体积，知D 正确，从而可得选项. 【详解】1AD =Q ，2AB =，60DAB ∠=o2222cos 3BD AD AB AD AB DAB ∴=+-⋅∠=222AD BD AB ∴+= AD DB ∴⊥PD ⊥Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ∴⊥PD AD又,PD DB ⊂平面PBD ，PD DB D =I AD ∴⊥平面PBDPB ⊂Q 平面PBD AD PB ∴⊥，则A 正确；若PQ DB ⊥，又//AD BC 且AD DB ⊥ DB BC ∴⊥,PQ BC ⊂Q 平面PBC ，PQ BC C =I DB ∴⊥平面PBCPB ⊂Q 平面PBC DB PB ∴⊥又DB PD ⊥ //PB PD ∴，与PB PD P =I 矛盾，假设错误，则B 错误；AD ⊥Q 平面PBD ，//AD BC BC ∴⊥平面PBD又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PBD ，则C 正确；Q Q 为PC 中点 111226D PBQ D PBC C PBD PBD V V V S BC ---∆∴===⋅PD BD ==Q PD DB ⊥ 1322PBDS PD BD ∆∴=⋅= 1311624D PBQ V -∴=⨯⨯=，则D 正确本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中相关命题的判断，涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用、面面垂直关系的判定、三棱锥体积的求解等知识，是对立体几何部分的定理的综合考查，关键是能够准确判定出图形中的线面垂直关系.7．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U【答案】D【解析】由直线方程可得直线恒过点()1,0C ，利用两点连线斜率公式可求得临界值AC k 和BC k ，从而求得结果. 【详解】直线()1y k x =-恒过点()1,0C则20131AC k -==-，10101BC k -==-- (][),11,k ∴∈-∞-+∞U 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.8．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．【考点】两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．9．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．2,3]B ．[2,5]C ．2,6]D ．2,7]【答案】C【解析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+max 156EF +=则线段EF 长度的取值范围为：2,6⎡⎣本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.10．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】先求得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （b a -，0），由b a-≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b 13=；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b 12＜； ③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b＞122-．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果． 【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12）， 把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得 b 12＜， 故有13＜b 12＜． ③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|． 由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得2（1﹣b ）21a =-＜1，∴1﹣b 2，化简可得 b ＞122-， 故有122-b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是 2112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题11．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为________. 【答案】56【解析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，∴甲不输的概率为115326P =+=12．在ABC ∆中，若3a =，4c =，1cos 4C =-，则b =________。

北京西城区2019年高中数学度末考试高一数学2016.1试卷总分值：150分考试时刻：120分钟A卷[必修模块4]本卷总分值：100分【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把【答案】填在题中横线上. 11.sin45π=﹏﹏﹏﹏﹏. 12.如下图，D 为ABC △中BC 边旳中点，设AB =a ，AC =b ， 那么BD =﹏﹏﹏﹏﹏.〔用a ，b 表示〕13.角α终边上一点旳坐标为(1,2)，那么tan 2α=﹏﹏﹏﹏﹏. 14.设向量(0,2),a b ==，那么,a b 旳夹角等于﹏﹏﹏﹏﹏. 15.(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，那么α=﹏﹏﹏﹏﹏. 16.函数()sin f x x ω=〔其中0ω>〕图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增， 那么ω旳值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【三】解答题：本大题共3小题，共36分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、〔本小题总分值12分〕2απ∈π(,)，且3sin 5α=.〔Ⅰ〕求tan()4απ-旳值； 〔Ⅱ〕求sin2cos 1cos 2ααα-+旳值、18、〔本小题总分值12分〕如下图，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+〔0>A 〕图象上相邻旳两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴旳一个交点.〔Ⅰ〕假设2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上旳值域； 〔Ⅱ〕假设CD BD ⊥，求A 旳值、 19、〔本小题总分值12分〕如图，在ABC △中，1AB AC ==，BAC ∠=〔Ⅰ〕求AB BC ⋅旳值； 〔Ⅱ〕设点P 在以A 为圆心，AB 为半径旳圆弧BC 且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R .