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组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
组合数学知识点组合数学是数学中的一个分支，研究的是离散的结构和计算方法。
它在数学中具有广泛的应用，包括计算、统计、密码学、信息科学等领域。
本文将介绍一些组合数学的基本概念和知识点。
一、排列与组合排列与组合是组合数学中最基本的概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式，它考虑元素的顺序。
而组合则是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，它不考虑元素的顺序。
1.1 排列在排列中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列，且要求选取的元素都不相同，则称为从 n 个元素中选取 r 个不同元素的排列，表示为 P(n, r)。
排列的计算公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
1.2 组合在组合中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素组成一个集合，且不考虑选取元素的顺序，则称为从 n 个元素中选取 r 个元素的组合，表示为 C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)二、二项式系数二项式系数也是组合数学中的重要概念。
对于任意非负整数 n 和非负整数 r，二项式系数 C(n, r) 表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。
二项式系数具有以下性质：1. 对称性：C(n, r) = C(n, n-r)2. 递推关系：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)二项式系数是组合数学中的基本构建块，它在代数、概率、统计等领域中有重要的应用。
三、图论中的组合数学组合数学在图论中有广泛的应用。
以下是几个常见的图论中的组合数学知识点：3.1 树和森林在图论中，树是一个没有回路的连通图。
一个有 n 个顶点的树含有 n-1 条边。
而森林是由若干个不相交的树组成的图。
3.2 图的匹配图的匹配是指一个图中的边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
组合排列知识点总结图组合和排列是组合数学中的两个基本概念，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。
一、组合的基本概念1.1 定义组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数，记作C(n,m)。
1.2 性质（1）组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m)；（2）组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；（3）组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
1.3 计算方法（1）排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素，再对选出的元素进行排列，计算出不同子集的个数；（2）递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数；（3）公式法: 利用组合数的定理计算组合数。
1.4 应用组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用，例如在概率中用于计算事件的发生可能性，在密码学中用于设计密码系统等。
二、排列的基本概念2.1 定义排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数，记作A(n,m)。
2.2 性质（1）排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1)；（2）排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。
2.3 计算方法（1）递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数；（2）公式法: 利用排列数的定理计算排列数；（3）循环法: 利用循环的方法计算排列数。
2.4 应用排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构，在经济学中用于研究排列相关的问题等。
三、组合排列的应用3.1 组合排列的求解（1）组合排列的具体问题求解：如从10个不同的元素中取3个元素，求排列数和组合数等；（2）组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。
2008年高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理1.两个原理.（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘. （2）一个模型： 影射B A f →:个数若A 有年n 个元素，B 有m 个元素，则从A 到B 能建立nm 个不同的影射①n 件不同物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） ②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f 中满足条件f （3）=3的影射个数是多少？ ④求一个正整数的约数的个数 （3）含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n=.如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .2.排列数mnA 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N . (1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。
如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为 （答：3）； （2）满足2886xx A A -<的x ＝ （答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn n mm A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =.如已知16mn mnm n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质： ①mn m nn C C -=；②111mm m nn n C C C ---=+；从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C11+-=+.③11kk nn kC nC --=；111111+++=+k n k n C n C k④1121++++=++++r n r n r r r r rrC C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. (4)常用的证明组合等式方法. ① 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）n.n!=(n+1)!-n! ② 导数法. ③ 数学归纳法. ④倒序求和法. 1321232-=++++n nn n n n n nC C C C一般地：已知等差数列{a n }的首项a 1，公差为d ，a 1C 0n＋a 2C 1n＋a 3C 2n＋…＋a n ＋1C nn=（2a 1＋nd )·2n -1．⑤ 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .⑥ 构造二项式. 如：n nn n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22110nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅-- ，22120)()()(n n n n C C C +++= 而右边n n C 2=. 更一般地：rnm r n m n r m n r m C C C C C C C +-=+++01103.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合． 如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有 组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
高中数学组合数学与排列数学知识点总结组合数学和排列数学都是高中数学中的重要内容，它们不仅在学科内部有深入的应用，还在许多实际问题中发挥着重要的作用。
