组合数学复习总结

组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题 思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型2 分选问题和选排问题 思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C . （3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型3 平均分组和分配问题 思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以mm A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A种。

组合数学归纳组合数学组合数学归纳第一章排列和组合§1.1计数的基本原则一、相等原则二、加法原则三、乘法原则§1.2 排列一、n 元集的r-排列 1、n 元集的r-排列个数：()!!n n r -2、n 元集的全排列个数：!n 二、n 元集的r-可重复排列 1、n 元集的r-可重复排列个数：r n 三、多重集的排列1、多重集{}1122,,....,k k M n a n a n a =的全排列数为：()1212......!k k n n n n n n +++2、多重集{}1122,,....,k k M n a n a n a =的r-子集的全排列个数：⑴列出多重集M 的r- 子集：12,,...,s M M M ⑵分别求出多重集i M 的全排列个数，再求和§1.4 组合一、n 元集的r-组合1、n 元集的r-组合个数：()!!!n n r r n r ??= ?-??二、n 元集的r-可重复组合1、n 元集的r-可重复组合个数：1n r r +-??2、不定方程12...n x x x r +++=的非负整数解的个数：1n r r +-??3、不定方程12...n x x x r +++=的正整数解的个数：1r r n -??-??三、组合数的基本性质1.1、n n k n k = ? ?- 1.2、111n n n k k k --=+ ? ? ?-1.3、11n n n k k k -= ? ?- 1.4、11n n n k k k k -+= ? ?-1.5、1n n n k k n k -= ? ?-2、n m n n k m k k m k -= ??? ???-四、多项式定理1、多项式定理：()12112122...12(0,1,2...,)!......!!...!k k k i nn n n k n n n nk n i k n x x x x x x n n n +++=≥=+++=∑2、二项式定理：()0nnk n kk n x y x y k -=??+=∑ 3、推论：()01nnk k n x x k =??+=∑4、推论1：()0112nnn k n k =??=+=∑推论2：()()01110nk nk n k =??-=-=∑五、组合恒等式（e.g.）例1.18（P24） 01ki n i n k i k =--= ? ?-∑例1.19（P25） ()110nkk n k k =??-=∑例1.20（P25） ()10112111nn k n k k n +=??=- ?++??∑例1.21（P25） ()1,;10,.nn kk mn k n m k m n m -==-=? >∑若若例1.22（P26） 11ns m s n m m =+= ? ?+∑例1.23（P26） 0rk n m n m k r k r =+= ??? ?-∑ 202nk n n k n == ? ?∑ 例1.24（P27） () 11111k nn k k n k kk-==-??= ∑∑ 例1.25（P28） 10211n k n n n k k n -== ??? ?+-??∑§1.5 二项式反演公式1、二项式反演公式：若nn k k s n a b k =??= ∑，()n s ≥ 那么()1n n k n k k s n b a k -=??=-∑，()n s ≥.第二章容斥原理及其应用1、容斥原理：⑴设S 是有限集，(),1,2,...,i A S i n ?=，则()12111 (1)1...k k n nk i i i i k i i ni A A A A -=≤<<≤==-∑∑⑵设S 是有限集，(),1,2,...,i A S i n ?=，则()12111 (1)1...k k n nki i i i k i i ni S A S A A A =≤<<≤=-=+-∑∑⑶设S 是有限集，12,,...,n a a a 是n 个性质，以()12...k i i i N a a a 表示S 中同时具有性质12,,...,n a a a 的元素的个数，以()12''...'k i i i N a a a 表示S 中同时不具有性质12,,...,n a a a 的元素的个数()1212,,...,,,...,k i i i n a a a a a a k -是一个组合，则()()()1211111...''...'1...k k nkn i i i k i i nN a a a S N a a a =≤<<≤=+-∑∑2、容斥原理的应用：⑴n 元集重排不保位的重排数：()1!!kn k D n k =-=∑⑵()11nn n D nD -=+- ⑶()()121n n n D n D D --=-+ 第三章递推关系§3.1 差分1、△=E - I ；E=△+ I2、牛顿公式：()0nnnj j n E I j =??=?+=? ???∑()()1nnn jnj j n E I E j -==-=-∑ 3、多项式的差分设()f n 是n 的m 次多项式，则()()00101nmjk j n f k f j ==+??=? ?+??∑∑§3.2 递推关系1、常系数齐次递推关系()11...,n n k n k u a u a u n k --=++≥ 已知：011,,...,k u u u - 求解步骤：①解出111...k k k k x a x a x a --=+++的特征根()12,,;m m k λλλ≤，其中i λ为i e 重特征根；②递推关系具有通解：() 1121..i i ime nn i i ie i u cc n c n λ-==+++∑ ③把011,,...,k u u u -代入通解，分别求出k 个ij c 的值即可。

