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组合数学复习资料第一章什么是组合数学略第二章鸽巢原理2.1 鸽巢原理：简单形式鸽巢原理的简单形式：若在n个盒子中放有n+1个物件，则至少有一个盒子中放有两个或更多的物体。
应用1，应用2（对应第4题），应用3（略），应用4（对应第1题），应用5（对应第7题），应用6（略）。
课后题第1题题目：关于本节中的应用4，证明对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋（情形k=21是在应用4中处理的情况）。
能否论断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？解答：令是在第一天所下的盘数，是第一天和第二天所下的总盘数，以此类推，是前n天所下的总盘数。
由于每天至少要下一盘棋，故数值序列是一个严格递增的序列，即数列的每一项大于它前面的那一项。
此外，，而且由于每周下棋最多12盘，。
因为，我们有。
同样，序列也是一个严格递增序列：于是，这个数中每一个都是[1，132+k]内的一个整数。
区间内共有132+k个整数，故当132+k<154时，即k<22时，根据鸽巢原理的简单形式，这154个数中至少存在一对相等的数。
若则无法断定至少存在一对相等的数。
又因为数值序列和都是严格递增的，所以不存在相等的2个数，所以相等的2个数必然分别属于2个数值序列。
则存在，使得，也就是说从第i+1天至第j天，这位大师一共下了k盘棋。
所以命题“对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋”成立。
对于k=22的情况，无法论断。
课后题第4题题目：证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，他们之间相差为1。
解答：对于集合{1，2，...，2n}可以划分为n个互不相交的子集：{1，2}，{3，4}，...，{2n-1，n}，且这些子集包含了原集合的全部元素。
故从原集合中选择n+1个整数，等价于从这n 个子集中选择n+1个整数。
2009 2010学年第二学期组合数学期末试卷 一、填空题（每小题3分，共15分）1、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为___380 _____.2、6()x y +所有项的系数和是____64 ____.3、把5个不同的球安排到4个相同盒子中，没有空盒的，共有种__10______. 不同方法。
4、不定方程1232x x x++=的非负整数解的个数为____6____.5、若1()f n n =,则2()f n ∆=_______2(1)(2)n n n ++______. 二、选择题（每小题3分，共30分） 1、设A （t ）=nn n=0at ∞∑ 和 B （t ）=nn n=0b t ∞∑ (0b 0≠) 是两个形式幂级数，则A （t ）与 B (t) 的商为 （ A ）。
A.1A(t)=A(t)B (t)B(t)-⋅ B. 1A(t)=A (t)B(t)B(t)-⋅ C.11A(t)=A (t)B (t)B(t)--⋅ D. 1A(t)=(A(t)B(t))B(t)-⋅ 2、某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。
这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。
A ．50B ．57C ．43D ．113、将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、组合式⎪⎪⎭⎫⎝⎛50120与下列哪个式子相等？（ B ） A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛60120 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50119+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49119 C 、512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49120 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛491195、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。
A 、 2 B 、 4 C 、 9 D 、 246、若存在一递推关系01124,956(2)n n n a a a a a n --==⎧⎨=-≥⎩则=n a ( A ).A.nn323+⋅ B.nn232+⋅ C.123+⋅n D.11323+++⋅n n7、数列0{}n n ≥的常生产函数是（ D ）。
2022版高考数学大一轮复习江苏专版文档第十章计数原理102§10.2排列与组合考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析，解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档．1．排列与组合的概念名称定义按照一定的顺序排成从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素组合2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示．3．排列数、组合数的公式及性质n！(1)Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝nn－m！公式nn－1n－2…n －m＋1n！Amnm(2)Cn＝m＝＝Amm！m！n－m！性质(1)0！＝1；Ann＝n！一列合成一组排列mn(2)Cn＝Cn－mmm1；Cm__n＋1＝Cn＋Cn－题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“某”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(某)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(某)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)m(5)若组合式C某n＝Cn，则某＝m成立．(某)k1(6)kCkn＝nCn－1.(√)－题组二教材改编2．[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．答案24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4某3某2＝24.3．