【轻松突破120分】2014高考数学精炼4 理

第一讲 送分题——准确解，一分不丢高考试卷虽然是选拔性的试卷，但是试卷中仍然有相当部分的送分题．所谓送分题是指知识点基础，数据计算量小，解题方法基本的试题．这部分试题往往因为简单，导致许多考生思想重视不够，从而失分，特别是一些数学成绩优秀的考生更是如此．笔者以多年送考的经验告诉大家，只要处理好以下几个方面的问题，即可达到“送分题，一分不丢”的效果，使考生能在高考考场上取得开门红，增强考试的信心．[例1] (2013·大连模拟)若复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，则a 的值是( ) A ．－3 B ．－3或1 C ．3或－1 D ．1[尝试解答][错因] 本题易混淆复数的有关概念，忽视虚部不为零的限制条件．[正解] 因为复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝0，a ＋3≠0，解得a ＝1.[答案] D[反思领悟] 利用复数的有关概念解题时，一定要过好审题关，仔细辨析试题中的待求问题；在准确用好概念的前提下对试题进行解答，这样才能避免应用概念出错．如本题，若能搞清复数z 为纯虚数的概念，只需令复数z 的实部为零，虚部不为零，从而把求参数问题转化为求方程组解的问题，即可避开概念的陷阱．[例2] 已知：p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[尝试解答][错因] 本题的易错点是对充要条件的概念把握不清，判断错误，并且不会将充要条件进行转化．[正解] ∵p ：－2≤x －3≤2,1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.易得q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4. [答案] [2,4][反思领悟] 对充要条件的判定需注意：(1)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(2)要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么綈p 是綈q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么綈p 是綈q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么綈p 是綈q 的充要条件.[例3] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2 x 的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[尝试解答][错因] 不能准确作出两函数在相应区间的图像以及两函数图像的相对位置关系，只是想当然、没有依据地乱作图像，很容易导致错误．[正解] 分别在同一坐标系内作出两函数的图像．如图所示，观察易知两函数图像有且仅有3个交点．[答案] B[反思领悟] 在判断函数图像交点的个数或利用函数图像判断方程解的个数时，一定要注意函数图像的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x ＝12时，4x －4<log 2x ，即此时对函数图像上的点应在相应直线的上侧，因此我们可以通过取特殊值的方法相对准确地确定两函数图像的相对位置关系．[例4] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba ＋1的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－2,1] D ．(－2,1)[尝试解答][错因] 不能根据函数解析式的特点以及零点所在区间确定a ，b 所满足的条件，导致找不到解决问题的突破口，或者忽视a >0的限制条件，导致错解．[正解] 因为a >0，所以二次函数f (x )的图像开口向上，又因为f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子b a ＋1表示平面区域内的点P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的斜率．而直线QA的斜率k ＝1－00－(－1)＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．[答案]D[反思领悟]本题是一个函数的零点取值范围与线性规划的综合问题，先结合函数图像确定函数在指定区间存在零点的条件，再确定不等式组所表示的平面区域，将目标函数转化为平面区域内的点与定点连线的斜率，根据图形判断其取值范围．在作图时要注意不等式组中各个不等式是否带有等号，否则很容易忽视边界值而导致错解.[例5](2013·福州模拟)已知数列{a n}中a n＝n2－kn(n∈N*)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，3)C．(－∞，2) D．(－∞，3][尝试解答][错因]认为a n是关于n的二次函数，定义域为整数集，又{a n}递增，则必有k2≤1，即k≤2，思维不严谨导致解题错误．[正解]a n＋1－a n＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{a n}单调递增，故应有a n ＋1－a n>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．[答案] B[反思领悟]函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所在函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n＋1与a n的大小来判断：若a n＋1>a n，则数列为递增数列；若a n＋1<a n，则数列为递减数列．[例6]如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD＝x AB＋y AC，则x＝________，y＝________.[尝试解答][错因] 本题想利用向量的基本运算，但由于计算费时，时间紧迫，所以思路出现阻碍，致使问题无法求解或求解失误．[正解] 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，且取单位长度为AB ，则问题转化为求D 点坐标(x ，y )．易知BC ＝2，所以DE ＝2，所以BD ＝DE sin 60°＝62.易知直线BD 的倾斜角是45°，所以D 点纵坐标y ＝BD ·sin 45°＝32，D 点的横坐标x ＝1＋BD cos 45°＝1＋32，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫1＋32，32. [答案] 1＋32 32[反思领悟] 在试题中不含有向量的坐标时，要善于根据问题的实际情况，在不改变问题本质的情况下建立适当的坐标系，把向量问题代数化，可以降低问题的难度.[例7] 已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，且l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－16C ．6D ．0或－16[尝试解答][错因] 本题易出现忽略直线斜率不存在的特殊情况致误．[正解] 法一：当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2；当直线斜率存在时，l 1∥l 2⇔－32a ＝3a －1a 且52a ≠－2a ⇔a ＝－16.故使l 1∥l 2的a 的值为－16或0.法二：l 1∥l 2⇔3·(－a )－(3a －1)·2a ＝0， 得a ＝0或a ＝－16.故使l 1∥l 2的a 的值为0或－16.[答案] D[反思领悟] 在给定直线的一般方程，利用直线的位置关系，求参数的值时，一定要注意直线斜率存在性的讨论，不能想当然地以斜率存在进行求解，致使答案错误．为避免讨论，此类题可采用法二解决．[例8] (2013·郑州模拟)过点(0,3)作直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[尝试解答][错因] 本题易只考虑斜率k 存在的情况，而忽视斜率k 不存在以及直线l 平行于抛物线对称轴时的两种情形．[正解] 当斜率k 存在且k ≠0时，由题中条件知，直线l 的方程为y ＝13x ＋3；当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝3，此时l 平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点⎝⎛⎭⎫94，3； 当k 不存在时，直线l 与抛物线也只有一个公共点，此时l 的方程为x ＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线l 的方程为y ＝13x ＋3，y ＝3，x＝0，共3条．[答案] D[反思领悟] 解答直线与抛物线位置关系的相关问题时，注意直线与抛物线的两种特殊的位置关系：直线和抛物线的对称轴垂直与直线和抛物线的对称轴平行．[例9] 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，则数列{a n }的前2n 项的和S 2n ＝________.[尝试解答][错因] 对于等比数列的前n 项和易忽略公比q ＝1的特殊情况，造成概念性错误．再者没有从定义出发研究条件中的数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，得不到数列{a n }的奇数项和偶数项成等比数列，从而找不到解题的突破口，使思维受阻．[正解] 由数列{a n ·a n ＋1}是公比为q 的等比数列，得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ⇔a n ＋2a n ＝q ，这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又a 1＝1，a 2＝2，所以，当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q；当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2) ＝3n .[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧3(1－q n)1－q ，q ≠1，3n ，q ＝1[反思领悟] (1)本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中a n ＋2a n ＝q 是解题的关键；(2)不要认为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察、比较就能得出正确结论；(3)对等比数列的求和一定要注意公比为1这种特殊情况，高考往往就是在此设计陷阱，使考生考虑的问题不全面而导致解题错误.