概率论与数理统计第2章随机变量及其分布

第2章 随机变量及其分布

教学要求

1．理解随机变量的概念以及随机变量的分布函数的概念与性质，会利用分布函数计算有关事件的概率.

2．理解离散型随机变量及其分布律的概念与性质，会求随机变量的分布律，会用分布律求分布函数以及有关事件的概率.

3．理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念与性质，掌握概率密度函数与分布函数之间的关系，会用概率密度函数求分布函数以及有关事件的概率.

4．熟练掌握)10(分布、二项分布、泊松分布的分布律以及均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布的概率密度与分布函数，掌握标准正态分布函数表的使用方法，并会运用它们解决有关问题.

5．会用求随机变量函数的分布.

教学重点

随机变量与分布函数的概念，离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度函数的概念以及概率的求法，二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布及其应用.

教学难点

连续型随机变量分布函数的计算及其随机变量函数分布的求法.

课时安排

本章安排8课时.

教学内容和要点

一、随机变量

1.随机变量的概念

2.随机事件的表示

二、离散型随机变量及其分布

1．离散型随机变量及其分布律的概念与性质

2．离散型随机变量的常用分布：)10(分布、二项分布、泊松分布

三、随机变量的分布函数

1.分布函数的概念与性质

2.离散型随机变量的分布函数

四、 连续型随机变量及其分布

1．连续型随机变量及其概率密度的概念与性质

2.连续型随机变量的常用分布：均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布

五、随机变量的函数的分布

1. 随机变量函数分布的概念

2. 离散型随机变量函数分布律的求法

3. 连续型随机变量函数概率密度分布的求法

主要概念

1.随机变量

2.分布函数

3.离散型随机变量及其分布律

4.连续型随机变量及其概率密度

5．(01)分布 二项分布 泊松分布

6.指数分布 均匀分布 正态分布

概率论与数理统计教学教案

第二章随机变量及其分布

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题

第二章 第一节 随机变量及其分布 课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段 黑板多媒体结合

教学重点

随机变量的定义 教学难点

随机变量分布函数的运算

参考教材

高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置

课后习题

大纲要求

理解随机变量的定义；

理解分布函数的定义和性质；

理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念；

熟练掌握随机变量分布函数的求解。

教 学 基 本 内 容

一、基本概念：

1、在随机试验中，是相应的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一个实

数与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数称为（一维）随

机变量。

2、设是一个随机变量，对于任意实数，称函数

,

为随机变量的分布函数。

3、设是随机试验，为随机变量，若的取值范围（记为） 为有限集或可列集，此时称为（一维）

离散型随机变量.

4、若一维离散型随机变量的取值为，称相应的概率

E



X



XX



Xx



xXPxF

x

X

EXX

X

X

X

12,,,,

nxxx



,1,2,

iiPXxpi

为离散型随机变量的分布律（或分布律）且满足（1）非负性；（2）正则性..

5、设是随机试验，是相应的样本空间，是上的随机变量，是的分布函数，若存在非负函数

使得

，

则称为（一维）连续性随机变量，称为的概率密度函数，满足：（1）；

（2）。

二、定理与性质

1、分布函数有如下性质：

（1）对于任意实数，有，；

（2）单调不减，即当时，有；

（3）是的右连续函数，即。

2、连续型随机变量具有下列性质：

（1）分布函数是连续函数，在的连续点处，；

（2）对任意一个常数，所以，在事件 中剔除或剔除

，都不影响概率的大小，即

.

注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。

第二章 随机变量及其概率分布

1． 离散型随机变量

()01kKKKPXxpp

例1 设 ，则3.02.05.01c

2．常见离散型随机变量

（1）0—1分布：设X～),1(pB，则

应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数X～),1(pB，其中EXXPAPp)1()(

例2 设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X～),1(pB

（2）二项分布：设X～),(pnB，则()(1),0,1,2,,kknknPXkCppkn

应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X～),(pnB，其中()pPA为事件A在一次抽样中发生的概率。

例３ 某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为5,,1,0，52()0.80.2kkkPXkC，即X～)8.0,5(B

记住：若X～),(pnB，则npEX,)1(pnpDX

（3）泊松（Poisson）分布

若(),0,1,2,!KPXkekk则称X服从参数的泊松分布，且DXEX，记X～)(B，0

应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。

另外，当Y～),(pnB，且n很大，P很小时，令np，则()!kPYkek

例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算

解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X～)005.0,100(B，由于n很大，p很小，令5np

则（1）55551506151!15!051)1()0(1)2(eeeeeXPXPXP

（2）5505(5)!kkPXek

3．随机变量的分布函数：X的分布函数为

)()(xXPXF，x

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第六章 随机变量数字特征

一．填空题

1. 若随机变量X的概率函数为 1.03.03.01.02.043211pX，则

)2(XP ；)3(XP ；)04(XXP .

2. 若随机变量X服从泊松分布)3(P，则)2(XP 8006.0413e .

3. 若随机变量X的概率函数为).4,3,2,1(,2)(kckXPk则c 1516 .

4．设A,B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=，P(B)=,则()PAB=____________.（）

5．设事件A、B互不相容，已知()0.4PA，()0.5PB，则()PAB

6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13）

7．设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，则()EX＝____________.（12）

8．设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.

（k33(=,0,1,2k!PXkekL））

9．某种电器使用寿命X（单位：小时）服从参数为140000的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）

10在3男生2女生中任取3人，用X表示取到女生人数，则X的概率函数为

3.06.01.0210pX

.

11.若随机变量X的概率密度为)(,1)(2xxaxf，则a 1

；)0(XP

；)0(XP 0 .