排列组合复习提纲

排列与组合基本知识点复习
1、排列、排列数的概念；排列数公式
2、组合、组合数的概念；组合数公式；组合数的性质
3、排列与组合的联系与区别
4、求排列数与组合数的常用方法和原则：
①注意方法：
相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；
多排问题单排法；定序问题倍缩法(先排后除)；
定位问题优先法（特殊优先）；有序问题分步法；
多元问题分类法；交叉问题集合法；
至少（多）问题间接法；选排问题先取后排法（先选后排）；
复杂问题转化法；局部与整体排除法.
②其他方法：
小集团先整体后局部；隔板法；平均分组和分派；不平均分组和分派；实际操作穷举法.。

排列、组合及其应用（第1课时）知识要点：1. 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。

2. 排列数公式：mnA =(1)(2)(1)n n n n m ---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤）；规定：0!= 1。

3. 组合的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

所有组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示。

4. 组合数公式：m nC =mn m m A A =!!()!n m n m -),,(n m N m n ≤∈*且 5. 组合数的性质（1）m n n m n C C -=；规定：0n C = 1 ；（2）11m m m n n nC C C -+=+ 。

典型范例：例1：解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C 。

分析：此题由于2x +一定大于2x -和3x -，所以只需要3x +大于3，而方程的左边可以通过组合数的性质（2）进行计算，另外此题适合用阶乘表示。

解：由2333110x x x C A -++=，得5333110x x C A ++= (3)!1(3)!5!(2)!10!x x x x ++=⋅⋅- 5!10(1)x x =⋅-解得4x =或3-∵33x +≥ ∴4x =点评：涉及排列数或者组合数的不等式，首先要注意使式子有意义，其次是根据情况，将m n A 或m n C 写成展开形式或者阶乘形式。

例2：有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”．解：(1)法一(元素分析法) 先排甲有6种, 其余有88A 种, 故共有886A 种排法法二(位置分析法) 除了甲之外的8个人排在中间和两端的位置，有38A 种排法，包括甲在内的其余6人排在其它位置，有66A 种排法,故共有3686241920A A ⋅=种排法法三(等机会法) 9个人的全排列数有99A 种, 甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是9962419209A ⋅=种 法四(间接法)98983241920A A -=种(2) 先排甲、乙，再排其余7人,共有272710800A A ⋅=(3)(插空法)先排4名男生有44A 种排法,再将5 名女生插空有55A 种排法,故共有45452880A A ⋅=种排法点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、优先考虑特殊元素（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．例3：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A 、B 、C 三人必须入选（2）A 、B 、C 三人不能入选（3）A 、B 、C 三人只有一人入选（4）A 、B 、C 三人至少一人入选（5）A 、B 、C 三人至多二人入选。

一、排列组合知识1.两个原理 （分类记数原理和分步记数原理）2.两个概念（排列和组合的概念）学习中注意突出几点：(1)如何确定元素和位置的关系，•元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。

以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。

例1（2007全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A 、10种B 、20种C 、25种D 、32种（2）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。

例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？3.两类基本公式排列数公式： 规定：0！=1组合数公式： 10==n n n C C 特别地：4.两类基本性质.组合性质1:组合性质2:例3求和：C22+C32+C42+……+C1002.二、排列组合典型题解答策略排列组合应用问题，大致可分为三类：（1）简单的排列或组合题，可以根据公式直接求结果（不带限制条件）（2）带有限制条件的排列或组合题，有两种计算方法直接法：把符合限制条件的排列或组合数直接计算出来。

间接法：先暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后从中减去所有不符合条件的排列或组合种数。

（3）排列组合综合问题，采取先选后排的原则，要作到合理分类。

1.特殊元素和特殊位置优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列，要注意相邻元素内部间也存在排列。

