【高二数学期末试题】吉林省吉林市普通高中2013-2014学年高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题含解析
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长春市2013~2014学年度第一学期期末调研测试高二数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分120分. 考试时间为100分钟.注意事项:1.答题前,考生必须将自己的姓名、班级、考号填写清楚.2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题,共48分)一、选择题(本大题包括12小题,每小题4分,共48分,每小题给出的四个选项中,只.有一项...是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上).1. 在ABC 中,45,60,1B CAB ,则其最短边的长为A. 63B.62C.12D.322. 已知:23p x ≤,1:05x q x ≤,则p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图,在直三棱柱111C B A ABC的底面ABC 中,1CACB ,90BCA,12AA ,点M 是11B A 的中点,则异面直线M C 1与C B 1所成角的余弦值为A. 36B.55C.105D.10104. 设数列}{n a 为等差数列,若120151331a a a a ,则8a A. 60 B. 30 C. 20 D. 155. 中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是A. 2218145x y B. 221819xyC.1728122yxD.1368122yx6. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若30,202010S S ,则30S A. 35B. 40C. 45D. 607. 经过双曲线)0,0(12222b a by ax 的右焦点,倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率为A. 3B.3C. 2D.58. 已知0a,0b,则ab ba211的最小值是CBB1AC1A1M。
吉林省实验中学2012—2013学年度上学期期末考试高二数学理试题1. 命题:“∀x∈R,022≥+-x x ”的否定是 ( ) A.∃x∈R,022≥+-x x B.∀x∈R,022≥+-x x C.∃x∈R,022<+-x xD.∀x∈R,022<+-x x2. 当=n 1,2,3,4,5,6时,比较n 2和2n 的大小并猜想 ( ) A.1≥n 时,22n n > B. 3≥n 时,22n n > C. 4≥n 时,22n n > D. 5≥n 时,22n n >3. 命题甲:双曲线C 的渐近线方程为y=±abx ;命题乙:双曲线C 的方程为2222—b y a x =1.那么甲是乙的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.不充分不必要条件 4.如下图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象,则21x x += ( )A .32B .910C .98D .9285.下列方程的曲线关于y 轴对称的是 ( )A.x 2-x +y 2=1B.x 2y +xy 2=1C. x 2-y 2=1 D. x -y =1 6. 若()ln f x x x x 2=-2-4,则'()f x >0的解集为 ( )A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞(,)(,)C. (,)2+∞D. (,)-107.设a 、b 、c 都是正数,则b a 1+、c b 1+、ac 1+三个数 ( ) A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于28. 方程x 3-6x 2+9x -10=0的实根个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .09.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n -1<n (n ∈N *,n >1)时,在证明过程的第二步从n =k到n =k +1时,左边增加的项数是 ( )A .2kB .2k-1 C .1-2kD .2k+110.设12,F F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点,点M 在椭圆上,若△12MF F 是直角三角形,则△12MF F 的面积等于 ( )A .48/5 B.36/5 C.16 D.48/5或16 11.若点P 是曲线y=x x ln -2上任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离是 ( )A. 2B.1C.22D. 3 12.下列四个命题中不正确...的是 ( ) A.若动点P 与定点(4,0)A -、(4,0)B 连线PA 、PB 的斜率之积为定值94,则动点P 的轨迹为双曲线的一部分B.设,m n ∈R ,常数0a >,定义运算“*”:22)()(n m n m n m --+=*,若0≥x ,则动点),(a x x P *的轨迹是抛物线的一部分C.已知两圆22:(1)1A x y ++=、圆22:(1)25B x y -+=,动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切,则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆D.已知)12,2(),0,7(),0,7(--C B A ,椭圆过,A B 两点且以C 为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线二填空题:每题5分共20分。
绝密★启用前吉林一中2013--2014学年度上学期高二期末考试数学理测试试卷考试范围:xxx ;考试时间:100分钟;命题人:xxx1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 倾斜角为60︒的直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点,且与抛物线相交于,A B 两点(点A 在x 轴上方),则AF BF的值为( )A .1B . 2C .3D .42. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为 ( )A .2B .3C .12D .133. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上,则该抛物线的准线方程为( )A.2x =-B. 4=xC. 8-=xD. 4-=y4. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为( )A .2-B .2C .4-D .45. 若抛物线()220y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6,则点M 的横坐标和p 的值分别为( ) A .9,2 B .1,18C .9,2或1,18D .9,18或1,26. 双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线为2y x =,则该双曲线的离心率等于( ) A .25 B .5 C .6 D .26 7. 抛物线212=y x 截直线62-=x y 所得的弦长等于( )A B C .158. 以双曲线4422=-y x 的中心为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是( ) A .x y 322= B .x y 522= C .x y 542= D .x y 342= 9. $selection$10. 双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点为12,F F ,若双曲线上存在一点P ,满足122PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为 ( ) A .(]1,3 B .()13, C .()3+∞, D .[)3,+∞ 11. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A .[3,)+∞ B .(3,)+∞ C .(1,3] D .(1,3)12. 中心为)00(,, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21,则该椭圆方程是 ( ) A .125275222=+y x B .1257522=+y xC .1752522=+y x D .175225222=+y x 第II 卷(非选择题)请修改第II 卷的文字说明二、填空题13. 已知抛物线2:C y x =与直线:1l y kx =+,“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 条件14. 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线15. 的准线方程是16. 已知双曲线22221x y a b-=(a >0, b >0)的离心率为2,一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同,则双曲线的方程为三、解答题17. 已知点A 是椭圆()22:109x y C t t +=>的左顶点,直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点,与x 轴相交于点B .且当0m =时,△AEF 的面积为163. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线AE ,AF 与直线3x =分别交于M ,N 两点,试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.18. 如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形,其中,BA AD CD AD ⊥⊥,2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.(Ⅰ)求证:BE //平面PAD ; (Ⅱ)若BE ⊥平面PCD ,求平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值.19. 