石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(文科)

石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分(2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2()6a -+∞上单调递增；()f x 在上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD…………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221kmx x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。

石室中学高2021届2019~2020学年度上期十月考试数学试卷参考答案二、填空题：共4题，每小题5分，合计20分.13.22116925+=y x；14．40x y+-=；15．4-；16．2．三、解答题：共6题，合计70分.17.解：（Ⅰ）22154+=x y…………5分（Ⅱ）点P的坐标(1)2±±.…………10分18．解：（Ⅰ）显然直线l斜率存在．设:l y kx=2=，解得k=l 的方程为y x=．…………6分（Ⅱ）由于CM AB⊥可知M的轨迹为以OC为直径的圆在圆C内部的部分，其方程为2230x x y-+=（533x<≤）．…………12分19. 解：（Ⅰ）设(,)P x y，(,0)A m，(0,)B n，由于3=BP PA，所以(,)3(,)-=--x y n m x y(33,3)=--m xy，即333=-⎧⎨-=-⎩x m xy n y，所以434⎧=⎪⎨⎪=⎩m xn y，…………3分又2216+=m n，从而221616169+=xy. …………4分即曲线C的方程为：2219+=xy. …………5分（Ⅱ）联立22219=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x txy，得2237369(1)0++-=x tx t，由22(36)4379(1)0∆=-⨯⨯->t t，可得<t，又直线2=+y x t不过(0,1)H点，且直线HM与HN的斜率存在∴1≠±t，∴<t ，且1≠±t212123699,3737-∴+=-=t t x x x x ， …………8分 1212121212114(1)()----++=+=HM HN y y x x t x x k k x x x x …………10分1212124(1)()4411--+∴=-=+x x t x x t x x t3∴=t所以t 的值为3 …………12分 20.解：（I ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为(3,)t ，则有,)22()1(32222t t +=-+解得1t =．则圆C 的半径为.3)1(322=-+t所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x …………5分（II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a …………7分 因此，21212214,2a a x x a x x -++=-=①由于⊥OA OB ，可得,02121=+y y x x …………10分 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a …………12分21. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知，动点M 的轨迹为椭圆22:143x y C +=.……………3分（Ⅱ）∵:l 2y kx =+，联立2223412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得22(43)1640k x kx +++=. ……………4分∵ 216(123)0Δ=->k ，∴241k >. ……………5分设1122(,),(,)P x y Q x y .则1221221643443k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩. ……………7分∴22212122221616161212()44434343k k k y y k x x k k k -+++=++=-+==+++. ……8分 ∵OP OQ ON λ+=，易知0λ≠，∴122122116()(43)112()(43)N N k x x x k y y y k λλλλ⎧=+=-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩. ……………9分又点N 在椭圆C 上， ∴22222222211611214(43)3(43)k k k λλ⨯+⨯=++. 化简，得22222644816(43)43k k k λ+==++. ……………10分∵241k >，∴2434k +>.∴2110434k <<+. ∴2160443k <<+，即204λ<<. ∴(2,0)(0,2)λ∈-. ……………12分22. 解：（Ⅰ）由题意，得123c b a==， ……………………2分222,a c b -=又3,1a b c ∴===， ……………………3分所以，椭圆C 的标准方程为22198x y +=. ……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(3,0),(3,0),(1,0)A B F --,设直线1F M 的方程为1x my =-,由题意知，0m >， …………………5分 设()11,M x y ,直线1F M 与椭圆的另一交点()22,M x y ¢, 12F MF N ，根据对称性,得()22,N x y --, ……………………6分联立228972,1,x y x my ì+=ïí=-ïî得()228916640m y my +--=,其判别式△0>,1221689my y m \+=+,1226489y y m =-+, ……………………7分 由题可知120y y >>，所以12y y -,()121240y y my y ++=, ① ……………………8分1111132y y k x my ==++,2222232y y k x my -==--+, 由12320k k +=,得1132y my ++22202y my =+,即12125640my y y y ++=,……………………9分将①式代入，得()121220640y y y y -+++=,即12780y y +=, ……………………10分 ∴()()1212150y y y y+--=,∴21615089mm?=+,解得m (11)分 ∴直线1F M 的方程为1xy -，即0y -+. ……………………12分。

