2014年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A．y 在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ． 4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=， 故选C ． 5． D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6． D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7． D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =， 设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D AB C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．故23S S =综上，选项D 正确． 8． B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( )A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}【测量目标】集合的基本运算(交集).【考查方式】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】{}0,2A = ，{02}{012}{02}A B ∴ ＝，，，＝，，故选D. 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A.y = 2B.(1)y x =-C.2xy -= 0.5D.l o g (1)y x =+【测量目标】基本初等函数的性质(单调性).【考查方式】初等函数在区间内的单调性. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A. 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）A.在直线2y x =上B.在直线2y x =-上C.在直线1y x =-上D.在直线1y x =+上【测量目标】曲线的参数方程.【考查方式】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)1x y ＋＋－＝,其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线2y x ＝－上，故选B.4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.7 B.42 C.210 D.480zxm9第4题图【测量目标】选择结构和循环结构程序框图.【考查方式】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】1765210S ⨯⨯⨯＝＝，故选C. 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >“”是{}n a “”为递增数列的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件，等比数列的性质. 【考查方式】结合数列的性质考查充分、必要条件. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.6.若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A.2B.-2C.12 D.12- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x ＝－无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.zxm13第6题图7.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A.123S S S ==B.12S S =且 31S S ≠C.13S S =且 32S S ≠D.23S S =且 13S S ≠【测量目标】空间直角坐标系，投影.【考查方式】给出三棱锥中各点的坐标，求其在坐标平面的投影面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则11AD BD ＝2AB ＝，∴11S 22=22=⨯⨯，221=22OCD S S =⨯=△，331=22OAD S S =⨯=△,故选D.8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.满足条件的最多有多少学生（ ）A.2B.3C.4D.5 【测量目标】排列组合数的应用.【考查方式】利用排列与组合，求出其中的不同选法. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，故选B. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】1-【试题解析】()()()22221i 1i 2i =11i 1i 1i 2⎡⎤++⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 10.已知向量a 、b 满足1=a ，()2,1=b ，且()0λλ+=∈R a b ，则λ=________.【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求λ的值.【难易程度】容易【试题解析】0λ ＋a b =，λ∴=－a b，||||λ∴===b a 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【难易程度】容易【参考答案】22=1312x y - 2y x ±＝ 【试题解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2，2)代入得2222=3=4λ--，∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x ±＝. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【测量目标】等差数列性质.【考查方式】考查等差数列的等差中项. 【难易程度】容易 【参考答案】8【试题解析】789830a a a a > ＋＋＝，710890a a a a <＋＝＋，8900a a ∴><，，∴n ＝8时，数列{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【测量目标】乘法原理，排列数的应用. 【考查方式】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【难易程度】容易 【参考答案】36【试题解析】321323A A A =623=36⨯⨯.14. 设函数()sin()f x A x ωϕ=+，（A ωϕ，，是常数，0,0>>ωA ）.若)(x f 在区间ππ[,]62上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则)(x f 的最小正周期为________. 【测量目标】二次函数的图象与周期性.【考查方式】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【难易程度】中等 【参考答案】π【试题解析】结合图像得π2πππ+2326=422T +-，即πT ＝.zxm33第14题图 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC △中，π,83B AB ∠==，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD . （1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.zxm10第15题图【测量目标】三角函数的基本关系式，正弦定理、余弦定理.【考查方式】考查了三角函数的两角和差公式，及给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量. 【难易程度】中等【试题分析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠117272=-⨯14=. （2）在ABD △中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=， 所以7AC =.16. （本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率；（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）. 【测量目标】独立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【难易程度】中等 【试题分析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C = AB AB ，,A B 独立根据投篮统计数据，32(),()55P A P B ==. ()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.zxm34第17题图（1）【测量目标】线线平行的判定，线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，因为AB ⊂平面ABF ，且ABF PDE FG 平面平面=，所以AB ∥FG .