已知)1ln()(-=x a x f ,bx x x g +=2)(,)()1()(x g x f x F -+=,其中R b a ∈,. (I)若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点(2,k )处的切线互相垂直,求b a ,的值; (II)若2=x 是函数)(x F 的一个极值点,0x 和1是)(x F 的两个零点,且0x ∈()1,+n n N n ∈,求n ;(III)当2-=a b 时,若1x ,2x 是)(x F 的两个极值点,当|1x -2x |>1时,求证:|)(1x F -)(x F |>3-42ln .20. ,(1)求椭圆的方程;(2)设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ,Q 两点,且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.21. 已知椭圆2214x y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (I)求椭圆2C 的方程.(II)设O 为坐标原点,点A.B 分别在椭圆C 1和C 2上,2OB OA =,求直线AB 的方程. 22. 如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.参考答案一、单项选择 1.【答案】C 【解析】 2.【答案】B【解析】由题意知点P 的坐标为(-c,2b a ),或(-c,-2b a ),因为1260F PF ∠=,那么222c 2ac b a==,这样根据a,b,c,选B 3.【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为(,0)2p ,代入直线220x y --=得202p -=,即4p =,所以抛物线的准线方程为4222p x =-=-=-,选A.4.【答案】D【解析】双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =. 5.【答案】C 【解析】 6.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为ay x b=±,已知双曲线的一条渐近为2y x =,所以2,ab=2222,24a a b b c a ===-,即225,4c a =所以25,42e e ==,选A.7.【答案】D.【解析】由⎩⎨⎧==6-2122x y x y 得:099-2=+x x ,设两交点A(11y x ,)B(22y x ,),则9x x ,92121==+x x ,所以8.【答案】C 【解析】 9.【答案】C 【解析】10.【答案】A 【解析】 11.【答案】A 【解析】12.【答案】C 【解析】 二、填空题13.【答案】必要不充分 【解析】 14.【解析】15.【答案】2y = 【解析】16.【答案】112422=-y x 【解析】抛物线216y x =焦点为(4,0),所以4;c =又2,2;ce a a==∴=于是 22212.b c a =-=所求双曲线线方程为221.412x y -= 三、解答题 17.【答案】(1)当0m =时,直线l 的方程为1x =,设点E 在x 轴上方,由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F ,所以EF =因为△AEF的面积为1164233⨯⨯=,解得2t =. 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. (2)由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=,显然m ∈R . 设1122(,),(,)E x y F x y , 则121222416,2929m y y y y m m --+==++, 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++,由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +,同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++,又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0= 所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B 【解析】18.【答案】设,AB a PA b ==,建立空间坐标系,使得(0,0,0),(,0,0)A B a ,(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ,(,,)2bE a a .(Ⅰ)(0,,)2bBE a =,(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==,所以1122BE AD AP =+,BE ⊄平面PAD ,//BE ∴平面PAD .(Ⅱ)BE ⊥平面PCD ,BE PC ∴⊥,即0BE PC ⋅=(2,2,)PC a a b =-,22202b BE PC a ∴⋅=-=,即2b a =.平面BDE 和平面BDC 中,(0,,),(,2,0)BE a a BD a a ==-(,2,0)BC a a =,所以平面BDE 的一个法向量为1(2,1,1)n =-;平面BDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =;12cos ,n n <>=,所以平面EBD 与平面BDC【解析】19.【答案】(I)1)(-='x ax f ,b x x g +='2)( 由题知⎩⎨⎧-='⋅'=1)2()2()2()2(g f g f ,即⎩⎨⎧-=++=1)4(240b a b解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b a(II))()1()(x g x f x F -+==)(ln 2bx x x a +-,b x xax F --='2)( 由题知⎩⎨⎧=='0)1(0)2(F F ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--01042b b a解得a =6,b =-1∴)(x F =6x ln -(2x -x ),126)(+-='x x x F =xx x )2)(32(-+- ∵x >0,由)(x F '>0,解得0<x <2;由)(x F '<0,解得x >2 ∴)(x F 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故)(x F 至多有两个零点,其中1x ∈(0,2),2x ∈(2, +∞)又)2(F >)1(F =0,)3(F =6(3ln -1)>0,)4(F =6(4ln -2)<0 ∴0x ∈(3,4),故n =3(III)当2-=a b 时,)(x F =])2([ln 2x a x x a -+-,)2(2)(---='a x x a x F =xx a x )1)(2(-+-, 由题知)(x F '=0在(0,+∞)上有两个不同根1x ,2x ,则a <0且a ≠-2,此时)(x F '=0的两根为-2a,1, 由题知|-2a-1|>1,则42a +a +1>1,2a +4a >0又∵a <0,∴a <-4,此时-2a>1 则)(x F 与)(x F '随x 的变化情况如下表:∴|)(1x F -)(x F |=)(x F 极大值-)(x F 极小值=F(-2)―F(1) =ln(a ―2a )+412a ―1, 设141)2ln()(2-+-=a a a a ϕ,则121)2ln()(++-='a a a ϕ,211)(+=''a a ϕ,∵a <-4,∴a 1>―41,∴211)(+=''a a ϕ>0,∴)(a ϕ'在(―∞,―4)上是增函数,)(a ϕ'<=-')4(ϕ012ln <- 从而)(a ϕ在(―∞,―4)上是减函数,∴)(a ϕ>)4(-ϕ=3-42ln 所以|)(1x F -)(x F |>3-42ln . 【解析】20.【答案】(12)面积取最大值1,y =∴224,1a b ==(Ⅱ)设1122(,),(,),P x y Q x y PQ 的中点为00(,)x y将直线y kx m =+与联立得222(14)8440k x kmx m +++-=, 222216(41)0,41k m k m ∆=+->∴+> ① 又0x =又(-1,0整理得2341km k =+ ②)面积取最大值1,此时k∴直线方程为y =【解析】21.【答案】解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率 ∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为∴b=2,a=4 ∴椭圆C 2的方程为;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵∴O,A,B 三点共线,且点A,B 不在y 轴上 ∴设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴将y=kx 代入,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴ ∵,∴=4, ∴,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【解析】22.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴平面又EF BEF ⊆平面EF l ∴l PAC ∴平面(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)【解析】。
吉林省长春外国语学校2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题第Ⅰ卷(选择题 共48分)一、 选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案用2B 铅笔涂在答题卡的指定位置.1、抛物线21=2x y 的焦点坐标是( ) A .)0,1(B .)41,0(C .)0,41(D .)81,0(2、在空间中,a ,b 是两不重合的直线,,αβ是两不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b 的是( ). A .a ⊂,b ⊂,∥B .a ∥,b⊂ C .a ⊥,b⊥D .a ⊥,b⊂3、如果直线x +2y -1=0和kx-y-3=0互相垂直,则实数k 的值为( ). A.-21B .-2C .2D .21 4、椭圆224+y x k =上两点间最大距离是8,那么k =( )A .32B .16C .8D .45、如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积...为( ).A .4πB .54πC .πD .32π6、过点(2,1)的直线中,被圆04222=+-+y x y x 截得弦长最长的直线方程为( ) A.053=--y x B.073=-+y x C.032=--y x D.052=-+y x7、若22(0)y px p =>的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则抛物线的准线方程为( ) A. 21-=x B. 1-=x C. 2-=x D. 4-=x8、过点P (2,-2)且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )A .14222=-x y B .12422=-y x C .12422=-x y D .14222=-y x 9、双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为F 1、F 2,∠F 1MF 2=120°,则双曲线离心率为( )A .3B .26C .36 D .33 10、曲线221259x y +=与曲线192522=---m x m y )169(<<m 一定有相等的( )A.长轴长B.短轴长C.离心率D.焦距11、已知x y ,满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥,≥,≤.则24z x y =+的最大值为( )A.5B.38-C.10D.3812、已知椭圆:1C ()012222>>=+B A B y A x 和双曲线:2C ()0,012222>>=-b a by a x有相同的焦点21,F F ,c 2是它们的共同焦距,且它们的离心率互为倒数.P 是它们在第一象限的交点,当︒=∠6021PF F 时,下列结论正确的是( )A.224443c a a c =+B.224443c a a c =+C. 224463c a a c =+D. 224463c a a c =+第Ⅱ卷(非选择题 共72分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请将正确答案填在答题卡的指定位置.13、设2,1F F 是椭圆C:192522=+y x 的焦点,P 为椭圆上一点,则21F PF ∆的周长为__________ .14、已知圆C:22+y 5x =,则过圆上一点P (1,2)的切线方程是 __________ . 15、一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形,则该圆柱的体积是_____________。
