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第二章一维随机变量及其分布

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第七章 参数估计练习题

1．填空题：

⑴ 设321,,XXX是来自总体X的一个样本，且,,2DXEX则下面的估计量中为的无偏估计量的是 ，其中方差最小的估计量是 .

A. 32112110351ˆXXX； B. 32121254131ˆXXX；

C. 32131214331ˆXXX； D. 32141214331ˆXXX.

⑵ 设nXX,...,1为来自总体),(2N的一个样本，1121)(niiiXXc为2的无偏估计，则常数c .

2．设nXX,...,1是来自泊松分布()P的样本，试求2的无偏估计量.

3．设ˆ是参数为的无偏估计量，且0)ˆ(D，证明：2ˆ不是2的无偏估计量.

4．设nXXX,...,,21是来总体X的样本，记niiiXaW1ˆ (1,01niiiaa)

证明:Wˆ总是总体均值EX的无偏估计量，且)()ˆ(XDWD.

5．设nXX,...,1;mYY,...,1是分别来自总体21(,)N和22(,)N的样本，其中0,021已知. 求常数dc、，使YdXc为的无偏估计量，并使其方差最小.

6．设nXXX,...,,21为来自正态总体),(2N的样本，其中0已知，试证明niiXnX11是未知参数的一个无偏和一致估计量.

7．使用同一台仪器对某个零件的长度作了12次独立的测量，结果如下(单位:mm):

232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.45, 232.30,

232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30

试用矩估计法估计测量值的真值与方差(设仪器没有系统误差).

8．设NppNBX,10,,~为正整数，nXX,1为其子样，求pN及的矩估计量.

9．设总体X服从几何分布，它的分布律为,2,1,)1(}{1kppkXPk nXX,,1是来自总体X的一个样本，求p的矩估计量与极大似然估计量.

10．设nXX,,1是来自总体),(~baUX的一个样本，求未知参数a、b的矩估计量与极大似然估计量.

11．设X服从指数分布，其概率密度为00,0,);(xxexfx )0(，nXX,,1是来自总体X的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.

12．设总体X的概率密度为其它,010,1xxxf，nXX,,1是来自总体X的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.

13．某批钢球的重量),4,(~NX从中抽取了一个容量为16n的样本且测得,5.22x98.3s（单位:g），试在置信度10.95下，求出的置信区间.

14．从某种炮弹中随机地取9发作试验,测得炮口速度的样本标准差11s(米/秒). 设炮口速度X服从),(2N,求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的置信区间(取05.0).

15．设有一组来自正态总体),(2N的样本观测值：

0.497、0.506、0.518、0.524、0.488、0.510、0.510、0.515、0.512

⑴ 已知01.0，求的置信区间；⑵2未知，求的置信区间(置信度取0.95)；

⑶ 求2的置信区间(置信度取0.95).

16．设某批电子管的使用寿命服从正态分布, 从中抽出容量为10的样本, 测得使用寿命

的标准差45s(小时).求这批电子管使用寿命的均方差的置信水平为95%的单侧置信下限.

17．从正态总体),4.3(2N中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间)4.5,4.1(内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？

18．假定每次试验时，事件A出现的概率p相同(但未知). 如果在60次独立试验中，事件A出现了15次，试求p的置信水平为95%的置信区间.

19．设总体)64,(~1NX与)36,(~2NY相互独立,从X中抽取751n的样本,得x=82；从Y中抽取502n的样本,得76y. 试求21的置信水平为95%的置信区间. 20．设总体),(~211NX与),(~222NY相互独立，从X中抽取251n的样本，得96.6321s；从Y中抽取162n的样本，得05.4922s，试求两总体方差比2221的置信水平为90%的置信区间.

*21． 设)1,(~lnNXY，总体X的一组样本观测值为：0.50、1.25、0.80、2.00.

⑴ 求EX（记作b）；⑵ 参数的置信水平为95%的置信区间；

⑶ 利用上述结果求b的置信水平为95%的置信区间.

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一维随机变量及其分布习题

一维随机变量及其分布习题

11 一维随机变量及其分布

本章重点是：离散型随机变量的分布律、分布函数；连续型随机变量的分布律、分布函数；随机变量函数的密度函数

1.口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,.从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X的分布列；（2）写出X的分布函数，并作图.（2）X的分布函数为

2.有3个盒子，第一个和装有1个白球，4个黑球，第二个和装有2个白球，3个黑球，第三个和装有3个白球，2个黑球，现任取一个盒子，从中任取3个球.以X表示所取到的白球数.

（1）求X的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少

3设随机变量的分布函数为

求X的概率分布列及

3,3,1,1PXPXPXPX..