（2）因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,BC(1,1,0)=.设平面ABF 的法向量为(,,)x y z =n ，则AB AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)=-n ，设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则1sin cos ,2BC BC BCα⋅=== n n n .设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH ⋅=n ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333所以2PH ==.zxm12第17题图（2）18.（本小题13分）已知函数π()cos sin ,[0,]2f x x x x x =-∈.(1)求证：()f x ≤0；(2)若sin x a b x <<在π(0,)2上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，证明函数.第(2)问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【难易程度】较难【试题分析】(1)由()cos sin f x x x x =-得'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-.因为在区间π(0,)2上'()sin 0f x x x =-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f =≤. (2)当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”，“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”.令()g x sin x cx =-，则'()cos g x x c =-.当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立.当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，'()g x cos 0x c =-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()g x (0)0g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈，使得'0()g x 0cos x c =-0=. ()g x 与'()g x 在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g =-≥，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()<0g x 对任意π(0,)2x ∈恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1. 19.（本小题14分） 已知椭圆2224C xy +=：，（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明你的结论.【测量目标】椭圆的简单几何性质、曲线交点坐标求法,直线与曲线的位置关系.【考查方式】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题分析】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率c e a ==. （2） 直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅= ，即0020tx y +=，解得002y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C的方程，得t =， 故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，002y t x =-,故d === 此时直线AB 与圆222x y +=相切.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=++++ 2≤k ≤n ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++ 表示1()k T P -和12k a a a +++ 两个数中最大的数.（1） 对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值;（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小;（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.【测量目标】数学概念的新定义.【考查方式】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小.【难易程度】较难【试题分析】（1）1()257T P =+=，{}21()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+=8.（2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++,2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++,因为c d b c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以2()T P ≤2(')T P . 当m =d 时，2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++,因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++++≤所以2()T P ≤2(')T P . 所以无论m =a 还是m =d ，2()T P ≤2(')T P 都成立.（3）数对序列P ：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10， 2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52.。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。

每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。

每小题5分。

共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
11
12
13
14。

2014年高考北京卷数学理试题及答案解析一、选择题1. [2014•北京理卷]1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A . 2.[2014•北京理卷]下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D. 3.[2014•北京理卷]曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B【解析】曲线方程消参化为()()12122=-++y x ，其对称中心为()2,1-，验证知其满足x y 2-=.4.[2014•北京理卷]当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】2105671=⨯⨯⨯=S . 5.[2014•北京理卷]设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当01<a 时，1>q 数列{}n a 递减；01<a 时，数列{}n a 递增，10<<q . 理数6.E5[2014•北京理卷]若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.[2014•北京理卷]在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.[2014•北京理卷]有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件. 二、填空题9.[2014•北京理卷]2=-+y x 02=+-y kx A=-x y复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.[2014•北京理卷]已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+λ，∴-=λ，∴515||||===a b λ. 11.[2014•北京理卷]设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.【答案】 112322=-y x ；x y 2±=【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=. 12.[2014•北京理卷]若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大. 13.[2014•北京理卷]把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A .14.[2014•北京理卷]设函数)sin()(ϕω+=xxf，0,0>>ωA ，若)(xf在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππfff，则)(xf的最小正周期为________.