江苏大学 组合数学期末考试复习资料
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工科数学分析期末试卷部分参考答案页数:2
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苏教版选修2-1排列组合与概率--9.6统计及算法初步复习
算法初步（习题6）
8.算法的有穷性是指？ 算法的步骤是有限的。 9.书写算法有四种语句，包括： 赋值语句、输入输出语句、 条件语句、循环语句
10 6次
算法初步（习题7）
11.右图给出的是计算
1 1 1 1 2 4 6 20
的值的一个程序框图，其中 判断框内应填入的条件 是 . I>10(或 n>20)
B．程序不同，结果相同 D．程序相同，结果相同
B
A．程序不同，结果不同 C．程序相同，结果不同
算法初步（习题5）
6. 在上题条件下，假定能将甲、乙两程 序“定格”在i=500，即能输出i=500 时一个S值，则输出结果S C A．甲大乙小 B．甲乙相同 C．甲小乙大 D．不能判断 7.不能描述算法的是（ ） C A.流程图 B.伪代码 C. 数据库 D. 自然语言
步 长 为 “ 1” 时 可 不 写
算法初步(基础练习2)
4.下列程序框中，出口可以有两个流向的是 A．起止框 B．输入输出框 D C．处理框 D．判断框 5.下列给出的赋值语句中正确的是 A．3←A B．M← —M C．B←A←2 D．x+y←0 B 6.A=15,A=-A+5,最后A的值为 A．-10 B．20 A C．15 D．无意义
算法初步（习题1）
A．a，b，c中最大值 B．a，b，c中最小值 C．将a，b，c由小到大排序 D．将a，b，c由大到小排序
1.此算法的功能是 B
S1 S2 S3 S4
m←a 若b<m，则m←b 若c<m，则m←c 输出m.
a←1 b←2 t←a a←b b←t print a， b
最新组合数学复习资料(前两章)
组合数学复习资料第一章什么是组合数学略第二章鸽巢原理2.1 鸽巢原理：简单形式鸽巢原理的简单形式：若在n个盒子中放有n+1个物件，则至少有一个盒子中放有两个或更多的物体。
应用1，应用2（对应第4题），应用3（略），应用4（对应第1题），应用5（对应第7题），应用6（略）。
课后题第1题题目：关于本节中的应用4，证明对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋（情形k=21是在应用4中处理的情况）。
能否论断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？解答：令是在第一天所下的盘数，是第一天和第二天所下的总盘数，以此类推，是前n天所下的总盘数。
由于每天至少要下一盘棋，故数值序列是一个严格递增的序列，即数列的每一项大于它前面的那一项。
此外，，而且由于每周下棋最多12盘，。
因为，我们有。
同样，序列也是一个严格递增序列：于是，这个数中每一个都是[1，132+k]内的一个整数。
区间内共有132+k个整数，故当132+k<154时，即k<22时，根据鸽巢原理的简单形式，这154个数中至少存在一对相等的数。
若则无法断定至少存在一对相等的数。
又因为数值序列和都是严格递增的，所以不存在相等的2个数，所以相等的2个数必然分别属于2个数值序列。
则存在，使得，也就是说从第i+1天至第j天，这位大师一共下了k盘棋。
所以命题“对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋”成立。
对于k=22的情况，无法论断。
课后题第4题题目：证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，他们之间相差为1。
解答：对于集合{1，2，...，2n}可以划分为n个互不相交的子集：{1，2}，{3，4}，...，{2n-1，n}，且这些子集包含了原集合的全部元素。
故从原集合中选择n+1个整数，等价于从这n 个子集中选择n+1个整数。
江苏大学数值分析期末试题教学提纲
江苏大学数值分析期末试题
江苏大学试题（A）
（2012-2013 学年第 1 学期）
课程名称数值分析开课学院理学院
使用班级数学、数师12级考试日期
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核查人签名
得分
阅卷教师
一、填空题：（每空2分，共30分）
1、已知 的近似值 的相对误差不大于0.01%，则 至少具有有效数字。
2、已知 ，则 ______， _______。
30
50
80
100
求运动方程的S=at+b的 的最小二乘解：，
平方误差 =。
7、为求积公式： 具有最高的代数精确度，确定公式中的待定参数：。
8、用二分法求方程 在区间 内的根（要求精确到小数点后两位），则方程的根 ≈。
9、求方程 在x=1.5附近的根（要求精度 =0.0005）， ≈。
10、用弦截法求 在 =2附近的根，取初值 =2， =1.9（要求计算结果精确到四位有效数字ຫໍສະໝຸດ ， ≈。江苏大学试题第1页