2021年四川省成都市青羊区石室中学高考数学适应性试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·四川省成都市·模拟题)已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|,x、y、z为非零实数}，则M的子集个数是()A. 2B. 3C. 4D. 82.(2021·四川省成都市·模拟题)若复数z满足(1+i)⋅z=1−i2021，则其共轭复数z−的模为()A. 1B. −1C. √2D. √223.(2021·安徽省·月考试卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.(2020·重庆市市辖区·月考试卷)设等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，则“q>0”是“S1⋅S3<S22”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.(2020·安徽省六安市·期末考试)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生6.(2021·四川省成都市·模拟题)已知圆柱形石材，底面圆半径为5−12，高为log59，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为()A. 45π B. 4π(log53)2 C. 4π(log59)2 D. 425π7.(2020·云南省昭通市·单元测试)已知圆的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于2√3的概率为()A. 1πB. 34C. 14D. 128. (2021·云南省大理白族自治州·模拟题)已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)( )A. 是偶函数B. 其图象关于直线x =π2对称 C. 在[π4,π2]上是增函数D. 在区间[π6,2π3]上的值域为[−√3,2]9. (2021·四川省成都市·模拟题)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1有极值点，则cos2B +cosB 的取值范围是( )A. [−98,0]B. [−98,0)C. (−98,0)D. [−98,12]10. (2021·四川省成都市·模拟题)已知圆C 1：(x +2)2+y 2=1，C 2：(x −2)2+y 2=49，动圆C 满足与C 1外切且C 2与内切，若M 为C 1上的动点，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A. √2B. √3C. 2D. √511. (2021·四川省成都市·模拟题)设函数f(x)=e x+a ，g(x)=2−4e −x−a ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得f(x 0)−g(x 0)=−x 022−2x 0成立，则实数a 值为( )A. −2+ln2B. 1+ln2C. −1−ln2D. 2+ln212. (2021·四川省成都市·模拟题)已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，棱DD 1中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、C 1D 1的距离相等，点Q 使得异面直线A 1Q 、BC 所成角正弦值为定值√2121，点R 在面BAA 1B 1内运动.当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面CDD 1C 1内时，则多面体RMPC 1Q 体积最小值为( )A. 56B. 12C. 1D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·四川省成都市·模拟题)已知方程(m −2)x 2+my 2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______ ．14. (2020·湖北省十堰市·期中考试)圆x 2+y 2+4x −6y +1=0关于直线ax −by +8=0(a >0,b >0)对称，则3a +2b 的最小值是______ ．15. (2021·四川省成都市·模拟题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,a n )在y =x 上，[x]表示不超过x 的最大整数，则[20212S 1+20212S 2+⋯+20212S 2021]= ______ ．16. (2021·福建省泉州市·模拟题)拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设△ABC 代表旧城区，新的城市发展中心O 1，O 2，O 3分别为正△ACD ，正△ABE ，正△BCF 的中心.现已知AB =2，∠ACB =30°，△O 1O 2O 3的面积为√3，则ABC 的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. (2019·福建省·单元测试)在△ABC 中，2cos 2A−B 2cosB −sin(A −B)sinB +cos(A +C)=−35． (1)求cos A 的值；(2)若a =4√2，b =5，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18.(2021·四川省成都市·模拟题)如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，BC的中点．(1)证明：A1E，AB，DF三线共点；(2)求三棱锥D−A1FC1的体积．19.(2021·福建省泉州市·模拟题)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线y=t(t<0)上的投影、当△PQF为等边三角形时，其面积为4√3．(1)求C的方程；(2)设O为原点，过点P的直线1与C相切，且与椭圆x24+y22=1交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M.试问：是否存在t，使得|AM|=|BM|恒成立？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由．20.(2020·广东省广州市·期末考试)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？21.(2020·河南省·模拟题)已知函数f(x)=xe x−ae2x(a∈R)在定义域内有两个不同的极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且x1<x2，若不等式x1+λx2>0恒成立，求正实数λ的取值范围．22. (2021·四川省成都市·模拟题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t,α中的一个为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ：ρsin(θ−π3)=1．(1)当t 为参数，α=π3时，判断曲线C 1与直线l 的位置关系；(2)当α为参数，t =2时，直线l 与曲线C 1交于不同的两点A ，B ，若P(0,2)，求1|PA|+1|PB|的值．23. (2020·江苏省·单元测试)已知a >0，b >0，且a +b =1．(1)求1a +2b 的最小值； (2)证明：ab+2ba 2+b 2+1<√52．答案和解析1.【答案】D【知识点】子集与真子集【解析】解：当x、y、z都是正数时，m=4；当x、y、z都是负数时，m=−4；当x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，m=0；故该集合中有3个元素，则其子集个数为23=8．故选：D．讨论x、y、z的符号，得到集合M的元素，然后根据子集的公式可得结论．本题主要考查了集合子集的概念，以及分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】A【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：由(1+i)⋅z=1−i2021=1−(i4)505⋅i=1−i，得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i12+12=−i，∴|z−|=|z|=|i|=1．故选：A．利用虚数单位i的运算性质及复数代数形式的乘除运算化简z，再由|z−|=|z|求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【知识点】对数与对数运算、指数与指数幂的运算【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．根据对数的性质：T=a log a T，可得：3=10lg3≈100.48，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴MN ≈101731080=1093．故选D．4.【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：S1=a1，S2=a1(1+q)，S3=a1(1+q+q2)，故S22−S1⋅S3=a12[(1+q)2−(1+q+q2)]=a12q，因为在等比数列{a n}中，a1≠0，故S1⋅S3<S22⇔q>0，故选：C．求出等比数列的和，作差，再根据充要条件的定义进行判断即可．本题考查了充要条件的定义，等比数列求和，属于基础题．5.【答案】D【知识点】系统抽样【解析】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为10，∵45号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为5，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以5为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n=5+10(n−1)=10n−5，由于10n−5=815，即n=81，故D被抽到．故选：D．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合45号学生被抽到，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．6.【答案】A【知识点】球的表面积和体积【解析】解：因为圆柱的底面圆半径为5−12，高为log 59，且log 59=2log 53， 又5−12=1√5<12=log 5√5<log 53， 所以若此石材可加工成体积最大的球体，则此球的半径为5−12， 所以此球的表面积为S =4π⋅(1√5)2=4π5．故选：A ．比较圆柱的底面圆半径和高的一半的大小，求出此石材可加工成体积最大的球体的半径，再求球的表面积．本题考查了圆柱的结构特征与球体的结构特征与应用问题，是基础题．7.【答案】C【知识点】与面积有关的几何概型、几何概型【解析】解：如图，要使过点M 的所有弦都大于2√3，|OM|≤1， 所以点M 在以O 为圆心，1为半径的圆的内部及圆周上， 所以过点M 的所有弦的长度都大于2√3的概率P =π4π=14． 故选：C ．由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M 在以O 为圆心，1为半径的圆的内部及圆周上，根据与面积有关的几何概率公式可求． 本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．8.【答案】D【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)=2sin(ωx +π3) 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列， ∴12⋅2πω=π2，∴ω=2，f(x)=2sin(2x +π3).把函数f(x)的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin2x 的图象， 故g(x)是奇函数，故A 错误；令x =π2，可得g(x)=0，故g(x)的图象关于点(π2,0)对称，故B 错误； 当x ∈[π4,π2]，2x ∈[π2,π]，g(x)是减函数，故C 错误；当x ∈[π6,2π3]，2x ∈[π3,4π3]，g(x)∈[−√3,2]，故D 正确，故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】B【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】解：∵f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1， ∴f′(x)=x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)，又∵函数f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1有极值点， ∴x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)=0有两个不同的根， ∴△=(2b)2−4(a 2+c 2−ac)>0，即ac >a 2+c 2−b 2，即ac >2accosB ，即cosB <12， ∴−1<cosB <12，∴cos2B +cosB =2cos 2B +cosB −1=2(cosB +14)2−98∈[−98,0)，故选：B ．先求导f′(x)=x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)，从而化函数f(x)有极值点为x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解cos B 的取值范围即可求得．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是中档题．10.【答案】B【知识点】向量的数量积【解析】解∵圆C 1的方程为：(x +2)2+y 2=1，∴圆C 1的圆心为(−2,0)，半径r 1=1，同理圆C 2的圆心为(2,0)，半径r 2=7， 设动圆C 的半径为R ，∵动圆C 满足与C 1外切且C 2与内切，∴|C 1C|=r 1+R =1+R ，|C 2C|=r 2−R =7−R ， 两式相加得|C 1C|+|C 2C|=1+7=8>4，∴圆心C 在以C 1、C 2为焦点的椭圆上运动， 由2a =8，c =2，得a =4，b =√a 2−c 2=2√3， ∴椭圆方程为x 216+y 212=1，即动圆圆心C 的轨迹方程为：x 216+y 212=1，如下图，∵M 为C 1上的动点，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴当|CC 1|最小时，|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， ∵|CC 1|最小值为a −c =2，∴|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为√22−12=√3， 故选：B ．根据两圆相切的性质证出|C 1C|+|C 2C|=8>4，得到圆心C 在以C 1、C 2为焦点的椭圆上运动，可得动圆圆心C 的轨迹方程，再利用椭圆的性质和勾股定理即可求解． 本题考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系，动点轨迹方程的求法，椭圆的性质，属于中档题．11.【答案】D【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值 【解析】解：若存在实数x 0，使得f(x 0)−g(x 0)=−x 022−2x 0成立，即e x 0+a +4ex 0+a =2−x 022−2x 0在x 0∈(−∞,+∞)上成立，由e x 0+a +4e x 0+a ≥2√e x 0+a ⋅4ex 0+a =4，当且仅当e x 0+a =4e x 0+a 即x 0=ln2−a 时取“=”，设g(x)=2−x 22−2x ，则g′(x)=−x −2，由g′(x)<0，解得：x >−2，由g′(x)>0，解得：x <−2， 故g(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 故g(x)≤g(−2)=4， 要使得e x 0+a +4ex 0+a =2−x 022−2x 0在x 0∈(−∞,+∞)上成立，则x 0=ln2−a =−2，故a =2+ln2， 故选：D ．求出ex 0+a+4e x 0+a ≥4，2−x 022−2x 0≤4，得到关于a 的方程，求出a 的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，基本不等式的性质以及转化思想，是中档题．12.