组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。

它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。

一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。

2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。

二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。

三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。

设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。

排列组合 二项式定理1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同3，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素的所有组合个数 mn Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n m n C - 11m m m n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。

在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。

排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。

通常用P(n, m)表示排列数。

组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。

通常用C(n, m)表示组合数。

2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。

（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。

（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。

（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。

组合数学总复习第⼀章:1⼀⼀对应的应⽤、排列、组合、圆周排列排列：n个不同的球取r个放进r个不同的盒⼦，P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!组合：n个不同的球去r个放进r个相同的盒⼦，C(n,r)=n!/[r!(n-r)!]圆周排列：将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。

Q(n,r)=P(n,r)/r，例1.19：5颗不同的红⾊珠⼦，3颗不同的蓝⾊珠⼦装在圆板的四周,试问有多少种⽅案？若蓝⾊珠⼦不相邻⼜有多少种排列⽅案？蓝⾊珠⼦在⼀起⼜如何？例1.20：5对夫妇出席⼀宴会，围⼀圆桌⽽坐，试问有⼏种不同的⽅案？若要求每对夫妻相邻⼜有多少种⽅案?2.排列的⽣成算法、组合的⽣成算法。

排列的⽣成算法:对于给定的字符集，⽤有效的⽅法将所有可能的排列⽆重复⽆遗漏地枚举出来。

（1）.序数法的概要：1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{a n-1, a n-2,…, a1}m=a n-1(n-1)!+a n-2(n-2)!+…a2 *2!+a1*1!2、由{a n-1, a n-2,…, a1}确定排列序列p1p2…p na n-1,确定n的位置，a n-2确定n-1的位置，………………………a1确定2的位置，剩下的是1的位置。

（2）字典序法的概要1、求满⾜关系式p j例如：839647521中i=5注:该位置值为42、求出i后，再求满⾜关系式p i例如：839647521中h=7注:该位置值为53、p i与p h互换。

得新排列P1P2…P i-1P i P i+1…P n例如：839647521换成8396574214、将新排列P1P2…P i-1P i P i+1…P n中的P i+1…P n顺序逆转，得到P1P2…P i P n… P i+1组合的⽣成算法：例1: 将m=4000展开。

3、允许重复的组合、不相邻的组合。

允许重复的组合：r个⽆标志的球放进n个有区别的盒⼦的情况:⼀个盒⼦中可放⼀个，也可以放多个。

组合数学复习资料第一章什么是组合数学略第二章鸽巢原理2.1 鸽巢原理：简单形式鸽巢原理的简单形式：若在n个盒子中放有n+1个物件，则至少有一个盒子中放有两个或更多的物体。

应用1，应用2（对应第4题），应用3（略），应用4（对应第1题），应用5（对应第7题），应用6（略）。

课后题第1题题目：关于本节中的应用4，证明对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋（情形k=21是在应用4中处理的情况）。

能否论断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？解答：令是在第一天所下的盘数，是第一天和第二天所下的总盘数，以此类推，是前n天所下的总盘数。