二、（12分）已知方阵 ，
(1)证明：A存在唯一的分解，并给出A的Doolittle分解；
(2)用上述分解求解方程组 ，其中 。
三、（10分）设线性方程组 ，
用高斯—赛德尔迭代法解次方程组，要求当 时终止迭代。
四、（10分）给定数据表：
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0000
1.2214
（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式具有的代数精度，并判断是否为Guass积分；
（3）用所求公式计算 。
江苏大学试题（A）
（2012-2013 学年第 1 学期）
课程名称数值分析开课学院理学院
使用班级数学、数师12级考试日期
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核查人签名
得分
阅卷教师
一、填空题：（每空2分，共30分）
1、已知 的近似值 的相对误差不大于0.01%，则 至少具有有效数字。
2、已知 ，则 ______， _______。
30
50
80
100
求运动方程的S=at+b的 的最小二乘解：，
平方误差 =。
7、为求积公式： 具有最高的代数精确度，确定公式中的待定参数：。
8、用二分法求方程 在区间 内的根（要求精确到小数点后两位），则方程的根 ≈。
9、求方程 在x=1.5附近的根（要求精度 =0.0005）， ≈。
10、用弦截法求 在 =2附近的根，取初值 =2， =1.9（要求计算结果精确到四位有效数字ຫໍສະໝຸດ ， ≈。江苏大学试题第1页
二、（12分）已知方阵 ，
(1)证明：A存在唯一的分解，并给出A的Doolittle分解；
(2)用上述分解求解方程组 ，其中 。
三、（10分）设线性方程组 ，
用高斯—赛德尔迭代法解次方程组，要求当 时终止迭代。
四、（10分）给定数据表：
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0000
1.2214
（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式具有的代数精度，并判断是否为Guass积分；
（3）用所求公式计算 。
大学数学组合数学试题与答案(修正版)1
2009 2010学年第二学期组合数学期末试卷 一、填空题（每小题3分，共15分）1、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为___380 _____.2、6()x y +所有项的系数和是____64 ____.3、把5个不同的球安排到4个相同盒子中，没有空盒的，共有种__10______. 不同方法。
4、不定方程1232x x x++=的非负整数解的个数为____6____.5、若1()f n n =,则2()f n ∆=_______2(1)(2)n n n ++______. 二、选择题（每小题3分，共30分） 1、设A （t ）=nn n=0at ∞∑ 和 B （t ）=nn n=0b t ∞∑ (0b 0≠) 是两个形式幂级数，则A （t ）与 B (t) 的商为 （ A ）。
A.1A(t)=A(t)B (t)B(t)-⋅ B. 1A(t)=A (t)B(t)B(t)-⋅ C.11A(t)=A (t)B (t)B(t)--⋅ D. 1A(t)=(A(t)B(t))B(t)-⋅ 2、某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。
这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。
A ．50B ．57C ．43D ．113、将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、组合式⎪⎪⎭⎫⎝⎛50120与下列哪个式子相等？（ B ） A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛60120 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50119+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49119 C 、512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49120 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛491195、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。