[例10] 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [尝试解答][错因] 本题易忽视对公比大于0和小于0的讨论． [正解] 因为等比数列{a n }中a 2＝1， 所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q . 所以当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3(当且仅当q ＝1时，等号成立)； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1(当且仅当q ＝－1时，等号成立)． 所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． [答案] D[反思领悟] 在利用基本不等式解决函数的值域问题时，要注意其使用条件和等号成立的条件，即所谓“一正、二定、三相等”．例如，求函数y ＝x ＋1x 的值域和a b ＋ba 的取值范围问题时，要注意分类讨论．[例11] (2013·滨州模拟)设函数f (x )＝x －2x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性． [尝试解答][错因] 本题的易错点是在讨论函数y ＝f (x )的单调性时，因缺乏分类讨论意识，导致解题错误；或者有分类讨论意识，但分类标准模糊导致分类不全致误．[正解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x 2＝(x －1)(x －2)x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：所以f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝－1；在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0， f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． [反思领悟] 判断含参数的单调性问题应注意：先树立分类讨论的思想意识，做题时应先对问题作深入的研究，明确其分类的标准，如本题中要讨论函数f (x )的单调性，应讨论f ′(x )的符号，即讨论x 2－ax ＋2的符号，从而应分Δ≤0与Δ>0两种情况讨论；由于考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，应讨论f ′(x )＝0的两根与定义域的关系，故再次分a <－22和a >22两种情况．一般地，与y ＝ax 2＋bx ＋c 有关的讨论有三种依据：a 取值，Δ取值，根的大小.[例12] 曲线y ＝1－x 2与直线y ＝x ＋b 没有公共点，则实数b 的取值范围为________． [尝试解答][错因] 本题易直接联立y ＝1－x 2与y ＝x ＋b ，整理为2x 2＋2bx ＋b 2－1＝0，然后错误地认为曲线y ＝1－x 2与直线y ＝x ＋b 没有公共点等价于方程2x 2＋2bx ＋b 2－1＝0无解，从而导致解题错误．[正解] 如图，根据图像可知：当b >2或b <－1时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝x ＋b 无解，即曲线y ＝1－x 2与直线y ＝x ＋b 没有交点．故b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)[反思领悟] 在研究直线与圆或直线与圆锥曲线的公共点的个数时，通常联立与曲线的方程，通过方程组解的个数来判断．但是在解决此类问题时，一定要注意圆或圆锥曲线是否为完整的圆或圆锥曲线，否则应画出图形，利用数形结合法解决，如本例中曲线y ＝1－x 2表示的图形为半圆而不是整个圆，故应采用数形结合的方法求解．[例13] 若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值为________． [尝试解答][错因] 本题易将sin y －cos 2x 转化为⎝⎛⎭⎫13－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，误认为sin x ∈[－1，1]，致使问题转化不等价而导致解题错误．[正解] 由已知条件有sin y ＝13－sin x ， 且sin y ＝⎝⎛⎭⎫13－sin x ∈[－1,1]，结合sin x ∈[－1,1]，得－23≤sin x ≤1， 而sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，令t ＝sin x ⎝⎛⎭⎫－23≤t ≤1， 则原式＝t 2－t －23＝⎝⎛⎭⎫t －122－1112⎝⎛⎭⎫－23≤t ≤1， 因为对称轴为t ＝12， 故当t ＝－23，即sin x ＝－23时，原式取得最大值49. [答案] 49[反思领悟] 在利用换元法解决问题时，要注意换元后自变量取值范围的变化，当题目条件中出现多个变元时，要注意变元之间的相互约束条件，如本例中易忽视等式sin x ＋sin y ＝13中两个变量的相互制约，即由于－1≤sin y ≤1，所以sin x 必需满足－1≤13－sin x ≤1这个隐含的约束条件.[例14] (2013·南京师大附中模拟)如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝2EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .[尝试解答][错因] 本题易失分的原因有以下两点：(1)推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如证明BF ∥平面ACE 时，易忽视指明BF ⊄平面ACE ；(2)线面位置关系的证明思路出错，缺乏转化意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的．[正解](1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB＝2EF，∴BO＝EF.又∵EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE.∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO.∵EO∥BF，∴BF⊥BD.[反思领悟]证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解决这类问题时要注意推理严谨，使用定理时要找足条件，书写规范等．[例15]已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函数y＝a x(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像，可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论122x xa a>a122x+x成立．运用类比思想，可知若点C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有____________成立．[尝试解答][错因] 本题通过类比推理，易得“sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22”的错误结论，其错误的原因是类比推理不严谨，未真正读懂题意，未能把握两曲线之间相似的性质，导致得出错误结论．[正解] 运用类比推理与数形结合，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像是上凸，因此线段CD的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立． [答案] sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22[反思领悟] 类比推理是从特殊到特殊的推理，求解有关类比推理题时，应找出两类事物之间的相似性和一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题．类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义.[例16] 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝1，c ＝ 3.(1)若角C ＝π3，则角A ＝________； (2)若角A ＝π6，则b ＝________. [尝试解答][错因] 在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现了丢解的错误．[正解] (1)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a <c ，∴A <C ，∴A ＝π6. (2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2； 当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1. [答案] (1)π6(2)2或1 [反思领悟] 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据：一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．[例17] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．[尝试解答][错因] 本题容易因忽视特殊情况而出错．因为当点P 在右顶点处，∠F 1PF 2＝π，所以0<∠F 1PF 2≤π.如果忽视特殊情况，就会出现0<∠F 1PF 2<π的错误．[正解] 如图所示，设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ≤π)，当点P 在右顶点处时，θ＝π.由条件，得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .所以e ＝2c 2a＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm ＝5－4cos θ.又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]．[答案](1,3][反思领悟]本题在求解中稍不注意，就会出现漏掉特殊情况的错误．在平时的训练中应该加强对解题的监控，注意多研究问题的各种情况，以形成全面思考，周密答题的良好习惯．这对考生来说，是非常重要的．。

