概率统计第二章 一维随机变量及其分布

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)PXxpPXxpp，

则称X服从12,xx处参数为p的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)PXxpPXxpp

两点分布的期望：()EXp；两点分布的方差：()(1)DXpp

（2）二项分布：

若一个随机变量X的概率分布由式 {}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn

给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).

两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn

二项分布的期望：()EXnp；二项分布的方差：()(1)DXnpp

（3）泊松分布：

若一个随机变量X的概率分布为{},0,0,1,2,...!kPXkekk，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P ()

泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kPXkekk

泊松分布的期望：()EX；泊松分布的方差：()DX

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数()fx，使得对于任意实数x，有(){}()xFxPXxftdt，则称X为连续型随机变量，称()fx为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：

（1）均匀分布： 若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：其它,0,1)(bxaabxf

一维随机变量是概率论中一个重要的概念。在概率论中，我们经常需要研究各种随机现象，而一维随机变量是对这些现象进行建模和描述的工具之一。通过一维随机变量，我们可以从数学的角度来分析和研究随机现象的规律性和不确定性。

一维随机变量是指只有一个自变量的随机变量。在概率论中，我们将这个自变量通常记作X，并且我们通常定义了一个函数P(X=x)，表示随机变量X取到某个特定值x的概率。这个函数通常被称为概率密度函数（Probability Density

Function，PDF）或者概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。

在研究一维随机变量时，我们通常会关注一些重要的性质和特征。下面，我将逐步介绍一些常见的概率论知识点和相关概念。

第一步：随机变量的定义

我们首先需要明确一维随机变量的定义。一维随机变量可以是离散的，也可以是连续的。离散随机变量是指取值有限或者可数的随机变量，而连续随机变量是指取值是一个区间或者整个实数集的随机变量。

对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（PMF）来描述。PMF可以给出随机变量取各个值的概率。

对于连续随机变量，我们则需要使用概率密度函数（PDF）来描述。PDF是一个非负函数，且满足积分为1的条件。它可以用来描述随机变量落在某个区间的概率。

第二步：一维随机变量的期望和方差

一维随机变量的期望和方差是对随机变量的中心位置和离散程度进行度量的重要指标。

期望是对随机变量的平均值的度量。对于离散随机变量，期望可以通过求加权平均值得到，其中权重是每个值的概率。对于连续随机变量，期望可以通过对概率密度函数乘以自变量后积分得到。

方差是对随机变量离散程度的度量。它描述了随机变量取值与其期望的偏离程度。方差可以通过计算每个值与期望的差的平方后加权平均得到。

第三步：一维随机变量的分布

一维随机变量的分布是描述随机变量取值的概率分布情况的重要工具。

第二章 随机变量及其分布

一. 填空题

1. 设随机变量X～B(2, p), Y～B(3, p), 若P(X  1) =95, 则P(Y  1) = _________.

解. 94951)1(1)0(XPXP

94)1(2p, 31p

2719321)0(1)1(3YPYP

2. 已知随机变量X只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cccc162,85,43,21, 则c = ______.

解. 2,16321628543211cccccc

3. 用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率:

P(X  a) = ________. P(X = a) = ________.

P(X > a) = ________. P(x1 < X  x2) = ________.

解. P(X  a) = F(a) P(X = a) = P(X  a)－P(X < a) = F(a)－F(a－0)

P(X > a) = 1－F(a) P(x1 < X  x2) = F(x2)－F(x1)

4. 设k在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442kkxx有实根的概率为_____.

解. k的分布密度为051)(kf 其它50k

P{02442kkxx有实根} = P{03216162kk}

= P{k －1或k  2} =535152dk

5. 已知2}{,}{kbkYPkakXP(k = 1, 2, 3), X与Y独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y的概率分布为_____.

第二章 随机变量及其分

一、基本要求、重点与难点

（一）基本要求

1．理解随机变量的概念。

2．掌握离散型随机变量和连续型随机变理的描述方法。

3．理解分布列与概率密度的概念及其性质。

4．理解分布函数的概念及性质。

5．会应用概率分布计算有关事件的概率。

6．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。

7．会求简单随机变量函数的分布。

（二）重点

1．离散型随机变量的分布列和分布函数的概念及性质。

2．连续型随机变量的密度函数和分布函数的概念及性质。

3．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。

4．随机变量的一些简单函数的概率分布的求法。

（三）难点

1．离散型随机变量的分布列与分布函数的关系。

2．连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系。

3．随机变量函数的分布的计算。

二、重点内容简介

§1 随机变量的概念及分类

定义

定义在样本空间Ω上的一个实值函数X=X(ω)，使随机试验的每一个结果ω都

可用一个实数X(ω)来表示，且实数X满足

1） X是由ω唯一确定；

2） 对于任意给定的实数x，事件{X≤x}都是有概率的，则称X为一随机变

量，一般用大写字母X,Y,Z等表示。

引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，这样，我们就把对事件

的研究转化为对随机变量的研究。

随机变量一般可分为离散型和非离散型两大类。非离散型又可分为连续型和混合

型。由于在实际工作中我们经常遇到的是离散型和连续型的随机变量，因此一般情况下

我们仅讨论这两个类型的随机变量。

§2 随机变量的分布函数及其性质 定义 设X为一随机变量，x是任意实数,称函数

F(x)=P(X≤x) (-∞

为随机变量X的分布函数。

分布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件{ω|∞＜X(ω)≤∞}的概率为函数值的

一个实值函数。分布函数具有以下的基本性质：

1） 0≤F(x)≤1;

2） F(x)是非减函数；

3） F(x)是右连续的；