求xy 旳最大值B 卷[学期综合]本卷总分值：50分ABCD【一】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把【答案】填在题中横线上.1、设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，那么U A B =ð﹏﹏﹏﹏﹏、2、2log =﹏﹏﹏﹏﹏，31log 23+=﹏﹏﹏﹏﹏、3、函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，那么实数a =﹏﹏﹏﹏﹏、4、函数)(x f 是定义在R 上旳减函数，假如()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 旳取值范围是﹏﹏﹏﹏﹏、5、通过实验数据可知，某液体旳蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境旳温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=〔e 为自然对数旳底数，,k b 为常数).假设该液体在0℃旳蒸发速度是0.1升/小时，在30℃旳蒸发速度为0.8升/小时，那么该液体在20℃旳蒸发速度为﹏﹏﹏﹏﹏升/小时、【二】解答题：本大题共3小题，共30分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6、〔本小题总分值10分〕函数26()1xf x x =+. 〔Ⅰ〕推断函数)(x f 旳奇偶性，并证明你旳结论；〔Ⅱ〕求满足不等式(2)2x x f >旳实数x 旳取值范围、 7、〔本小题总分值10分〕设a 为实数，函数2()2f x x ax =-、〔Ⅰ〕当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上旳值域；〔Ⅱ〕设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上旳最大值，求()t a 旳最小值. 8、〔本小题总分值10分〕设函数()f x 定义域为[0,1]，假设()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，那么称*x 为函数()f x 旳峰点，()f x 为含峰函数、〔专门地，假设()f x 在[0,1]上单调递增或递减，那么峰点为1或0〕关于不易直截了当求出峰点*x 旳含峰函数，可通过做试验旳方法给出*x 旳近似值.试验原理为：“对任意旳1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，假设)()(21x f x f ≥，那么),0(2x 为含峰区间，现在称1x 为近似峰点；假设12()()f x f x <，那么)1,(1x 为含峰区间，现在称2x 为近似峰点”、我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．旳最大距离称为试验旳“可能误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---〔其中},max{y x 表示y x ,中较大旳数〕、 〔Ⅰ〕假设411=x ，212=x 、求此试验旳可能误差d 、〔Ⅱ〕如何选取1x 、2x ，才能使那个试验方案旳可能误差达到最小？并证明你旳结论〔只证明1x 旳取值即可〕、 〔Ⅲ〕选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，能够确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x .在所得旳含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地能够进一步得到一个新旳可能误差d '、分别求出当411=x 和125x =时可能误差d '旳最小值、〔本问只写结果，不必证明〕。

绝密★启用前2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案：B2．向量(,)a m n =，向量(1,2)b =，(1,1)c =，若向量()a c b +∥，且a c ⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19答案：B∵(1,1)a c m n +=++且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1||3a ⎛⎫=-= ⎪3．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．答案：D∵外接球体积为36π，设半径为R ， 则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a 26R ==，即a =．4．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．5．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+B ．0)y x => C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B ，2y ，，即0x=时取等号，但0x>，故错误；选项C，∵π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin(0,1)x∈，∴1sin2siny xx=+≥，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，但sin(0,1)x∈，取不到1，故错误；选项D，177727x x xxy-=+=+≥，当且仅当177xx=即0x=时取等号，故正确．故选：D．6．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，则cos C=（）．A．725B．725-C．725±D．2425【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，所以8sin5sin5sin210sin cosB C B B B===，所以4cos5B=，B为三角形内角，所以π0,4B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C<．所以3sin5B=．所以4324sin sin225525C B==⨯⨯=，7cos25C==．故选：A．7．如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A.b a a a +-)sin(sin sin ββB ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为b a a a +-)sin(sin sin ββ，故选：A ．8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（）A 120︒B 90︒C 60︒D 30︒答案：B9．在△ABC 中，若sin sin a A b B =，则△ABC 的形状一定是（）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形答案：B10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。