A 、 2 B 、 4 C 、 9 D 、 246、若存在一递推关系01124,956(2)n n n a a a a a n --==⎧⎨=-≥⎩则=n a ( A ).A.nn323+⋅ B.nn232+⋅ C.123+⋅n D.11323+++⋅n n7、数列0{}n n ≥的常生产函数是（ D ）。
组合数学期末试卷及答案
即该序列中的数介于 1~199 之间。 根据鸽巢原理，其中必有两项相等，但序列中前 100 项为单增，后 100 项也为 单增的。故存在 i 和 j ，设 j i ，使得：
n 种取法，将取出的 m 个数由大到小排 m 序 ， 设 为 a1 , a2 , , a m ， 再 将 其 分 为 两 组 ， a1 , , a k ， a k 1 , ,am k 1,2, ,m 1 ，则第一组中的最小数一定大于第二组中的
解：从 n 个数中先任取 m 个数，则有 最大数。故题目所求为：
S j S i 39
第3页
共4页
第4页
共 4页
S j Si 39
即： d i 1 d i 2 d j 39 九． （10 分）求方程 的正整数解的个数。 解： 由题可知： （1） 绕如 v1v2 和 v3v4 中点的连线旋转 180 度，所得置换如下： P1=(v1)(v2)(v3)(v4), P2=(v1 v2)(v3 v4), P3=(v1 v3)(v2 v4), P4=(v2 v3)(v1 v4), （2） 绕每一个顶点的中心线旋转 120 度，240 度，所得置换如下： P5=(v1)(v2 v3 v4), P6=(v1)(v2 v4 v3), P7=(v2)(v1 v3 v4), P8=(v2)(v1 v4 v3), P9=(v3)(v1 v2 v4), P10=(v3)(v1 v4 v2), P11=(v4)(v1 v2 v3), P12=(v4)(v1 v3 v2), 装 由 Polya 定理可知： 不同方案数=（11*32+34）/12=15 订
递推关系如下：
an=an-1+n a1=2
第1页 共2页
n 种取法，将取出的 m 个数由大到小排 m 序 ， 设 为 a1 , a2 , , a m ， 再 将 其 分 为 两 组 ， a1 , , a k ， a k 1 , ,am k 1,2, ,m 1 ，则第一组中的最小数一定大于第二组中的
解：从 n 个数中先任取 m 个数，则有 最大数。故题目所求为：
S j S i 39
第3页
共4页
第4页
共 4页
S j Si 39
即： d i 1 d i 2 d j 39 九． （10 分）求方程 的正整数解的个数。 解： 由题可知： （1） 绕如 v1v2 和 v3v4 中点的连线旋转 180 度，所得置换如下： P1=(v1)(v2)(v3)(v4), P2=(v1 v2)(v3 v4), P3=(v1 v3)(v2 v4), P4=(v2 v3)(v1 v4), （2） 绕每一个顶点的中心线旋转 120 度，240 度，所得置换如下： P5=(v1)(v2 v3 v4), P6=(v1)(v2 v4 v3), P7=(v2)(v1 v3 v4), P8=(v2)(v1 v4 v3), P9=(v3)(v1 v2 v4), P10=(v3)(v1 v4 v2), P11=(v4)(v1 v2 v3), P12=(v4)(v1 v3 v2), 装 由 Polya 定理可知： 不同方案数=（11*32+34）/12=15 订
递推关系如下：
an=an-1+n a1=2
第1页 共2页
【VIP专享】本科生组合数学复习要点
fn1 fn2 2, f2 4
由Fibonacci数列,得通解
fn
1 c1 ( 2
5 )n
1 c2 ( 2
5 )n
代入初值,得
c1
5 5
5 , c2
5 5
5
所以
fn
2 5
(1
2
5 )n1 (1 2
5
)n1
3、求由A、B、C、D组成的允许重复的n位排列
中AB至少出现一次的排列数.
a42
5
6
5
15
5
11 8
5
6
5
15
462 336 15
141
习题一
1. 205
2. (1) 2978; (2) 1070
3. (1) P85 P84 P75 ; (2) C154 P85C94 P84 P75
17. 证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余
的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球
解 (1) 这是2n个元的圆排列,故各单位代表入座 方式有 (2n 1)!种.
(2) 设这2n个人入座方式的全体为S，则 | S | (2n 1)!.
设Ai {S中第i个单位的两个人相邻的入座方式} i 1, 2,L , n，则
| Ai | 2(2n 2)!；
| Ai Aj | 22 (2n 3)!, i j； | Ai Aj Ak | 23 (2n 4)!, i, j, k互异；
n
2).
习题四
1. 46 2. (1) 1466; (2) 534; (3) 932 3. 29 7. 解 令S={a, a, a, b, b, b, c, c, c}, 设A, B,C分别表示 S中3个a,3个b,3个c排在一起的全排列之集.
