2023届数学二轮复习讲练测：专题09 排列组合高考常见小题全归类(精讲精练)(原卷版)

2023年高考数学考点复习——排列组合考点一、排列例1、A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．60种答案：A解析：A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，考虑A ，B 作为一个整体，所以不同的排法种数为4424A =种.故选：A例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（ ） A ．48种 B ．96种 C ．240种 D ．480种答案：D解析：特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有12A 种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有152252480A A A =(种)．故选：D例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A ．216种 B ．240种 C ．288种 D ．384种答案：D解析：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性， 乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性， 所以6人的名次排列情况可能有4444384A ⨯⨯=种． 故选：D ． 跟踪练习1、A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A ，B ，C 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B 说：“你的名次在C 之前．”对C 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（ ） A ．108 B ．120 C ．144 D ．156答案：A解析：因为A ，B ，C 都没有得到冠军，所以从D ，E ，F 中选一个为冠军，有13C 种可能． 因为C 不是最后一名，B 的名次又在C 之前，所以最后一名有13C 种可能，剩下4个位置．因为B ，C 定序，所以有442212 A A =种可能，所以6人的名次排列有3312108⨯⨯=种不同情况．故选：A2、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A．14B．16C．512D．724答案：A解析：用根6算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为1,2,3；1,2,7；1,3,6；1,6,7，三位数有1,2,3；1,2,7；1,3,6；1,6,7这四种情况每一种情况三个数的全排列，有334A种，能被3整除的基本事件的个数为1,2,3的全排列，有33A种，所以这个三位数能被3整除的概率为3333A14A4=，故选：A.3、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A．112B．16C．15D．13答案：D解析：总共的降落方法有66720A=(种)，1号与6号相邻降落的方法有：42521202240A A=⨯=(种)1号与6号相邻降落的概率为：2401 7203=，故选:D4、甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）A．19B．16C．13D．12答案：A解析：当甲､乙两人分配到不同的赛区时，有236A=种分法，当甲､乙两人分配到相同的赛区时，有3种分法， 则总共有6+3=9种分法，而甲､乙都被分到汉中赛区仅1种分法， 所以甲､乙都被分到汉中赛区的概率为19.故选：A.5、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答) 答案：48 解析：根据题意，分3步进行分析：安排甲乙丙，要求甲、乙均在丙的同侧，有2224A =种情况；将戊安排在3人的空位中，有4种情况；4人排好后，有5个空位，由于丙丁不相邻，则丁的安排方法有3种； 则有44348⨯⨯=种不同的排法， 故答案为：48．6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种. 答案：120解析：根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有3560A =种安排方法，则有260120⨯=种不同的安排方法， 故答案为：120.7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A 、B 、C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A 、B 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答） 答案：52解析：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有3424A =种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C 项目，在剩下的4人中任选2人参加A 、B 项目，有2412A =种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A 项目，在剩下的4人中任选2人参加B 、C 项目，有2412A =种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B 项目，有144A =种选拔方法，则有241212452+++=.故答案为：528、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（ ） A ．288种 B ．144种 C ．96种 D ．48种答案：B解析：把甲乙两人捆绑成一个元素，有222A =种排法，现在相当于有5个元素排在5个位置上，先将丙排在中间3个位置中的某一个，有133A =种排法，再将剩余的4个元素排在剩余的4个位置上，有4424A =种排法，所以共有2324144⨯⨯=种排法.故选:B.9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（ ） A ．48个 B ．60个 C ．72个 D ．84个答案：B解析：把2，3，4捆绑在一起，作为一个元素排列，当1排在第一位时，有333336A A ⋅=种排法；当1排在第二位时，2，3，4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位，故共有3232224A A ⋅=种排法.由分类加法计数原理得，共有60种排法. 故选：B.10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ） A ．42种 B ．96种 C ．120种 D ．144种答案：C解析：因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻， 所以课程编排方案共有52521A A 1202=种，故选：C.11、一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________． 答案：49解析：将4个白球和5个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排， 每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为99A ，其中第4个球是白球的排法数为1848A A ，故所求概率为184899A A 4A 9P ==，故答案为：4912、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）答案：25200解析：一共有10条灯谜，共有1010A 种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有10102332233225200A A A A A =种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有25200种故答案为：25200. 考点二 组合例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（ ） A ．10 B ．20 C ．540 D ．