[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．答案483解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A4种，3共有A12A4＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案216解析第一类：甲在左端，有A55＝5某4某3某2某1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4某4某3某2某1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________．答案54011C46C2C1解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A323A2213＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C3C1A3＝360(种)；22C26C4C23③每个国家各派2名，有·A3＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.A336．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)答案45解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9某5＝45(种)．题型一排列问题1．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40某39＝1560(条)留言．2．用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________．答案4322解析根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A2种排法；第二步，将22,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A4种232排法．综上，共有C23A2A3A4＝3某2某6某12＝432(种)排法．3．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________．答案864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A4再排数字6，由于数字6不与3相邻，4＝24种排法，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，2故共有A44某3某A4＝864(种)排法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．323(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C35－C34＝C34＝5984种取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．2(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C15＝2100种取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．223(4)选取2种假货有C1选取3种假货有C3共有选取方式C120C15种，15种，20C15＋C15＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C335，因此共有选取方式3C35－C315＝6545－455＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．方法二(直接法)2112选取3种真货有C320种，选取2种真货有C20C15种，选取1种真货有C20C15种，2112因此共有选取方式C320＋C20C15＋C20C15＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．。
江苏大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1在x=-1处的导数是多少？A. -2B. 0C. 2D. 4答案：C3. 如果一个数的60%是120，那么这个数是多少？A. 180B. 192C. 200D. 220答案：C4. 以下哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.333...D. 22/7答案：D5. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是多少？A. 7cmB. 14cmC. 28cmD. 21cm答案：A6. 以下哪个表达式是真值？A. ∅⊆ {0}B. {0} ⊆∅C. ∅⊂ {0}D. {0} ⊂∅答案：A7. 一个等差数列的前三项和为3，第六项是12，那么这个数列的公差是多少？A. 3B. 2C. 4D. 5答案：B8. 以下哪个选项是二元一次方程3x + 2y = 11的解？A. (3, 1)B. (2, 4)C. (1, 7)D. (4, 3)答案：A9. 以下哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C10. 一个几何级数的首项是1，公比是1/2，那么它的第五项是多少？A. 1/16B. 1/8C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限 lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)] 的值是________。
答案：412. 如果一个向量v = (3, -2)，那么它的模长是________。
答案：√1313. 一个二阶矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式是________。
答案：-214. 集合{1, 2, 3}与{3, 4, 5}的交集是________。
答案：{3}15. 如果一个函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f(x)在该区间内是________。