2013—2014 学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-12 BCADA DDBAC AB二、填空题:本大题共5小题,每小题6分,共30分. 13. 2x-y-3>0; 14.2n-115.362 16.(文)a<3 (理)42a三、解答题:本大题共4小题,每小题15分,共60分。
(17) (10分)已知过点A (-4,0)的动直线l 与抛物线G :x 2=2py (p >0)相交于B ,C 两点.当直线l 的斜率是12时,AC →=4AB →.(1)求抛物线G 的方程;(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围. 解:(1)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),当直线l 的斜率是12时,l 的方程为y =12(x +4),即x =2y -4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2py ,x =2y -4,得2y 2-(8+p )y +8=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2=4①,y 1+y 2=8+p2②, 又∵AC →=4AB →,∴y 2=4y 1,③由①②③及p >0得y 1=1,y 2=4,p =2,得抛物线G 的方程为x 2=4y . (5分) (2)设l :y =k (x +4) (k ≠0),BC 的中点坐标为(x 0,y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=4y ,y =k (x +4),得x 2-4kx -16k =0,④∴x 0=x 1+x 22=2k ,y 0=k (x 0+4)=2k 2+4k .∴线段BC 的中垂线方程为y -2k 2-4k =-1k (x -2k ),∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b =2k 2+4k +2=2(k +1)2.对于方程④,由Δ=16k 2+64k >0得k >0或k <-4.∴b ∈(2,+∞). (10分)(18)(12分)(1)已知a ,b 是正常数, a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),求证:a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y,并指出等号成立的条件;(2)利用(1)的结论求函数f (x )=2x +91-2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12的最小值,并指出取最小值时x 的值.18.(1)证明:⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x +b 2y (x +y )=a 2+b 2+a 2y x +b 2x y ≥a 2+b 2+2a 2y x ·b 2xy=(a +b )2, 故a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y, 当且仅当a 2y x =b 2x y ,即a x =b y时上式取等号. (6分)(2)由(1)得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25,当且仅当22x =31-2x ,即x =15时上式取最小值,即f (x )min =25. (12分)(19)(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若cos A cos B =ba且sin C =cos A .(1)求角A , B ,C 的大小;(2)设函数f (x )=sin(2x +A )+cos2x -C2,求函数f (x )的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离.19.解:(1)由cos A cos B =b a 结合正弦定理得cos A cos B =sin Bsin A,则sin2A =sin2B ,则有A =B 或A +B =π2,①当A =B 时,由sin C =cos A 得cos A =sin2A =2sin A cos A 得sin A =12或cos A =0(舍),∴A =B =π6,C =2π3,②当A +B =π2时,由sin C =cos A 得cos A =1(舍).综上,A =B =π6,C =2π3, (6分)(2)由(1)知f (x )=sin(2x +π6)+cos(2x -π3)=sin(2x +π6)+cos(-π2+2x +π6)=2sin(2x +π6).由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2得k π-π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递增区间为(k π-π3,k π+π6)(k ∈Z ),相邻两对称轴间的距离为π2.(12分)(20) (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =a (S n -a n +1)(a 为常数,且a ≠0,a ≠1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a 2n +S n ·a n ,若数列{b n }为等比数列,求a 的值. 解:(1)当n =1时,S 1=a (S 1-a 1+1), ∴a 1=a , 当n ≥2时,S n =a (S n -a n +1), S n -1=a (S n -1-a n -1+1), 两式相减得,a n =a ·a n -1,即a na n -1=a .即{a n }是等比数列, a n =a ·a n -1=a n . (6分)(2)由(1)知b n =(a n )2+a (a n -1)a -1a n , 即b n =(2a -1)a 2n -aa na -1.①若{b n }为等比数列,则有b 22=b 1b 3,而b 1=2a 2,b 2=a 3(2a +1),b 3=a 4(2a 2+a +1). 故[a 3(2a +1)]2=2a 2·a 4(2a 2+a +1),解得a =12.将a =12代入①得b n =12n 成立. ∴a =12. (12分)(21)(12分)设A ,B 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右顶点,P (1,32)为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.(1)求椭圆的方程;(2)设P (4,x )(x ≠0),若直线AP ,BP 分别与椭圆相交于异于A ,B 的点M ,N ,求证:∠MBN 为钝角.解:(1)依题意,得a =2c ,b 2=a 2-c 2=3c 2,设椭圆方程为x 24c 2+y 23c 2=1,将1,32代入,得c 2=1,故椭圆方程为x 24+y 23=1. (6分)(2)证明:由(1)知A (-2,0),B (2,0),设M (x 0,y 0),则-2<x 0<2,y 20=34(4-x 20),由P ,A ,M 三点共线,得x =6y 0x 0+2,BM →=(x 0-2,y 0),BP →=2,6y 0x 0+2,BM →·BP →=2x 0-4+6y 20x 0+2=52(2-x 0)>0,即∠MBP 为锐角,则∠MBN 为钝角. (12分)(22)(文)(12分) 己知函数f (x )=(x 2-ax +a )e x(a <2,e 为自然对数的底数). (1)若a =1,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若存在x ∈[-2,2],使得f (x )≥3a 2e 2,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =1时,f (x )=(x 2-x +1)e x,切点为(1,e), 于是有f ′(x )=(x 2+x )e x,k =f ′(1)=2e ,所以切线方程为y =2e x -e. (6分)(2)f ′(x )=x (x -a +2)e x, 令f ′(x )=0,得x =a -2<0或x =0, ①当-2≤a -2<0,即0≤a <2时,x -2 (-2,a -2)a -2(a -2,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) +0 -0 +f (x )极大值极小值所以f (a -2)=ea -2(4-a ),f (2)=e 2(4-a ),当0≤a <2时,有f (2)≥f (a -2),若存在x ∈[-2,2]使得f (x )≥3a 2e 2,只需e 2(4-a )≥3a 2e 2,解得-43≤a ≤1,所以0≤a ≤1.②当a -2<-2,即a <0时, 所以f (-2)=e -2(4+3a ),f (2)=e 2(4-a ),因为e -2(4+3a )<e 2(4-a ),所x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) -0 +f (x )极小值以f (2)>f (-2),若存在x ∈[-2,2]使得f (x )≥3a 2e 2,只需e 2(4-a )≥3a 2e 2,解得-43≤a ≤1,所以-43≤a <0.