【答案】A【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、异面直线所成角 【解析】解：∵四边形CDD 1C 1中，点P 到异面直线BC 、C 1D 1的距离相等，且点P 到直线C 1D 1的距离始终为CP ， ∴点P 的轨迹为是以C 为焦点，以x =−1为准线的抛物线，∵四边形CDD 1C 1中，点Q 使得异面直线A 1Q 、BC 所成角正弦值为定值√2121，即点Q 使得异面直线A 1Q 、A 1D 1所成角正弦值为定值√2121，则其正切值为定值√510，而A 1D 1⊥PD 1，∴在Rt △A 1D 1P 中，D 1PA 1D 1=√510，则D 1P 为定值√55，则点Q 的轨迹是以D 1为圆心，√55为半径的14圆，显然S MPC 1Q =S △MC 1Q +S △MC 1P ， 而(S △MC 1Q )min =12×√5×(2√5−√55)=12(当Q 为过D 1且垂直MC 1的直线与圆的交点时)，(S △MC 1P )min =12×√5×32√5=34(当P 处切线//MC 1时)，∴(S MPC 1Q )min =12+34=54，而动点R 到平面CDD 1C 1的距离为定值2， ∴多面体RMPC 1Q 体积最小值为13×54×2=56． 故选：A ．依题意，求得动点P 及动点Q 的轨迹，由此可求得△MC 1Q ，△MC 1P 面积的最小值，进而求得四边形MPC 1Q 面积的最小值，而动点R 到平面CDD 1C 1的距离为定值2，用锥体的体积公式即可得解．本题考查立体几何与圆锥曲线的综合运用，涉及了动点的轨迹方程以及多面体体积的求法，考查直观想象及逻辑推理等数学素养，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于难题．13.【答案】(0,2)【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：∵方程(m−2)x2+my2=1表示双曲线，∴(m−2)m<0，即0<m<2，∴m的取值范围是(0,2)．故答案为：(0,2)．由方程(m−2)x2+my2=1表示双曲线，可得(m−2)m<0，求解得答案．本题考查双曲线的方程与几何性质，是基础题．14.【答案】3【知识点】直线与圆的位置关系及判定、基本不等式【解析】解：由x2+y2+4x−6y+1=0，得(x+2)2+(y−3)2=12，∴圆心坐标为(−2,3)，∵圆x2+y2+4x−6y+1=0关于直线ax−by+8=0(a>0,b>0)对称，∴2a+3b=8，即a4+3b8=1，则3a +2b=(3a+2b)(a4+3b8)=32+9b8a+a2b≥32+2√9b8a⋅a2b=32+32=3．当且仅当9b8a =a2b，即a=2，b=43时上式取等号．∴3a +2b的最小值是3．故答案为：3．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程，整理后借助于1的代换，再由基本不等式求最值．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.【答案】2022【知识点】数列求和方法【解析】解：∵点(n,a n)在y=x上，∴a n=n，∴S n=n(n+1)2，∴12S n =1n(n+1)=1n−1n+1，∴2021(12S1+12S2+⋯…+12S2021)=2021×(1−12+12−13+⋯…+12021−12022)=2021×(1−12+12−13+⋯…+12021−12022)=2021×20212020=2022+12021，∴[20212S1+20212S2+⋯+20212S2021]=[2022+12021]=2022，故答案为：2022．点(n,a n)在y=x上，可得a n=n，利用求和公式可得S n，12Sn，利用裂项求和方法可得：2021(12S1+12S2+⋯…+12S2021)，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2√33【知识点】解三角形的实际应用【解析】解：如图所示，连接CO1，CO2，由题意得：CO1=√33AC，CO2=√33BC，∠O2CB=30°，∠O1CA=30°，又∠ACB=30°，∴∠O1CO2=90°，又S△O1O2O3=√34O1O22=√3，∴O1O2=2，由勾股定理可得：CO12+CO22=O1O22，则(√33AC)2+(√33BC)2=O1O22，得AC2+BC2=12，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos30°又AB=2，解得AC⋅BC=8√33，∴S△ABC=12AC⋅BC⋅sin30°=2√33．故答案为：2√33．连接CO1，CO2，得CO1=√33AC，CO2=√33BC，∠O2CB=30°，∠O1CA=30°，进一步可得∠O1CO2=90°，利用勾股定理求得AC2+BC2=12，再由余弦定理AC⋅BC，则ABC 的面积可求．本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，考查余弦定理的应用，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由2cos2A−B2cosB−sin(A−B)sinB+cos(A+C)=−35可得cos(A−B)cosB−sin(A−B)sin(A+c)=−35，可得cos(A −B)cosB −sin(A −B)sinB =−35， 即cos(A −B +B)=−35， 即cosA =−35，(Ⅱ)由正弦定理，asinA =bsinB ，所以sinB =bsinA a=√22， 由题意可知a >b ，即A >B ，所以B =π4，由余弦定理可知(4√2)2=52+c 2−2×5c ×(−35)． 解得c =1，c =−7(舍去)．向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影：|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =ccosB =√22．【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数公式、余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sin A 的值；(Ⅱ)利用a =4√2，b =5，结合正弦定理，求出B 的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c 的大小．本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18.【答案】(1)证明：EF//A 1D 且EF ≠A 1D ，∴A 1E ，DF 共面．∴设A 1E⋂DF =P ，则P ∈A 1E ，而A 1E ⊂面AA 1B 1B ， ∴P ∈面AA 1B 1B ；同理可得∴P ∈面ABCD ，∴点P 在面ABCD 与面AA 1B 1B 的公共直线AB 上， 即A 1E ，AB ，DF 三线共点．(2)解：连接AC 交DF 于点P ，由相似比有DP ：PF =AD ：FC =2：1，V D−A 1FC 1=V D−A 1PC 1+V F−A 1PC 1=V D−A 1PC 1+12V D−A 1PC 1=32V D−A 1PC 1， 连接DB 交AC 于点Q ，由AA 1⊥面ABCD ，DQ ⊂面ABCD ，AA 1⊥QD ，AC ⊥QD ，AC ∩AA 1=A ， 所以DQ ⊥面AA 1CC 1，DQ =√2，S △A 1PC 1=12×2√2×2=2√2， V D−A 1FC 1=32V D−A 1PC 1=32×13×2√2×√2=2．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、平面的基本性质及应用 【解析】(1)设A 1E⋂DF =P ，证明P ∈面AA 1B 1B ；P ∈面ABCD ，说明点P 在面ABCD 与面AA 1B 1B 的公共直线AB 上，推出A 1E ，AB ，DF 三线共点．(2)连接AC 交DF 于点P ，由相似比有DP ：PF =AD ：FC =2：1，通过V D−A 1FC 1=V D−A 1PC 1+V F−A 1PC 1=V D−A 1PC 1+12V D−A 1PC 1=32V D−A 1PC 1，连接DB 交AC 于点Q ，转化求解即可．本题考查几何体的体积的求法，三线共点问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)，F(0,p2)，△PQF 为等边三角形时，其面积为4√3， ∴12⋅|PQ|2⋅sin π3=4√3，解得|PQ|=4，∵Q 为P 在动直线y =t(t <0)上的投影，∴Q(x 0,t)， 当△PQF 为等边三角形时，|PQ|=|PF|=|QF|， 由抛物线的定义知，t =−p2， ∴{y 0+p 2=4x 02+p 2=16x 02=2py 0，解得p =2． ∴抛物线C 的方程为x 2=4y ； (2)存在t ，使得|AM|=|BM|，t =1．证明如下：设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 02=4y 0，Q(x 0,t)，∵y =14x 2，∴y′=12x ，∴切线l ：y −y 0=12x 0(x −x 0)，即y =12x 0x −y 0，联立{y =12x 0x −y 0x 24+y 22=1，得(1+12x 02)x 2−2x 0y 0x +2y 02−4=0．∴x 1+x 2=2x 0y 01+12x 02，则y 1+y 2=12x 0x 1−y 0+12x 0x 2−y 0=12x 0⋅2x 0y 01+12x 02−2y 0=4y 0x 02+2 ∵Q(x 0,t)，∴l OQ ：y =−tx 0x ，联立{y =−tx 0x y =12x 0x −y 0，得y M =−2y 0t x 02−2t ， ∵|AM|=|BM|，且A 、B 、M 共线，∴M 为AB 的中点， 则2y M =y 1+y 2，即−4y 0t x 02−2t =4y 0x 02+2，解得t =1．综上，存在t ，使得|AM|=|BM|，t =1．【知识点】抛物线的概念及标准方程、直线与抛物线的位置关系【解析】(1)根据正三角形得三角形的边长，再由抛物线的定义列方程组，解方程即可； (2)根据导数的几何意义得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得M 的坐标，由|AM|=|BM|知M 为AB 的中点，再根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f =4860=45，故可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B(3,45)，故所求概率为C 32×(45)2×15=48125； (2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100=15(元)，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．②根据题意及(2)①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13=5(元)， 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260×5−3×100=1000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为235×5−2×100=975(元)因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．【知识点】众数、中位数、平均数、n次独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的期望与方差【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f=4860=45，可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X服从二项分布X～B(3,45)，由此能求出该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率．(2)①列表求出样本中快递费用及包裹件数，由此能求出样本中每件快递收取的费用的平均值．②揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加5元，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司平均每日利润的期望值为260×5−3×100=1000元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司平均每日利润的期望值为235×5−2×100=975元，从而公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．21.【答案】解：(1)由题可知f′(x)=(x+1)e x−2ae2x=0有两个不等的实根，即x+ 1−2ae x=0有两个不等的实根，令2a=x+1e x =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−(x+1)e x(e x)2=−xe x，∴当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减，∴ℎ(x)max=ℎ(0)=1，又ℎ(−1)=0，x∈(−∞,−1)时，ℎ(x)<0，x∈(−1,+∞)时，ℎ(x)>0，∴2a∈(0,1)，即a∈(0,12)；(2)由(1)知，x1，x2是方程x+1e x=2a的两根，∴−1<x1<0<x2，则x1+λx2>0即为x2>−x1λ>0，∵ℎ(x)在(0,+∞)上单减，∴ℎ(x2)<ℎ(−x1λ)，又ℎ(x2)=ℎ(x1)，∴ℎ(x1)<ℎ(−x1λ)，即x1+1e x1<−x1λ+1ex1λ，两边取对数，并整理得，λln(x1+1)−λln(1−x1λ)−(1+λ)x1<0对一切x1∈(−1,0)恒成立，设F(x)=λln(x+1)−λln(1−xλ)−(1+λ)x,x∈(−1,0)，则F′(x)=λx+1+11−xλ−(1+λ)=(1+λ)(x+1−λ)x(x+1)(λ−x)当λ≥1时，F′(x)>0对x∈(−1,0)恒成立，∴F(x)在(−1,0)上单增，故F(x)<F(0)=0恒成立，符合题意；当0<λ<1时，λ−1∈(−1,0)，x∈(λ−1,0)时，F′(x)<0，∴F(x)在(λ−1,0)上单减，F(x)>F(0)=0，不合题意．综上，λ≥1．【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】(1)问题可等价于x+1−2ae x=0有两个不等的实根，令2a=x+1e x=ℎ(x)，利用导数研究函数ℎ(x)的性质，可得2a∈(0,1)，由此求得实数a的取值范围；(2)显然，x1，x2是方程x+1e x =2a的两根，依题意，x2>−x1λ>0，则x1+1e x1<−x1λ+1ex1λ，两边取对数得到λln(x 1+1)−λln(1−x 1λ)−(1+λ)x 1<0对一切x 1∈(−1,0)恒成立，再构造函数F(x)=λln(x +1)−λln(1−x λ)−(1+λ)x,x ∈(−1,0)，分λ≥1及0<λ<1讨论得解．本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想以及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当t 为参数，α=π3时，曲线C 1表示直线：y =√3(x −1)，由l ：ρsin(θ−π3)=1，得l ：12ρsinθ−√32ρcosθ=1， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得y =√3x +2，因为斜率相等，所以曲线C 1与直线l 平行；(2)当α为参数，t =2时，曲线C 1的参数方程{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)， 消去参数得曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=4，易知直线过P(0,2)，故设直线l 的参数方程为{x =12t y =2+√32t (t 为参数)， 联立直线l 的参数方程与曲线C 1的普通方程，得t 2+(2√3−1)t +1=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=1−2√3,t 1t 2=1，故1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=2√3−1．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)当t 为参数，α=π3时，化简曲线C 1表示直线：y =√3(x −1)，求出l ：ρsin(θ−π3)=1，即可y =√3x +2，推出结果．(2)求出曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=4，联立直线l 的参数方程与曲线C 1的普通方程，利用参数的几何意义，转化求解即可．本题考查极坐标方程以及参数方程与普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)1a +2b =(a +b)(1a +2b )=3+2a b +b a ≥3+2√2a b ⋅b a =3+2√2，当且仅当“b =√2a =2−√2”时取等号，故1a +2b的最小值为3+2√2；(2)证明：ab+2ba2+b2+1=ab+2ba2+b25+4b25+1≤2√a2⋅25+2√25⋅1=ab+2b2√5(ab+2b)=√52，当且仅当a=12,b=√52时取等号，此时a+b≠1．故ab+2ba2+b2+1<√52．【知识点】基本不等式【解析】本题主要考查基本不等式的运用，属于中档题．(1)利用基本不等式即可求得最小值；(2)关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．。