由于每天至少要下一盘棋，故数值序列是一个严格递增的序列，即数列的每一项大于它前面的那一项。

此外，，而且由于每周下棋最多12盘，。

因为，我们有。

同样，序列也是一个严格递增序列：于是，这个数中每一个都是[1，132+k]内的一个整数。

区间内共有132+k个整数，故当132+k<154时，即k<22时，根据鸽巢原理的简单形式，这154个数中至少存在一对相等的数。

若则无法断定至少存在一对相等的数。

又因为数值序列和都是严格递增的，所以不存在相等的2个数，所以相等的2个数必然分别属于2个数值序列。

则存在，使得，也就是说从第i+1天至第j天，这位大师一共下了k盘棋。

所以命题“对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋”成立。

对于k=22的情况，无法论断。

课后题第4题题目：证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，他们之间相差为1。

解答：对于集合{1，2，...，2n}可以划分为n个互不相交的子集：{1，2}，{3，4}，...，{2n-1，n}，且这些子集包含了原集合的全部元素。

故从原集合中选择n+1个整数，等价于从这n 个子集中选择n+1个整数。

组合数知识点总结1. 组合数的基本概念组合数通常表示为C(n, m)，表示从n个元素中取出m个元素的方式数。

计算组合数的公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。

组合数计算的本质是从n 个元素中选择m个元素的所有可能性。

2. 组合数的计算方法组合数的计算方法包括递推公式、排列组合公式和杨辉三角形等方法。

（1）递推公式：组合数的递推公式表达了组合数之间的递推关系。

计算C(n, m)的递推公式为：C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)递推公式的思想是将从n个元素中取出m个元素的方式数分解成两部分，一部分是包含第n个元素的方式数，另一部分是不包含第n个元素的方式数。

（2）排列组合公式：排列组合公式是通过组合数的阶乘定义推导得出的计算公式。

排列组合公式包括乘法原理和除法原理两种计算方式。

乘法原理指的是从n个元素中取出m 个元素的方式数等于n个元素的排列数乘以m个元素的排列数的倒数，即：C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / (m! * (n - m)!)除法原理指的是从n个元素中取出m个元素的方式数等于n个元素的排列数除以m个元素的排列数，即：C(n, m) = A(n, m) / A(m, m) = n! / (m! * (n - m)!)（3）杨辉三角形：杨辉三角形是一种规律的数学图形，其中的每个数都等于它上方和斜上方的两个数之和。

在杨辉三角形中，组合数C(n, m)可以直接从三角形中读出，它位于第n行第m列的位置。

3. 组合数的应用场景组合数在概率论、统计学、排列组合问题等领域都有着广泛的应用。

下面我们将介绍组合数在不同领域的具体应用场景。

（1）排列组合问题：排列组合问题是指从一组元素中选择若干个元素的所有可能性。

组合数学知识点归纳总结一、集合和排列集合和排列是组合数学中最基本的概念。

集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。

在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。

1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。

如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。

2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。

3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。

二、组合组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。

在组合中，有一些重要的性质和定理。

1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =n!/(k!(n-k)!)。

2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。

Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。

3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。

例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。

三、图论图论是研究图和网络结构的数学理论。

在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。

1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。

图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。

2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。

排列组合知识点归纳总结高考一、简介排列组合是数学中的一个重要分支，也是高考数学考试中常见的题型。

掌握排列组合的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将对排列组合的基本概念、计算公式以及应用进行总结和归纳。

二、基本概念1. 排列排列是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列。

排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，不考虑其顺序，进行组合。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!)三、排列组合的计算公式1. 排列当元素可以重复使用时，排列的计算公式为：A'(n,m) = n^m2. 组合当元素可以重复使用时，组合的计算公式为：C'（n，m）= C（n+m-1，m）四、应用1. 随机抽奖在某次抽奖活动中，参与者共10人，要从中抽取3名幸运儿，问有多少种可能的结果？解题思路：这是一个组合问题，从10人中抽取3人，不考虑顺序。

根据组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!), 可以得出C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120 种可能的结果。

2. 配对组合在某次活动中，有5对情侣参加，要求每对情侣都不跟自己的伴侣配对，问有多少种可能的配对方式？解题思路：这是一个排列问题，每对情侣都有两种可能的配对方式。

根据排列的计算公式A(n,m) = n! / (n - m)!, 可以得出A(10,5) = 10! / (10 - 5)! = 30,240 种可能的配对方式。

3. 买彩票中奖某彩票号码由6个数字组成，开奖时从0-9之间随机选择6个数字作为中奖号码，以每注彩票中奖概率为4‰，购买一张彩票的中奖概率是多少？解题思路：这是一个组合问题，从10个数字中选择6个数字作为中奖号码，不考虑顺序。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。