【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T，即π≥T.15.[2014•北京理卷]如图，在ABC∆中，8,3==∠ABBπ，点D在BC边上，且71cos,2=∠=ADCCD（1）求BAD∠sin（2）求ACBD,的长解：（I）在ADC∆中，因为17COS ADC∠=，所以43sin7ADC∠=.所以sin sin()BAD ADC B∠=∠-∠sin cos cos sinADC B ADC B=∠-∠=1433237121734=⨯-⨯.（Ⅱ）在ABD∆中，由正弦定理得AA-6π2π32π338sin 143sin 437AB BAD BD ADB ⨯⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=, 所以7AC =.16.[2012•北京理卷]李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）.解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =（ ）（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02AB =,，故选C ．（2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）（A）y = （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ 【答案】A【解析】对于A，y =[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意，对于C ，2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．（3）【2014年北京，理3，5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京，理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．（6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，，故23S S ==D ．（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一 样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个，故选B ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2++===--+，故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ= ．【解析】由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=⋅，由(21)b =，，可得5b =，又||1a =，故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值． （13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑，共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14）【2014年北京，理14，5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234T T -=⇒=． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=．所以11sin sin()sin cos cos sin 27BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=- （2）在ABD ∆中，由正弦定理得8sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =． （16）【2014：（1 （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较()E X 与x 的大小（只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2）李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=，客场中命中率超过0.6概率 225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=．（3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．AM ⊂面ABF ，即AB ⊂面ABF ，面ABF 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,1,1F ,()0,0,2P ，设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =，()1,0,0AB =，()0,1,1AF =，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，∴()0,1,1n =-，又()1,1,0BC =，∴1sin ,2BC n ==，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x t y tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴()2,,22H t t t -，又H ∈面ABF ，()21,,22BH t t t =--，∴0n BH ⋅=，∴220t t +-=，∴23t =，∴422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴42PH ⎛= ．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解：（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时，因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，D()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1． 解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明：()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知：b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c 故椭圆C 的离心率2c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022yy x t x t --=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线ABAB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k =-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫ ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,，由点A 的坐标的对称性知，取点A ⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x k k -=+=++，即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 距离d ==，此时直线AB 与圆222x y +=相切．综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．解法三：①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时22OA OB =,=，AB =，原点到直线AB的距离OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A xy B x y ,,,，则1OA，2OB ==，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝；于是A OA=，OB =，21k AB +=OA OBd AB⋅===直线AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．（20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最 小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P =+=,()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=． （2）当m a =时：()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++；因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上，这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11，()11,8，()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =，()552T P =．。