4.随机变量X的密度函数为1,11,()0,.xxpx其它求X的分布函数.

5.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量，（单位h）密度函数为

（1）确定常数c；（2）X的分布函数；（3）求在20min内完成一道作业的概率；

（4）求在10min以上完成一道作业的概率.

6.已知随机变量X的密度函数为21,xxpxxee试求随机变量YgX的概率分布，其中1,0;1,0.xgxx

7. 设随机变量X～(1,2)U，记 试求Y的分布列. 0,0;14,01;()13,13;12,36;1,6.xxFxxxx2,00.5,()0,.cxxxpx其它1,0,1,0XYX

22

8. 设随机变量X的密度函数23,1120,.Xxxpx其它

试求下列随机变量的分布：（1）3;(2)3.YXYX（3）2YX

第二章一维随机变量及其分布

第二章一维随机变量及其分布

第⼆章⼀维随机变量及其分布

第⼆章 ⼀维随机变量及其分布

⼀、填空题1.已知F （x ）=P {}X x ≤,则P {}a

2.设随机变量 X 的分布函数为

,()0,

x A Be F x -?+=?

00x x >≤ 则A= ,B= （A,B 均为常数）

3.设X 的分布函数为

0,

11,11

6()1,1221,2

x x F x x x <--≤

≤

则{}1P X <= ，{}12P X <<= . 4.当常数C= 时，{},1,2,(1)C

P X n n n n ===+ 为X 的分布律.

5.设X 的密度函数为

2,()0,x ke f x -?=??

00x x >≤

则{}12P X -<<= . 6.设X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}122p X P X ===，则{}3P X == .7.设(1,4)X N ，则{}

1P X <= .

8.设X 的分布律为101211114436X -??

，则2X 的分布律为 .

9.设X 服从[]0,1上的均匀分布，则21Y X =-的密度函数为 .

10.设X 的密度函数为f(x)，则X

Y e

-=的密度函数为 .

⼆、选择题1.设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，分布函数为F （x ），则下列结论正确的是（ ）

()()()A f x F x ≤ {}()()B P X x f x ==

1()()lim n C P X x F x n →∞

<+=

()D 当12x x

2.设X 的分布函数为F(x)，则下列函数中，仍为分布函数的是( )

()(21)A F x - ()(1)B F x -

3()()C F x ()1()D F x --

3.设X 的分布函数为

20,()F x x b c ??

=-，，

x a a x x ≤<≤>则常数a,b,c 的值为( )

()A -1,1,1. ()B 1,1,1. ()C 1,0,1. ()D 1,1,0.

4.设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,k

一维随机变量及其分布

一维随机变量及其分布

第二章 一维随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1． 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。

2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（

）及其应用。

3． 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。

4． 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（

）、指数分布及其应用，其中参数为

的指数分布E（

）的概率密度为

会求随机变量函数的分布。

本章导读 本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。

一、 随机变量

1概 念

随机试验的每一个可能的结果

（即每一基本事件），对应样本间的集合

中每一元素，我们都可以设令一个实数

来表示该元素，显然，

为实值单值函数

，称

为随机变量。对

，我们试验前无法确定，也就无法事先确定

的值，只有在试验后才会知道

的值，但

取值一定服从某种确定的分布。

随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。比如：将一枚硬币抛三次，以

表示三次投掷中出现正面

的总次数，那么，对于样本空间

中的每一个样本点

，

都有一个值与之对应，即

样本点

第2章一维随机变量

第2章一维随机变量

第2章 一维随机变量

2.1 内容框图

一维随机变量

离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度

分布函数

随机变量函数的分布

2.2 基本要求

(1) 理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质。

(2) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，会求简单的离散概率模型中随机变量的概率分布，掌握常用分布及其特性，并能用以解决具体问题。

(3) 理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质及概率密度函数与分布函数的关系，能运用常用分布及其特性解决具体问题。

(4) 会根据随机变量的概率分布求其简单函数的概率分布。

2.3 内容概要

1）随机变量的分布函数：

(1) 定义：随机变量的分布函数(){}FxPx@，x∈（-∞，+∞）。

(2) 性质：①F(x)是单调不减函数：2121()()xxFxFx；

②F(x)是有界函数：0≤F(x)≤1，且F(+∞)=1，F(-∞)=0；

③F(x)是右连续的：F(x+0) = F(x)。

(3) 用F(x)表示概率：

①1()PxFx

②()()PabFbFa

③Px(0)Fx ④()(0)PxFxFx

2）离散型随机变量：

(1) 定义：所有可能取值为有限多个或可列无穷多个的随机变量称为离散型随机变量。

(2) 概率分布： {}iiPxp（i=1,2,…）

或表示为：

1212{}ninxxxPxpppLLLL