1080答案：A解析：从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人， 即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个， 等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个， 将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，从中任取2个插入挡板，共有2510C =（种）方法，即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10. 故选：A例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种． 答案：60解析：先选一个人安排到甲村，有16C 种方法；再从剩下的5个人中选2个人安排到乙村，有25C ,最后把剩下的3个人安排到丙村，有33C 种方法，根据乘法分步原理共有12365360C C C =种方法.故答案为：60例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ） A ．10 B ．20 C ．60 D ．100答案：A解析：从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了） 故选：A 跟踪练习1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A 和B 两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案：B解析：由题意，分情况讨论，若A 和B 两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，则只需让甲或乙单独去一个社区即可，共224⨯=种情况； 若A 和B 两个社区分别有两个志愿者，则共有1224C ⨯=种情况； 因此共：448+=种不同的分配方案 故选：B2、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答） 答案：20解析：先将亮的7盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，进而在6个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有36=20C 种方法. 故答案为：203、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=______． 答案：5142728解析：从9个球中任取3个球有3984C =种不同的方法，1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有111333330C C C +=种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率3058414P ==． 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个．则()123339327918428C C P C ξ====． 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，则()123339327928428C C P C ξ====， 所以()5992701214282828E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故答案为：514；2728． 4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ） A ．20 B ．55 C ．30 D ．25答案：B解析：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有3735C =种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有3510C =种， 则有351025-=种不同的选取方案，故选：B ．5、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A 、B 、C 、D 四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A 社区安排1名、B 社区安排2名、C 社区安排3名，剩下的人员到D 社区，则不同的安排方法共有（ ） A ．39种 B ．168种 C ．1268种 D ．1680种答案：D解析：首先从8名工作人员中选1名去A 社区，方法数有18C ；然后从其余7名工作人员中选2名去B 社区，方法数有27C ；再从其余5名工作人员中选3名去C 社区，方法数有35C ：最后剩下的2名工作人员去D 社区，故不同的安排方法共有1238751680C C C ⋅⋅=种.故选：D.6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A ．84 B ．168 C ．240 D ．252答案：B解析：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球， 即从9个球中取出3个，有39C 种，而这3个球的排法有2×1×1=2种，则共有392168C =种，故选:B.7、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=______． 答案：5142728解析：从9个球中任取3个球有3984C =种不同的方法，1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有111333330C C C +=种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率3058414P ==． 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个．则()123339327918428C C P C ξ====． 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，则()123339327928428C C P C ξ====， 所以()5992701214282828E ξ=⨯+⨯+⨯=．故答案为：514；2728．考点三排列组合综合运用例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．345答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为3组，若分为3,1,1的三组，有3510C=种分组方法，若分为2,2,1的三组，有22532215C CA=种分组方法，则有101525+=种分组方法，②将甲所在的组安排在B或C班，剩下2组任意安排，有224⨯=种安排方法，则有254100⨯=种分配方案；故选：B．例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种答案：B解析：4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和3份；2份和2份；所以不同的分法有22132242432222C C6C C A A412214A2+⋅=⨯⨯+⨯=种，故选：B.例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）A．24种B．36种C．60种D．72种答案：B解析：先取2人为一组有24C种取法，取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有33A种，根据分步乘法计数原理不同的安排方式共有234336,C A =故选：B跟踪练习1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A ．420种B ．780种C ．540种D ．480种答案：B解析：依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.①若用5种颜色完成涂色，则55120A =种方法；②若用4种颜色完成涂色，颜色有45C 种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有44544480C A ⨯⨯=种；③若用3种颜色完成涂色，颜色有35C 种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有33533180C A ⨯⨯=种.所以不同的着色方法共有120480180780++=种. 故选：B.2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A ，B ，C 三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A 班的分配方案种数是（ ） A ．