第2章 随机变量及其分布
教学要求
1．理解随机变量的概念以及随机变量的分布函数的概念与性质，会利用分布函数计算有关事件的概率.
2．理解离散型随机变量及其分布律的概念与性质，会求随机变量的分布律，会用分布律求分布函数以及有关事件的概率.
3．理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念与性质，掌握概率密度函数与分布函数之间的关系，会用概率密度函数求分布函数以及有关事件的概率.
4．熟练掌握)10(分布、二项分布、泊松分布的分布律以及均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布的概率密度与分布函数，掌握标准正态分布函数表的使用方法，并会运用它们解决有关问题.
5．会用求随机变量函数的分布.
教学重点
随机变量与分布函数的概念，离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度函数的概念以及概率的求法，二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布及其应用.
教学难点
连续型随机变量分布函数的计算及其随机变量函数分布的求法.
课时安排
本章安排8课时.
教学内容和要点
一、随机变量
1.随机变量的概念
2.随机事件的表示
二、离散型随机变量及其分布
1．离散型随机变量及其分布律的概念与性质
2．离散型随机变量的常用分布：)10(分布、二项分布、泊松分布
三、随机变量的分布函数
1.分布函数的概念与性质
2.离散型随机变量的分布函数
四、 连续型随机变量及其分布
1．连续型随机变量及其概率密度的概念与性质
2.连续型随机变量的常用分布：均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布
五、随机变量的函数的分布
1. 随机变量函数分布的概念
2. 离散型随机变量函数分布律的求法
3. 连续型随机变量函数概率密度分布的求法
主要概念
1.随机变量
2.分布函数
3.离散型随机变量及其分布律
4.连续型随机变量及其概率密度
5．(01)分布 二项分布 泊松分布
6.指数分布 均匀分布 正态分布
概率论与数理统计教学教案
第二章随机变量及其分布
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第二章 第一节 随机变量及其分布 课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段 黑板多媒体结合
教学重点
随机变量的定义 教学难点
随机变量分布函数的运算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置
课后习题
大纲要求
理解随机变量的定义；
理解分布函数的定义和性质；
理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念；
熟练掌握随机变量分布函数的求解。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、在随机试验中，是相应的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一个实
数与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数称为（一维）随
机变量。
2、设是一个随机变量，对于任意实数，称函数
,
为随机变量的分布函数。
3、设是随机试验，为随机变量，若的取值范围（记为） 为有限集或可列集，此时称为（一维）
离散型随机变量.
4、若一维离散型随机变量的取值为，称相应的概率
E
X
XX
Xx
xXPxF
x
X
EXX
X
X
X
12,,,,
nxxx
,1,2,
iiPXxpi
为离散型随机变量的分布律（或分布律）且满足（1）非负性；（2）正则性..
5、设是随机试验，是相应的样本空间，是上的随机变量，是的分布函数，若存在非负函数
使得
，
则称为（一维）连续性随机变量，称为的概率密度函数，满足：（1）；
（2）。
二、定理与性质
1、分布函数有如下性质：
（1）对于任意实数，有，；
（2）单调不减，即当时，有；
（3）是的右连续函数，即。
2、连续型随机变量具有下列性质：
（1）分布函数是连续函数，在的连续点处，；
（2）对任意一个常数，所以，在事件 中剔除或剔除
，都不影响概率的大小，即
.
注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。
第一节 一维随机变量 及其分布(3 五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布 回 回 停 停 下 下 五、连续型随机变量 1.连续型随机变量及其密度函数 定义 对于随机变量X，若存在非负可积函 数 p(x ( x∈R, 使得X 的分布函数 F
( x = ∫ x −∞ p( y dy 则称X为连续型随机变量,且称p(x 为密度函 数,或概率密度. 注
此定义中涉及三个名词: 连续型随机变量, 密度函数,分布函数. 2.密度函数的性质 设X为连续型随机变量, p(x 为X的密度函数, F(x为X的分布函数 ,则 (1 p( x ≥ 0, x ∈
R; (2 ∫−∞ p( x dx = 1; +∞ (3 P {a < X ≤ b} = F (b − F (a = p( x dx; ∫ b (4 P{ X = c } = 0.
a 证 前3个性质显然成立,下面只给出第4个 性质的证明 ∵ { X = c } ⊆ {c − ε < X ≤
c }, ε > 0 而 0 ≤ P { X = c } ≤ P {c − ε < X ≤ c } ε → 0+ lim P {c − ε < X ≤ c } = lim p
( x d x = 0. ∫ ε → 0+ c −ε c ∴ P { X = c } = 0. 为什么等于零？ 变上（下）限积 分连续 注 1º 性质4说明对于任意可能值c ,连续型随机 变量取 c 的概率等于零. 2º 若X为连续型随机变量，则 P {a < X ≤ b} = P {a < X < b} = P { a ≤ X < b} = P { a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º P ( A = 0 P ( A = 1 A=∅ A=Ω 例1 设随机变量 X 的概率密度为 ⎧ ke − 3 x , p( x = ⎨ ⎩ 0, +∞ x > 0, x ≤ 0. 试确定常数 k , 并求P { X > 0.1}. −3 x 由 p ( x d x = 1 ⇒ k e dx = 1 解 ∫−∞ ∫0 +∞ 所以 k = 3. P { X > 0.1}
概率论与数理统计期末复习重要知识点
第二章知识点：
1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）：
若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)PXxpPXxpp，
则称X服从12,xx处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)PXxpPXxpp
两点分布的期望：()EXp；两点分布的方差：()(1)DXpp
（2）二项分布：
若一个随机变量X的概率分布由式 {}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn
给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).
两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn
二项分布的期望：()EXnp；二项分布的方差：()(1)DXnpp
（3）泊松分布：
若一个随机变量X的概率分布为{},0,0,1,2,...!kPXkekk，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P ()
泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kPXkekk
泊松分布的期望：()EX；泊松分布的方差：()DX
4.连续型随机变量：
如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数()fx，使得对于任意实数x，有(){}()xFxPXxftdt，则称X为连续型随机变量，称()fx为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：
（1）均匀分布： 若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)
均匀分布的概率密度：其它,0,1)(bxaabxf
