第三章 多维随机变量及其概率分布
1． 二维随机变量),(YX
),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF
X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy
Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx
),(lim0),(limyxFyxFyx
2． 离散型),(YX的分布律ijP
ijijiiijPyYxXPP10),( （与KKKPP10比较）
jijiiPxXPP)(
iijijPyYPP)(
例１ 设),(YX的分布律为
求（1）?a
（2）)0(XP
（3）)2(YP
（4）)2,1(YXP
（5）)(YXP
解：（1）由1ijijP知1031131211030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a
解得0a （2）300102031(0)0.10.10.30.5jjPXPPPP
（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(
（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP
（5）25.0)(11PYXP
3． 连续型),(YX的分布密度
设D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf
dxdyyxfDYXPD),()),((
特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(
),(),(2yxfyxyxF
若X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为Y的边缘分布函数和分布密度。
1． 甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2． 袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3． 设
，
且P{ }=1，求（ ， ）的联合分布律，并指出 ， 是否独立。
4． 设随机变量X的分布律为Y= ，求（X,Y）联合分布律。
5． 设（X,Y）的概率分布为
且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P（0
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan
) (C+arctan
)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度 ，
X Y 0 1
0 1/3 B
1 a 1/4 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
8.设f(x,y)=
其它为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：
（1）C的值 （2） ， (3)P{X+Y 1}并判别X与Y是否独立。
9．设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求：
(3)P{X>1/2|Y>0}
10. 设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求
11. 设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求 （ ）的联合分布函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数 。
概率论与数理统计教学教案
第二章随机变量及其分布
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第二章 第一节 随机变量及其分布 课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段 黑板多媒体结合
教学重点
随机变量的定义 教学难点
随机变量分布函数的运算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置
课后习题
大纲要求
理解随机变量的定义；
理解分布函数的定义和性质；
理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念；
熟练掌握随机变量分布函数的求解。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、在随机试验中，是相应的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一个实
数与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数称为（一维）随
机变量。
2、设是一个随机变量，对于任意实数，称函数
,
为随机变量的分布函数。
3、设是随机试验，为随机变量，若的取值范围（记为） 为有限集或可列集，此时称为（一维）
离散型随机变量.
4、若一维离散型随机变量的取值为，称相应的概率
E
X
XX
Xx
xXPxF
x
X
EXX
X
X
X
12,,,,
nxxx
,1,2,
iiPXxpi
为离散型随机变量的分布律（或分布律）且满足（1）非负性；（2）正则性..
5、设是随机试验，是相应的样本空间，是上的随机变量，是的分布函数，若存在非负函数
使得
，
则称为（一维）连续性随机变量，称为的概率密度函数，满足：（1）；
（2）。
二、定理与性质
1、分布函数有如下性质：
（1）对于任意实数，有，；
（2）单调不减，即当时，有；
（3）是的右连续函数，即。
2、连续型随机变量具有下列性质：
（1）分布函数是连续函数，在的连续点处，；
（2）对任意一个常数，所以，在事件 中剔除或剔除
，都不影响概率的大小，即
.
注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。
1． 甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2． 袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3． 设
，
且P{ }=1，求（ ， ）的联合分布律，并指出 ， 是否独立。
4． 设随机变量X的分布律为Y= ，求（X,Y）联合分布律。
5． 设（X,Y）的概率分布为
且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P（0
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan
) (C+arctan
)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度 ，
X Y 0 1
0 1/3 B
1 a 1/4 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
8.设f(x,y)=
其它为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：
（1）C的值 （2） ， (3)P{X+Y 1}并判别X与Y是否独立。
9．设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求：
(3)P{X>1/2|Y>0}
10. 设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求
11. 设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求 （ ）的联合分布函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数 。