2020-2021四川省成都市石室中学高一数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．1-B ．13-C ．12-D ．133．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．504．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,75．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 6．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-10．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =__________．18．函数的定义域为___．19．已知函数1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________. 20．函数2()log 1f x x =-________．三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 22．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围； （2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 23．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?24．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．25．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.5．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．B【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.8．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。

成都石室中学2020—2021学年度上期高2021届期末考试数学参考答案（文科）13．14．15． 16． ①③④ 三、解答题 17．选① (1)sinsin sin sin sin cos sin sin 222B C A Ac a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= ………………[2分]0,sin 0C C π<<∴≠cos2sin 222A A A cos ∴=，0,cos 02AA π<<∴≠……………… [4分]1sin223A A π∴=⇒=……………… [6分] 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=……………… [8分](2)21sin 1)324ABCScb A b ===……………… [10分] 2b ∴=……………… [12分]选②2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+=……………… [2分] 2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴=……………… [4分] 0,sin 0A A π<<∴≠1cos 23A A π∴=⇒=……………… [6分] 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=……………… [8分]8518125π6(2) 21sin 1)324ABCScb A b ===……………… [10分] 2b ∴= ……………… [12分]选③()22222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+222b c a bc +=+ ，1cos 2A ∴=0,A π<<……………… [4分]3A π∴=……………… [6分] 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=……………… [8分](2) 21sin 1)324ABCScb A b ===……………… [10分] 2b ∴=……………… [12分]18． （1）记事件A 为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”， 在[40，80）、[80，120）两组数据中用分层抽样抽6天, [40，80）中抽的天数为206260天，记为,A B ;[80，120）中抽的天数为406460天，记为,,,a b c d ……………… [1分]则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：“(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A a A b A c A d B a B b B c B d a b a c a d b c(,),(,)b d c d ”共15种………………[3分]选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情况有以下：“(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A a A b A c A d B a B b B c B d ”共9种……………… [5分] 选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为93()155P A .……………… [6分] （2）若租赁2辆车， 平均利润为2080(2000400)40003520100100……………… [8分] 若租赁3辆车，平均利润为204040(2000800)(4000400)60004080100100100………………[10分]40803520所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大。