解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。

若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。

若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。

解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。

定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。

解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。

组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科，它涉及离散数学的一部分内容。

组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关，它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。

在实际应用中，组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。

一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列，组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。

组合数学的基础知识就是排列组合。

其中，排列的计算公式为：$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为：$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。

在代数表达式$(a +b)^n$中，展开后的每一项的系数称为二项式系数。

根据二项式定理，二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。

具体来说，二项式系数可以表示为：$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。

简单来说，抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时，至少存在一个抽屉中放置了多个物体。

抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些排列组合问题。

四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。

容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。

具体来说，对于两个集合A和B，容斥原理可以表示为：$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。

生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数，从而方便求解数列的性质。

通过生成函数，我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。

在组合数学中，生成函数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种组合问题。

六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。

例如，图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。

排列组合分为排列和组合两种情况。

1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。

高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。

排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。

2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。

高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。

组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。

二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。

二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。

三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。

1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。

素描几何组合知识点总结1.组合数学组合数学是描述离散结构的数学分支，它与几何组合有着密切的联系。

在组合数学中，我们研究的是集合、排列、组合等离散对象的性质和计数方法。

例如，排列是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定的顺序排列的方法数，用P(n,m)表示；组合是指从n个不同元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，用C(n,m)表示。

这些概念在实际应用中有很多用处，比如组合数学在密码学中有着重要的应用，排列组合的知识也常常用于概率统计和实验设计中。

2.图论图论是研究图和网络结构的数学分支，它也是几何组合的重要组成部分。

在图论中，我们研究的是由点和边构成的抽象结构，以及它们之间的关系和性质。

图论在计算机科学、电信网络、运筹学等领域都有广泛的应用。

例如，在电路设计中，可以利用图论的知识来进行布线规划；在社交网络分析中，可以利用图论的方法来研究网络中的传播和影响力等问题。

3.多面体结构多面体结构是几何组合中的一个重要内容，它涉及到多边形、多面体等几何对象的结构和性质。

在多面体结构中，我们研究的是多边形的内角和外角和的关系、多面体的各种属性和性质等。

多面体结构在工程设计、建筑规划、立体几何等领域有着重要的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用多面体结构的知识来进行建筑物的设计和规划；在立体几何中，可以利用多面体结构的方法来研究立体图形的投影和展开等问题。

4.凸多边形凸多边形是几何组合中的一个重要概念，它指的是所有内角均小于180°的多边形。

在凸多边形中，我们研究的是凸多边形的性质和特点，以及它们之间的关系和应用。

凸多边形在地图着色、路线规划、游戏设计等领域都有着重要的应用。

例如，在地图着色问题中，可以利用凸多边形的知识来研究地图的最少着色问题；在游戏设计中，可以利用凸多边形的方法来设计游戏地图和关卡等内容。

总的来说，几何组合是一个既有理论又有实际应用的数学分支，它涉及到组合数学、图论、多面体结构、凸多边形等多个方面的知识。

六年级组合知识点一、数学知识点1. 小数与分数的转化在六年级数学中，学生需要掌握小数与分数之间的转化。

小数转分数时，将小数点后的数字作为分子，分母为10的幂次方；分数转小数时，将分子除以分母即可。

2. 平面图形的认识与计算六年级的学生应该了解各种平面图形的属性和计算方法。

例如，正方形的周长等于边长的四倍，面积等于边长的平方；矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，面积等于长乘以宽。