综上所述,有-43≤a ≤1. (12分)(22)(理) (12分)如图所示,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB=BC=2AA 1,∠ABC=90°,D 是BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1;(2)求二面角C 1AD C 的余弦值;(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E,使AE 与DC 1成60° 角? 若存在,确定E 点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接A 1C,交AC 1于点O,连接OD.由ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,得四边形ACC 1A 1为矩形,O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 的中点,所以OD 为△A 1BC 的中位线, 所以A 1B ∥OD.因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B ⊄平面ADC 1,所以A 1B ∥平面ADC 1. (4分) (2)解:由于ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA 、BC 、BB 1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,1),D(0,1,0). 所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC 1的法向量为n=(x,y,z),则有 所以取y=1,得n=(,1,-1).易知平面ADC 的一个法向量为v=(0,0,1). 由于二面角C 1AD C 是锐角且 cos<n,v>==-.所以二面角C 1AD C 的余弦值为. (8分)(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E 在线段A 1B 1上,A 1(2,0,1),B 1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2. 所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE 与DC 1成60°角,所以=. 即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角. (12分)。
绝密★启用前吉林一中2013--2014学年度上学期高二期末考试数学文测试试卷考试范围:xxx ;考试时间:100分钟;命题人:xxx1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 已知函数若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( )2. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=(0a b >>)焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为A .13B .12C .3 D .23. 已知双曲线(a >0,b >0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( ).4. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为( )A .2-B .2C .4-D .45. (A .()2,0± D .()0,2±6. 二项式3(ax 的展开式的第二项的系数为-,则22ax dx-⎰的值为( )A .3B .73 C .3或73 D .3或103-7. 若P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆(a >b >0)上的一点,且=0,则此椭圆的离心率为( ).8. O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为 ( )A .2B .C .D .49. 函数cos 2y x =在点(,0)4π处的切线方程是( )A .024=++πy xB .440x y π+-=C .024=--πy xD .024=-+πy x10. 点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点,其右焦点为(,0)F c ,若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为8c,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(]1,8B .41,3⎛⎤⎥⎝⎦C .45(,)33 D .(]2,311. 过抛物线y 2=8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ,B 两点,则弦AB 的长为( )A 、4B 、8C 、12D 、1612. 设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点,,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点,则PM PN -的取值范围是( )A .[]4,8B .[]2,6C .[]6,8D .[]8,12第II 卷(非选择题)请修改第II 卷的文字说明二、填空题13. 若函数在[1,+∞)上的最大值为,则a 的值为________.14. 双曲线的两个焦点为12,F F ,P 在双曲线上,且满足,则12PF F 的面积为15. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是 16. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点,若122,||4x x PQ +==,则抛物线方程是三、解答题17. 已知函数x x a x f ln )1()(2++=. (Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性;(Ⅱ)若对任意)2,4(--∈a 及]3,1[∈x 时,恒有()2a x f ma >-成立,求实数m 的取值范围. 18. 已知函数321()43sin 32f x x x θ=-+,其中x ∈R ,[0,]θπ∈. (1)若函数()f x '的最小值为34-,试判断函数()f x 的零点个数,并说明理由; (2)若函数()f x 极小值大于零,求θ的取值范围.19. 已知)1ln()(-=x a x f ,bx x x g +=2)(,)()1()(x g x f x F -+=,其中R b a ∈,. (I)若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点(2,k )处的切线互相垂直,求b a ,的值; (II)若2=x 是函数)(x F 的一个极值点,0x 和1是)(x F 的两个零点,且0x ∈()1,+n n N n ∈,求n ;(III)当2-=a b 时,若1x ,2x 是)(x F 的两个极值点,当|1x -2x |>1时,求证:|)(1x F -)(x F |>3-42ln .20. 已知函数||12(),()x a bx f x e f x e -==.(I)若122()()()()f x f x f x bf x =+--,是否存在a ,b ∈R ,y =f (x )为偶函数.如果存在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;〔II )若a =2,b =1.求函数12()()()g x f x f x =+在R 上的单调区间; (III )对于给定的实数成立.求a的取值范围.21. 已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++.(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数a 的值; (Ⅱ)若1a >-,求()f x 在区间[0,1]上的最大值.22. 设椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,上顶点为A ,过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且12220F F F Q +=.(1)求椭圆C 的离心率; (2)若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线l :30x -=相切,求椭圆C 的方程;参考答案一、单项选择1.【答案】A 【解析】2.【答案】D 【解析】3.【答案】B【解析】由题意可知,因此选B.4.【答案】D 【解析】5.【答案】C. 【解析】(-2,0),(2,0). 6.【答案】C 【解析】 7.【答案】A 【解析】 8.【答案】C 【解析】 9.【答案】D 【解析】10.【答案】B 【解析】 11.【答案】D 【解析】 12.【答案】A 【解析】 二、填空题 13.【答案】【解析】当x >时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当-<x <时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x =时,不合题意,∴14.【答案】1 【解析】15.【答案】28y x = 【解析】16.【答案】24y x = 【解析】 三、解答题17.【答案】解: (Ⅰ))0(12212)(>+=+='x xax x ax x f ①当0≥a 时,恒有0)(>'x f ,则)(x f 在),0(+∞上是增函数;②当0<a 时,当a x 210-<<时,0)(>'x f ,则)(x f 在)21,0(a-上是增函数; 当a x 21->时,0)(<'x f ,则)(x f 在),21(+∞-a上是减函数 综上,当0≥a 时,)(x f 在),0(+∞上是增函数;当0<a 时,)(x f 在)21,0(a-上是增函数,)(x f 在),21(+∞-a上是减函数. (Ⅱ)由题意知对任意()2,4--∈a 及[]3,1∈x 时, 恒有()2a x f ma >-成立,等价于()max 2x f a ma >- 因为()2,4--∈a ,所以1212142<<-<a 由(Ⅰ)知:当()2,4--∈a 时,)(x f 在[]3,1上是减函数 所以a f x f 2)1()(max == 所以a a ma 22>-,即2+<a m 因为()2,4--∈a ,所以022<+<-a 所以实数m 的取值范围为2-≤m【解析】18.【答案】解:(1)2()126sin f x x x θ'=-,当sin 4x θ=时,()f x '有最小值为23()sin 4f x θ'=-, 所以233sin 44θ-=-,即2sin 1θ=,因为[0,]θπ∈,所以sin 1θ=,所以2()126f x x x '=-,所以()f x 在1(0,)2上是减函数,在(,0)-∞,1(,)2+∞上是增函数,而1(0)032f =>,17()0232f =-<, 故函数()f x 的零点个数有3个;(2) 2()126sin f x x x θ'=-,令()0f x '=,得12sin 0,2x x θ==, 函数()f x 存在极值,sin 0θ≠,由[0,]θπ∈及(I ),只需考虑sin 0θ>的情况. 