720 B ．100C ．150D ．345答案：B解析：根据题意，分2步进行分析： ①将5名学生分为3组，若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法，若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法，则有101525+=种分组方法，②将甲所在的组安排在B 或C 班，剩下2组任意安排，有224⨯=种安排方法， 则有254100⨯=种分配方案； 故选：B ．3、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（ ） A ．10种 B ．14种 C ．20种 D ．28种答案：B解析：4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和3份；2份和2份；所以不同的分法有22132242432222C C 6C C A A 412214A 2+⋅=⨯⨯+⨯=种，故选：B.4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到A ，B ，C 三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A 社区的概率为（ ） A ．16B ．12C ．13D ．34答案：A解析：依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是2343C A ，其中甲被分到A 社区的方法数是2232C A ，因此甲被分到A 社区的概率2232234316C A C A P ==．故选：A ．5、5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（ ） A ．60 B ．80 C ．100 D ．120答案：C解析：根据题意，分2种情况讨论： ①将5人分为1、1、3的三组， 此时5人分三组有3510C =种分组方法，分配到甲、乙两个社区的人数不同，有12224C A =种情况，则此时有10440⨯=种分配方法； ②将5人分为1、2、2的三组，此时5人分三组有2215312215C C C A =种分组方法， 分配到甲、乙两个社区的人数不同，有12224C A =种情况，则此时有15460⨯=种分配方法； 则有4060100+=种分配方法， 故选：C6、某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ） A ．36 B ．30 C ．24 D ．18答案：B解析：因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-=.故选：B.7、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）A ．54431384322C C C A AB ．54421384233C C C A AC ．544138422C C C AD ．5441384C C C答案：A解析：依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为544138422C C C A ，再分配给3个人，方法种数为54431384322C C C A A ⨯. 故选：A.8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120答案：B解析：先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．9、2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ） A ．4704种 B ．2800种 C ．2688种 D ．3868种答案：A解析：①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8个初选名字中选出2个，再进行排列即可，有223823336C A A =种情况；②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8个初选名字中选出3个，再进行排列，有1342842688C C A =种情况；③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8个初选名字中选出4个，再进行排列，有481680A =种情况；∴不同的分析情况共有336268816804704++=种．故选：A.10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）． A ．204 B ．260 C ．384 D ．480答案：C解析：两个数字之和等于5的情形只有两种：23145+=+=．下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有12C 种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有113243C C A ⋅⋅种方法，若2，3都选取，则有112423C C A 种方法．由乘法原理可得：11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为111311222434232()384C C C A C C A ⨯⋅⋅+=种方法．故选：C11、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ） A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个答案：A解析：由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有123322C AA (个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有123233C C A （个）. （3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有33A （个）由分类加法计数原理得共有1212333323332251C A C C A A A +=+(个)．故选：A ．12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）． A ．204 B ．260 C ．384 D ．480答案：C解析：两个数字之和等于5的情形只有两种：23145+=+=．下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有12C 种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有113243C C A ⋅⋅种方法，若2，3都选取，则有112423C C A 种方法．由乘法原理可得：11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为111311222434232()384C C C A C C A ⨯⋅⋅+=种方法．故选：C13、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A ．60种 B ．78种 C ．84种 D ．144种答案：B解析：由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C C A 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种， 故选：B.14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为______. 答案：775解析：分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法， 当分成1，1，3时，有3510C =种情况，当分成1，2，2时，有12541152C C =种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有3325150A =种情况.A 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有3224421142C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种），因此所求概率14715075P ==. 故答案为：77515、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种． 答案：156解析：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有166C =种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有155C =种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有222422226C C A A ⨯=种情况，所以小李和小王不受限制的排法有656180⨯⨯=种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有14C 4=种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有133C =种情况，最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有24324⨯⨯=种， 所以小李和小不在一起的排法有18024156-=种， 故答案为：156。