2022版高考数学大一轮复习江苏专版文档第十章计数原理102
2022版高考数学大一轮复习江苏专版文档第十章计数原理102§10.2排列与组合考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析，解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档．1．排列与组合的概念名称定义按照一定的顺序排成从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素组合2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示．3．排列数、组合数的公式及性质n！(1)Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝nn－m！公式nn－1n－2…n －m＋1n！Amnm(2)Cn＝m＝＝Amm！m！n－m！性质(1)0！＝1；Ann＝n！一列合成一组排列mn(2)Cn＝Cn－mmm1；Cm__n＋1＝Cn＋Cn－题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“某”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(某)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(某)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)m(5)若组合式C某n＝Cn，则某＝m成立．(某)k1(6)kCkn＝nCn－1.(√)－题组二教材改编2．[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．答案24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4某3某2＝24.3．[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．答案483解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A4种，3共有A12A4＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案216解析第一类：甲在左端，有A55＝5某4某3某2某1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4某4某3某2某1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________．答案54011C46C2C1解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A323A2213＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C3C1A3＝360(种)；22C26C4C23③每个国家各派2名，有·A3＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.A336．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)答案45解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9某5＝45(种)．题型一排列问题1．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40某39＝1560(条)留言．2．用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________．答案4322解析根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A2种排法；第二步，将22,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A4种232排法．综上，共有C23A2A3A4＝3某2某6某12＝432(种)排法．3．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________．答案864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A4再排数字6，由于数字6不与3相邻，4＝24种排法，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，2故共有A44某3某A4＝864(种)排法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．323(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C35－C34＝C34＝5984种取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．2(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C15＝2100种取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．223(4)选取2种假货有C1选取3种假货有C3共有选取方式C120C15种，15种，20C15＋C15＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C335，因此共有选取方式3C35－C315＝6545－455＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．方法二(直接法)2112选取3种真货有C320种，选取2种真货有C20C15种，选取1种真货有C20C15种，2112因此共有选取方式C320＋C20C15＋C20C15＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．。
江苏大学数学考试题及答案
江苏大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1在x=-1处的导数是多少？A. -2B. 0C. 2D. 4答案：C3. 如果一个数的60%是120，那么这个数是多少？A. 180B. 192C. 200D. 220答案：C4. 以下哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.333...D. 22/7答案：D5. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是多少？A. 7cmB. 14cmC. 28cmD. 21cm答案：A6. 以下哪个表达式是真值？A. ∅⊆ {0}B. {0} ⊆∅C. ∅⊂ {0}D. {0} ⊂∅答案：A7. 一个等差数列的前三项和为3，第六项是12，那么这个数列的公差是多少？A. 3B. 2C. 4D. 5答案：B8. 以下哪个选项是二元一次方程3x + 2y = 11的解？A. (3, 1)B. (2, 4)C. (1, 7)D. (4, 3)答案：A9. 以下哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C10. 一个几何级数的首项是1，公比是1/2，那么它的第五项是多少？A. 1/16B. 1/8C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限 lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)] 的值是________。
答案：412. 如果一个向量v = (3, -2)，那么它的模长是________。
答案：√1313. 一个二阶矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式是________。
答案：-214. 集合{1, 2, 3}与{3, 4, 5}的交集是________。
答案：{3}15. 如果一个函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f(x)在该区间内是________。
江苏大学数学考试题及答案
江苏大学数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=2x^3-3x^2+1在x=1处的导数是：A. 5B. -1C. 1D. 22. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系：A. 相离B. 相切C. 相交D. 内切3. 以下哪一项不是等差数列的性质？A. 相邻两项的差相等B. 任意两项的和相等C. 相邻两项的和相等D. 任意两项的差相等4. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值：A. 486B. 243C. 81D. 275. 若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B的元素个数是：A. 3B. 4C. 5D. 66. 根据三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，求sin(90°)的值：A. 0B. 1C. -1D. 27. 已知向量a=(3,2)，b=(-1,4)，求向量a与b的点积：A. -5B. -1C. 5D. 18. 以下哪个是正弦函数的周期？A. πB. 2πC. 3πD. π/29. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标是：A. (1,0)B. (1,1)C. (0,1)D. (2,1)10. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 3D. 4二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的标准方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。
若圆心坐标为(3,4)，半径为5，则该圆的方程为_________。
12. 函数y=|x-1|的图像在x=1处的切线斜率为_________。
13. 等差数列3, 7, 11, ...的第10项是_________。
14. 已知向量c=(1,-1)，d=(2,3)，向量c与d的向量积（叉积）为_________。
15. 函数y=sin(x)在x=π/6处的值为_________。
2025数学大一轮复习讲义苏教版 第二章 函数的概念及其表示
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一、单项选择题
1.(2023·西安模拟)函数f(x)＝
x＋1 －x2＋x＋6
＋ln(1－x)的定义域是
√A.(－2,1)
B.(－3,1)
C.(1,2)
D.(1,3)
－x2＋x＋6>0，
由题意可得1－x>0，
解得－2<x<1.