江苏大学数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=2x^3-3x^2+1在x=1处的导数是：A. 5B. -1C. 1D. 22. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系：A. 相离B. 相切C. 相交D. 内切3. 以下哪一项不是等差数列的性质？A. 相邻两项的差相等B. 任意两项的和相等C. 相邻两项的和相等D. 任意两项的差相等4. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值：A. 486B. 243C. 81D. 275. 若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B的元素个数是：A. 3B. 4C. 5D. 66. 根据三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，求sin(90°)的值：A. 0B. 1C. -1D. 27. 已知向量a=(3,2)，b=(-1,4)，求向量a与b的点积：A. -5B. -1C. 5D. 18. 以下哪个是正弦函数的周期？A. πB. 2πC. 3πD. π/29. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标是：A. (1,0)B. (1,1)C. (0,1)D. (2,1)10. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 3D. 4二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的标准方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。
若圆心坐标为(3,4)，半径为5，则该圆的方程为_________。
12. 函数y=|x-1|的图像在x=1处的切线斜率为_________。
13. 等差数列3, 7, 11, ...的第10项是_________。
14. 已知向量c=(1,-1)，d=(2,3)，向量c与d的向量积（叉积）为_________。
15. 函数y=sin(x)在x=π/6处的值为_________。
精品江苏大学复变函数复习提纲(红色的特别注意,我大二的 ,考完整理的 )(一 )复数的概念1. 复数的概念：z x iy ， x, y 是实数, x Re z , y Im z .i21.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模： z x2y2；2）幅角：在 z0 时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于( , ]中的幅角。
y3 ）arg z与arctan之间的关系如下：y当 x 0, arg z arctan；xy0,arg z arctany当 x 0,x；arctanyy0,arg zx4 ）三角表示：z z cos i sin，其中arg z；注：中间一定是“+”号。
5 ）指数表示：z z e i，其中arg z 。
(二 ) 复数的运算1. 加减法：若z1x1iy1 , z2x2iy 2，则z1z2x1x2i y1y22.乘除法：1 ）若z1x1iy1, z2x2iy 2，则z1z2x1 x2y1 y2i x2 y1x1 y2；z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1 y2i y1 x2y2 x1。
z2x2iy 2x2iy2x2iy 2x22y22x22y22 2 ）若z z e i 1, z z e i2 , 则精品z 1z 2i 12z 1z 1 i 12z 1 z 2 e；z 2ez 23. 乘幂与方根1） 若 z z (cosi sin ) z e i，则 z n nnz (cosni sin n ) z e in 。
2） 若 zz (cosi sin )z e i ，则nz12k 2k L n 1) （有 n 个相异的值）z n cosi sin (k 0,1,2nn（三）复变函数1 ．复变函数： w f z ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G的映射 .2 ．复初等函数1 ）指数函数：e z e x cos y isin y ，在 z 平面处处可导，处处解析；且 e ze z 。
排列、组合的概念和运算[本节目标]掌握排列、组合的概念和运算。
[预习导引]1、排列的定义：，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数的定义：，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
3、排列数公式：mnA= = ；nnA= = ；0！=4、组合的定义：，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
5、组合数的定义：，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。
6、组合数公式：mnC== = ；nC=7、组合数的两个性质：（1）（2）[三基探讨][典例练讲]例1、（1）若A mn=17×16×15×…×5×4，则n= ，m= 。
（2）若n∈N+，则（55-n）（56-n）（57-n）…（68-n）（69-n）用排列数符号表示为（3）若A32n =10A3n，则n= 。
（4）若557n nn A AA-=89，则n= 。
例2、（1）321132,-+--++∈x x x x C C N x 求的所有可能值；（2）求nn nnA A 24112+-+的值；（3）已知：11234m m m n n nC C C -+==，求m,n 的值。
例3、（1）化简：!!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+Λ（2）化简：!1!43!32!21n n -++++Λ （3）如果21872221221=++++n n n n n C C C Λ，求nn n n C C C +++Λ21的值。
（选做题）例4、化简：)!2()!1(!2!4!3!24!3!2!13++++++++++++n n n n Λ课后检测1、如果436m m C A =，则m= 。
2、以下四个式子 （1）!m A C m n mn= （2）11--=m n m n nA A （3）m n m C C m nm n -+=+11（4）mn m n C m n C 1111++=++中正确的是 。