本文将对高中数学中的组合数学与排列数学知识点进行总结和归纳。
一、组合数学知识点总结1.1 定义及性质组合数学是研究离散结构的一门学科，其中组合数是其中的一个重要概念。
组合数表示从n个不同元素中选取r个元素的所有可能情况的个数，记作C(n,r)或者(nCr)。
组合数有以下性质：- C(n,0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素，只有一种情况，即空集。
- C(n,n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素，只有一种情况，即全集。
- C(n,r) = C(n,n-r)，表示从n个元素中选取r个元素与选取剩下的n-r个元素是等价的。
1.2 组合的计算方法计算组合数可以使用以下方法：- 递推公式：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，即组合数等于上一层的左上方和正上方的组合数之和。
- 公式法：C(n,r) = n! / [(n-r)! * r!]，即组合数等于n的阶乘除以剩下的n-r个元素的阶乘和r个元素的阶乘的乘积。
1.3 组合数的应用组合数在实际问题中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：组合数可以用于计算事件发生的概率。
- 集合的子集计数：组合数可以计算集合的子集个数。
- 礼物分配问题：组合数可以用于计算礼物分配的方式。
- 编码组合问题：组合数可以用于计算编码方式的组合数。
二、排列数学知识点总结2.1 定义及性质排列数学是研究有序排列的一门学科，其中排列数是其中的一个重要概念。
排列数表示从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的所有可能情况的个数，记作P(n,r)。
排列数有以下性质：- P(n,1) = n，表示从n个元素中选取1个元素进行排列，排列结果个数等于元素个数。
- P(n,n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，排列结果个数等于n的阶乘。
组合数学知识点总结组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合、排列和组合等离散的数学结构。
在现代科学和工程中，组合数学经常被应用于计算机科学、密码学和操作研究等领域。
本文将对组合数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论基础在组合数学中，集合是一个基本概念。
集合由元素组成，元素可以是具体的对象或者抽象的个体。
在集合论中，常用的符号有∈表示“属于”，∉表示“不属于”，∪表示“并集”，∩表示“交集”，∖表示“差集”，等等。
二、排列与组合1. 排列排列是从集合中选择一部分元素按照一定的顺序排列，其重要性质有：- 有序性：排列的元素是有顺序的。
- 可重复性：元素可以重复使用。
2. 组合组合是从集合中选择一部分元素不考虑顺序的组成一个组合，其重要性质有：- 无序性：组合的元素无顺序要求。
- 不可重复性：元素不可重复使用。
三、二项式定理与多项式定理1. 二项式定理二项式定理是组合数学中一个基本且重要的定理，它用于展开二次幂或高次幂的多项式。
二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n * b^0 + C(n, 1)a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n)a^0 *b^n其中，C(n, k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
2. 多项式定理多项式定理是二项式定理的推广，用于展开更高次幂的多项式。
多项式定理的公式为：(a1 + a2 + ... + ak)^n = Σ C(n, k1, k2, ..., km)a1^k1 * a2^k2 * ... *ak^km其中，Σ表示对所有组合进行求和，C(n, k1, k2, ..., km)为多重组合数，表示从n个元素中选择k1个元素作为第一项，k2个元素作为第二项，以此类推。
四、图论基础图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图及其性质。
图是由节点和边组成的一种数学结构，用于描述事物之间的关系。
图论中的一些基本概念和算法包括：- 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
组合数学知识点归纳总结一、集合和排列集合和排列是组合数学中最基本的概念。
集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。
在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。
1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。
2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。
3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。
二、组合组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。
在组合中，有一些重要的性质和定理。
1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =n!/(k!(n-k)!)。
2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。
Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。
例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。
三、图论图论是研究图和网络结构的数学理论。
在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。
1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。
图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。
2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。
组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科，它涉及离散数学的一部分内容。
组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关，它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。
在实际应用中，组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。
一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列，组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。
组合数学的基础知识就是排列组合。
其中，排列的计算公式为：$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为：$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。
在代数表达式$(a +b)^n$中，展开后的每一项的系数称为二项式系数。
根据二项式定理，二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。
具体来说，二项式系数可以表示为：$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。
简单来说，抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时，至少存在一个抽屉中放置了多个物体。
抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些排列组合问题。
四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。
容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。
具体来说，对于两个集合A和B，容斥原理可以表示为：$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。
生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数，从而方便求解数列的性质。
通过生成函数，我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。
在组合数学中，生成函数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种组合问题。