2020-2021学年四川省成都市石室中学高三（上）一诊数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．22．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）3．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．24．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误的是（）A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小5．正项等差数列{a n}的前n和为S n，已知a2+a8﹣a52+8＝0，则S9＝（）A．35B．36C．45D．546．将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．7．已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于y轴对称，设函数f（x）的最小正周期为T，极大值点为x0，则|T﹣x0|的最小值是（）A．B．C．D．8．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，过点M（1，1）的直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|最短时直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．x+2y﹣8＝0C．2x﹣y+1＝0D．x+2y﹣3＝0 9．已知等比数列{a n}的前n项和与前n项积分别为S n，T n，公比为正数，且a3＝16，S3＝112，则使T n＞1成立的n的最大值为（）A．8B．9C．12D．1310．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．4B．πC．12πD．16π11．已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：（x﹣2）2+y2＝1，若点P，Q分别在C1，C2上运动，且设点M（4，0），则的最小值为（）A．B．C．4D．512．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c二、填空题（共4小题）.13．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的取值范围是．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝．15．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是．16．已知f（x）＝（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2恰有三个不同零点，则a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sin A+（2b+a）sin B＝2c sin C．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心．（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；（Ⅱ）三棱锥G﹣PCD的体积．19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：＝＝，＝﹣．）20．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A作圆M：（x+1）2+y2＝r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B，D两点（B，D不同于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．（1）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．2解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|＝．故选：C．2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y＝的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y＝ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B＝[﹣2，1），故选：D．3．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．4．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误的是（）A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对；P产品的销售额极差更大，故A对；Q产品的销售额基本维持在25万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q销售额平均值更大，故C对，故选：B．5．正项等差数列{a n}的前n和为S n，已知a2+a8﹣a52+8＝0，则S9＝（）A．35B．36C．45D．54解：由等差数列的性质可得：a2+a8＝2a5，∴a2+a8﹣a52+8＝0，可化为：a52﹣2a5﹣8＝0，又a5＞0，解得a5＝4，∴S9＝9a5＝36，故选：B．6．将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．解：根据题意，得；点A在平面BCC1B1上的投影是B，点D在平面BCC1B1上的投影是C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示．故选：B．7．已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于y轴对称，设函数f（x）的最小正周期为T，极大值点为x0，则|T﹣x0|的最小值是（）A．B．C．D．解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得y＝sin（2x+φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，∴φ+＝，∴φ＝，∴函数f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的最小正周期为T＝＝π，极大值点为x0＝kπ+，k∈Z，则对于|T﹣x0|＝|π﹣kπ﹣|，故当k＝1时，它的最小值为，故选：A．8．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，过点M（1，1）的直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|最短时直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．x+2y﹣8＝0C．2x﹣y+1＝0D．x+2y﹣3＝0解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9的圆心C为（2，3），半径r＝3，当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时K CM＝＝2，则K AB＝﹣，此时直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），变形可得x+2y﹣3＝0，故选：D．9．已知等比数列{a n}的前n项和与前n项积分别为S n，T n，公比为正数，且a3＝16，S3＝112，则使T n＞1成立的n的最大值为（）A．8B．9C．12D．13解：因为a3＝16，S3＝112，公比为正数且不为1，所以，解得a1＝64，，所以，则，要使T n＞1，则，解得0＜n＜13，故n的最大值为12．故选：C．10．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．4B．πC．12πD．16π解：AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以在三角形ABC中，余弦定理得：BC＝＝，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝＝＝2，所以r＝1，又因为V P﹣ABC＝AB•AC•sin60°•PA＝PA＝1，所以AP＝2．由题意，三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝1+3＝4，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选：D．11．已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：（x﹣2）2+y2＝1，若点P，Q分别在C1，C2上运动，且设点M（4，0），则的最小值为（）A．B．C．4D．5解：如右图，设圆心为F，则F为抛物线y2＝8x的焦点，该抛物线的准线方程为x＝﹣2，设P（x，y），由抛物线的定义：|PF|＝x+2，要使最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|＝|PF|+1＝x+3，且|PM|＝＝＝，∴＝，令x+3＝t（t≥3），则x＝t﹣3，∴＝＝，由0＜≤，而f（t）＝﹣+1＝25（﹣）2+，可得＝＜，f（t）取得最小值，则的最小值为．故选：B．12．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c 解：a＝ln34π，b＝ln43π，c＝lnπ12，，且2π＜π2，∴，，且27π＞π3，∴，∴43π＜π12＜34π，∴b＜c＜a．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的取值范围是[﹣8，0]．解：不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线，当直线经过点A时，直线在纵轴上的截距最大，z有最小值，在4x+3y＝12中，取x＝0，得A（0，4），当z＝x﹣2y过O（0，0）时，z有最大值．因此z＝x﹣2y的最大值为，最小值为﹣8．则z＝x﹣2y的取值范围是[﹣8，0]．故答案为：[﹣8，0]．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝．解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝＝＝，故答案为：．15．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．．解：设三角形PF1F2内切圆的半径为r，则＝|PF1|r，＝|PF2|r，＝|F1F2|r＝cr，∴﹣＝＝|PF1|r﹣|PF2|r＝•2a•r＝ar，∴ar≥cr，即2a≥c，∴e＝≤2，又e＞1，∴1＜e≤2．故答案为：（1，2]．16．已知f（x）＝（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2恰有三个不同零点，则a的取值范围为（1，1+）．解：令f（x）＝0，分离参数得a＝﹣，令h（x）＝﹣，由h′（x）＝＝0，得x＝1或x＝e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴x＝1时，h（x）有极小值h（1）＝1；x＝e时，h（x）有极大值h（e）＝1+；设μ＝，则μ＜1；这是因为对于函数y＝lnx﹣x，x＞0，有y'＝，当0＜x＜1时，y'＞0，函数单调递增；当x＞1时，y'＜0，函数单调递减；即x＝1时函数有极大值，也是最大值﹣1，故∀x＞0，lnx﹣x＜0，lnx＜x，即得＜1；h（x）＝﹣μ＝+（1﹣μ）﹣1≥2﹣1＝1；∴当f（x）＝（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2恰有三个不同零点，即y＝a与y＝h（x）有三个不同的交点；∴1＜a＜1+．故答案为：（1，1+）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sin A+（2b+a）sin B＝2c sin C．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（2a+b）sin A+（2b+a）sin B＝2c sin C．∴由已知，得，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴，由0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a＝2sin A，b＝2sin B．设周长为l，则＝＝∵，∴2＜2sin（A+）+≤2+，∴△ABC周长的最大值为．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心．（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；（Ⅱ）三棱锥G﹣PCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：设PD的中点为E，连接AE，CE，GF．∵AB∥CD，AB＝2DC＝，∴，又∵G为△PAD的重心G，∴，∴GF∥CE，又∵GF⊄面PDC，CE⊂面PDC，∴GF∥平面PDC……………………………………（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知GF∥平面PDC，则V G﹣PCD＝V F﹣PCD＝V P﹣CDF，∵，∴，∴…………………………………19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：＝＝，＝﹣．）解：（Ⅰ）由表格中的数据，182.4＞79.2，所以，所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．所以回归模型②的拟合效果更好．所以当x＝17亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．…………………………………………（Ⅱ）当x＞17时，由已知可得＝，＝．所以＝﹣0.7＝67.2+0.7×23＝83.3．所以当x＞17时，y与x满足的线性回归方程为．当x＝20时，科技升级直接收益的预测值为亿元．当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+5＝74.3亿元＞72.93亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．………………………………………………20．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A作圆M：（x+1）2+y2＝r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B，D两点（B，D不同于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）∵e＝，由题设知⇒．故所求椭圆C的方程是．（Ⅱ）：设切线方程为y＝kx+1，则有，化简得，即（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2＝0设两条切线分别的斜率分别为k1，k2，于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2＝0的两实根，故k1•k2＝1．设直线BD的方程为y＝mx+t，由得（1+2m2）x2+4tmx+2t2﹣2＝0，∴，，又，即（mx1+t﹣1）（mx2+t﹣1）＝x1x2⇒（m2﹣1）x1x2+m（t﹣1）（x1+x2）+（t﹣1）2＝0，⇒+（t﹣1）2＝0，⇒t＝﹣3．∴直线BD过定点（0，﹣3）21．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥0恒成立．当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若，则h''（x）＝e x﹣cos x，h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，又h'''（0）＝1，，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又，h''（0）＝0，故存在唯一使得h''（x1）＝0．故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又，h'（0）＝1﹣a≥0，所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．解：（1）曲线C和参数方程为，∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，∴AB的极坐标方程为．∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，∴S△ABO＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．（1）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知，原不等式等价于或或截得x≤﹣8或ϕ或x≥2，综上所述，不等式f（x）≥|x﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）．（2）当m＝﹣1时，则g（x）＝|2x+2|﹣5+|x+1|＝3|x+1|﹣5，此时g（x）的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；当m＞﹣1时，，则函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，要使函数g（x）的图象与x轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数m的取值范围为．。

