第二章一维随机变量及其分布

11 一维随机变量及其分布

本章重点是：离散型随机变量的分布律、分布函数；连续型随机变量的分布律、分布函数；随机变量函数的密度函数

1.口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,.从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X的分布列；（2）写出X的分布函数，并作图.（2）X的分布函数为

2.有3个盒子，第一个和装有1个白球，4个黑球，第二个和装有2个白球，3个黑球，第三个和装有3个白球，2个黑球，现任取一个盒子，从中任取3个球.以X表示所取到的白球数.

（1）求X的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少

3设随机变量的分布函数为

求X的概率分布列及

3,3,1,1PXPXPXPX..

4.随机变量X的密度函数为1,11,()0,.xxpx其它求X的分布函数.

5.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量，（单位h）密度函数为

（1）确定常数c；（2）X的分布函数；（3）求在20min内完成一道作业的概率；

（4）求在10min以上完成一道作业的概率.

6.已知随机变量X的密度函数为21,xxpxxee试求随机变量YgX的概率分布，其中1,0;1,0.xgxx

7. 设随机变量X～(1,2)U，记 试求Y的分布列. 0,0;14,01;()13,13;12,36;1,6.xxFxxxx2,00.5,()0,.cxxxpx其它1,0,1,0XYX

22

8. 设随机变量X的密度函数23,1120,.Xxxpx其它

试求下列随机变量的分布：（1）3;(2)3.YXYX（3）2YX

第⼆章⼀维随机变量及其分布

第⼆章 ⼀维随机变量及其分布

⼀、填空题1.已知F （x ）=P {}X x ≤,则P {}a

2.设随机变量 X 的分布函数为

,()0,

x A Be F x -?+=?

00x x >≤ 则A= ,B= （A,B 均为常数）

3.设X 的分布函数为

0,

11,11

6()1,1221,2

x x F x x x <--≤

≤

则{}1P X <= ，{}12P X <<= . 4.当常数C= 时，{},1,2,(1)C

P X n n n n ===+ 为X 的分布律.

5.设X 的密度函数为

2,()0,x ke f x -?=??

00x x >≤

则{}12P X -<<= . 6.设X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}122p X P X ===，则{}3P X == .7.设(1,4)X N ，则{}

1P X <= .

8.设X 的分布律为101211114436X -??

，则2X 的分布律为 .

9.设X 服从[]0,1上的均匀分布，则21Y X =-的密度函数为 .

10.设X 的密度函数为f(x)，则X

Y e

-=的密度函数为 .

⼆、选择题1.设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，分布函数为F （x ），则下列结论正确的是（ ）

()()()A f x F x ≤ {}()()B P X x f x ==

1()()lim n C P X x F x n →∞

<+=

()D 当12x x

2.设X 的分布函数为F(x)，则下列函数中，仍为分布函数的是( )

()(21)A F x - ()(1)B F x -

3()()C F x ()1()D F x --

3.设X 的分布函数为

20,()F x x b c ??

=-，，

x a a x x ≤<≤>则常数a,b,c 的值为( )

()A -1,1,1. ()B 1,1,1. ()C 1,0,1. ()D 1,1,0.

4.设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,k

第二章 一维随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1． 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。

2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（

）及其应用。

3． 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。

4． 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（

）、指数分布及其应用，其中参数为

的指数分布E（

）的概率密度为

会求随机变量函数的分布。

本章导读 本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。

一、 随机变量

1概 念

随机试验的每一个可能的结果

（即每一基本事件），对应样本间的集合

中每一元素，我们都可以设令一个实数

来表示该元素，显然，

为实值单值函数

，称

为随机变量。对

，我们试验前无法确定，也就无法事先确定

的值，只有在试验后才会知道

的值，但

取值一定服从某种确定的分布。

随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。比如：将一枚硬币抛三次，以

表示三次投掷中出现正面

的总次数，那么，对于样本空间

中的每一个样本点

，

都有一个值与之对应，即

样本点

第二章 一维随机变量及其分布

1. 将3个球随机地投到编号为1，2，3的三个盒子中，试求空盒数的分布列.

2. 设随机变量的分布列为8141214321　　　　　　　　　　　　　a，试求：

（1）常数a；（2）P（42＜）；（3）P（＞1）.

3. 有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数的分布列.

4. 设随机变量的分布密度为p（x）＝

　　其他　　0102xx，求P（21）与P（241＜）.

5. 已知某校学生英语四级的考试成绩服从正态分布),60(2N，现随机从该校学生中抽取3名，求下列事件的概率：(1)三名学生都通过了四级考试；(2) 三名学生中只有两名学生通过了四级考试.（达到60分予以通过）

6. 学生完成一道作业的时间（单位：小时）是一随机变量，它的密度函数为p(x)=　其他　　，,05.00 2xxcx,(1)确定常数c;(2)求分布函数；（3）求20分钟内完成一道作业的概率；（4）10分钟以上完成一道作业的概率.

7. 某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，102），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？

8. 已知随机变量的分布列为25.013.02.005.037.073101　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

（1） 求＝2－的分布列； （2）求＝3＋2分布列. 9. 已知随机变量的分布密度为)(xp＝　，　其他，　0412ln21xx，且＝2－，试求的分布密度.

10. 设随机变量X服从正态分布),(211N，Y服从正态分布),(222N，且}1{}1{21YPXP，试比较1和2的大小.