六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。
例如，图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。
组合数学知识点总结组合数学是数学的一个分支,主要研究离散对象的组合和排列,包括组合数、排列数、计数原理、概率论和统计学等内容。
以下是一些组合数学的知识点总结:1. 计数原理:研究有多少个不同的元素有n个不同的排列,就有(n choose k) = n! / (k! * (n - k)) 种不同的组合。
其中,n choose k 表示从n个元素中选择k个元素的方案数,n! 表示n个元素的元素的全排列,k! 表示k个元素的元素的全排列。
2. 组合数:组合数是描述离散对象组合性质的数学量,包括完全组合数、部分组合数、排列组合和计数组合等。
完全组合数表示从n 个元素中选出k个元素的方案数,包括从1到n的所有可能取值;部分组合数表示从n个元素中选出k个元素的组合数,即 n选k 的系数;排列组合指的是从n个元素中选出k个元素的组合数,即n! / (k! * (n - k));计数组合指的是从n个元素中选出k个元素的组合数,仅考虑k个元素中前面的n-k个元素。
3. 排列与组合:排列是指从n个元素中选取任意一个元素进行排列,即p(n,k)表示从n个元素中选取k个元素进行排列的方案数;组合是指从n个元素中选取任意一个元素进行组合,即c(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
排列与组合的综合运用可以计算组合数和计数组合。
4. 概率论:概率论主要研究随机事件的可能性和随机变量的分布,其中概率分布是描述随机变量可能性大小的情况。
常见的概率分布包括泊松分布、正态分布、伽马分布等。
5. 离散概率空间:离散概率空间是指由离散事件和离散概率构成的数学空间。
离散概率空间可以分为连续概率空间和离散概率空间,其中连续概率空间是指可以用连续变量描述的数学空间,离散概率空间是指由离散事件和离散概率构成的数学空间。
离散概率空间中的随机变量的分布可以用概率分布理论解释。
2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理1.排列数mn A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤- ；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅ 。
(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!mmn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅- ；规定01！=，01n C =.(3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
如（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。
（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
如（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
组合数知识点总结1. 组合数的基本概念组合数通常表示为C(n, m)，表示从n个元素中取出m个元素的方式数。
计算组合数的公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
组合数计算的本质是从n 个元素中选择m个元素的所有可能性。
2. 组合数的计算方法组合数的计算方法包括递推公式、排列组合公式和杨辉三角形等方法。
（1）递推公式：组合数的递推公式表达了组合数之间的递推关系。
计算C(n, m)的递推公式为：C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)递推公式的思想是将从n个元素中取出m个元素的方式数分解成两部分，一部分是包含第n个元素的方式数，另一部分是不包含第n个元素的方式数。
（2）排列组合公式：排列组合公式是通过组合数的阶乘定义推导得出的计算公式。
排列组合公式包括乘法原理和除法原理两种计算方式。
乘法原理指的是从n个元素中取出m 个元素的方式数等于n个元素的排列数乘以m个元素的排列数的倒数，即：C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / (m! * (n - m)!)除法原理指的是从n个元素中取出m个元素的方式数等于n个元素的排列数除以m个元素的排列数，即：C(n, m) = A(n, m) / A(m, m) = n! / (m! * (n - m)!)（3）杨辉三角形：杨辉三角形是一种规律的数学图形，其中的每个数都等于它上方和斜上方的两个数之和。
在杨辉三角形中，组合数C(n, m)可以直接从三角形中读出，它位于第n行第m列的位置。
3. 组合数的应用场景组合数在概率论、统计学、排列组合问题等领域都有着广泛的应用。
下面我们将介绍组合数在不同领域的具体应用场景。
（1）排列组合问题：排列组合问题是指从一组元素中选择若干个元素的所有可能性。
2008高考数学总复习 组合●知识梳理1.组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C m n 表示.2.组合数公式C m n =!)!(!m m n n -.3.组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n-；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . ●点击双基1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是A.140B.84C.70D.35解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C 24·C 15种； ②1台甲型2台乙型，有C 14·C 25种. ∴C 24·C 15+C 14·C 25=30+40=70（种）.答案：C特别提示先从甲型、乙型中各抽1台，有C 14·C 15种，再从余下的中选1台，有C 17种， 故有C 14·C 15·C 17=140（种）.解法不正确.2.（2004年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于A.101B.51C.103D.52 解析：n =C 35=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m =2.∴n m =102=51. 答案：B3.已知{1，2}⊆X ⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X 共有_____________个. A.2B.6C.4D.8解析：由题意知集合X 中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故有C 03+C 13+C 23+C 33=8（个）.答案：D4.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.解析：设四棱锥为P —ABCD .（1）P ：C 15，A ：C 14，B ：C 13，C 与B 同色：1，D ：C 13. （2）P ：C 15，A ：C 14，B ：C 13，C 与B 不同色C 12，D ：C 12. 共有C 15·C 14·C 13·1·C 13+C 15·C 14·C 13·C 12·C 12=420.答案：4205.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C 79=C 29=36.答案：36 ●典例剖析【例1】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.以只会英语的人数分类，C 06·C 11·C 12+C 16·C 23=20.【例2】 设集合A ={1，2，3，…，10}，（1）设A 的3个元素的子集的个数为n ，求n 的值；（2）设A 的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a 1，a 2，…，a n ，求a 1+a 2+a 3+…+a n的值.解：（1）A 的3元素子集的个数为n =C 310=120.（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C29个，因此a1+a2+…+a n=C29×（1+2+3+…+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.【例3】从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有C110C110C110种；②仅在A中取3个数，有C310种；③仅在B中取3个数，有C310种；④仅在C中取3个数，有C310种.故由加法原理得共有C110·C110·C110+3C310=1360种.评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.