排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

计数原理复习提纲一、高考要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题. 4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.二、知识结构→⎡⎢→→⎢⎣→二项式定理二项展开式的性质二项式系数的性质三、知识点拨（一）两个基本原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”： （1）对于加法原理有以下三点：①“斥”——互斥独立事件； ②模式：“做事”——“分类”——“加法” ③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。

（2）对于乘法原理有以下三点：①“联”——相依事件； ②模式：“做事”——“分步”——“乘法” ③关键：抓住特点进行分步，正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。

（二）排列1．排列定义 2．排列数定义 3．排列数公式： 4.排列的应用问题（1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

（三）组合1．组合定义 2．组合数定义 3．组合数公式4．组合数的两个性质 5．组合的应用问题（1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的组合问题，可根据限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

（四）排列、组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： （1）限制条件的排列问题常见命题形式：①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。

②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。

③“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲：排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：对于一件事情，有两种不同的方案，第一类方案有m种不同的方法，第二类方案有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。

二、排列数1.组合：从n个元素中取出m个元素，记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列：1）全排列：将n个元素全排列，记作Ann!2）从n个元素中取出m个元素，并将这m个元素全排列，记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和：Cnr2.展开式的第r项：Tr+1Cnr例题1：(x-1)4的展开式中的常数项是（）A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2：在二项式(x-2y) 5的展开式中，含x2y3的项的系数是（）A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练：1、在二项式(x21)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是（）A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中，含x2y4的项的系数是（）A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中，x2的系数等于？6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为？7、(x22)2x的展开式中常数项是70，则n=？若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40，则a=？四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题，弄清要做什么事；2.确定采取分步还是分类，或分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

最新选修2-3第一章排列组合复习提纲（好!）电子教案数学选修2-3第一章计数原理复习提纲班级姓名一．两个原理1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用．．．．．．．．．．．，求方法数时常用基本原理求解。

【主要类型题】（一）两个计数原理的应用（关键要判断是分类还是分步）①分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

②分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

【练习：】1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有种。

2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法。

3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有种。

4.从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有___种不同的抽法。

数字和为偶数的卡片共有___种不同的抽法。

5.（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？6、从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到＿＿＿＿个不同的对数值。

7.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种(二)涂色和种植问题--常用方法：(1)以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算（2）对于不相邻的区域，常分为同色和不同色．．．．．．两类，这是常用的分类标准（3）以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高考排列组合知识点归纳精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第四讲 排列组合一、分类计数原理与分步计数原理：1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法；在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完场这件事共有m+n 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，在第1步有m 种不同的方法；在第2步有n 种不同的方法，那么完场这件事共有n m ⨯种不同的方法。

二、排列数：1、组合：n 中取m 个，记作m n C（1）阶乘：12)2)(1(!⋅--= m m m m2、排列：（1）全排列：将n 个数全排列，记n n A（2）12)2)(1(⋅--= n n n A nn（3）n 中取m 个，并将m 个数全排列：mm m n m nA C A = 三、二项式定理：nn n n n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(+++=+-- 1、二次项系数之和：nn n n n C C C C +++ 2102、展开式的第r 项：rn r C T =+1例题1：4)1(xx -的展开式中的常数项是（ ）A 、6B 、4C 、-4D 、-6例题2：在二项式5)221(y x -的展开式中，含32y x 的项的系数是（ ）A 、-20B 、-3C 、6D 、20★随堂训练：1、在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A 、-10B 、10C 、-5D 、52、52)21(x x-的展开式中的常数项是（ ） A 、5 B 、-5 C 、10 D 、-103、在二项式6)3(y x +的展开式中，含42y x 的项的系数是（ ）A 、45B 、90C 、135D 、2704、已知关于x 的二项式nxa x )(3+的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（ ）A 、1 B 、1± C 、2 D 、2± 5、4)31)(21(x x --的展开式中，2x 的系数等于 。