当x 变化时,()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表:因此,函数()f x 在sin 2x θ=处取得极小值3sin 11()sin 2432f θθ=-+, 要使sin ()02f θ>,必有311sin 0432θ-+>可得10sin 2θ<<, 所以θ的取值范围是5(0,)(,)66ππθπ∈.【解析】19.【答案】(I)1)(-='x ax f ,b x x g +='2)( 由题知⎩⎨⎧-='⋅'=1)2()2()2()2(g f g f ,即⎩⎨⎧-=++=1)4(240b a b解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b a(II))()1()(x g x f x F -+==)(ln 2bx x x a +-,b x xax F --='2)( 由题知⎩⎨⎧=='0)1(0)2(F F ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--01042b b a解得a =6,b =-1∴)(x F =6x ln -(2x -x ),126)(+-='x x x F =xx x )2)(32(-+- ∵x >0,由)(x F '>0,解得0<x <2;由)(x F '<0,解得x >2∴)(x F 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故)(x F 至多有两个零点,其中1x ∈(0,2),2x ∈(2, +∞) 又)2(F >)1(F =0,)3(F =6(3ln -1)>0,)4(F =6(4ln -2)<0 ∴0x ∈(3,4),故n =3(III)当2-=a b 时,)(x F =])2([ln 2x a x x a -+-,)2(2)(---='a x x a x F =xx a x )1)(2(-+-, 由题知)(x F '=0在(0,+∞)上有两个不同根1x ,2x ,则a <0且a ≠-2,此时)(x F '=0的两根为-2a,1, 由题知|-2a-1|>1,则42a +a +1>1,2a +4a >0又∵a <0,∴a <-4,此时-2a>1 则)(x F 与)(x F '随x 的变化情况如下表:∴|)(1x F -)(x F |=)(x F 极大值-)(x F 极小值=F(-2)―F(1) =ln(a ―2a )+412a ―1, 设141)2ln()(2-+-=a a a a ϕ,则121)2ln()(++-='a a a ϕ,211)(+=''a a ϕ,∵a <-4,∴a 1>―41,∴211)(+=''a a ϕ>0,∴)(a ϕ'在(―∞,―4)上是增函数,)(a ϕ'<=-')4(ϕ012ln <- 从而)(a ϕ在(―∞,―4)上是减函数,∴)(a ϕ>)4(-ϕ=3-42ln 所以|)(1x F -)(x F |>3-42ln .【解析】20.【答案】解:(Ⅰ)存在1,0-==b a 使)(x f y =为偶函数, 证明如下:此时:x x xe e e xf ++=-)(,R x ∈ )()(x f e e ex f x x x=++=-∴--,)(x f y =∴为偶函数。
吉林高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.过点,且斜率是直线的斜率的的直线方程是()A.B.C.D.2.已知函数且,则()A.-3B.3C.1D.-13.在样本的频率分布直方图中,共有个小长方形,若最中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形面积和的,且样本容量为,则最中间一组的频数为()A.B.C.D.4.下列说法正确的是()A.B.在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数就越接近于C.为真命题,则命题和均为真命题D.命题“”的否定是“”5.已知是函数的导函数,如果是二次函数,的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.6.阅读右侧程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.8B.18C.26D.807.设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若则点的坐标为()A.B.C.D.8.已知点和圆,过可以作两条圆的切线,则的取值范围是()A.B.C.D.9.设函数f (x)在R上可导,其导函数为f ′(x),且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数有极大值f和极小值B.函数f (x)有极大值f (-2)和极小值f (1)C.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (-2)D.函数f (x)有极大值f (-2)和极小值f (2)10.已知实数满足不等式组,若目标函数取得最大值时的唯一最优解是,则实数的取值范围是()A.B.C.D.11.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.12.已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,则的大小关系正确的是()A.B.C.D.二、填空题1.由直线,曲线及轴围成的图形的面积是.2.某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据(单位:百万元).x24568根据上表求出关于的线性回归方程为,则表中的值为.3.若直线与曲线有公共点,则的取值范围.4.已知,且是的必要而不充分条件,则实数的取值范围为.三、解答题1.已知直线,,圆.(Ⅰ)当m为何值时,与无公共点;(Ⅱ)当m为何值时,被截得的弦长为2.2.已知关于x的一次函数.(Ⅰ)设集合和,分别从集合和中随机取一个数作为m和n,求函数是增函数的概率;(Ⅱ)实数m,n满足条件求函数的图象经过一、二、三象限的概率.3.已知函数在处取得极值.(Ⅰ)确定的值;(Ⅱ)若,讨论的单调性.4.如图,茎叶图记录了甲组名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组名同学寒假假期中去图书馆学习的次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以表示.(Ⅰ)如果,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;(Ⅱ)如果,从学习次数大于的学生中等可能地选名同学,求选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于的概率.5.设是椭圆的左焦点,直线为其左准线,直线与轴交于点,、为椭圆的左右顶点.已知,且.(Ⅰ)若过点的直线与椭圆相交于不同的两点,求证:;(Ⅱ)求的面积的最大值.6.已知函数.(Ⅰ)求证:函数在区间上单调递增;(Ⅱ)若函数有四个零点,求的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的,都有恒成立,求的取值范围.吉林高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.过点,且斜率是直线的斜率的的直线方程是()A.B.C.D.【答案】D【解析】直线的斜率为3,所以所求直线的斜率,所以所求直线方程为,即.故D正确.【考点】1直线的斜率;2直线方程.2.已知函数且,则()A.-3B.3C.1D.-1【答案】B【解析】由可得,,,整理可得,.故B正确.【考点】1导数的计算;2同角三角函数基本关系式.3.在样本的频率分布直方图中,共有个小长方形,若最中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形面积和的,且样本容量为,则最中间一组的频数为()A.B.C.D.【答案】A【解析】最中间一个小长方形对应该组的频率为,所以最中间一组的频数为.故A正确.【考点】频率分布直方图.【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图,难度一般.在频率分布直方图中每个小矩形的面积即为该组的频率,在本题中求得频率之后再根据公式即可求得频数.4.下列说法正确的是()A.B.在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数就越接近于C.为真命题,则命题和均为真命题D.命题“”的否定是“”【答案】D【解析】A不正确,如当时;B不正确,若两个变量正相关,相关性越强时,相关系数就越接近于;若两个变量负相关,相关性越强时,相关系数就越接近于;C不正确,为真命题时,中至少有一个为真;D正确,命题“”的否定是“.【考点】1命题的否定;命题的真假判断;2线性回归方程.5.已知是函数的导函数,如果是二次函数,的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由二次函数图像分析可得恒成立,由导数的几何意义可知曲线上任意一点处切线的斜率,即,由正切函数图像可得.【考点】1导数的几何意义;2正切函数图像.6.阅读右侧程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.8B.18C.26D.80【答案】C【解析】由框图的循环结构可知;;,跳出循环输出.故C正确.【考点】程序框图.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“”,否则很容易出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.7.设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若则点的坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由抛物线方程可知其焦点,依题意可设,,,解得,,.故B正确.【考点】1抛物线的简单性质;2向量的数量积.8.已知点和圆,过可以作两条圆的切线,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得,解得.故D正确.【考点】1圆的一般方程;2点与圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查圆的一般方程,点与圆的位置关系问题,难度一般.圆的一般方程需满足条件.过一点作圆的切线,当切线不存在时说明点在圆内;当只能作一条切线时,点在圆上;当能做两条切线时点在圆外.点在圆上时,将点代入圆的方程等号成立;当点在圆内时,将点代入圆的方程小于号成立;当点在圆外时,将点代入圆的方程大于号成立.9.设函数f (x)在R上可导,其导函数为f ′(x),且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数有极大值f和极小值B.函数f (x)有极大值f (-2)和极小值f (1)C.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (-2)D.函数f (x)有极大值f (-2)和极小值f (2)【答案】D【解析】由图可知当时,;当时,;当时,;当时,.由以上可得或时;或时,所以函数在和上单调递增;在和上单调递减.所以当时函数取得极大值;当时函数取得极小值.