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第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
硕士研究生课程弹塑性力学IIC
弹塑性力学
第七、八讲平面问题直角坐标解法
同济大学地下建筑与工程系
目录
§6.1平面问题的基本方程
§6.2应力函数－逆解法与半逆解法
§6.3一些例子(矩形梁、水坝) *§6.4三角级数解
平面应力与平面应变问题
水坝滚柱外力（体力、面力）平行于横截面作
方向不变化。
方向不变化。
厚壁圆筒如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z 轴。
沿z 方向都不变化，
任一横截面均可视为对称面
水坝
()
(y x z σσνσ+−=——仅为x 、y 的函数。
煤矿巷道的变形与破坏分析、挡土墙、重力坝等。
0≠)
0(,==zy zx xy z τττσ
y 无关。
性常数不同。
⎠∂y x
（6-4）（6-11）
+X=0
+Y=0
0,0,,,0
x y xy x y xy Xx Yy
Xx Yy σστσστ===−−=−=−=或
§6.2 平面问题应力解法4
应力函数的引入
（c）
(j )
(k )(6-12)
2222222222,,,,x y xy x y xy U x U y U x y Xx Yy
U x Xx U y Yy U x y
σστσστ=∂∂=∂∂=−∂∂∂−−=∂∂−=∂∂−=−∂∂∂或
右边界：b f c f y x −==,2
结论：二次式能解决矩形板受均匀拉压力或剪力的问题
右边界：6,0
x y f dy f ==
结论：
个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。
)(,12)2
2
2=−==−=−=l x xy y l x x f ay τσ,0,22
223
===−=∫∫−−h h x h h y S ydy f M dy f F ah dy 在左右边界上：
2
20
)(,122
2
2==−==l x xy y l f ay τ0
,0,22
23
=====∫∫−−h h x h h y S x ydy f M dy f F ah dy f
半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
•作业6-7、6-9。