2014年高考数学 第2课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版选修4-1一、选择题1．(2012·高考卷)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2D ．CE ·EB ＝CD 2解析：选A.在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .二、填空题2．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝43，则CD ＝________.解析：根据射影定理得CB 2＝BD ×BA ，即(43)2＝BD (BD ＋2)，得BD ＝6.又CD 2＝AD ×BD ＝12，所以CD ＝12＝2 3.答案：2 33．(2012·高考某某卷)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：由相交弦定理可得CF ·FE ＝AF ·FB ，得CF ＝2.又因为CF ∥DB ，所以CF DB ＝AF AB，得DB ＝83，且AD ＝4CD ，由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ＝4CD 2，得CD ＝43.答案：434．(2013·某某模拟)如图，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，则EF ＝________.解析：连接BF ，OE ，OF ，则BF ⊥AC ，∴∠CBF ＝30°，弦EF 所对的圆心角∠EOF ＝60°，故EF 等于圆的半径2.答案：25.(2012·高考某某卷)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析：如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OA tan 60°＝ 3.答案： 36.(2012·高考某某卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5.又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB ＝ED2＝5.答案：5三、解答题7．已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．解：(1)证明：如图，设F 为AD 延长线上一点．∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， 且∠ADB ＝∠ACB ， ∴∠ADB ＝∠CDF ，对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ， 即AD 的延长线平分∠CDE .(2)设O 为外接圆圆心，连接AO 并延长交BC 于H ， 则AH ⊥BC .连接OC ，由题意∠OAC ＝∠OCA ＝15°，∠ACB ＝75°， ∴∠OCH ＝60°.设圆半径为r ，则r ＋32r ＝2＋3，得r ＝2，则外接圆的面积为4π. 8.(2013·某某调研)如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，求圆O 的面积．解：∵CE 是⊙O 的切线，则∠ACD ＝∠ABC ＝30°.在Rt △ACD 中，AD AC＝sin 30°，则AC ＝2. 又在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，则AB ＝2AC ＝4.∴圆O 的面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422π＝4π.9．(2012·高考某某卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C . 证明：连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C . 10.如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论．解：DE 是⊙O 的切线．证明如下：如图，连接OD 、CD ，则OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC .又AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°. ∴三角形CDB 为直角三角形．又E 为BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝CE ，∴∠ECD ＝∠EDC .又∠OCD ＋∠ECD ＝90°，∴∠ODC ＋∠EDC ＝90°， 即∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线． 11.在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D ，连结CP .(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵A 、B 、C 、P 四点共圆， ∴∠CPD ＝∠ABC . 又∵∠D ＝∠D ，∴△DPC ∽△DBA ，∴PC BA ＝PDBD ，又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PDBD.(2)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠CPD . ∵∠APC ＋∠CPD ＝180°， ∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴∠APC ＝∠ACD .∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝AC AD. ∴AP ·AD ＝AC 2＝9. 12.如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .(1)求∠ADF 的度数；(2)若AB ＝AC ，求AC BC的值． 解：(1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ， ∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD .又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACE ＝∠BCA ，∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AE BA. 又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ，由∠BAE ＝90°及三角形内角和定理知，∠B ＝30°. ∴在Rt △ABE 中， AC BC ＝AE BA ＝tan B ＝tan 30°＝33. 13.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，＝，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解：(1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC .又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ，∴PF PC ＝PD PO.由割线定理知，PC ·PD ＝PA ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3. (2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1.所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT＝2 2.14．(2012·高考课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ，所以∠BGD ＝∠BDG .由BC ＝CD 知，∠CBD ＝∠CDB . 而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .。