故D正确.【考点】1函数图像;2函数的单调性,极值.10.已知实数满足不等式组,若目标函数取得最大值时的唯一最优解是,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域如图:将变形可得,要使目标函数只在点处取得最大值,则只需直线在过点时纵截距最大,由图分析可得,又,所以.故D正确.【考点】线性规划.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划,属于中档题.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取得最值.画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误.11.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知得,所以,因为点在以为直径的圆外,所以,所以,解得.故【考点】双曲线的简单几何性质.12.已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,则的大小关系正确的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】设,所以,因为是定义在实数集上的奇函数,所以是定义在实数集上的偶函数.当时所以,即,所以在单调递增.因为,由于,所以,故选A.【考点】1函数的奇偶性;2用导数求函数的单调性;3用单调性比较大小.二、填空题1.由直线,曲线及轴围成的图形的面积是.【答案】【解析】.所求面积为.【考点】定积分的几何意义.2.某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据(单位:百万元).x24568根据上表求出关于的线性回归方程为,则表中的值为.【答案】50【解析】,,将点代入可得,解得.【考点】线性回归方程.【方法点睛】本题主要考查线性回归方程,难度一般.线性回归直线必过样本中心点.3.若直线与曲线有公共点,则的取值范围.【答案】【解析】将变形可得,所以可知曲线为以为圆心以2为半径的圆的下半个圆(包括端点).当直线与半圆相切时圆心到直线的距离,解得(舍)或.当直线过点时,,由数形结合可知当直线与此半圆有公共点时.【考点】1直线与圆的位置关系;2数形结合思想.4.已知,且是的必要而不充分条件,则实数的取值范围为.【答案】【解析】由,得,由于,解得,是的必要而不充分条件转化为是的充分而不必要条件,则是的真子集,故或,所以.【考点】1充分必要条件;2不等式.【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题,难度稍大.分别解得命题和命题中的解集.根据互为逆否命题的两个命题同真假可得是的充分而不必要条件,分析可得是的真子集,画数轴可得关于的不等式,列不等式时注意两个端点不能同时取等号,否则容易出错.三、解答题1.已知直线,,圆.(Ⅰ)当m为何值时,与无公共点;(Ⅱ)当m为何值时,被截得的弦长为2.【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)求圆心到直线的距离,因为直线与圆无公共点,所以从而可求得的值.(Ⅱ)根据弦的中垂线过圆心由勾股定理列式计算可得的值.试题解析:解:(Ⅰ)由已知,圆心为,半径,圆心到直线的距离,∵直线与圆无公共点,∴,即,∴或.故当或时,直线与圆无公共点.(Ⅱ)如图,由平面几何垂径定理知即,得,∴当时,直线被圆截得的弦长为2.【考点】1直线与圆的位置关系;2直线被圆截得的弦长问题.【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系问题和直线被圆截得的弦长问题,难度一般.判断直线与圆的位置关系有两种方法,法一几何法,求圆心到直线的距离,若则直线与圆相交;若则直线与圆相切;若则直线与圆相离.法二代数法,将直线与圆方程联立消去(或)得关于(或)的一元二次方程,看其判别式,若则直线与圆相交;若则直线与圆相切;若则直线与圆相离.直线被圆截得的弦长问题可用勾股定理解决.2.已知关于x的一次函数.(Ⅰ)设集合和,分别从集合和中随机取一个数作为m和n,求函数是增函数的概率;(Ⅱ)实数m,n满足条件求函数的图象经过一、二、三象限的概率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)将所有事件一一列出,再将满足函数是增函数即的事件一一列出,根据古典概型概率公式可求得所求事件的概率.(Ⅱ)画出满足的约束条件的可行域,满足函数的图像经过一、二、三象限时,再将可行域中满足的点所在区域画成阴影,阴影面积与总面积之比即为所求概率.试题解析:解:(Ⅰ)抽取的全部结果的基本事件有:共10个基本事件,设使函数为增函数的事件为,则包含的基本事件有:,共6个基本事件,所以.(Ⅱ)满足条件的区域如图所示:要使函数的图象过一、二、三象限,则,故使函数图象过一、二、三象限的的区域为第一象限的阴影部分,∴所求事件的概率为.【考点】1古典概型概率;2几何概型概率.【思路点睛】本题主要考查古典概型概率和几何概型概率,难度一般.古典概型概率需要将所有事件一一列举得到所含事件总数,再将所求事件包含的基本事件一一列举得到所含事件数,根据公式可求得所求事件的概率.几何概型的概率为长度比或面积比或体积比.所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域,再在其中标注出其中满足的点构成的可行域.分别计算出其面积.即可求得所求概率.3.已知函数在处取得极值.(Ⅰ)确定的值;(Ⅱ)若,讨论的单调性.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)在和上为减函数,在和上为增函数.【解析】(Ⅰ)先求,因为在处取得极值,所以.从而可求得的值.(Ⅱ)求导,讨论导数的正负,导数正得增区间,导数负得减区间.试题解析:解:(Ⅰ)对求导得.因为在处取得极值,所以,即,解得.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,故.令,解得或或.当时,,故为减函数;当时,,故为增函数当时,,故为减函数;当时,,故为增函数.综上可知在和上为减函数,在和上为增函数.【考点】用导数研究函数的单调性.4.如图,茎叶图记录了甲组名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组名同学寒假假期中去图书馆学习的次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以表示.(Ⅰ)如果,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;(Ⅱ)如果,从学习次数大于的学生中等可能地选名同学,求选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于的概率.【答案】(Ⅰ)平均数为9,方差为;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)总数除以4即可求得平均数.根据方差公式即可求得其方差.(Ⅱ)将从学习次数大于的学生中等可能地选名同学包含的所有事件一一例举,再将选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于所包含的事件一一例举,根据古典概型概率公式即可求得所求概率.试题解析:解:(Ⅰ)当时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习的次数是:,,,,所以平均数为,方差为.(Ⅱ)记甲组名同学分别为他们去图书馆学习次数依次为;乙组名同学分别为,他们去图书馆学习次数依次为.从学习次数大于的学生中选名同学,所有可能的结果有种,它们是:,用表示:“选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于”这一事件,其中的结果有种,它们是:,故选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习次数和大于的概率为.【考点】1平均数方差;2古典概型概率.5.设是椭圆的左焦点,直线为其左准线,直线与轴交于点,、为椭圆的左右顶点.已知,且.(Ⅰ)若过点的直线与椭圆相交于不同的两点,求证:;(Ⅱ)求的面积的最大值.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由得的值,由知,从而可得,由可得,从而可得椭圆方程.直线的斜率为时显然成立,当斜率不为0时,设直线的方程为,代入椭圆方程可得关于的一元二次方程,其判别式大于0,同时可得两根之和,两根之积.根据斜率公式可得,只需证明,即证得.(Ⅱ),根据基本不等式可得其最值.试题解析:解:(Ⅰ)因为,所以.又因为,所以,即,所以或(舍去),所以,,所以椭圆方程为.当直线的斜率为时,显然,满足题意.当直线的斜率不为时,设,此时设直线的方程为,代入椭圆方程,整理得则,即.由韦达定理知,所以,从而.(Ⅱ),当且仅当,即(此时满足的条件)时取得等号,故的面积的最大值是.【考点】1直线与椭圆的位置关系问题;2基本不等式求最值.6.已知函数.(Ⅰ)求证:函数在区间上单调递增;(Ⅱ)若函数有四个零点,求的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的,都有恒成立,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)求导,在内证导数大于0即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间上单调递减,在区间上单调递增,可得函数的最小值.由,得或.要使函数有四个零点,只需函数的图像分别与直线和直线都有两个交点,由数形结合可得关于的不等式.(III).由(Ⅰ)知在区间上单调递减,在区间上单调递增,比较的大小可求得的最大值.使其恒小于等于即可.试题解析:解:(Ⅰ)证明:因为,所以.因为,所以,所以当时,,即函数在区间上单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以取得最小值.由,得或,所以要使函数有四个零点,只需满足,即(Ⅲ)由(Ⅰ)知在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以.令,则,所以在区间上单调递增.因为,所以,所以.所以当时,的最大值为,要使恒成立,只需即可.令所以在上单调递增.因为,所以只需,即.故的取值范围是.【考点】用导数研究函数的性质.。
吉林高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.设为虚数单位,则复数的虚部为().A.B.C.D.2.把化为二进制的数是().A.B.C.D.3.用三段论推理命题:“任何实数的平方都大于,因为是实数,所以”你认为这个推理().A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确4.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为().A.B.C.D.5.某单位200名职工中,年龄在岁以上占,岁占,岁以下占;现要从中抽取40名职工作样本。