考向基础1 •分类加法计数原理（加法原理）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类 方案中有”种不同的方法,那么完成这件事共有用① ___________ 种不同的 方法•这个原理称为分类加法计数原理.2 •分类加法计数原理的推广 完成一件事有斤类不同方案，在第1类方案中有如种不同的方法，在第2类方案中有加2种不同的方法,……，在第"类方案中有他种不同的方法，那么 破考点; 考点一 考点清单 加法原理与乘法原理完成这件事共有心二② ________________ 种不同的方法.3•分步乘法计数原理（乘法原理）完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法,那么完成这件事共有爪③ _________ 种不同的方法.4.分步乘法计数原理的推广完成一件事情，需要分成斤个步骤，做第1步有"种不同的方法，做第2步有弘种不同的方法,……，做第斤步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=® _______________ 种不同的方法•这里要完成这件事情必须这斤个步骤逐次完成，不能缺少一个,也不能重复.考向两个计数原理例（1）从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数则不同的取法共有 ________ 种.⑵将2名教师,4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有—种.解题导引（1）四个不同的数的和为偶数需要分类讨论,计数时需要用分类计数原理.（2）由于要分成两个小组去两个地方，故需要分步安排，计数时需要用分步计数原理.解析（1）由题意知,满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个，有C；=5（种）;二是两个奇数加两个偶数，其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C[Ci =60（种）;三是四个偶数相加，其和为偶数,4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5+60+1=66（种）.⑵分两步:第一步，选派一名教师到甲地,另一名到乙地，共有C》2（种）选派方法;第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有CR6（种）选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2x6=12（种）.答案（1）66 （2）12考点二排列考向基础1.排列的定义:一般地，从斤个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出加个元素的一个排列.2.排列数的定义:从"个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的排列数用符号A；：表示.3•扌非列数公式:A；；=n(n-l)(n-2)・・・(n-m+l)=(T) (n.m U N\m W 刃),规定0!=②_____,当m=n时,A；；二③__ 考向突破考向排列问题例4个男同学,3个女同学站成一排.(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解题导引对有相邻元素的排列可以采用捆绑法,对有不相邻元素排列 (间隔排列)，可以采用插空法.解析(1)3个女同学是特殊元素，共有A；种排法;由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A；种排法. 由分步乘法计数原理，有A； A=720种不同排法.⑵先将男生排好洪有A；种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A；种方法.故符合条件的排法共有A：A；=1 440种.(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A：种排法;由于甲、乙要相邻, 故先把甲、乙排好，有A；种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有A；种排法.总共有A：A；A；=960种不同排法.考点三组合考向基础1.组合的定义:一般地，从"个不同元素中取出个元素合成一组,叫做从"个不同元素中取出"2个元素的一个组合.2.组合数的定义:从”个不同元素中取出m(mS个元素的所有不同组合的个数，叫做从“个不同元素中取出加个元素的组合数，用符号C：表示.”(“一1)...("一加+ 1) (人,”3•组合数公式:C= 万=―-—二―十,这里m.n e N*m !(n - m)! A〃？且mWn.规定C： = l,在这个规定下，组合数公式中的加可以取0.4 •组合数的性质:©匸c；「；C；『C；：+C；「考向组合问题例某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选.解题导引某些人被选中，主要是将所有人恰当地分组，“至少”或“最多”含有几个元素的题型，若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解. 解析⑴一名女生,四名男生洪有C；・C；=350（种）.⑵将两队长作为一类，其他11人作为一类,故共有C；.C》165（种）. （3）至少有一名队长含有两类:只有一名队长或有两名队长•故共有+C；・C：严825（种咸采用排除法:珥-C店825（种）.（4）至多有两名女生含有三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生. 故选法有C：・C；+C；・C； +C：=966（种）.（5）分两类:第一类女队长当选;第二类女队长不当选.故选法共有C：2+C〔・Cj+Cj・C? C； 4C： =790（种）.52 3方法技巧秘籍、实战技能集训A方法技巧方法一两个计数原理应用的基本策略两个计数原理一个与分类有关，一个与分步有关•在综合运用这两个计 数原理时.既要会合理分类.又能合理分步.一般情形是先分类后分步•分 类计数原理中无论是哪一类方法都能单独完成这件事;分步计数原理的 每一个步骤都依次完成后，这件事才完成.例1如图，要给1,2,3,4,5五块区域分别涂上四种颜色中的某一种，允许 同一种颜色使用多次，但相邻区域必须不同颜色，则不同的涂色方法数 为 . 厂 解析解法一:按区域顺序分步涂色.先涂5号区域，有4种不同的涂法;涂剩下的4个区域要分两种情形：若1,3号区域同色，则1,3号区域有3种涂法，此时2,4号区域各有2种涂法，由分步计数原理知有3x2x2=12种涂法.若1,3号区域不同色，则1,3号区域有3x2=6种涂法，此时2,4号区域各只有1种涂法，由分步计数原理知有6x 1 xi =6种涂法.由分类和分步计数原理知总共有4x(12+6=72种不同的涂色方法.解法二:按所用颜色种数分类涂色.第一类,4种颜色全用，则1,3号区域同色，且2,4号区域不同色咸1,3号区域不同色，且2,4号区域同色，故有2x4x3x2=48^中不同的涂色方法.第二类，只用3种颜色，则1,3号区域同色，且2,4号区域也同色，故有刖=24 种不同的涂色方法.