12＋4综合练(四)一、选择题1． 复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]在复平面上对应的点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，m ＋1<0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．2． 已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |1<log 2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |1<x <4}答案 B3． 下列命题中真命题的个数是( )①“∀x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x <0”；②若|2x －1|>1，则0<1x <1或1x <0；③∀x ∈N *,2x 4＋1是奇数． A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①错误，应为“x 2－x ≤0”；②正确，解|2x －1|>1得x >1或x <0与“0<1x <1或1x <0”等价；③正确．4． 设α表示平面，a ，b 表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确的是( )A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③答案 B解析 在①中，当a ∥α，a ⊥b 时，b 与α的位置关系无法确定；在③中，当a ⊥α，a ⊥b 时，可得b ∥α或b ⊂α，故①③错，易证②④正确．5． 已知函数f (x )是奇函数且是R 上的增函数，若x ，y 满足不等式f (x 2－2x )≤－f (y 2－2y )，则x 2＋y 2的最大值是( )A. 3B ．2 2C ．8D ．16答案 C解析 由f (x )为奇函数得f (x 2－2x )≤f (2y －y 2)，又f (x )为增函数，有x 2－2x ≤2y －y 2，即(x －1)2＋(y －1)2≤2，它表示圆心在(1,1)，半径为2的圆的内部(包括边界)，故到原点最远的点为(2,2)，从而x 2＋y 2＝8. 6． 下列不等式中，一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x ＝12否定A ，取x ＝－π4否定B ，取x ＝0否定D ，故选C.7． 已知x 、y从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于 ( )A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.80答案 B解析 代入中心点(x ，y )，可知a ＝1.45.8． 先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m 、n ，则mn 是奇数的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 C解析 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能，因此P ＝936＝14.9． 函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1]答案 A解析 f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0结合x >0得0<x ≤1. 10．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A ．94B ．178C ．5D ．4答案 C解析 抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)，直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0， 由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， 由弦长公式可得，截得的线段长为 1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫122·22－4×(－4)＝5.11．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 故选C.12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 答案 B解析 令(x 2－2)－(x －1)≤1， 得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.∵y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，画函数的 图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]． 二、填空题13．执行下面的程序框图，则输出的S 的值是________．答案 63解析 由程序框图知，当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63.14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则函数z ＝4x2y 的最大值为________．答案 32解析 不等式组对应的平面区域是三角形区域，当2x －y 经过点(2，－1)时取得最大值5，此时目标函数z ＝4x2y ＝22x －y 取得最大值32.15．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝________.答案 2 3解析 由图象可知A ＝2，周期T ＝6，所以ω＝π3，又x ＝52时，y ＝2，所以f (52)＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，所以φ的一个值为－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3.所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2 3.16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，将该数列的项按如下规律排成一个数阵：则该数阵中的第10行，第3个数为________．答案97解析由题意可得该数阵中的第10行，第3个数为数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×10＋3＝48项，所以a48＝(－1)48·96＋1＝97.2。

中档大题(四)1．(2013·高考陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场(1)到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.2．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积．3．(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列{a n}，{b n}满足a1＝3，a2＝6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b n，a n，b n＋1成等比数列．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，试比较2S n与2－b2n＋1a n＋1的大小．4．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD.(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱锥A-BCD的体积为63，且∠AOC是钝角，求AC的长．5．(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）6．(2013·高考福建卷)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝22，点M在线段PQ上．(1)若OM＝5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．答案：1．【解】(1)(2)记从A 12312号歌手；从B 组抽到的6位评委分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果如图：由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.2．【解】(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.3．【解】(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且{a n }，{b n }都为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322.∴b n ＝22(n ＋1)(n ∈N *)．(2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2， 则1a n＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2(1n ＋1－1n ＋2)， ∴S n ＝2[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)] ＝1－2n ＋2，∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3， ∴2S n －(2－b 2n ＋1a n ＋1)＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8（n ＋2）（n ＋3）. ∴当n ＝1，2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1. 4．【解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AO ，BO ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面AOC ⊥平面BCD .(2)由(1)知BD ⊥平面AOC ，∴V A ­BCD ＝13S △AOC ·BD ，又V A ­BCD ＝63， ∴13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD ＝63， 即13×12×2×2×sin ∠AOC ×22＝63，∴sin ∠AOC ＝32，∵∠AOC 是钝角，∴∠AOC ＝120°.在△AOC 中，由余弦定理，得 AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos ∠AOC＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6，∴AC ＝ 6.5．【解】(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（15×25－15×45）260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．6．【解】(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP ·MP ·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP， 所以OM ＝OP sin 45°sin （45°＋α）， 同理ON ＝OP sin 45°sin （75°＋α）. 故S △OMN ＝12·OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α） ＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin （2α＋30°）. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