辅导讲义一、教学目标排列组合复习1.对排列组合的基础知识复习2.排列组合常规题型的训练理解二、上课内容1. 复习排列组合知识点2. 对排列组合一些题型讲解，区别排列与组合3. 习题训练4. 评讲小结三、课后作业见课后四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________第十二章排列组合高考导航考试要求重难点击命题展望排列、组合1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的应用.本章难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的问题.排列组合是学习概率的基础，其核心是两个基本原理.高考中着重考查两个基本原理，排列组合的概念及二项式定理.随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式；3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率；4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义.本章重点：1.随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；2.古典概型、几何概型的概率计算.本章难点：1.互斥事件的判断及互斥事件概率加法公式的应用；2.可以转化为几何概型求概率的问题.本部分要求考生能从集合的思想观点认识事件、互斥事件与对立事件，进而理解概率的性质、公式，还要求考生了解几何概型与随机数的意义.在高考中注重考查基础知识和基本方法的同时，还常考查分类与整合，或然与必然的数学思想方法，逻辑思维能力以及运用概率知识解决实际问题的能力.知识网络12.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理典例精析题型一分类加法计数原理的应用【例1】在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有种取法.【点拨】采用列举法分类，先确定一个加数，再利用“和大于20”确定另一个加数.【变式训练1】(2010济南市模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8题型二分步乘法计数原理的应用【例2】从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有种.题型三分类和分步计数原理综合应用【例3】(2011长郡中学)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有.【点拨】染色问题是排列组合中的一类难题.本题能运用两个基本原理求解，要注意的是分类中有分步，分步后有分类.【变式训练3】(2009深圳市调研)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且1,5,9号小正方形涂相同颜色，则符合条件的所有涂法有多少种？总结提高分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同方法或种数的问题，其区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分若干类，类与类之间要互斥，用任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事要分若干步，步骤之间相互独立，各个步骤相互依存，缺少其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分清完成一件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个基本计数原理的基础.12.2 排列与组合典例精析题型一排列数与组合数的计算【例1】计算：(1)8！＋A66A28－A410；(2) C33＋C34＋…＋C310.【点拨】在使用排列数公式A m n＝n！(n－m)！进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练1】解不等式x9A＞629A x.题型二有限制条件的排列问题【例2】 3男3女共6个同学排成一行.(1)女生都排在一起，有多少种排法？(2)女生与男生相间，有多少种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第97项是多少？题型三有限制条件的组合问题【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？总结提高解有条件限制的排列与组合问题的思路： (1)正确选择原理，确定分类或分步计数； (2)特殊元素、特殊位置优先考虑； (3)再考虑其余元素或其余位置.12.3二项式定理典例精析题型一 二项展开式的通项公式及应用 【例1】 已知n xx )21(4的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)求证：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项.【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n 或r 后，再求所需的项(要注意n 和r 的数值范围及大小关系)；(3) 注意区分展开式“第r ＋1项的二项式系数”与“第r ＋1项的系数”. 【变式训练1】若(x x ＋32x)n的展开式的前3项系数和为129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项？如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.题型二运用赋值法求值【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且a1＋a2＋…＋a n－1＝29－n，则n＝；(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝.【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.【变式训练2】设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值.题型三二项式定理的综合应用【例3】求证：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.【变式训练3】求0.9986的近似值，使误差小于0.001.总结提高1.利用通项公式可求展开式中某些特定项(如常数项、有理项、二项式系数最大项等)，解决这些问题通常采用待定系数法，运用通项公式写出待定式，再根据待定项的要求写出n、r满足的条件，求出n和r，再确定所需的项；2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段；3.利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，使得二项展开式的每一项都成为除数的倍数.对于余数问题，要注意余数的取值范围.11。