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2xC y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.C 1.D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小学科网（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC∠=，所以sin ADC ∠=。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）房山区良乡中学 任宝泉录入整理一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2 2.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A．y =B.2(1)y x =-C.2x y -=D.0.5log (1)y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上 B.在直线2y x =-上 C.在直线1y x =-上 D.在直线1y x =+上4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2 B.2- C.12 D.12- 7.在空间直角坐标系O x y z 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，(1,1D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S == B. 12S S =且31S S ≠ C. 13S S =且32S S ≠ D. 23S S =且13S S ≠ 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种。

若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y B .2(1)y x =- C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+3.曲线1cos ,2sin ,x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（..为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B .在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D .在直线1y x =+上4.当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .7B .42C .210D .840 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若x ,y 满足20,20,0,x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为( )A .2B .2-C .12D .12-7.在空间直角坐标系O xyz -中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,(0),2,0C,(D .若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21S S =且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2 人B .3 人C .4 人D .5 人第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.9.复数21i ()1i+=- . 10.已知向量a ,b 满足|a |1=,b (2,1)=,且λa +b =0()λ∈R ,则||λ= .11.设双曲线C 经过点(2,2),且与2214y x =-具有相同渐近线,则C 的方程为 ；渐近线方程为 .12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0A >,0)ω>.若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==-,则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1cos 7ADC ∠=.（Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求BD ,AC 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________16.（本小题满分13分）（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.（只需写出结论）17.（本小题满分14分）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE-中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.（Ⅰ）求证：AB FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE,且PA AE＝,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长. 18.（本小题满分13分）已知函数()cos sinf x x x x=-,π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求证：()0f x≤；（Ⅱ）若sin xa bx<<对π(0,)2x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C：2224x y+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线2y=上,且OA OB⊥,试判断直线AB与圆222x y+=的位置关系,并证明你的结论.20.（本小题满分13分）对于数对序列P：11(,)a b,22(,)a b,⋅⋅⋅,(),n na b,记111()T P a b=+,()k kT P b=+ 112max{(),}k kT P a a a-+⋅⋅⋅++(2)k n≤≤,其中112(ma}x{),k kT P a a a-++⋅⋅⋅+表示1()kT P-和12ka a a++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（Ⅰ）对于数对序列P：(2,5),(4,1),求1()T P,2()T P的值；（Ⅱ）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(,)a b,(,)c d组成的数对序列P：(,)a b,(,)c d和P'：(,)c d,(,)a b,试分别对m a=和m d=两种情况比较2()T P和2()T P'的大小；（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使5()T P最小,并写出5()T P的值.（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C 【解析】{}0,2A =，{0,2}{0,1,2}{0,2}AB ∴＝＝，故选C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在（0，1）上递减，选项C ，D 中的函数在(0,)+∞上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1x y ++-，其对称中心点为(1,2)-，验证知其在直线2y x =-上，故选B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1765=210S ⨯⨯⨯，故选C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质 6.【答案】D【解析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划 7.【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为1D 、2D 、3D ，则11AD BD ==2AB =， ∴11S 22=22=⨯⨯，22122OCD S S ==⨯=△，33122OAD S S ==⨯△，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系 8.【答案】B【解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选B. 【提示】分别用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得A ，B ，C 的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】1-【解析】22221i (1i)2i 11i (1i)(1i)2⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=⎣⎦. 【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【解析】0a b λ＋=，a b λ∴=-，||5||||b a λ∴===. 【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求||λ的值. 