由分类计数原理知总共有48+24=72种不同的涂色方法.答案72方法二排列、组合及其应用的解题策略求解排列、组合问题的基本思路是“排组分清，加乘明确;有序排列，无序组合;分类相加，分步相乘” •1•简单问题直接法直接列式计算.例2将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 _________ 种.解析从中任选两个排在第一行，有A：种方法，则另一个字母在第二行有C；种方法，其余则确定，共有A?C；=12种方法.答案12评析遇到有相同元素的排列问题时，一般应画出图表,这样比较直观，还能避免出现重复计数.2.相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素当成一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列，它主要用于解决相邻问题.例3用字母A、丫,数字1、8、9构成一个字符不重复的五位号牌，要求字母A、丫不相邻，数字8、9相邻，则可构成的号牌个数是____________ •（用数字作答）解析先把8、9捆绑，有2种方法，再把它与1排列，有2种排法，此时共有3 个空供字母4、Y插入，有6种方法，故可构成的号牌个数是2x2x6=24.答案24评析本题考查“相邻”与“不相邻”问题,考查捆绑法和插空法•把相邻元素当成一个元素时，一定要注意这些相邻元素要作全排列.3•相间问题插空法先把一般元素排列好，然后把特定元素插排在它们之间和两端的空中.例4在123,4,5,6,7的任一排列6/詔2皿3皿4皿5皿6皿7中，使相邻两数都互质的排列种数为 _________ •解题导引解析先把数字1,3,5,7进行全排列，有A：=24种排法，再排数字6,由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6,故数字6有3种排法，最后排数字2,4,又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4,有刖种排法，共有A：X3XA=864种排法.答案8644 •多元问题分类法将符合条件的排列分为几类（每一类的排列数较易求出）,然后根据分类计数原理求岀排列总数.例5方程ay=b2x2+c中的心丘{-3,20丄2,3},且/力互不相同•在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ______________________ 条.解析G0均不为0,且b取互为相反数的两数时抛物线相同，故分G取1与. 不取1两类：①a取1时02的取值可分为4,9两类，当和戾=9时,C都有5种情况，此时有2x5=10（种）；②a不取1时,a有C［种取法,不妨设a取2,则F的取值有1,4,9三类，当F=1 时,C有4种取法，当b—4时,C有4种取法，当於9时,C有5种取法，此时有C：（4 +4+5）=52（种）.故共有10+52=62（种）.即不同的抛物线有62条.答案625.至少、至多间接法“至少”“至多”的排列组合问题需分类讨论，且一般分类的情况较多，所以通常用间接法，即排除法•它适用于反面明确且易于计算的问题. 例6从5男2女中选3位代表（至少有1位女同志）分别到3个不同的工厂进行调研，不同的分派方法有______________________ 种.解析解法一:选岀的3位代表为1男2女，则有C；xc；=5种方法;选出的3 位代表为2男1女，则有C； =20种方法.再将3位代表分配到3个不同的工厂调研，有A=6种方法.故分派方法有(5+20)x6= 150种.解法二:选出的3位代表没有女同志，则有C=10种方法，所以选出3位代表，至少有1位女同志的选法有C〉C=25种方法.再将3位代表分配到3个不同的工厂调研，有A》6种方法.故分派方法有25x6=150种.答案1506 •均分问题作商法例7某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该 年级的两个班且每班安排2名，则不同的安排方法种数为 __________ •（用 数字作答） 解析安排方法种数为三yxA ：=90.答案90nt m 若将血个元素平均分成斤组,则分法总数为 加一一n\m方法三集合中的计数问题集合中元素个数、集合的划分以及子集问题是高考中近几年的热点和难点，主要是涉及两个计数原理的综合应用.例8 (2018江苏南京、盐城、连云港二模)已知朋N：且“N4,数列厂⑷, 如…,a”中的每一项均在集合M={ 1,2,■■•,«}中,且任意两项不相等.(1 )若“=7,且色<“3<“4<。
考试题型：填空题5道（15分）计算题和证明题（85分）单纯形和对偶单纯形（40分大题+6分填空题）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 和无可行解四种。
2、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？3、“如果线性规划的原问题存在最优解，则其对偶问题一定存在最优解”，这句话对还是错？4、“如果线性规划的原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无 可行解”，这句话对还是错？5、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代的每一步相当于图形上的哪一个顶点。
12m ax 2z x x =+12121225156224,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩6、考虑如下线性规划问题： 123m ax 5513z x x x =-++1231231233201241090,,0x x x x x x x x x -++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩（1）、求最优解； （2）、求对偶问题的最优解； （3）、约束条件①的右端常数由20变为30，最优解有什么变化； （4）、目标函数中3x 的系数由13变为8，最优解有什么变化； （5）、1x 的系数列向量由112-⎛⎫⎪⎝⎭变为05⎛⎫⎪⎝⎭，最优解有什么变化； （6）、增加一个约束条件③12323550x x x ++≤，最优解有什么变化；运输问题（15分大题+3分填空题）1、对于产销不平衡的运输问题，可以先把他们转化为产销平衡问题，然后再用表上作业法求解。
（填产地或销地）。
（1）、如果是产大于销的情况，即11mni ji j a b==>∑∑，可以虚设一个假想的 ；（2）、如果是销大于产的情况，即11mni ji j a b==<∑∑，可以虚设一个假想的 。
2、表1给出的调运方案 （填能或不能）作为表上作业法求解时的初始3、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。