√B.函数 f(x)＝ x＋1－1x的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) √C.f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一个函数
D.若
f(x)＝|x－1|－x，则
f
f
12＝0
对于 A，函数 f(x)＝|xx|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数 g(x)＝
1，x≥0， －1，x<0
(2)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，求 f(x)的解析式；
0
(配凑法)f x2＋x12＝x4＋x14＝x2＋x122－2，
又 x2＋x12≥2 x2·x12＝2， 当且仅当 x2＝x12，即 x＝±1 时等号成立. 设 t＝x2＋x12， 则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2).
对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2， 得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)， 所以C正确； 对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域 为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确.
题型三 分段函数
例 3 (1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数 f(x)＝x－2，x＋－22，≤xx≥<11，， 则下列 关于函数 f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为 R
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一、单项选择题
1.(2023·西安模拟)函数f(x)＝
x＋1 －x2＋x＋6
＋ln(1－x)的定义域是
√A.(－2,1)
B.(－3,1)
C.(1,2)
D.(1,3)
－x2＋x＋6>0，
由题意可得1－x>0，
解得－2<x<1.
√B.函数 f(x)＝ x＋1－1x的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) √C.f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一个函数
D.若
f(x)＝|x－1|－x，则
f
f
12＝0
对于 A，函数 f(x)＝|xx|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数 g(x)＝
1，x≥0， －1，x<0
(2)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，求 f(x)的解析式；
0
(配凑法)f x2＋x12＝x4＋x14＝x2＋x122－2，
又 x2＋x12≥2 x2·x12＝2， 当且仅当 x2＝x12，即 x＝±1 时等号成立. 设 t＝x2＋x12， 则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2).
对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2， 得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)， 所以C正确； 对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域 为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确.
题型三 分段函数
例 3 (1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数 f(x)＝x－2，x＋－22，≤xx≥<11，， 则下列 关于函数 f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为 R
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∈ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} ,
f ∈ {1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
（１） 当a （２） 当a
∈ { 3 , 5 , 7 } 时，ｆ 只有 ４ 种取法，此时有 3 ⋅ 4 ⋅ p 84 = 12 p 84
4 4 ∈ { 2 , 4 , 6 ,8 } 时， ｆ 有 ５ 种取法， 此时有 4 ⋅ 5 ⋅ p 8 = 20 p 8
能够除尽 1400 的正整数的个数为： （3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24