【考点】向量的线性运算11.【答案】22=1312x y -2y x ±＝【解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2,2)代入得2222=3=4λ--， ∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x =±.【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】8 【解析】7898=30a a a a ++>，710890a a a a +=+<，8900a a ∴><，，∴8n =时，数列{}n a 的前n 项和最大.【提示】可得等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论. 【考点】等差数列性质 13.【答案】36【解析】32132362336A A A =⨯⨯=.【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】π【解析】结合图像得π2πππ2326+=422T +-，即πT ＝.【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【考点】二次函数的图象与周期性 三、解答题 15.【答案】（1）14（2）37BD AC ==，【解析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=（2）在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-22185285492=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =.【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5 （2）1325（3）EX x =【解析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C ABAB =，A B ，独立根据投篮统计数据，32()()55P A P B ==，.()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB DE ∥.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB PDE ∥平面，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以AB FG ∥.（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α， 则1sin |cos ,|2|||n BC n BC n BC α===|.设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-， 所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH =，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422,,333⎛⎫⎪⎝⎭所以2PH =.【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【考点】直线与平面所成的角18.【答案】（1）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-.因为在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f ≤=.（2）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”，“sin x b x <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()g x sin x cx =-，则()cos g x x c '=-.当0c ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时，因为对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()(0)0g x g <=对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得00()cos 0g x x c '=-=.()g x 与()g x '在区间π0,⎛⎫⎪上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c≥时，()<0g x 对任意π0,2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1 【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围19.【答案】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率2c e a ==（2）直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C 的方程，得t =AB 的方程为x =.圆心O 到直线AB 的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x ty x t y ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1）12()7()8T P T P ==， （2）22()()T P T P '≤（3）1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【解析】（1）1()257T P =+=，21()1max{(),24}T P T P =++1max{7,6}=+=8. （2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++，因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2()T P '. 当m =d 时，2()T P '{}max ,c d b c a b =++++c a b =++，因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2()T P '. 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立.（3）数对序列P ：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的5()T P 值最小， 1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（北京卷）数学试题1、【题文】已知集合，，则（）A．B．C．D．2、【题文】下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．3、【题文】曲线，（为参数）的对称中心（）A．在直线上B．在直线上C．在直线上D．在直线上4、【题文】当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．7 B．42 C．210 D．8405、【题文】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6、【题文】若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2 B．C．D．7、【题文】在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．B．且C．且D．且8、【题文】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人9、【题文】复数 .10、【题文】已知向量、满足，，且（），则 .11、【题文】设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为；渐近线方程为 .12、【题文】若等差数列满足，则当时，的前项和最大.13、【题文】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.14、【题文】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .15、【题文】如图，在中，，点在边上，且，.（1）求；（2）求，的长.（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17、【题文】如图，正方体的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，. （1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.18、【题文】已知函数.（1）求证：；（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.19、【题文】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.20、【题文】对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数.（1）对于数对序列，求的值；（2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和两种情况比较和的大小；（3）在由五个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.