若用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第组抽出的号码为,则第8组抽出的号码应是___①_;若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取__②_人.①②两处应填写的数据分别为().A.B.C.D.6.复数,则的共轭复数在复平面内对应的点().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.下列说法错误的是().A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“若则”否命题是“若则”C.若命题则D.如果命题与命题都是真命题,那么命题一定是真命题8.如图给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应填入的是().A.B.C.D.9.设椭圆与双曲线的公共焦点分别为,为这两条曲线的一个交点,则的值为().A.B.C.D.10.设为抛物线上一点,为抛物线的焦点,以为圆心,为半径的圆和抛物线的准线相交于不同的两点,则取值范围是().A.B.C.D.11.关于的不等式对恒成立,则的取值范围().A.B.C.D.[-12,7]12.若函数在内无极值,则实数的取值范围是().A.B.C.D.13.已知之间的一组数据:则关于的线性回归方程为.()二、填空题1.函数极大值为.2.如图是函数的导函数的图象,给出下列命题①是函数的极值点.②是函数的极小值点.③在处切线斜率大于.④在区间上单调递减.则正确命题的序号是.3.在平面几何里可以得出正确结论:“正三角形内切圆的半径等于正三角形高的”拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体内切球的半径等于这个正四面体高的.三、解答题1.扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于分的有参赛资格,分以下(不包括分)的则被淘汰。
吉林高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知是虚数单位,则复数的值为 ( )A.B.C.D.-2.命题“如果,那么”的否命题是 ( )A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么3.如果抛物线的准线是直线,那么它的焦点坐标是 ( )A.B.C.D.4.双曲线的渐近线方程是 ( )A.B.C.D.5.抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标是 ( )A.1B.2C.3D.46.过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )A.0条B.1条C.2条D.3条7.已知向量的夹角为 ( )A.B.C.D.8.“”是“方程表示双曲线”的 ( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件9.在正四棱柱中,若=,则异面直线与所成角的余弦值为 ( ) A.B.C.D.10.已知向量若∥,则的值为 ( )A.B.C.D.11.如果直线的方向向量是,平面的法向量是,那么直线与平面所成角的正弦值为 ( )A.B.C.D.不确定12.若,则取最小值时,的值是 ( )A.B.C.D.二、填空题1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,那么=2.已知向量,,,若共同作用在一个物体上,使物体从点移到点,则合力所做的功为3.已知则到平面的距离是4.以下四个命题中,说法正确的有 .(填入所有正确答案)①若任意向量共线,则必存在唯一实数使得成立.②若向量组是空间一个基底,则向量组也是空间的一个基底.③所有的平行向量都相等.④是直角三角形的充要条件是.三、解答题1.已知棱长为的正方体,点、分别是和的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出图中、的坐标;(2)求直线与所成角的余弦值.2.已知抛物线的顶点为椭圆的中心,椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,且它们的准线互相平行.又抛物线与椭圆交于点,求抛物线与椭圆的方程.3.如右图,一个结晶体的形状为平行六面体,以点为端点的三条棱的长都等于,且彼此之间的夹角都是.(1)用向量表示向量.(2)求晶体的对角线长.4.若抛物线的顶点是双曲线的中心,焦点是双曲线的右顶点.(1)求抛物线的标准方程.(2)若直线过点交抛物线于两点,是否存在直线,使得恰为弦的中点?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.5.如图:已知三棱锥中,面,,,为上一点,,分别为的中点.(1)证明:.(2)求面与面所成的锐二面角的余弦值.(3)在线段(包括端点)上是否存在一点,使平面?若存在,确定的位置;若不存在,说明理由.吉林高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知是虚数单位,则复数的值为 ( )A.B.C.D.-【答案】A【解析】略2.命题“如果,那么”的否命题是 ( )A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么【答案】A【解析】根据否命题的定义:原命题的条件和结论都否定。
吉林高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.双曲线的焦距为A.B.C.D.2.命题“对任意的,都有”的否定为A.存在,使B.对任意的,都有C.存在,使D.存在,使3.以下四组向量:①,;②,;③,;④,其中互相平行的是.A.②③B.①④C.①②④D.①②③④4.对抛物线,下列描述正确的是A.开口向上,焦点为B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为D.开口向右,焦点为5.“关于的不等式对于一切实数都成立”是“”的A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件6.在中,,则等于A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或1507.已知是等比数列,前项和为,,则A.B.C.D.8.设为抛物线上的动弦,且, 则弦的中点到轴的最小距离为A.2B.C.1D.9.在中,,给出满足的条件,就能得到动点的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:条件方程①周长为10②面积为10③中,则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是 A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、10.若,且,则下列不等式中,恒成立的是A .B .C .D .11.点是椭圆上的一点,是焦点, 且,则△的面积是A .B .C .D .12.已知直线与双曲线,有如下信息:联立方程组:, 消去后得到方程,分类讨论:(1)当时,该方程恒有一解;(2)当时,恒成立。
在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是 A . B . C .D .二、填空题1.若实数满足条件,则的最大值为2.已知F 1,F 2是椭圆的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点.在△AF 1B 中,若有两边之和是10,则第三边的长度为3.已知双曲线的渐近线方程为,虚轴长为4,则该双曲线的标准方程是4.函数,若数列满足,则三、解答题1.已知数列的前n项和(1)求数列的通项公式,并证明是等差数列;(2)若,求数列的前项和.2.命题:方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线,命题:方程无实根,若∨为真,为真,求实数的取值范围.3.在中,角所对的边分别为,已知,(1)求的大小;(2)若,求和的值.4.已知定点和定直线,动点与定点的距离等于点到定直线的距离,记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程.(2)若以为圆心的圆与曲线交于、不同两点,且线段是此圆的直径时,求直线的方程.5.如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中,棱,分别为的中点.(1)求>的值;(2)求证:6.已知、分别是椭圆的左、右焦点.(1)若是第一象限内该椭圆上的一点,,求点的坐标;(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.吉林高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.双曲线的焦距为A.B.C.D.【答案】D【解析】由条件知,∴,∴.【考点】双曲线的定义.2.命题“对任意的,都有”的否定为A.存在,使B.对任意的,都有C.存在,使D.存在,使【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题,且结论也否定,所以C正确.【考点】逻辑与命题.3.以下四组向量:①,;②,;③,;④,其中互相平行的是.A.②③B.①④C.①②④D.①②③④【答案】D【解析】因为若∥,则;①②③④都满足,所以都满足∥.【考点】向量的坐标表示、向量的运算.4.对抛物线,下列描述正确的是A.开口向上,焦点为B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为D.开口向右,焦点为【答案】A【解析】由抛物线的定义可知:开口向上,焦点坐标为,所以C为正确答案.【考点】抛物线的定义.5.“关于的不等式对于一切实数都成立”是“”的A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【答案】C【解析】关于的不等式对于一切实数都成立,则或,解得,所以C正确.【考点】不等式恒成立问题、含参数的不等式的解法.6.在中,,则等于A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150【答案】C【解析】由正弦定理得:,∴,∴60°或120°.【考点】正弦定理.7.已知是等比数列,前项和为,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知条件可得,∴,∴.【考点】等比数列的定义、等比数列的前n项和.8.设为抛物线上的动弦,且, 则弦的中点到轴的最小距离为A.2B.C.1D.【答案】B【解析】设、,弦的中点到轴的距离最小,则弦过抛物线的焦点,由题意得准线为,∴,即,∴弦的中点到轴的最小距离.【考点】抛物线的定义、最值问题.9.在中,,给出满足的条件,就能得到动点的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:①周长为10②面积为10③中,则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是A. 、、B. 、、C. 、、D. 、、【答案】A【解析】①周长为10,即,轨迹为椭圆;②面积为10,即,∴所以轨迹为;③中,,即为圆周上一点,所以轨迹为圆.【考点】圆锥曲线问题、轨迹问题.10.若,且,则下列不等式中,恒成立的是A.B.C.D.【答案】C【解析】A和B选项成立的条件是;D选项应该是;因此只有C正确.【考点】基本不等式.11.点是椭圆上的一点, 是焦点, 且,则△的面积是A.B.C.D.【答案】A【解析】由余弦定理和联立可得:.【考点】椭圆的定义、余弦定理.12.已知直线与双曲线,有如下信息:联立方程组:, 消去后得到方程,分类讨论:(1)当时,该方程恒有一解;(2)当时,恒成立。