思考讨论讨论下面的问题：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A24个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A24+9=21.【例4】如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？AB解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C47=C37=35条.深化拓展1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？B解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走（n +m －2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n －1）段，其余的为南北方向的（m －1）段，所以共有C 12--+m n m =C 12--+n n m 种走法.2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_____________.解：设一步一级x 步，一步两级y 步，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+.2,61028y x y x y x 故走完楼梯的方法有C 28=28种.●闯关训练 夯实基础1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 A.240种B.180种C.120种D.60种解析：先从6双手套中任选一双，有C 16种取法，再从其余手套中任选2只，有C 210种，其中选一双同色手套的选法为C 15种.故总的选法数为C 16（C 210－C 15）=240种.答案：A2.（2004年江苏，3）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A.140种B.120种C.35种D.34种解析：7人中任选4人，共C 47种选法，扣除只有男生的选法C 44，就可得有既有男生，又有女生的选法C 47－C 44=34.答案：D3.（2004年湖北，理14）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答）解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C 310种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，∴共有2C 310=240种.答案：2404.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.解析：把6个班均匀分为3份，有33222426A C C C 种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有33222426A C C C A 33=C 26C 24C 22种.答案：905.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.①3辆车都从1个队抽，有C 17种；②3辆车从2个队抽，有A 27种；③3辆车从3个队抽，有C 37种.综上所述，共有C 17+A 27+C 37=84种.6.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种?解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.故有C 44+C 34C 16+C 24C 26+C 14C 36=195种.解法二：取出4个球总分低于5分只能是4个白球，故有C 410－C 46=195种.培养能力7.（理）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.解：按“多面手”的参与情况分成三类.第一类：多面手不参加，这时有C45C44种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有C12C35C44+C45C12C34种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C22C25C44+C45C22C24+C12C35C11C34种.综上分析，共可开出C45C44+C12C35C44+C45C12C34+C22C25C44+C45C22C24+ C12C35C11C34=185种.评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有C45C46+C35C12C45+C25C22C44=185种.（文）某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?解：（1）C234=561.（2）C334=5984.（3）C215·C120=2100.（4）C215·C120+C315=2555.（5）C320+C220C115+C120C215=6090.探究创新8.有点难度哟！从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?解：（1）若取出的2个数都大于50，则有C250种.（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，当取1时，另1个只能取100，有C11种取法；当取2时，另1个只能取100或99，有C12种取法；……当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C150种取法，所以共有1+2+3+ (50)25150⨯.故取法种数为C250+25150⨯=24950⨯+25150⨯=2500.●思悟小结1.组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.3.解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.4.各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.●教师下载中心教学点睛1.要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行.2.熟练掌握组合数公式的两种形式.拓展题例【例题】某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.解：（1）C49=126种.（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有C36C24=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C12（C26C24）种，作后卫位有C12（C36C14）种，共C12（C26C24）+C12（C36C14）=340种；③甲、乙都上场，有C16C24+C36C04+C12（C26C14）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.。
《组合》知识小结_数学论文一、学习目标 1.理解组合的意义。
2.掌握组合数公式，并能运用它解决简单的组合问题。
重点：组合数的意义及组合数公式的推导公式。
难点：用组合数公式解决有关问题。
二、知识网络三、知识精析 1.组合与组合数(1)组合①1组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
②对“取出”的正确理解：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，是指一次取出m个具体的元素构成的一个组合。
③组合的实质：所谓组合是把几个事物放在一起，不计顺序，而且事物之间两两不同，当做一个组。
组合的概念与集合类似，一个组合和一个集合都由其元素惟一确定。
④排列与组合的区别：二者的共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是组合与顺序无关，排列与顺序有关。
⑤注意：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，即使只有一个元素不同，就是不同的组合。
(2)组合数①组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn 表示。
②“组合”与“组合数”是两个不同的概念，一个组合不是一个数，而是具体的一件事，而组合数是一个数。
③组合数公式(应掌握推导方法) 。
④组合数公式的推导思路是依据乘法原理，同时也要注意其推导思路在解一些应用题时，常常用到。
2.组合数的性质(1)性质1 。
①性质1的实质是n个不同元素中取出m个元素的组合与剩下的n-m个元素的组合是一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。
②性质1的对称性由此可以发现，起初的逐渐增加，最后的逐渐减少，必在中间取得最大值。
经分析可得出如下结论：如果n=2k，则最大；如果n=2k+1，则，相等且最大。
(2)性质2 。
①要注意它的各种变形，在解题中可灵活的加以应用。