侧视图0.5俯视图1正视图10.5成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}14A x x =∈-≤<N ，{}2230B x x x =--<，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32.若复数z 满足(13i)24i z ⋅+=-，则z =()A ．22B ．1C D ．23.函数23()e xx xf x -=的图象大致是()AB C D 4.已知实数,x y 满足()01x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y>D ．33x y>5.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A.8B.6C.4D.26.已知命题:p 若22,ac bc >则a b >；命题:q 在ABC ∆中，sin sin A B =是A B =的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ⌝∨ B.()p q ⌝∨ C.p q ∧ D.p q ∧⌝7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A ．14B.12C.1D.28.已知函数()sin(4)(0)f x A x ϕϕ=+<<π的图象与y 轴交点的坐标为，且图象关于直线24x π=-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()A ．12B ．1C D ．29.已知ABC ∆中，若23A π=，2c =，ABC ∆的面积为32，D 为边BC 的中点，则AD 的长度是（）A.5714B.32C.1D.210.已知0.90.930.7,log 2a c ==，b=0.8，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<11.已知圆2212316:()33C x y +-=过双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点12,F F ,曲线1C 与曲线2C 在第一象限交点为M ，1212,MF MF ⋅=则双曲线2C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．312.已知函数()114x xf x e e --=-+，若方程()4(0)f x kx k k =+->有三个不同的根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=（）A.4B.3C.2D.k第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知倾斜角为α的直线l 与直线:230m x y -+=垂直，则cos 2α=.14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤--+0202222y x y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是_________.15.直线01=--y x 与抛物线x y 42=交于,A B 两点，过线段AB 的中点作直线1-=x 的垂线，垂足为M ，则=⋅MB MA .16.已知三棱锥BCD A -中,2====AD BC CD AB ,t BD AC ==,当三棱锥BCD A -体积最大时,t 的值为.三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-.（1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，平面ADP ⊥底面ABCD ，AP =DP ，且AP ⊥DP ，设E ，F 分别为CP ，BD 的中点，2FP =．（1）求证：AP ⊥CP ；（2）求三棱锥P -ADE 的体积．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中24y =,71()(70i i i x x y y =--=∑，721()=176i i y y =-∑．（1）运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？（2）若求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数()()nii xx y y r --=∑y bx a =+$$$，其中121()(()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$8.77≈．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点分别为1F ,2F ，且2F 为抛物线22:8C y x=的焦点，P 为椭圆1C 上一点.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知A ，B 为椭圆1C 上不同两点，且都在x 轴上方，满足12F A F B λ=.（ⅰ）若3λ=，求直线1F A 的斜率；（ⅱ）若直线1F A 与抛物线2y x =无交点，求四边形12F F BA 面积的取值范围.设()ln f x x =．（1）证明：()y f x =的图象与直线xy e=-有且只有一个横坐标为α的公共点，且1(,1)e α∈；（2）求所有的实数k ，使得直线y kx =与函数2()y f x =的图象相切；（3）设2,,((,)a b c eα∈+∞（其中α由（1）给出），且3a b c ++=，()ln 2g x x =+，求g 2(a )+g 2(b )+g 2(c )的最大值．22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为.(1)求的值；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCADCDACBACB二、填空题13.35-;14.3+15.0;16.433.三、解答题17．解：（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列.．．．．．．．．．．．．．5分（2）()11122n nn a n a --=-⋅=1n n n b b a n +=+-12nn n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥ 12b =满足上式.2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）∵ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ．（1分）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，（3分）∴CD ⊥AP ．又AP ⊥DP ，CD ∩DP =D ，∴AP ⊥平面PCD ，（5分）∴PA PC ⊥．（6分）（2）∵四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则AC ∩BD =F ，F 为AC 中点．∵E 为PC 中点，∴在△ACP 中，EF PA ∥．∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF 平面ADP ．∴E 到面ADP 的距离等于F 到面ADP 的距离．（8分）由（1）知，PA PC ⊥，∴12PF AC ==AC=，∴2AB AD ==,PA PD ==（9分）（法一）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则MF ∥CD ，又CD ⊥平面ADP ，∴MF ⊥平面ADP ．∴111113323P ADE E PAD F PAD PAD V V V MF ---∆===⋅=⨯=．（12分）（法二）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则PM ⊥AD ．∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，PM ⊂平面PAD ，∴PM ⊥底面ABCD ，112PM AD ==．∴11111213323P ADE E PAD F PAD P ADF ADF V V V V S PM ----∆====⋅=⨯⨯⨯⨯=．（12分）19．解：（1）根据题意，得()1891011121314117x =++++++=．（1分）()()()()()()()()2222227122811+911+1011+1111+1211+1311+1411=28i i x x =-------=-∑（2分）70.16．（3分）因而相关系数()()7700.99870.16iix x y y r --==≈∑．（5分）由于0.998r ≈很接近1，∴可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．（6分）（2）()()()7172178ˆ0522i ii ii x x yy bx x ==--===-∑∑，（8分）5724112ˆ2a=-⨯=-，（9分）∴ y 关于 x的回归方程为5722ˆy x =-．（11分）若19x =，则5719442ˆ2y=⨯-=颗．∴在19℃的温度下，种子的发芽颗数为44．（12分）20．解：（1）依题意得2c =，则1(2,0)F -，2(2,0)F .于是12a PF =2PF +=，从而a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.．．．．．．．．．．．．．3分（2）如图，设1F A 直线交椭圆于另一点'B ，2F B 直线交椭圆于另一点A'，由12F A F B λ=，故12//F A F B ，由椭圆对称性，2112',A'BF B F AF F ==，且四边形''ABA B 为平行四边形.．．．．．．．．．．．．．5分○1由题意直线'AB 的斜率不为0，设直线'AB ：2x ty =-，由22228x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()222440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22',B x y ，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+，由12111233'3F A F B F A F B y y =⇒=-⇒=-（*）带入上式，解得：122262,22t ty y t t -==++故2222124,0(),1(2)2t t t t t -=->∴=++由图Q ，故1F A 的斜率为1.．．．．．．．．．．．．．8分○2由22x ty y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得220y ty -+=，由()280t ∆=--<得28t <.所以12'AB y =-=)2212t t +=+，'AB 与'BA 间的距离d =2F 到'AB 的距离），故1212AF F BAB A B S S ''==)221122t t +⋅+28212t =+，[)1,3s =∈，则1222AF F BS t=+211s s s==++5⎛∈ ⎝，所以四边形12AFF B的面积的取值范围为5⎛⎝⎦.．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）考虑函数()ln xu x x e =+，易知()u x 在(0,1)上单调递增，且(1)0u >，1()0u e<．因此有且只有1(,1)e α∈使得()0u α=，即()y f x =的图象与直线x y e=-有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为α．…………3分（2）22ln [()]xf x x'=．设200(,ln )P x x 是2()y f x =的图象上一点，则该点处的切线为200002ln ln ()x y x x x x -=-，整理得200002ln 2ln ln x y x x x x =-+．令2002ln ln 0x x -+=，解得01x =或20x e =．因此0y =与24y x e=与函数2()y f x =的图象相切．因此所求实数k 的值为0或24e ．…………7分（3）设224()ln h x x x e =-，则22ln 4()x h x x e '=-．设ln ()x x x ϕ=，则21ln ()xx xϕ-'=．当2x e α<<时，()0x ϕ'>；当x e >时，()0x ϕ'<．因此()x ϕ在2(,)e α上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．从而()h x '在2(,)e α上单调递增，(,)e +∞上单调递减．注意到2()0h e '=，故当2e x e <<时()0h x '>，当2x e >时()0h x '<，因此()h x 在2(,)e e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增．所以当[,)x e ∈+∞时，2()()0h x h e ≤=．另一方面，注意到24(1)0h e '=-<，故必然存在0(1,)x e ∈，使得0()0h x '=，且当20x x α<<时()0h x '<，当0x x e <<时()0h x '>．因此()h x 在20(,)x α上单调递减，在0(,)x e 上单调递增．显然2()()0h e h e <=，而22222422()ln (2ln )(2ln )0h e e eααααα=-=+-=．因此当2(,)x e α∈时，()0h x <．综上可知当2x α>时()0h x ≤，即224ln x x e≤，当且仅当2x e =时等号成立．由于222()ln ()g x e x =，故当22e x α>，即2()x e α>时，2224()()4g x e x x e<⋅=，当且仅当22e x e =，即1x =时等号成立．因此222()()()44412g a g b g c a b c ++≤++=，当且仅当1a b c ===时等号成立．因此222322……5分（2）曲线:2cos C ρθ=，直线:(cos sin )4l ρθθ+=，分别代入θα=，得2cos A ρα=，4sin cos B ραα=+，由||||OA AB =知2B A ρρ=，即44cos sin cos ααα=+，2sin cos cos 1ααα∴+=即π2sin(2)42α+=，故π3π244α+=即π4α=.……10分。