4、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)已知()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 的展开式中的常数项是56B. ()f x 的展开式中的各项系数之和为0C. ()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D. ()f x 的展开式中不含4x 的项5、（2021ꞏ广东茂名ꞏ高三月考）在二项式()814x -的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．第5项的系数最大B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为726、（2022ꞏ山东德州ꞏ高三期末）已知()621f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的展开式中常数项是15 B ．()f x 的展开式中各项系数之和是0C ．()f x 的展开式中的二项式系数最大值是15D ．()f x 的展开式中不含4x 的项7、（2022ꞏ广东揭阳ꞏ高三期末）已知二项式240121n n n n n n x a x a x a x a x x ---⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭ 的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中的常数项为1B ．6n =C ．展开式中二项式系数最大的项是第四项D ．展开式中x 的指数均为偶数8、（2022ꞏ江苏宿迁ꞏ高三期末）已知n x ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则（ ） A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项题型二 二项式定理1、（东莞市高三期末试题）已知二项式2023(1+，则下列结论正确的是（ ）A. 该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等B. 该二项展开式中不含有理项C. 该二项展开式中的常数项是1D. 该二项展开式中含x 的项系数是20232022⨯【答案】AC【答案解析】【要点分析】由二项式定理，结合二项式系数的性质和二项式展开式的通项公式，逐个验证选项.【答案详解】二项式2023(1+，展开式中，通项公式为12023C rrr T +=， 该二项展开式中二项式系数和为20232，令1x =各项系数和为()20232023112+=，二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等，A 选项正确； 由二项式展开式的通项公式可知，r 为偶数时，对应的项为有理项，B 选项错误；该二项展开式中的常数项是012023C 1T ==，C 选项正确；该二项展开式中含x 的项为223202320232022C 2T x ⨯==，系数是202320222⨯， D 选项错误. 故选：AC2、（2022ꞏ山东青岛ꞏ高三期末）5212a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则其中正确的是（ ） A ．a =1B ．展开式中含7x 项的系数是32-C ．展开式中含1x -项D ．展开式中常数项为40【答案】AC【答案解析】【要点分析】由题意得到1a =，在逐个验证选项即可求出答案.【答案详解】令1x =，()()5121121a a a +-=+=⇒=，故A 正确；52112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中含7x 项的系数为5232=，故B 错误； 52112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中244151(2)(10x C x x x -⋅-=为1x -项 ，故C 正确； 52112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为232511(2)(80C x x x ⋅⋅⋅-=，故D 错误. 故选：AC.3、(2022·江苏第一次百校联考)(多选题)若二项式(1－x 3)n 展开式中二项式系数之和为a n ，展开式的各项系数之和为b n ，各项系数的绝对值之和为c n ，则下列结论正确的是A ．a n b n ＝c nB ．存在n ∈N *，使得b n ＋c n ≥a nC ．b n c n ＋c n b n的最小值为2 D ．b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＜2 【答案】AB【考点】二项式定理展开式的综合应用【答案解析】由题意可得，a n ＝2n ，b n ＝(23)n ，c n ＝(43n ，因为a n b n ＝2n ·(23)n ＝(43)n ＝c n ，所以选项A 正确；因为b n ＋c n a n ＝⎝⎛⎭⎫23n ＋⎝⎛⎭⎫43n 2n ＝(13)n ＋(23)n ≤13＋23＝1，所以选项B 正确；因为b n c n ＋c n b n＝(12)n ＋2n ≥12＋2＝52，当且仅当n ＝1时取等号，所以选项C 错误；因为b n ＝(23)n ，当n ≥3时，b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥2，所以选项D错误；综上，答案选AB ．4、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)已知()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 的展开式中的常数项是56B. ()f x 的展开式中的各项系数之和为0C. ()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D. ()f x 的展开式中不含4x 的项【答案】BC【要点分析】写出二项展开式通项公式，由x 的指数为0可得常数项，判断A ，在原式中令1x =可得所有项系数和，判断B ，根据二项式系数的性质得最大值，判断C ，由x 的指数是否为0可判断D ． 【答案详解】二项展开式通项公式为382441881()(1)rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 2440r -=，6r =，常数项为6678(1)28T C =-=，A 错；2444r -=，=5r ，第6项是含4x 的项，D 错；令1x =得(1)0f =所有项系数和，B 正确；8n =，因此二项式系数的最大值为4870C =，C 正确．故选：BC ． 5、（2021ꞏ广东茂名ꞏ高三月考）在二项式()814x -的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．第5项的系数最大B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为72【答案】BD【要点分析】第9项系数大于第5项系数，可判断A ；令1x =，可得所有项的系数和，可判断B ；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为81722-=，可判断C ，D【答案详解】选项A ，由于888898(4)4T C x x =-=，44444588(4)4T C x C x =-=，第9项系数大于第5项系数，A 错误； 选项B ，令1x =，可得所有项的系数和为88(431)-=，可知B 正确；选项C ，所有奇数项的二项式系数和为81722-=，C 错误；选项D ，所有偶数项的二项式系数和为81722-=，D 正确.故选:BD6、（2022ꞏ山东德州ꞏ高三期末）已知()621f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的展开式中常数项是15 B ．