吉林市普通高中2013-2014学年度上学期期末教学质量检测高二数学(理)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共22小题,共150分,共10页,考试时间120分钟,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
)1. 双曲线221102x y -=的焦距为 A .23 B .24 C .32D .34【答案】D【KS5U 解析】易知22212c a b =+=,所以双曲线221102x y -=的焦距为34。
2. 命题“对任意的x R ∈,都有2240x x -+≤”的否定为 A. 存在x R ∈,使2240x x -+≥ B. 对任意的x R ∈,都有2240x x -+> C. 存在x R ∈,使2240x x -+> D. 存在x R ∉,使2240x x -+>【答案】C【KS5U 解析】因为全称命题的否定为特称命题,所以命题“对任意的x R ∈,都有2240x x -+≤”的否定为存在x R ∈,使2240x x -+>。
3. 以下四组向量: ①(1,2,1)a =-,(1,2,1)b =--; ②(8,4,0)a =,(2,1,0)b =; ③(1,0,1)a =-,(3,0,3)b =-; ④4(,1,1)3a =--,(4,3,3)b =- 其中互相平行的是. A . ②③B .①④C .①②④D .①②③④【答案】D【KS5U 解析】因为①(1,2,1)a =-=-(1,2,1)b =---,所以//a b ; ②(8,4,0)a =4b =,所以//a b (2,1,0)b =;③(1,0,1)a =-,(3,0,3)b =-,13a b =-,所以//a b ;④4(,1,1)3a =--,(4,3,3)b =-,13a b =-,所以//a b ,因此选D 。
4. 对抛物线24x y =,下列描述正确的是 A. 开口向上,焦点为(0,1) B. 开口向上,焦点为1(0,)16C. 开口向右,焦点为(1,0)D. 开口向右,焦点为1(0)16, 【答案】A【KS5U 解析】抛物线24x y =开口向上,焦点为(0,1) ,因此选A 。
5. “关于x 的不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立”是“04a <<” 的 A .充要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .既非充分又非必要条件【答案】C【KS5U 解析】当0a =时,满足题意;当0a ≠时,要满足题意,须0,040a a >⎧<<⎨∆<⎩解得。
综上知:满足题意的a 的取值范围是04a ≤<。
所以“关于x 的不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立”是“04a <<” 的必要非充分条件。
6. 在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 等于 A .30°B . 60°C .60°或120°D . 30°或150【答案】C【KS5U 解析】由正弦定理得:sin sin 2a B Ab ==,因为A 为三角形的内角,所以A=60°或120° 。
7. 已知{}n a 是等比数列,前n 项和为n S ,41252==a a ,,则5S = A.132B.314C.334D. 1018【答案】B 【KS5U 解析】35218a q a ==,所以11,42q a ==,所以5S =314。
8. 设AB 为抛物线2y x =上的动弦,且||2AB =, 则弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离 为 A.2B.34C. 1D.54【答案】B【KS5U 解析】设 弦的端点为()11,A x y ,()22,B x y ,弦AB 的中点M 到y 轴的距离最短,则弦AB 过焦点,所以1211244x x +++=,所以弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离为12111344244x x +++-=。
9.在ABC ∆中,(2,0),(2,0),(,)B C A x y -,给出ABC ∆满足的条件,就能得到动点A 的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:则满足条件①、②、③的点A 轨迹方程按顺序分别是 A. 3C 、1C 、2CB. 2C 、1C 、3CC.1C 、3C 、2CD.3C 、2C 、1C【答案】A【KS5U 解析】若①ABC ∆周长为10,则满足|AC|+|BC|=6>BC ,所以满足此条件的方程应为椭圆223:1(0)95x y C y +=≠;若②ABC ∆面积为10,因为BC 的长为定值4,所以点A 到直线BC 的距离即点A 到x 轴的距离为5,所以满足此条件的方程应为21:25C y =;若③ABC ∆中,90A ∠=︒,则点A 应在以原点为圆心,2为半径的圆周上,所以满足此条件的方程应为222:4(0)C x y y +=≠。
10. 若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是A. a b +≥B.11a b +>C.2b aa b+≥D. 222a b ab +>【答案】C【KS5U 解析】因为0ab >,所以a 、b 同正或同负,所以A 、B 排除;又选项D 应为222a b ab +≥,所以选C 。
11.点P 是椭圆22194x y +=上的一点, 12,F F 是焦点, 且1260F PF ∠=︒, 则△12F PF 的 面积是 A.3B.C.43D.2【答案】A【KS5U 解析】由椭圆的定义知:126F P PF +=,又因为1260F PF ∠=︒,所以由余弦定理得:222121222122cos 60F F F P PF PF F P =+-︒,即()212212212216-3=3F P PF F P PF F P PF =+即20,所以, 所以△12F PF 的面积01221=sin 602S F P PF=。
12. 已知直线(2)y k x =+与双曲线2218x y m -=,有如下信息:联立方程组: 22(2)18y k x x y m =+⎧⎪⎨-=⎪⎩, 消去y 后得到方程20Ax Bx C ++=,分类讨论:(1)当0A =时, 该方程恒有一解;(2)当0A ≠时,240B AC ∆=-≥恒成立。
在满足所提供信息 的前提下,双曲线离心率的取值范围是 A.B.)+∞ C .(1,2]D .[2,)+∞【答案】B【KS5U 解析】依题意可知直线恒过定点(-2,0),根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点,故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边,即-204m ≤<≤即,又e ==e ≥第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.若实数y x ,满足条件1021x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则y x z +=2的最大值为【答案】4;【KS5U 解析】画出约束条件1021x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩的可行域,由可行域知,目标函数y x z +=2过点(1,2)时,取最大值,且最大值为4.14.已知F 1,F 2是椭圆221169x y +=的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点.在 △AF 1B 中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 【答案】6;【KS5U 解析】由椭圆的定义知:△AF 1B 的周长为4a ,即16,所以若有两边之和是10,则第三边的长度为6.15.已知双曲线的渐近线方程为2xy =±,虚轴长为4, 则该双曲线的标准方程是【答案】22221,11644x y x y -=-= 【KS5U 解析】若双曲线的焦点在x 轴上,则1,242b b a ==,解得2,4b a ==,所以此时双曲线的方程为221164x y -=;若双曲线的焦点在y 轴上,则1,242a b b ==,解得2,1b a ==,所以此时双曲线的方程为2214x y -=。
综上知:该双曲线的标准方程是22221,11644x y x y -=-=。
16.函数11,221()21,121,1x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩,若数列{}n a 满足117,(),3n n a a f a n N +*==∈, 则20132014a a += 【答案】76【KS5U解析】因为12327411,(),()333a a f a a f a =>====所以,435452(),()63a f a a f a ====,651()3a f a ==,…… 由此看出:在数列{}n a 中:除了第一、二项外,其余的项以3为周期进行循环,所以2013201415,36a a ==,所以20132014a a +=76。
三、解答题17.(本题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-(I ) 求数列{}n a 的通项公式,并证明{}n a 是等差数列;(II )若12n n c a =-,求数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T18.(本题满分12分)命题p :方程22121x y m m +=--表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线, 命题q :方程244(2)10x m x +-+=无实根, 若p ∨q 为真,q ⌝为真,求实数m 的取值范围.19.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,已知sin cC=,(I )求A 的大小;(II )若6,a S ==b 和c 的值。
20.(本题满分12分)已知定点(2,0)F 和定直线:2l x =-,动点与定点F 的距离等于点P 到定直线l 的 距离,记动点P 的轨迹为曲线C (I )求曲线C 的方程.(II )若以(2,3)M 为圆心的圆与曲线C 交于A 、B 不同两点,且线段AB 是此圆的直径时,求直线AB 的方程21.(本题满分12分)如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中090,1=∠==BCA CB CA ,棱21=AA ,N M 、分别为A A B A 111、的中点. (I )求11,cos CB <>的值;(II )求证:MN C BN 1平面⊥22.(本题满分12分)已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点。