(只需写出结论).。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2}2. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上 【答案】B4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．840【答案】C 【解析】试题分析学科网：当输入7=m 、3=n ，判断框内的条件为5<k ？所以进入循环的k 的值依次为7,6,5，因此执行k S S ⋅=后，则由210567=⨯⨯=S .故选C. 考点：程序框图，容易题.5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】6.若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ） A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.9.复数21()1i i+=- . 【答案】1- 【解析】试题分析：i i i i i i i ==+-+=-+22)1)(1()1(112，所以1)11(22-==-+i ii . 考点：复数的运算学科网，容易题.10.已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .11.设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 . 12.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8 【解析】试题分析：由等差数列的性质，89873a a a a =++，08>a ，又因为0107<+a a ，所以098<+a a 所以09<a ，所以78S S >，98S S >，故数列}{n a 的前8项最大. 考点：等差数列的性质，前n 项和的最值，容易题.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】3614.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分） 如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.【答案】（1）1433；（2）7. 【解析】16.（本小题满分13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小（只需写出结论）17．（本小题满分分）如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长. （2）因为⊥PA 底面ABCDE ，所以AB PA ⊥，AE PA ⊥，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,1(),0,0,0(B A ，)2,0,0(),0,1,2(P C ，)1,1,0(F ，)0,1,1(=BC ，设平面ABF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0AF AB n n ，即⎩⎨⎧=+=00z y x ，令1=z ，则1-=y ，所以)1,1,0(-=n ， 设直线BC 与平面ABF 所成的角为α，则21|||||||,cos |cos =⋅•=><=BC BC BC n n n α， 因此直线BC 与平面ABF 所成的角为6π，18. （本小题满分13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈.（1）求证：()0f x ≤（2）若sin x a b x <<对(0,)2x π∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 当0≤c 时，0)(>x g 对任意)2,0(π∈x 恒成立，当1≥c 时，因为对任意)2,0(π∈x ，0cos )(<-='c x x g ，所以)(x g 在区间]2,0[π上单调递减，从而0)0()(=<g x g 对任意)2,0(π∈x 恒成立.当10<<c 时 ，存在唯一的)2,0(0π∈x 使得0cos )(00=-='c x x g ，)(x g 、)(x g '在区间)2,(π上的情况如下表：场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场52420客场52512x),0(0x 0x)2,(0πx)(x g ' +-)(x g↑↓19.（本小题满分14）已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论. 【答案】（1）22；（2）直线AB 与圆222x y +=相切. 【解析】试题分析：（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定学科网2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=•OB OA ，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或考点：椭学科网圆的性质，直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分13分） 对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112(){(),}(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++≤≤，其中112{(),}k k Max T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b '，试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小；（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.(只需写出结论).。

课标理数【2014·北京理卷】一、选择题1. [2014•北京理卷]1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0== B A . 2.[2014•北京理卷]下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D. 3.[2014•北京理卷] 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B【解析】曲线方程消参化为()()12122=-++y x ，其对称中心为()2,1-，验证知其满足x y 2-=.4.[2014•北京理卷]当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】2105671=⨯⨯⨯=S . 5.[2014•北京理卷]设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当01<a 时，1>q 数列{}n a 递减；01<a 时，数列{}n a 递增，10<<q . 理数6.E5[2014•北京理卷]若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.[2014•北京理卷]在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.[2014•北京理卷]有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件. 二、填空题9.[2014•北京理卷]2=-+y x 02=+-y kx A=-x y复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.[2014•北京理卷]已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.[2014•北京理卷]设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=. 12.[2014•北京理卷]若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大. 13.[2014•北京理卷]把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A . 14.[2014•北京理卷]设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .15.[2014•北京理卷] 如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠=1433237121734=⨯-⨯. （Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理得AA-6π2π32π8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=, 所以7AC =.16.[2012•北京理卷]李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）.解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合 ， ,则 （ ）A{0} B {0，1} C{0,2} D{0,1,2}2.下列函数中在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A. y=x+1B.y=（x-1）2C. y=2-xD. log 0.5（x+1）3. 