2014年高考数学 专题四 知能演练轻松闯关 新人教A 版1．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小． 解：(1)证明：因为∠ABC ＝90°， 所以AB ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBC .(2)取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PCB ∩平面ABCD ＝BC ， PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD .如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设BC ＝2.由AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD 可得P (0，0，3)，D (－1,1,0)，A (1,2,0)，所以DP →＝(1，－1，3)，DA →＝(2,1,0)． 设平面PAD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0，m ·DA →＝0.所以⎩⎨⎧x －y ＋3z ＝0，2x ＋y ＝0.令x ＝－1，则y ＝2，z ＝ 3. 所以m ＝(－1,2，3)．取平面BCP 的一个法向量n ＝(0,1,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝22.所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小为π4.2．(2013·某某省名校联考)如图所示，在多面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)已知F 是AD 的中点．求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1； (3)在(2)的条件下，求二面角F ­CC 1­B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0,0)，B (2a,2a,0)，C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a ，0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→|·|DD 1→|＝33，∴异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧FB 1→·BB 1→＝0，FB 1→·BC →＝0，∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，FB 1→为平面BCC 1B 1的一个法向量． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量．又∵CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)， ∴cos 〈FB 1→，n 〉＝FB 1→·n |FB 1→|·|n |＝33，即二面角F ­CC 1­B 的余弦值为33. 3．(2013·某某市模拟)如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC ，PD ，CB 的中点．将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ； (2)求二面角G ­EF ­D 的大小； (3)求三棱锥D ­PAB 的体积．解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD .又AB ＝BC ＝12AP ＝AD ，AP ⊥AB ，∴四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD .又PD ∩AD ＝D ， ∴CD ⊥平面PAD . ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAD .(2)如图，以D 为原点，分别以DC ，DA ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .则G (2,1,0)，E (1,0,1)，F (0，0,1)，故EF →＝(－1,0,0)，EG →＝(1,1，－1)． 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝z.取n ＝(0,1,1)，取平面PCD 的一个法向量DA →＝(0,1,0)，∴cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →|·|n |＝12＝22.结合图知二面角G ­EF ­D 的大小为45°.(3)三棱锥D ­PAB 的体积V D ­PAB ＝V P ­DAB ＝13S △ABD ·PD ＝13×12×2×2×2＝43.4．(2012·高考大纲全国卷)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A ­PB ­C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．解：法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又PA ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连结EF . 因为AC ＝22， PA ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝ACEC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°， 由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直， 所以PC ⊥平面BED .(2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角A ­PB ­C 为90°， 所以平面PAB ⊥平面PBC . 又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ， 故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .则C (22，0,0)，设D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E (423，0，23)，B (2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝(23，b ，23)，DE →＝(23，－b ，23)，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面PAB 的一个法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0， 即2z ＝0且2x －by ＝0.令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·BE →＝0.即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0， 令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b，n ＝(1，－2b，2)．因为二面角A ­PB ­C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)，所以cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，所以〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余， 故PD 与平面PBC 所成的角为30°.5．(2012·高考卷)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)．(1) 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2) 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3) 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 解：(1)证明：∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ， ∴DE ⊥AC .∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ， ∴DE ⊥平面A 1DC .∴DE ⊥A 1C . 又∵A 1C ⊥CD ， ∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0，1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)， BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3， ∴n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. ∵CM →＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n |·|CM →|＝48×4＝22. ∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0. 又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)， ∴⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p3， ∴m ＝(2，p ，p3)． 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．∴线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．。

2014年金太阳高考押题精粹(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案及点评】二．选择题（30道）1. 【答案】B2. 【答案】A【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的子，交，并，补相结合，侧重考查简单的不等式的有关知识。

3. 【答案】C4. 【答案】A【点评】:3、4题考查的是复数有关知识。

复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。

5. 【答案】C 6. 【答案】B【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。

作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。

单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，如5题。

一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。

7. 【答案】B 8. 【答案】B【点评】:7,8题考查的内容是程序框图。

程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。

9. 【答案】D【解析】根据sin(π+α）=αsin -可知“若函数的图像)3x sin()(πω+=x f 向右平移3π个单位后与原函数的图像关于x轴对称”则至少变为）ππω-+=3sin()(x x g ，于是.3333x 的最小正值是则ωππωππω-+→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 10. 【答案】A 11. 【答案】A【解析】.6,0232cos ,3sin 3sin sin sin 222222A C C ab c b a C ab c b a B a C c B b A a ，选故，又所以即ππ=<<=-+==-+=-+ 【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中，一般考察三角函数图象的平移，函数单调性，依据函数图象确定相关系数等问题，另外三角函数在解三角形中的应用也不容忽视。