4． 有 5 颗红珠子和 3 颗兰珠子装在圆板的四周，有多少种方案？若兰珠子放在 一起呢？若兰珠子不相邻呢？ 解： 若不加限制，即为圆排列，有 Q88 ＝7！ 若兰珠子放在一起 ，先把兰珠子看成一个作圆排列，后对 3 个兰珠 子作全排列，有 Q66 ×P33 ＝ 5！×3！ 若兰珠子不相邻， 先把红珠子作圆排列， 然 后 对 3 个兰珠子插入， 有 Q55 ×5×4×3＝ 4!×5×4×3
第一章
习
题
1． 1)求小于 10000 的含 1 的正整数的个数 2)求小于 10000 的含 0 的正整数的个数 解： 1)小于 10000 的不含 1 的正整数可看做 4 位数,但 0000 除外. 故有 9×9×9×9－1＝6560 个. 含 1 的有：9999－6560=3439 个 （另: 全部 4 位数有 10 个,不含 1 的四位数有 94 个, 含 1 的 4 位数为两个的差 : 104 －94 = 3439 个） 2)“含 0”和“含 1”不可直接套用， 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。 不含 0 的 1 位数有 9 个，2 位数有 92 个，3 位数有 93 个，4 位数有 94 个。不含 0 小于 10000 的正整数有 9+92 +93 +94 =9(1－94 )/(1－9)=7380 个 含 0 小于 10000 的正整数有：9999－7380=2619 个 2． 求 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数的个数。 解：设这个六位数为 ａｂｃｄｅｆ， 则a
因此， 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数有 32 3． 求能够除尽 1400 的正整数的个数。
p 84 。
解： 考察对于任一个正整数 m 的因数数，首先将其进行质因数分解，设为：
r2 m = p1r1 ⋅ p2 ⋅L ⋅ pkrk ,
p1 , p2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,L, pk 为质数
m 的任一因数可以表示为如下形式：
s2 sk p1s1 ⋅ p 2 ⋅L ⋅ p k , 0 ≤ si ≤ ri , i = 1, k
于是，m 的因数数为：
( r1 + 1 ) ⋅ ( r2 + 1) ⋅ L ⋅ ( rk + 1)
于是，可以将 1400 进行质因数分解：
1
1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71
5．n （n>3）个顶点，没有四点共面，问能够构成多少个三角形？多少个四面体？ 解： 在 n 个顶点任意取 3 个顶点，由于没有四点共面，故这三点不共线，从而 可以确定一个三角形，于是在 n 个顶点任意取 3 个顶点，总有一个三角形与之 对应。 反之， 对于 n 个顶点确定的三角形中任意一个三角形， 由于没有四点共面， 从而总可以确定 n 个顶点中的 3 个顶点，于是，在 n 个顶点确定的三角形中任 意一个三角形，总可以在 n 个顶点找到 3 个顶点与之对应。 由此可见，n 个顶点确定的三角形与 n 个顶点中取 3 个顶点之间存在着一一 对应关系，n 个顶点确定的三角形数为 C（ n，3） 。 『 对于四面体，一样讨论： 在 n 个顶点任意取 4 个顶点，由于没有四点共面，从而可以确定一个四面 体，于是在 n 个顶点任意取 4 个顶点，总有一个四面体与之对应。 反之， 对于 n 个顶点确定的四面体中任意一个四面体， 由于没有四点共面， 从而总可以确定 n 个顶点中的 4 个顶点，于是，在 n 个顶点确定的四面体中任 意一个四面体，总可以在 n 个顶点找到 4 个顶点与之对应。 由此可见，n 个顶点确定的四面体与 n 个顶点中取 4 个顶点之间存在着一一 对应关系，n 个顶点确定的四面体数为 C（ n，4） 。 』
故共有 3C(100,3)+1003 =485100+1000000=1485100 『 从{1，2，…，4n}中选出 4 个数字，要求它们的和是 4 的倍数，有多少种不同 的选法？ 解： 将 1～4n 分成 4 类： A{i|i≡0(mod 4)}={1,5,9, … ,4n}, B ={i|i≡1(mod 4)}={1,5,9, … ,4n-3}, C={i|i≡2(mod 4)}={2,6,10, … ,4n-2}, D={i|i≡3(mod 4)}={3,7,11, … ,4n-1}. 要满足条件，有十种情况： 或者 4 个数同属于 A；或者 4 个数同属于 B；或者 4 个数同属于 C；或 者 4 个数同属于 D；或者 1 个数来自于 A，2 个来自于 B, 1 个数来自于 C；或 者 1 个数来自于 A，1 个来自于 C，2 个数来自于 D；或者 2 个数来自于 A，1 个来自于 B，1 个数来自于 D；或者 2 个数来自于 A，2 个来自于 C；或者 1 个数来自于 B，2 个来自于 C，1 个数来自于 D；或者 2 个来自于 B，2 个数来 自于 D。 故共有 4C(n,4)+ 4C(n,2) [C(n,1)]2 +2[C(n,2)]2 。 』
2
6．从 1～300 中取 3 个不同的数，使这 3 个数的和能被 3 整除，有多少种方案？ 解： 将 1～300 分成 3 类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种情况： 1) 3 个数同属于 A； 3) 3 个数同属于 C； 2) 3 个数同属于 B； 4) A,B,C 各取一数。