组合知识点1 组合的定义（重点；理解）一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.知识点2 组合数与组合数公式（重点；掌握）1） 组合数的定义从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示， 规定01n C =.2）组合数公式 （1）公式*(1)(2)...(1)(,,)!m m n nm m A n n n n m C m n N m n A m --⋅⋅-+==∈≤；(用于求值) （2）公式!!()!m n n C m n m =-*(,,)m n N m n ∈≤.（一般用于化简、证明）. 知识点3 组合数的两个性质（难点；掌握）性质1：m n m n nC C -=. 性质2：11m m m n n n C C C -+=+.考点1：排序组合例1 （1）有,,,a b c d 四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；（2）有,,,,A B C D E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.考点2：组合数的计算或证明例2 化简（1）5555555567891011C C C C C C C ++++++；（2）(2)!()!!(1)!...2!!m m n m m n +++++++.(*,m n N ∈).（3）98199100200C C +； （4）383321n n n n C C -++； （5）求证*1,(,,)m m n n n C C m n n m N n m-=<∈-考点3：利用组合知识解决实际问题例4 有6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得一本，一人得两本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆.例5 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外有2名师傅既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？考点4：与几何有关的组合应用题例6 已知平面M内有4个点，平面N内有5个点.（1）这九个点最多能确定多少个平面？（2）这九个点最多能确定多少个四面体？6 （1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？考点5：产品抽取问题例7 在产品质量检验时，常从产品中抽取一部分进行检查，现有200件产品，其中有197件正品，3件次品，从中任意抽取5件检查.（1）共有多少种不同的抽法？（2）至少有2件是次品的抽法有多少种？考点6：分组问题与分配问题例8 将4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.（1）有多少种放法？（2）每盒有一个球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（5）若把4个不同的小球换成4个大小相同的小球放入盒子中，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？考点7：排列、组合综合应用问题接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，那么共例9 从6名运动员中选出4人参加4100m有多少种不同的参赛方法？同步练习—组合1（2009湖南）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）.2（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）.3（2010湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所有数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）.4（2011合肥）在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须男生参加考试.学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（ ）.5（2010全国）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）种.6(2010重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）种.7（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种.8（2010江西）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有（ ）种.9（2011天津）把5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分发种数为( ).10 袋中有红、黄、白三种颜色的球各2个，从中任意取出4个球，试求恰得2个红球和2个其他不同颜色的球的取法有多少种？11 有9名工人，其中4人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现在从中选3人排版，3人印刷，共有多少种选法？12 已知56711710m m mC C C -=，求m .同步训练—组合21.不等式321010n n C C --<的解为（ ）A. 37n ≤≤B. 36n ≤≤C. 3,4,5n =D. 3,4,5,6,7n =2. 9796959898982C C C ++= ( ) A. 9799C B. 97100C C. 9899C D. 98100C 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人参加，则不同的选派方法有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 30种 D. 10种3. 某食堂中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：（1）任选两种荤菜，两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜，两种蔬菜和蛋炒饭，则每天午餐的不同搭配方法有（ ） A. 22种 B. 56种 C. 210种 D. 420种4.从4台A 型笔记本电脑和5台B 型笔记本电脑中任意选取3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ） A.140种 B.84种 C.70种 D.35种5.已知集合A=1234123{,,,,,,}a a a a b b b ，其中1234,,,a a a a 为a 类元素，123,,b b b 为b 类元素.从集合A中取出3个元素再组成集合，其中至少有一个b 类元素组成的不同集合的个数是（ ）.A.42B.31C.27D.216. 某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有（ ）种.7.5枚相同的白棋子和3枚相同的黑棋子排成一行，可以得到（ ）种不同的图案.8.五位大学毕业生被某工厂招聘去1234,,,A A A A 四个部门上岗，其中4A 岗位需要2人，其余岗位各需要1人，而大学生甲因专业限制不能上12,A A 岗位，那么上岗的不同方法有（ ）种.9.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.其中恰有2个盒子不放球，有多少种方法？10.“抗震救灾”，在“四川5.12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？11.设集合A={1,2,3,4,...,10}，求所有的集合A 的三元子集（含有3个元素的子集）中的各元素之和.。