2014高考数学（文）轻松突破120分22一、选择题1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x ＋ 2C ．y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2D ．x ＝1或y ＝x ＋ 2解析： 在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx＋2，则|2|k 2＋1＝1，∴k ＝±1， 故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2.选C.答案： C2．过点(0，－1)作直线l 与圆x 2＋y 2－2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y ＋4＝0B ．3x －4y －4＝0C ．3x ＋4y ＋4＝0或y ＋1＝0D ．3x －4y －4＝0或y ＋1＝0解析： 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.圆心为(1,2)，半径r ＝5，又|AB |＝8，从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x ＋4y ＋4＝0或y ＋1＝0.答案： C3．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当k ＝1时，圆心到直线的距离d ＝|k |2＝22<1， 此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d ＝|k |2<1，|k |<2，不一定k ＝1，所以必要性不成立．答案： A4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 解析： 设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为：(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 答案： D5．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝( )A.33B.33或－33C.3D.3或－ 3解析： ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3. 答案： D6．过x 轴上一点P 向圆C ：x 2＋(y －2)2＝1作切线，切点分别为A 、B ，则△PAB 面积的最小值是( )A.334B.332C.3D ．3 3解析： (特殊位置法)若点P 在坐标原点O ，则△PAB 是边长为3的等边三角形(如图)，此时，S △PAB ＝34×(3)2＝334， 而334是四个选项中的最小者，故选A. 答案： A二、填空题7．(2009·某某卷)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析： 由题意得OA ⊥O 1A ，∴在Rt △OO 1A 中，|AB |2＝2，∴|AB |＝4. 答案： 48．(2009·全国卷Ⅱ)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析： 因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5， 故S △＝12×52×5＝254. 答案： 2549．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为________．解析： 设圆心为N ，点N 的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l 与MN 垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.答案： x －2y ＋3＝0三、解答题10．(2011·某某模拟)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.求：直线PQ 与圆C 的方程．解析： 直线PQ 的方程为y －3＝3＋2－1－4×(x ＋1)， 即x ＋y －2＝0，方法一：由题意圆心C 在PQ 的中垂线y －3－22＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4－12，即y ＝x －1上， 设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有r 2＝(23)2＋|n |2，∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 为：(x －1)2＋y 2＝13.方法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20D －3E －F ＝10，E 2－4F ＝48解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8.F ＝4 当⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12时，r ＝13<5； 当⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4时，r ＝37>5(舍)．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.11．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点M (4，－8)．(1)过M 作圆的割线交圆于A 、B 两点，若|AB |＝4，求直线AB 的方程；(2)过M 作圆的切线，切点为C 、D ，求切线长及CD 所在直线的方程.【解析方法代码108001108】解析： (1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，圆心为P (2，－1)，半径r ＝2 2.①若割线斜率存在，设AB ：y ＋8＝k (k －4)，即kx －y －4k －8＝0，设AB 的中点为N ，则|PN |＝|2k ＋1－4k －8|k 2＋1＝|2k ＋7|k 2＋1， 由|PN |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，得k ＝－4528， AB 的直线方程为45x ＋28y ＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB ：x ＝4，代入圆方程得y 2＋2y －3＝0，y 1＝1，y 2＝－3符合题意，综上，直线AB 的方程为45x ＋28y ＋44＝0或x ＝4.(2)切线长为|PM |2－r 2＝4＋49－8＝3 5.以PM 为直径的圆的方程为(x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0，即x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0，两式相减，得2x －7y －19＝0，所以直线CD 的方程为2x －7y －19＝0.12．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，相互垂直的两条直线l 1、l 2都过点A (a,0)．(1)若l 1、l 2都和圆C 相切，求直线l 1、l 2的方程；(2)当a ＝2时，若圆心为M (1，m )的圆和圆C 外切且与直线l 1、l 2都相切，求圆M 的方程； (3)当a ＝－1时，求l 1、l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值．【解析方法代码108001109】解析： (1)显然，l 1、l 2的斜率都是存在的，设l 1：y ＝k (x －a )，则l 2：y ＝－1k(x －a )， 则由题意，得|2k ＋ak |k 2＋1＝2，|2＋a |k 2＋1＝2， 解得|k |＝1且|a ＋2|＝22，即k ＝±1且a ＝－2±2 2. ∴l 1、l 2的方程分别为l 1：y ＝x －22＋2与l 2：y ＝－x ＋22－2或l 1：y ＝x ＋22＋2与l 2：y ＝－x －22－2.(2)设圆M 的半径为r ，易知圆心M (1，m )到点A (2,0)的距离为2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－22＋m 2＝2r 2，1＋22＋m 2＝2＋r 2. 解得r ＝2且m ＝±7，∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y ±7)2＝4.(3)当a ＝－1时，设圆C 的圆心为C ，l 1、l 2被圆C 所截得弦的中点分别为E 、F ，弦长分别为d 1、d 2，因为四边形AECF 是矩形，所以CE 2＋CF 2＝AC 2＝1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫d 122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫d 222＝1，化简得d 21＋d 22＝28. 从而d 1＋d 2≤2·d 21＋d 22＝214，即l 1、l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值为214.。