四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合()(){}120A x x =-+<，集合{}|13B x x =-<<，则AB =（ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|23x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|13x x -<< 2．在等比数列{}n a 中，1210a a +=，3460a a +=，则78a a +=（ ）A ．110B ．160C ．360D ．2160 3．已知αβ，为平面，,,a b c 为直线，下列命题正确的是( )A ．a α⊂，若b a //，则b α//B ．,c b c αβαβ⊥⋂=⊥，，则b β⊥C ．,a b b c ⊥⊥，则a c //D ．,,,,a b A a b a b ααββ⋂=⊂⊂////，则αβ//4．与直线210x y +-=的直线方程为（ ） A ．20x y +=B ．220x y +-=C ．20x y +=或220x y +-=D ．20x y +=或220x y ++=5．已知向量()cos2,sin a αα=，()1,2sin 1b α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若25a b ⋅=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．74 B ．17 C ．27 D ．236．已知数列{}n a 的通项公式为()*2160252n a n n =∈-N ，则满足1n n a a +<的n 的取值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．247．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则3x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．10D ．88．己知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 方程为（ ）A ．210x y --=B ．1522y x =-+C ．25y x =-D ．270x y +-=9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．32πB ．34πC ．41πD ．50π10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan 21tan A c B b +=，则角A 的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 11．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，4AB =，12BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．BCD ． 12．2021年11月11日是石室中学2160周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱2160”的活动.其中一题如下：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.若该数列前n 项和为n S ，则求满足522160N S ≤≤，且N 是5的倍数条件的整数N 的个数为（ ）A ．10B ．12C ．21D ．60二、填空题13．在等差数列{}n a 中，2552a =，8212a a =+，则1079a =_____________.14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，满足等式()22a b ab c +=+，则角C 的大小为____________.15．若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则y x 的最大值 ． 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，472a =，且)*n =∈N ，1+=与两坐标轴围成的三角形的面积为n T ，则1232159T T T T ++++的值为__________.三、解答题 17．如图直线l 过点()0,1P ，且与直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别相交于A ，B 两点.（1）求过1l 与2l 交点C ，且与直线CP 垂直的直线方程；（2）若线段AB 恰被点P 平分，求直线l 的方程.18．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=3π，cos 7C =． （Ⅰ）求sin ∠DAC ；（Ⅱ）求AD 的长和△ABC 的面积．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，12AA =，D 是棱1AA 的中点，E 是棱11B C 的中点.（1）求证：1||A E 平面1BDC ；（2）在线段BD 上是否存在点Q ，使得1CQ BC ⊥？请说明理由.20．已知函数22()cos 2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a b c ≤≤，则求函数[]2()()()2sin 26g A f A f A A π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭的值域. 21．已知四边形ABCD 为直角梯形，90BCD ∠=︒，||AD BC ，且3AD =，24BC CD ==，点E ，F 分别在线段AD 和BC 上，使四边形FEDC 为正方形，将四边形ABFE 沿EF 翻折至使60B FC ∠='︒.（1）若线段BF 中点为M ，求翻折后形成的多面体B A MCD ''的体积；（2）求直线A B ''与平面FEDC 所成角的正弦值.22．已知数列{}n a 满足：13a =，()1*122,n n n a a n n --=+≥∈N .（1）求数列{}n a 的通项；（2）若()()*1n n b n a n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）设11n n n c a a +=，()2*12222n n n T c c c n =+++∈N ，求证：()*21153n T n ≤<∈N .参考答案1．B【解析】【分析】本题结合一元二次不等式的解法，考察集合的并集运算。