()f x 的展开式中各项系数之和是0C ．()f x 的展开式中的二项式系数最大值是15D ．()f x 的展开式中不含4x 的项【答案解析】【要点分析】写出二项展开式通项公式，由x 的指数为0可得常数项，判断A ，在原式中令x =1可得所有项系数和，判断B ，根据二项式系数的性质得最大值，判断C ，由81234,3r r -==，可判断D ． 【答案详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()123161r r r r T C x -+=-，令12304r r -=⇒=, 常数项为()446115C -=，A 正确; 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中令1x =可得展开式中各项系数之和是0，B 正确; 二项式系数最大值为中间项的二项式系数3620C =，C 不正确; 令812343r r -=⇒=，不是整数，即()621f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不含4x 的项，D 正确. 故选：ABD.7、（2022ꞏ广东揭阳ꞏ高三期末）已知二项式240121nn n n n n x a x a x a x a x x ---⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭ 的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中的常数项为1B ．6n =C ．展开式中二项式系数最大的项是第四项D ．展开式中x 的指数均为偶数【答案】BCD【答案解析】【要点分析】利用赋值法计算n 的值，再利用展开的通项公式对选项进行要点分析获得答案.【答案详解】令1x =代入二项式可得各项的系数和为264n =，即可得6,B n =正确；对于A ，设展开式的通项为6621661C C kkk k k k T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当1k T +为常数项时，则有620k -=，则可得3k =.代入二项式，可得展开式的常数项为36C 20=，故A 错误；对于C ，因为6n =，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故C 正确；对于D ，该展开式的通项为6216C k k k T x-+=，可得展开式中x 的指数均为偶数.故D 成立.故选：BCD. 8、（2022ꞏ江苏宿迁ꞏ高三期末）已知nx ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则（ ） A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项【答案】ACD【答案解析】【要点分析】由题意可得6n =，对于A ，所有项的二项式系数和为2n ，对于B ，令1x =可求出所有项的系数和，对于C ，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D ，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项【答案详解】 因为nx ⎛ ⎝的展开式中共有7项， 所以6n =，对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，所以A 正确，对于B ，令1x =，则所有项的系数和为6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 错误， 对于C ，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C 正确，对于D ，6x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为366216612r r r r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，当0,2,4,6r =时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，故选：ACD。

2023年高考数学复习----排列组合专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E 已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD 四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．84【答案】D 【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类： 当种植的鲜花为两种时：A 和C 相同，B 和D 相同，共有24A 12=种种植方法；当种植鲜花为三种时：A 和C 相同或B 和D 相同，此时共有23432C A 24648=⨯⨯=种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有44A 432124=⨯⨯⨯=种种植方法，综上：则不同的种植方法的种数为12482484++=种，故选：D ．2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT 、电图、血压测量等五个检查项目．为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT 两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【解析】由题意不同顺序的检查方案一共有2223A A 12=种．故选：B ．3．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）A ．18种B ．36种C ．60种D ．108种【答案】D 【解析】首先选出2名男生和1名女生，共有2143C C 种情况，再把选出来的人进行全排列，共有33A 种情况．所以不同的分配方案有213433C C A 108=种． 故选：D4．（2022春·河南许昌·高三阶段练习）中国空间站（China Space Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．9种B ．24种C ．26种D ．30种【答案】B 【解析】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有15C 5=种安排方案，再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有224222C C 613A 2⨯==种安排方案， 接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有22A 2=种安排方案，所以这5名航天员的安排方案共有53230⨯⨯=种，其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有2131C C 3=种，同在“问天实验舱”内的安排方案有2131C C 3=种， 即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有336+=种，所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有30624−=种．故选：B ．5．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种【答案】A 【解析】若从红方选出一架飞机，则有112342C C C 12=种选法．若从蓝方选出一架飞机，则有211424C C C 48=种选法．则共有124860+=种选法．故选：A6．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了15元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到7元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（ ）A ．84B ．96C ．108D ．120【答案】A 【解析】依题意15元，分成4份有{}1,1,6,7、{}1,2,5,7、{}1,3,4,7、{}2,2,4,7、{}2,3,3,7， ∴四个人领取{}1,1,6,7的方案：2242C A ； 四个人领取{}1,2,5,7的方案：44A ；四个人领取{}1,3,4,7的方案：44A ； 四个人领取{}2,2,4,7的方案：2242C A ； 四个人领取{}2,3,3,7的方案：2242C A ； ∴一共有2244243C A 2A 84+=种领取方案．