第三讲 拉分题——巧妙解，每分都要争高考是选拔性的考试，必然要具备选拔的功能，试卷中必然要有综合考查数学知识、数学思想的能力型试题，即拉分题(亦即压轴题)．对大部分考生来说，在解决好前两类问题的前提下，如何从拿不下的题目(压轴题)中分段得分，是考生高考数学能否取得圆满成功的重要标志，是考生能否达到“名牌大学任我挑”的关键，对此可采用如下四招达到高分的目的：第一招 缺 步 解 答—————————————————————————————————————— 如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能写几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．如：[例1] (2013·四川高考)(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程． [尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ ⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋ ⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝22， 所以a ＝ 2.⇒2分又由已知，c ＝1， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.⇒4分(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355.⇒6分 ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2(1＋k 2)x 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22. ①⇒8分 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0. ②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k2k 2＋1，x 2x 2＝62k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3. ③⇒10分 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. ⇒11分 由③及k 2>32，可知0<x 2<32，即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1，又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355.⇒13分(1)本题第(1)问为已知椭圆标准方程求椭圆的离心率问题，属于容易题．(2)本题的难点在于第(2)问中确定轨迹方程及方程中各变量的取值范围，本题有一定的难度，要想拿到全分很难，这就应该学会缺步解答．首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，若需要设直线方程，应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l 的斜率不存在时，求出点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355.这是每位考生都应该能做到的．其次，联立直线方程与椭圆方程并设出M ，N ，Q 的坐标，通过2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得到2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22，然后由x 1＋x 2及x 1x 2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到x 2＝1810k 2－3是完全可以做到的，到此已经可以得到10分． 另外，考虑到点Q 在直线l 上，将点Q 坐标代入所设直线方程就能得到10(y －2)2－3x 2＝18，到此便可以得到11分．到此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了．第二招 跳 步 解 答——————————————————————————————————————解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答，如：[例2] (2013·湖北高考)(14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x >－1)的最小值； (2)证明：n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1<n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1； (3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，⎣⎡⎦⎤－32＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S ]的值．(参考数据：8043≈344.7,8143≈350.5,12443≈618.3,12643≈631.7) [尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)·[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0.⇒2分当－1<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数；当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.⇒4分(2)证明：由(1)知，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即(1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故当x >－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1>1＋(r ＋1)x . ①⇒6分在①中，令x ＝1n (这时x >－1且x ≠0)，则有⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1. ②⇒8分 当n >1时，在①中令x ＝－1n (这时x >－1且x ≠0)，类似可得n r >n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1. ③ 且当n ＝1时，③也成立．综合②③得n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1<n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1. ④⇒10分 (3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81,82,83，…，125，得34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得34(12543－8043)<S <34(12643－8143)．⇒12分 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2， 34(12643－8143)≈210.9. 由[S ]的定义，得[S ]＝211.⇒14分本题第(2)问难度较大，但我们可以跳过第(2)问，直接求解第(3)问，这就是所谓的跳步解答．而本题在求解第(3)问时利用了第(2)问的结论，虽然没有证出第(2)问，但第(3)问同样可以得到相应的分数．第三招 辅 助 解 答—————————————————————————————————————— 一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．如：[例3] (12分)如图，动圆C1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．[尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— ————————————————————————————————————————————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.⇒1分由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209，⇒3分 从而x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.⇒5分 从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)设点M (x ，y )，由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①⇒6分 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②⇒7分 由①×②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③⇒9分又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．⇒11分 因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．⇒12分第(2)问要求交点M 的轨迹方程，不易求解，考生可以利用图形的对称性设出A 、B 两点的坐标，再由两点式可写出两直线方程．这类根据图形或题意写出一些点的坐标、方程、公式或正确做出图形等的方法，为辅助解答法，像这种情况，阅卷老师一般会酌情给分．第四招 逆 向 解 答—————————————————————————————————————— 对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．如：[例4] (12分)设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)．(1)若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；(2)求证：对k ≥3有0≤a k ＋1≤a k ≤43. [尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— ————————————————————————————————————————————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧S 22＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，得S 22＝－2S 2， 由S 2是等比中项知S 2≠0，因此S 2＝－2.⇒2分由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2，解得a 3＝S 2S 2－1＝－2－2－1＝23.⇒4分 (2)证明：由题设条件有S n ＋a n ＋1＝a n ＋1S n ，故S n ≠1，a n ＋1≠1且a n ＋1＝S n S n －1，S n ＝a n ＋1a n ＋1－1， 从而对k ≥3，有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋a k －1a k －1－1a k －1＋a k －1a k －1－1－1＝a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1. ① 因a 2k －1－a k －1＋1＝⎝⎛⎭⎫a k －1－122＋34>0且a 2k －1≥0，由①得a k ≥0.⇒7分 要证a k ≤43，由①只要证a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1≤43， 即证3a 2k －1≤4(a 2k －1－a k －1＋1)， 即(a k －1－2)2≥0，此式明显成立，因此a k ≤43(k ≥3)．⇒9分最后证a k ＋1≤a k ，若不然a k ＋1＝a 2k a 2k －a k ＋1>a k ， 又因a k ≥0，故a k a 2k －a k ＋1>1，即(a k －1)2<0，矛盾．因此a k ＋1≤a k (k ≥3)．⇒11分所以，对k ≥3有0≤a k ＋1≤a k ≤43.⇒12分本题对分析问题的能力要求极高，对数学证明的灵活性要求也非常高．本题的一个误区就是试图求出数列的通项公式，在以考查不等式的证明为主的数列试题中，有很多试题是不需要求出其通项公式的(大部分题目也求不出通项公式)，而是根据给出的已知条件直接变换后进行推理论证，在解决与数列有关的不等式问题时，要树立这个思想意识．本题在证明a k ≤43及a k ＋1≤a k 时，直接证明比较困难，但利用反证法，从问题的反面入手就容易多了．。