曲线 （θ为参数）的对称中心（A.在直线y=2x 上B.在直线y= -2x 上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上4.当m=7，n=3时执行如图所示程序框图 输出的s 值为（ ）A.7B.42C.210D.8405.设{ }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{ }为递增数列”的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若x ，y 满足 且z=-y-x 的最小值为-4，则k 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D.A=x|x 2-2x=0{}B=0,1,2{}A∩B {x=-1+cos θy=2+sin θαn αn {x+y-2≥0kx-y+2≥0y ≥012-127.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A （2，0，0）B(2，2，0 ) C(0，2，0) D(1，1， )若 分别表示三棱锥D-ABC 在xOy yOz zOx 坐标平面上正投影图形的面积，则（ ） A. B. C. D.8.有语文数学两个学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种，若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A同学比B 同学成绩好”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的，问满足条件的最多有多少学生（ ） A.2 B.3 C.4 D.5一、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数 =10.11. 12. 13.14.2S 1S2S 3S 1=S 2=S 3S 1=S 3且S 3≠S 2S 1=S 2且S 3≠S 1S 2=S 3且S 1≠S 31+i 1-i ()2已知向量a 、b ，b=（2,1），且λa+b=0，（λ∈R ）则λ=设函数f(x)=Asin(wx+φ)（A ，w ，φ为常数A>0φ>0）且在π6，π2[]上单调，f π2()=f 2π3()= - f π6()，则f （x ）最小正周期PA=AE20（小题13分）2014年北京高考数学（理）参考答案一、 选择题 1. 【答案】C【解析】解：集合{}{}2200,2A x x =-==.故{}0,2A B ⋂=，选C ．2. 【答案】A【解析】解：A.y =[)1,-+∞上为增函数，符合题意.B.()21y x =-在()0,1上为减函数，不合题意. C.2xy -=为(),-∞+∞上的减函数，不合题意.D.()0.5log 1y x =+为()1,-+∞上的减函数，不合题意. 故选A3. 【答案】B【解析】解：参数方程1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩所表示的曲线为圆心在()1,2-，半径为1的圆.其对称中心为圆心()1,2-.逐个带入选项可知，()1,2-在直线2y x =-上，即选项B .4. 【答案】C【解析】解：当m 输入的7,3m n ==时，判断框内的判断条件为5k ＜.故能进入循环的k 依次为7，6，5，顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C.5. 【答案】D【解析】解：对于等比数列{}n a ，若1q ＞，则当10a ＜时有{}n a 为递减数列.故1q ＞不能推出“{}n a 为递增数列”.若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a ＜且01q ＜＜，推不出1q ＞.综上，“1q ＞”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D.6. 【答案】D【解析】解：若0,k z y x =-≥没有最小值，不合题意.若0k ＜，则不等式组所表示的平面区域如图所示. 由图可知，z y x =-在点2,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭处取最小值. 故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确7. 【答案】D【解析】解：D ABC -在平面上的投影为ABC ∆，故12S =.设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D A B C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD ∆和3OAD ∆.∵(2D，(3D .故23S S =.综上，选项D 正确.8. 【答案】B【解析】解：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩得A 的学生最多只有1个.语文成绩得B 的也最多只有一个.得C 的也最多只有一个，因此学生最多只有3个. 显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个.二、填空题9. 【答案】1-【解析】解：复数()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2++===--+，故221i i 11i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭．10.【解析】解：由λ+=0r r a b ，有λ=-r rb a ，于是λ=⋅u u r r b a ，由()2,1=rb ，可得=r b 1=r a ，故λ=．11. 【答案】221312x y -=；2y x =±【解析】解：双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±；设C ：224y x m -=，因为C 过()2,2，所以代入并解得3m =-，故C 的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．12. 【答案】8【解析】解：根据等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是8890,0a a a >+<，即890,0a a ><，所以8798,S S S S ><， 故8S 为{}n a 的前n 项和中最大值．13. 【答案】36【解析】解：因为A 与B 相邻，所以应用捆绑法，将A 和B 当成一个整体捆绑成一个元素，又因为A 与C 不相邻，所以分两种情况；（1）C 与A 和B 这个整体相邻，这时应采用插空法，摆法有223223A A A 24⋅⋅=种；（2）B 正好在A 与C 之间，这是将A 、B 、C 当成一个元素，摆法有2323A A 12⋅=种；故不同的摆法有122436+=种14. 【答案】π【解析】解：由()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知， ()f x 有对称中心1πππ,0,02263⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴1π2π7π22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；故()f x 的周期为7ππ4π123⎛⎫-=⎪⎝⎭． 三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分） 【解析】（1）sin ADC ∠==sin sin()sin cos cos sin 11727214BAD ADC B ADC B ADC B∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=-⨯=（2）在ABD ∆中，sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠∠==解得：3,7BD AD == 在ACD ∆中，222222cos 172272497AC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=7AC ∴=16．（共13分）解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102P A ==．（2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率225P =故()()()122133221311=+=555525P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面//AM PED ∴面,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面ABF PED FG =面面Ç//AB FG ∴（2） 如图建立空间坐标系A x y -，各点坐标如下：(0,0,0),E (0,2,0),B (,1),P (0,0,2)A 设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又(1,1,0)BC =，1sin ,2BC n ∴<>==直线BC 与平面ABF 所成角为6π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-(21,,22)H t t t ∴--又,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭|PH|=2∴18．