3. 时、分、秒的换算学生需要学会将时间单位进行换算。

例如，1小时等于60分钟，1分钟等于60秒。

他们可以通过画表盘的方式来辅助理解和计算。

4. 整数的四则运算在六年级，学生开始学习整数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

他们需要熟练掌握正整数和负整数之间的运算规则，并能够灵活运用于实际问题中。

二、语文知识点1. 作文写作技巧在六年级语文中，学生需要学会使用逻辑清晰、条理分明的语言写作。

他们需要正确运用各种句式和词语，以及合理组织和展开文章的结构。

2. 成语的运用与理解学生需要通过学习成语的意义和用法，提高自己的语言表达能力。

他们需要积累并正确运用各种常见的成语，使文章更加丰富有趣。

3. 阅读理解与推理通过阅读不同题材的文章，学生需要理解文章的主旨和作者的观点，锻炼自己的阅读理解能力。

同时，也需要通过推理和判断，解答文章中的问题。

4. 古代文化与名著阅读六年级的学生需要接触一些古代文化和名著作品，例如《红楼梦》、《西游记》等。

通过阅读这些经典作品，学生可以增加自己的文学知识，培养对中国传统文化的兴趣和理解。

三、英语知识点1. 简单日常用语六年级学生需要掌握一些简单的日常用语，例如问候语、表达喜好和意愿等。

他们可以通过模仿和对话练习，提高自己的口语交际能力。

2. 时态的运用学生需要掌握英语中的各种时态，如一般现在时、一般过去时和一般将来时等。

他们需要通过不同的练习形式，熟练运用这些时态，并能够在实际交流中正确使用。

3. 单词拼写与词汇积累学生需要通过背诵和记忆，掌握一些常见的英语单词和词组。

排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理 → 1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么，完成这件事情共有N ＝m 1+ m 2+…+m n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法,做第二步有m 2种方法，……，做第n 步有m n 种方法,那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4. 分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。

分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。

→ 排列与组合1．排列（1）排列定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（2）排列数公式：A m n ＝A C mm m n =n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成A mn ＝n ！(n －m )！.特殊: A n n =n!=n(n-1)!（3）特征：有序且不重复 2.组合（1）组合定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．（2）组合数公式：C mn ＝m mmn A A =n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或写成C m n ＝n ！m ！(n －m )！.(3)组合数的性质①C m n ＝C n －mn ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . （4）特征：有序且不重复3.排列与组合的区别与联系： 区别：排列有序，组合无序 联系：排列可视为先组合后全排4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。

高考数学排列组合专项知识点讲解知识点总结排列组合的知识点重要的是要考虑清楚怎么应用，整理了数学排列组合专项知识点，希望可以帮助到大家!1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)2. 排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0a_+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：(1+_)n=1+Cn1_+Cn2_2+…+Cnr_r+…+Cnn_n②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。

(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n小编为大家提供的高考数学排列组合专项知识点讲解到这里了，愿大家都能努力复习，丰富自己，锻炼自己。

组合乘法知识点总结归纳一、基本概念1. 组合乘法的定义组合乘法是指将两个或多个数相乘的运算。

在代数中，我们通常使用符号“×”表示乘法运算，例如，3×4=12，表示3乘以4等于12。

在组合乘法中，我们可以将多个数相乘，例如，2×3×4=24，表示2乘以3再乘以4等于24。

2. 乘法原理乘法原理是组合乘法的基本原理之一，它是指将两个事件依次进行的所有可能的情况相乘，得到的结果就是这两个事件同时发生的总情况数。

例如，如果一个人有3种不同的上衣和4种不同的裤子，那么他一共有3×4=12种不同的搭配方式。

3. 排列与组合的关系在组合乘法中，排列和组合是两个重要的概念。

排列是指从n个不同的元素中取出m个元素按照一定顺序排列的方法数，通常用P(n,m)表示，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。

组合是指从n个不同的元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，通常用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

排列和组合的计算公式与组合乘法密切相关。

二、性质1. 交换律对于任意的两个数a和b，都有a×b=b×a。

这表明在乘法运算中，乘数的顺序可以交换，不影响最终的结果。

2. 结合律对于任意的三个数a、b和c，都有(a×b)×c=a×(b×c)。

这表明在乘法运算中，乘数的顺序可以随意改变，不影响最终的结果。

3. 分配律对于任意的三个数a、b和c，都有a×(b+c)=a×b+a×c。

这表明在乘法运算中，乘数可以分开进行运算，然后再相加，或者先相加再进行乘法运算，结果都是相同的。

三、应用组合乘法在数学中有着广泛的应用，下面将介绍其中的部分应用场景。

1. 组合数学组合乘法是组合数学中的基础概念，它用于计算排列和组合的方法数。

例如，在排列组合中，我们经常需要计算从n个不同的元素中取出m个元素的排列或组合方法数，这时就可以利用组合乘法的原理进行计算。