实用文档文案大全2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合0,1,2M?｛｝，2{|320}Nxxx????，则MN?( )A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}2．设复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi??，则12zz?（）A．5? B．5 C．4i?? D．4i??3．设向量,a b满足||10ab??，||6ab??，则ab??( )A．1 B．2 C．3 D 5 4．钝角三角形ABC的面积是12，1AB?，2BC?，则AC?( ) A． 5 B．5 C．2 D．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．08． B．075． C．06． D．045．6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．1727 B．59 C．1027 D．137．执行右图程序框图，如果输入的,xt均为2，则输出的S?（）实用文档文案大全A．4 B．5 C．6 D．78．设曲线ln(1)yaxx???在点(0,0)处的切线方程为2yx?，则a?（）A．0 B．1 C．2 D．39．设,xy满足约束条件70,310,350.xyxyxy??????????????则2zxy??的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．210．设F为抛物线2:3Cyx?的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于,AB两点，O 为坐标原点，则OAB的面积为（）338 C6332 D9411．直三棱柱111ABCABC?中，90BCA???，MN,分别是1111ABAC,的中点，1BCCACC??，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A．110 B．25 C．3010 D．2212．设函数()3sinxfxm??．若存在()fx的极值点0x满足22200[()]xfxm??，则m的取值范围是（）结束输出S 1M?，3S?开始输入x1k?kt?MMxk?SMS??1kk??是否实用文档????,66,????? B．????,44,????? C．????,22,?????文案大全A．D．????,14,?????第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题13．10()xa?的展开式中，7x的系数为15，则a?________．．(用数字填写答案) 14．函数()sin(2)2sincos()fxxx???????的最大值为_________．．15．已知偶函数()fx在[0,)??单调递减，(2)0f?．若(1)0fx??，则x的取值范围是______．．16．设点0(,1)Mx，若在圆22:1Oxy??上存在点N，使得45OMN???，则0x的取值范围是____．．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a满足11a?，131nn aa???．（Ⅰ）证明1{}2n a?是等比数列，并求{}n a的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n aaa????．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD?平面，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PBAEC∥平面；（Ⅱ）设二面角DAEC??为60°，1AP?，3AD?，求三棱锥EACD?的体积．实用文档文案大全19．（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：(0,3,0) ,2013 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2．9 3．33．64．44．85．25．9（Ⅰ）求y关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：??????121niiinii ttyybtt?????????，??aybt??20．（本小题满分12分）设12,FF分别是椭圆22221xyab??（0ab??）的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且1||5||MNFN?，求,ab．21．（本小题满分12分）已知函数()2xx fxeex????。

2014高考数学（文）轻松突破120分2 1.设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系是________． 解析： 分别由a <0，b >0，c >0，再由b 2－c 2<0得b <c 判断．答案： c >b >a2．设a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为________．解析： 由柯西不等式得(a 2＋b 2)(12＋22)≥(a ＋2b )2，因为a 2＋b 2＝5，所以(a ＋2b )2≤25.答案： 53．已知x 2＋4y 2＋kz 2＝36(其中k >0)且t ＝x ＋y ＋z 的最大值是7，则k ＝________.解析： ∵由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋kz 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋1k ≥(x ＋y ＋z )2，又t max ＝7， ∴36⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋1k ＝49，∴k ＝9. 答案： 94．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x 、y 、z 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．解析： 由柯西不等式得(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9，由题意|a －1|≥3，∴a ≥4或a ≤－2.答案： a ≥4或a ≤－25．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2. 证明： 要证原不等式成立，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， 即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 只需证2·a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 即证2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋2， 只需证a 2＋1a2≥2. 由基本不等式知a 2＋1a2≥2，上式显然成立． ∴原不等式成立．6．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明： 因为x ，y ，z 均为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y， 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 7．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． 解析：∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2， ∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3.8．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．证明： 由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]>0；所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．9．设x ＋y ＋z ＝1，求F ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．【解析方法代码108001173】解析： 由柯西不等式，∵1＝(x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1(2x 2＋3y 2＋z 2)＝116(2x 2＋3y 2＋z 2)， ∴F ＝2x 2＋3y 2＋z 2≥611，当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1， 且x ＋y ＋z ＝1，即x ＝311，y ＝211，z ＝611时，F 有最小值611. 10．已知a 、b 、c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2θ<c .求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c .证明： 由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c . 11．设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时， 求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2. 证明： 由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝||a ||x ＋||b ||x 2<|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |<1＋|x ||x |＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2成立． 12．已知n ∈N *，求证：n n ＋12<1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n ＋122.【解析方法代码108001174】 证明： ∵k <k k ＋1<k ＋k ＋12＝12(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )， 若记S n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1，则S n >1＋2＋…＋n ＝n n ＋12， S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2＋2n )<n ＋122， 故原不等式成立．13．求证：32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明： ∵k (k ＋1)>k 2>k (k －1)，k ≥2，∴1k k ＋1<1k 2<1k k －1， 即1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k， 分别令k ＝2,3，…，n 得12－13<122<1－12； 13－14<132<12－13； …1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－1n， ∴32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n. 14．求三个实数x ，y ，z 使得它们同时满足下列方程2x ＋3y ＋z ＝13,4x 2＋9y 2＋z 2－2x ＋15y ＋3z ＝82.解析： 将两方程的左右两边分别相加，变形得(2x )2＋(3y ＋3)2＋(z ＋2)2＝108，由第一个等式变形得2x ＋(3y ＋3)＋(z ＋2)＝18，于是由柯西不等式得，182＝[1×(2x )＋1×(3y ＋3)＋1×(z ＋2)]2≤(12＋12＋12)×[(2x )2＋(3y ＋3)2＋(z ＋2)2]＝3×108＝182，由不等式中等号成立的条件可知：2x ＝3y ＋3＝z ＋2＝6，故原方程的解为：x ＝3，y ＝1，z ＝4.。