成都石室中学高2020届2019—2020学年度上期入学考试化学试卷时间：100分钟满分100分试卷说明：请将答案写在答题卷上！可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Cl-35.5S-32 Co-59 Mn-55Ⅰ卷（满分44分）一．选择题（本小题包括22个小题，每题2分，共44分，每小题只有一个．．．．正确选项）1．化学与生活密切相关，下列有关说法正确的是( )A．《格物粗谈》记载“红柿摘下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味。

”文中的“气”是指乙烷B．SO2具有漂白性,工业上常用来漂白纸浆、毛、丝等。

此外，SO2还能用于杀菌、消毒等C．铁在潮湿的空气中放置，易发生化学腐蚀而生锈D．地球上99%的溴元素以Br2形式存在于海水中2．常温下，下列各组离子在给定条件下一定能大量共存的是( )A．由水电离的c(H+)=1.0×10-13mol/L的溶液的溶液中：Mg2+、Al3+、Cl－、S2O32－B．c(OH-)/c(H+)=1.0×1012的溶液中: Ca2+、NH4+、Fe3+、Cr2O72-C．澄清透明的溶液中：H+、Na+、NO3－、MnO4－D．滴加甲基橙显黄色的溶液中：Cu2+、Ba2+、HCO3－、AlO2－3．下列离子方程式或电离方程式正确的是( )A．NaHSO3溶液呈酸性：NaHSO3＝Na＋＋H＋＋SO2－3B．在Na2S2O3溶液中滴加稀硝酸：2H＋＋S2O2－3＝S↓＋SO2↑＋H2OC．工业制漂白粉的反应：Cl2+2OH﹣＝ClO﹣+Cl﹣+H2OD．向Na2SiO3溶液中通入少量CO2：SiO2－3＋CO2＋H2O＝H2SiO3↓＋CO2－34．柠檬酸是无色晶体，无臭、味极酸，分子结构如图所示。

广泛用于食品业、化妆业等。

其钙盐在冷水中比在热水中易溶解。

下列有关柠檬酸的说法正确的是( )A．易溶于水，其分子式为C6H6O7B．1mol该物质与足量的钠反应最多生成4molH2C．该物质可以发生取代反应生成环状化合物D．相同官能团的异构体有9种5．下列实验操作与现象都正确，且能得出对应结论的是( )32到一种黑色分散系，其中分散质粒子是直径约为9.3nm的金属氧化物，下列有关说法中正确的是( )A．可用过滤的方法将黑色金属氧化物与Na+分离开B．该分散系的分散质为Fe2O3，具有丁达尔效应C．加入NaOH时发生的反应可能为：Fe2++2Fe3++8OH—=Fe3O4+4H2OD．在电场作用下，阴极附近分散系黑色变深，则说明该分散系带正电荷7. 化学在日常生活和生产中有着重要的应用。

2020-2021成都石室中学初中学校高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．若函数2()2f x mx mx=-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞2．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．设23a log =，3b =，23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<5．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)7．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ）A ．2y x =B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>8．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<10．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题13．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．14．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.15．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 16．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________17．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________18．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 19．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为_____________.20．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________． 三、解答题21．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.22．已知幂函数()()223m m f x xm --=∈Z 为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减.（1）求函数()f x 的解析式； （2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性.(),a b R ∈（直接给出结论，不需证明）23．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()1f x x x m =-+.（1）若()f x 在x 轴正半轴上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围； （2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.25．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N与投入a （单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大? 26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ； ∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B.考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,b =23c e = 令()2f x log x =,()g x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．6．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-<故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．10．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．12．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题13．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．14．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.15．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为1216．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系解析：6 【解析】 【分析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解. 【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数， (2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =. 故答案为：6 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.17．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】 【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】 因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数， 因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】 【分析】将已知等式8(9)aaa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解. 【详解】8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.20．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周 解析：16【解析】 【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-Q ，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称； 又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021xx -≥-，解不等式即可得出答案；(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x xa a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=---∴2a =.(2)222()421x xf x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x xx ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.(3)22222244()2212121x x x x xf x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <- 综上1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题. 22．（1）()4f x x -=（2）见解析【解析】 【分析】(1)由幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减,可推出2230m m --<(m Z ∈),再结合()f x 为偶函数,即可确定m ,得出结论;(2)将()f x 代入,即可得到()F x ,再依次讨论参数,a b 是否为0的情况即可. 【详解】(1)∵幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 在区间()0,∞+上是单调递减函数,∴2230m m --<,解得13m -<<, ∵m Z ∈,∴0m =或1m =或2m =. ∵函数()()223m m f x x m --=∈Z 为偶函数,∴1m =, ∴()4f x x -=;(2)()()4b b F x xf x x x-==⋅23ax bx -=-, 当0a b ==时,()F x 既是奇函数又是偶函数; 当0a =,0b ≠时,()F x 是奇函数; 当0a ≠,0b =时,()F x 是偶函数;当0a ≠,0b ≠时,()F x 是非偶非偶函数. 【点睛】本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用.23．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】 【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围. 【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I . ②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >- 又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥.综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）2m >；（2）m < 【解析】 【分析】（1）首先>0∆，保证有两个不等实根，又121=x x ，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；（2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，转化为2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 ,只要求得2x x +在[1,2]上的最小值即可． 【详解】（1）由题知210x mx -+=有两个不等正根，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，∴2m >；（2）211x mx -+>-恒成立即22mx x <+恒成立， 又[1,2]x ∈，故2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 , 又2y x x=+在[1,2]x ∈上的值域为 ,故m < 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．25．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】（1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大. 【详解】（1）两个合作社的投入相等，则36x =，1(36)253620872f =++⨯+=（万元）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时，11()25(72)208122f x x x =+-+=-+，令t =6t ≤≤，则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+，当4t =即16x =时，总收益取最大值为89； 当3657x <≤时，11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.因为8987>，所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元. 【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.26．（1）12k =-（2）(]9,log 2-∞ 【解析】 【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91xa x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈ 是偶函数.∴()()f x f x -=, ∴()()99log 91log 91xx kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x xxx kx x --+-=+-+==+,∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912xf x x =+-, 不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91xg x x =+-,(],0x ∈-∞,则()()()99991log 91log log 199x xx xx g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==, ∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞. 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。

2020-2021成都石室外语学校高一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>5．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>6．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-10．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______.16．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 17．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 18．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．19．计算：__________．20．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．三、解答题21．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.22．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．23．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.24．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.25．已知函数()()2log 1f x x =-的定义域为集合A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.26．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．4．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得322263b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 令2x t +=,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．12．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.16．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.17．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 18．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】 【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.20．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．三、解答题21．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =， 设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数， 所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣，综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-，则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩， 解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 23．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 24．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==．（2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ， 化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-． 【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 25．（1）{}2；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出A B I ；（2）由C B B =U ，可得出C B ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，结合C B ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）要使函数()f x ()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，[)2,A ∴=+∞. 对于函数()12xg x 骣琪=琪桫，该函数为减函数，10x -≤≤Q ，则1122x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=；（2）C B B =Q U ，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件； 当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.26．①1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n ;②单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 【解析】 【分析】【详解】试题分析：①考察了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，根据求什么设什么所以设，那么，那么，求得的解析式，又因为，即求得函数的解析式；②根据上一问解析式，画出分段函数的图像，观察函数的单调区间． 试题解析：解: ①∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =． 当0x <时，0x ->，1()()()22xx f x f x -=--=-=-．∴函数()f x 的解析式为1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n②函数图象如图所示：由图象可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 考点：1．分段函数的解析式；2．函数的图像．。

⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。