故选：A7．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）A ．144B ．96C ．72D ．60【答案】D 【解析】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法，故选：D ．8．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．180种D ．360种【答案】D 【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有12336533C C C A 360=种．故选：D ．二、多选题9．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C + C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C − D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C − 【答案】ABC【解析】对于A ．若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，可判断A 正确； 对于B ．若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法，若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法 由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 正确； 对于C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575C C C C C −=−种，故C 正确；对于D ．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有1214C C 种选法；②选化学，不选物理，有1215C C 种选法；③物理与化学都选，有2124C C 种选法， 故总数为121221141524C C C C C C 610420++=++=种，故D 错误．故选：ABC ．10．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A ，B ，C ，D ，E 五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）A ．所有可能的安排方法有125种B ．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C ．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种D ．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种【答案】AB【解析】对于A ，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有35125=种，A 正确； 对于B ，由选项A 知，所有可能的方法有35种，A 医院没有专家去的方法有34种， 所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有335461−=种，B 正确；对于C ，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有2525=种，C 错误；对于D ，三名专家所选医院各不相同的安排方法有35A 60=种，D 错误．故选：AB ．11．（2022·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（ ）A ．甲乙都不选的方案共有432种B ．选甲不选乙的方案共有216种C ．甲乙都选的方案共有96种D ．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种【答案】ABC【解析】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班甲乙都不选的方案共有224434C C A 432=种，A 正确选甲不选乙的方案共有12132433C C C A 216=种，B 正确甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一乙排星期一的方案共有11122432C C C A 48=种乙不排星期一的方案共有21122432A C C A 48=种∴甲乙都选的方案共有4848+=96种，C 正确这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选选乙不选甲的方案共有11233443C C C A 432=种∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D 错误故选：ABC ．12．（2022·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法【答案】ABC【解析】A：6门中选2门共有2615C=种选法，故A正确；B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有22A种排法，然后全排列有55120A=种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有2525240A A=种，故B正确；C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有336A=种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有3424A=种排法，根据分步乘法计数原理，得共有33 34144A A=种排法，故C正确；D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有55A种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有114444C C A种排法，所以，共有51145444504A C C A+=种排法，故D错误．故选：ABC．三、填空题13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶．如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形．若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种．【答案】72【解析】由题意，一共4种颜色，板块A 需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色．又板块,,B C D 两两有公共边不能同色，故板块,,,A B C D 必定涂不同颜色．①当板块E 与板块C 同色时，则板块,F G 与板块,B D 或板块,D B 分别同色，共2种情况； ②当板块E 与板块B 同色时，则板块F 只能与D 同色，板块G 只能与C 同色，共1种情况．又板块,,,A B C D 颜色可排列，故共()4421A 72+⨯=种．故答案为：7214．（2022·上海金山·统考一模）从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）．【答案】420【解析】从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为211754C C C 2154420=⨯⨯=．故答案为：420．15．（2022春·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）某校安排5名同学去A ，B ，C ，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A 基地的排法总数为____________．【答案】60【解析】当A 基地只有甲同学在时，那么总的排法是2343C A 36=种；当A 基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是1343C A 24=种；则甲同学被安排到A 基地的排法总数为362460+=种．故答案为：60．16．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种．（结果用数值表示）【答案】96【解析】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有1344C A 96=种．故答案为：96。

