概率论与数理统计 第2章 随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其概率分布

1． 二维随机变量),(YX

),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF

X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy

Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx

),(lim0),(limyxFyxFyx

2． 离散型),(YX的分布律ijP

ijijiiijPyYxXPP10),( （与KKKPP10比较）

jijiiPxXPP)(

iijijPyYPP)(

例１ 设),(YX的分布律为

求（1）?a

（2）)0(XP

（3）)2(YP

（4）)2,1(YXP

（5）)(YXP

解：（1）由1ijijP知1031131211030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a

解得0a （2）300102031(0)0.10.10.30.5jjPXPPPP

（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(

（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP

（5）25.0)(11PYXP

3． 连续型),(YX的分布密度

设D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf

dxdyyxfDYXPD),()),((

特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(

),(),(2yxfyxyxF

若X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为Y的边缘分布函数和分布密度。

1． 甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。

2． 袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。

3． 设

，

且P{ }=1，求（ ， ）的联合分布律，并指出 ， 是否独立。

4． 设随机变量X的分布律为Y= ，求（X,Y）联合分布律。

5． 设（X,Y）的概率分布为

且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。

6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P（0

7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan

) (C+arctan

)。

（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度 ，

X Y 0 1

0 1/3 B

1 a 1/4 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

8.设f(x,y)=

其它为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：

（1）C的值 （2） ， (3)P{X+Y 1}并判别X与Y是否独立。

9．设f(x,y)=

其它 为（X,Y）的密度函数，求：

(3)P{X>1/2|Y>0}

10. 设f(x,y)=

其它 为（X,Y）的密度函数，求

11. 设f(x,y)=

其它 为（X,Y）的密度函数，求 （ ）的联合分布函数。

12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数 。

第2章 随机变量及其分布

教学要求

1．理解随机变量的概念以及随机变量的分布函数的概念与性质，会利用分布函数计算有关事件的概率.

2．理解离散型随机变量及其分布律的概念与性质，会求随机变量的分布律，会用分布律求分布函数以及有关事件的概率.

3．理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念与性质，掌握概率密度函数与分布函数之间的关系，会用概率密度函数求分布函数以及有关事件的概率.

4．熟练掌握)10(分布、二项分布、泊松分布的分布律以及均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布的概率密度与分布函数，掌握标准正态分布函数表的使用方法，并会运用它们解决有关问题.

5．会用求随机变量函数的分布.

教学重点

随机变量与分布函数的概念，离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度函数的概念以及概率的求法，二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布及其应用.

教学难点

连续型随机变量分布函数的计算及其随机变量函数分布的求法.

课时安排

本章安排8课时.

教学内容和要点

一、随机变量

1.随机变量的概念

2.随机事件的表示

二、离散型随机变量及其分布

1．离散型随机变量及其分布律的概念与性质

2．离散型随机变量的常用分布：)10(分布、二项分布、泊松分布

三、随机变量的分布函数

1.分布函数的概念与性质

2.离散型随机变量的分布函数

四、 连续型随机变量及其分布

1．连续型随机变量及其概率密度的概念与性质

2.连续型随机变量的常用分布：均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布

五、随机变量的函数的分布

1. 随机变量函数分布的概念

2. 离散型随机变量函数分布律的求法

3. 连续型随机变量函数概率密度分布的求法

主要概念

1.随机变量

2.分布函数

3.离散型随机变量及其分布律

4.连续型随机变量及其概率密度

5．(01)分布 二项分布 泊松分布

6.指数分布 均匀分布 正态分布

—2.1— 滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题

第二章 随机变量及其分布

一、填空题

10.71

2设一本书的各页的印刷错误个数X服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p= 0.0003 ．

3

．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0

}{)(xxxxxXxFP

4

12525.032)05.0()02(25.0FFXP．

例2.11设随机变量X的概率密度函数为其它06310)(9231xxxf;若k 使得32)(kXP，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】

例2.13 设X服从二项分布),(pnB，且已知)2()1(XPXP，)3(2)2(XPXP，则)4(XP＝ . 【24310】

例2.14若随机变量X服从正态分布)0)(,(2N，且二次方程042Xyy无实根的概率是21，则 . 【4】 —2.2— 2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln221)(yyYIeyyf

〖选择题〗

1 [ C ]

2 [ C ]

3 [ C ]

例2.1 【C】

例2.2 【A】

例2.3 【B】

例2.5 【A】

例2.16设随机变量X,Y相互独立均服从正态分布)4,1(N, 若概率21)1(bYaXP,则