（共13分）解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()sin x g x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00h x h <=， 所以()s i n 0h x x bx =-<恒成立．当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒>与sin x b x<恒成立矛盾， 综上，1b …，故min 1b =．19．（共14分）（1）椭圆的标准方程为：22142x y +=，故2,a b ==，则c =故离心率e c a ==；（2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y k x =，OA OB ⊥,○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，原点到直线AB 的距离均为故满足直线AB 与圆222x y +=相切； ○2当0k ≠时，直线OB 方程为1y x k=-， 联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()221+24k x =，故,A ⎛⎫或,⎛⎫， 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，由A 的对称性，那么不妨去点,A ⎛⎫进行计算，于是直线AB 方程为))2222y x k x k k-+=++，((21+220k x y k -++=原点到直线AB 的距离d =，此时与圆222x y +=相切；综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．20．（共13分）解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；（2）当m a =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； ()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。

2014 年北京高考数学（理科）试题一 .选择题（共 8小题，每题 5 分，共 40分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）1.已知会合A{ x | x22x0}, B{0,1, 2} ，则A B ()A.{0}B.{ 0, 1}C.{ 0, 2}D.{ 0,1, 2}2.以下函数中，在区间(0,) 上为增函数的是（）A.y x1B. y( x12)C.y 2 x D . y l o 0g. 5x( 1 )3.曲线x1cos（为参数）的对称中心（）y2sinA. 在直线y2x 上B.在直线y2x 上C. 在直线y x1上D.在直线y x 1上4.当m7, n 3 时，履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A.7B.42C.210D.8405.设{ a n}是公比为q的等比数列，则" q1" 是 "{ a n }" 为递加数列的（）A. 充足且不用要条件B. 必需且不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件x y206.若x, y知足kx y20 且z y x 的最小值为-4，则 k 的值为（）y0A.2B.21D .1 C .2 27.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 A 2,0,0 ， B 2,2,0 ， C 0,2,0，D 1,1, 2，若S1， S2， S3分别表示三棱锥D ABC 在xOy，yOz， zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）S1S2S3（B）S1S2且 S3S1（C）S1S3且 S3S2（D）S2S3且 S1S38.有语文、数学两，成绩评定为“优异”“合格”“不合格”三种 .若A同学每科成绩不低于 B 同学，且起码有一科成绩比B高，则称“ A 同学比 B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有随意两个人语文成绩同样，数学成绩也同样的 .问知足条件的最多有多少学生（）（A）2（B）3（C）4（D）5二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，共30 分）12i________.9.复数i110.已知向量a、b知足a 1 ，b2,1，且 a b 0R ，则________.11.设双曲线C经过点2,2，且与 y2x21拥有同样渐近线，则 C 的方程为________；4渐近线方程为 ________.12.若等差数列a n知足a7a8 a90 ， a7a10 0 ，则当 n________时a n的前n项和最大 .13.把 5 件不一样产品摆成一排，若产品 A 与产品 C 不相邻，则不一样的摆法有_______种.14.设函数 f ( x) sin( x) ， A0,0 ，若 f (x) 在区间 [6,] 上拥有单一性，且2f f 2，则 f (x) 的最小正周期为________.f236试题剖析：平等比数列{ a n} ，若 q 1 ，则当 a1 ,0 时数列 { a n} 是递减数列；若数列{ a n } 是递加数列，则二．填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分. 请将答案天灾答题卡对应题的位置上，答错地点，书写不清，含糊其词均不得分.9.【答案】 1【分析】试题剖析：1i(1 i )22i i ，因此 (1i )2i 21. 1i(1 i )(1 i )21i10.【答案】 5【分析】三．解答题（共 6 题，满分80 分）15. （本小题 13 分）如图，在ABC 中，B, AB 8，点D在BC边上，且 CD1 2,cos ADC37（ 1）求sin BAD（2）求BD, AC的长16.（本小题 13 分） .李明在 10 场篮球竞赛中的投篮状况以下（假定各场竞赛相互独立）：（1）从上述竞赛中随机选择一场，求李明在该场竞赛中投篮命中率超出0.6 的概率.（2）从上述竞赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超出0.6 ，一场不超出0.6 的概率.（3）记x 是表中10 个命中次数的均匀数，从上述竞赛中随机选择一场，记X为李明在这竞赛中的命中次数，比较E(X)与x 的大小（只要写出结论）17.（本小题14 分）如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM ,MD的中点，在五棱锥P ABCDE 中，F为棱PE 的中点，平面ABF与棱PD , PC 分别交于点G, H.（ 1）求证：AB // FG；（ 2）若PA底面ABCDE，且AF PE ，求直线BC 与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长 .18.（本小题13 分）f (x)xcosxsin,[0, ]，已知函数x x2（ 1）求证：f ( x)0 ；（ 2）若a sin x b在 (0,) 上恒建立，求a的最大值与 b 的最小值.x219.（本小题14 分）已知椭圆 C : x2 2 y2（ 1）求椭圆C的离心率（ 2）设O为原点，若点.4 ，A 在椭圆C上，点B 在直线y 2 上，且OA OB ，求直线AB与圆x2y2 2 的地点关系，并证明你的结论.20.（本小题13 分）关于数对序列P(a1,b1),( a2,b2 ),,( a n, b n ) ，记T1(P)a1b1，T k ( P)b k max{T k 1(P), a1a2a k }(2k n) ，此中max{T k 1( P), a1a2a k }表示 T k 1(P)和 a1a2a k两个数中最大的数，（ 1）关于数对序列P(2,5), P(4,1) ，求 T1 (P),T2 (P) 的值.（ 2）记m为a,b,c, d四个数中最小值，对于由两个数对(a, b),( c, d )组成的数对序列P(a,b),( c,d ) 和 P '(a,b),( c, d) ，试分别对m a 和m d 的两种状况比较T2 ( P) 和 T2 (P ') 的大小 .（ 3）在由 5 个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)构成的全部数对序列中，写出一个数对序列P 使 T5( P) 最小，并写出 T5 (P) 的值.（只要写出结论）.。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函 数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x=+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的 最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标 平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在 区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小 （只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的 最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明 你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组 成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。