排列组合一.特别位置、元素优先排列1.6 名选手依次演讲，其中甲不在第一个也不在最终一个演讲，则不同的演讲次数2. 从 1，3，5，7，9 中任取两个数字，从 0，2，4，6 中任取两个数字，一共可以组成个没有重复的 4 位数3.现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参与上海世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参与。

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种类有。

【有特别元素与位置时，“特别性少”的优先】4.从甲、乙等 5 名学生中选出 4 名分别参与数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参与生物竞赛，乙只能参与数学竞赛，则不同的参赛方案种类。

5.某地奥运火炬接力传递路线共分为 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成。

假设第一名火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有。

6.有 12 名划船运发动，其中 3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，其余 5 人即会划左舷又会划右舷，现在要从这 12 名运发动中选出 6人平均分在左、右舷划船参与竞赛，则有种不同的选法【多面手元素的多面手问题】7.工厂的 8 名高级技工中，6 人会车工，5 人会钳工，某工程需要钳工、车工各 1 名，有种选择方法8.【结合中国文化】中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进展分类的方法，最早见于《周礼·周礼·大师》。

八音分别为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、土、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器。

某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻，但均不与“竹相邻”排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为9.【解答题】一黑色袋里装有颜色不同外其余均一样的 8 个小球，其中白色球与黄色球各 3 个，红色球与绿色球各 1 个。

（福建专用）2023年高考数学总复习第九章第2课时排列与组合课时闯关（含解析）一、选择题1．(2023·高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有( )A．30种B．35种C．42种D．48种解析：选A.总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，故有30种选法．2．(2023·高考北京卷)8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为( )A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27解析：选A.不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，教师插空有A29种方法，所以共有A88A29种排法．3．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有( )A．10种B．20种C．30种D．60种解析：选B.五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C25，假设编号1、2号人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．∴符合题意的坐法有2×C25＝2×10＝20(种)．4．(2023·高考山东卷)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种解析：选B.分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法，依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案．5．有6名男同学和4名女同学自左至右站成一排，其中女同学不相邻而且最右端必须是女同学的排法种数为( )A．A66A44B．C14A36A66C．C14C36A66D．A66A36解析：选B.先从4个女生中取一人站在最右端有C14种方法，把六个男生进展全排列，将3个女生插入6个男生的六个空中，有A66·A36种，共有C14A36A66种排法．二、填空题6．某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，假设这5名成员按性别分层抽样产生，那么参观团的组成方法共有________种．(用数字作答)解析：由题意按分层抽样应抽2名女生和3名男生，那么有C28C312＝6160种组成方法．答案：61607．在连续自然数100,101,102，…，999中，对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有________个．解析：分两类：①递减时，假设有0，那么0在个位，符合要求，从10个数字中选3个不相邻数字，相当于从10个位置中选3个不相邻的位置，故可将所选的3个位置插在其余7个位置的空位之中，故不同的情况共有C38种；②递增时，不能有0，那么应从1到9的9个数字中，选3个不相邻的数字，同①有C37种，故所求的三位数有：C38＋C37＝91(个)．答案：918．(2023·三明质检)某公司方案在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2个，那么该公司不同的投资方案种数是________．(用数字作答)．解析：由题意知按投资城市的个数分两类：①投资3个城市即A34种．②投资2个城市即C23A24种共有不同的投资方案种数是A34＋C23A24＝60(种)．答案：60三、解答题9．按以下要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种选法．故共有C16C25C33＝60种不同的分配方式．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的根底上，还应考虑再分配，故共有C16C25C33A33＝360种不同的分配方式．10．(1)以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2)在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？解：(1)分类讨论：A、B只含有一个点时，共有2(C36＋C26C14)＝160(个)；既含A又含B时，共有C26＝15(个)；既不含A也不含B时，共有C410－1－C34C16＝185(个)．所以共有160＋15＋185＝360(个)．(2)含A点时，可构成C15C14＝20个三角形；不含A点时，可构成C25C14＋C15C24＝70个三角形．故共有20＋70＝90个三角形．一、选择题1．(2023·海淀质检)某班班会上准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A．360种B．520种C．600种D．720种解析：选C.假设甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，那么共有C25A22A23种不同的发言顺序；假设甲乙两人只有一人参加，那么共有C12C35A44种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600(种)．2．(2023·高考重庆卷)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天．假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有( )A．504种B．960种C．1008种D．1108种解析：选C.依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A22·A66＝1440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有C15·A22·A44＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有C15·A22·A44＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有C14·A22·A33＝48种．因此满足题意的方法共有1440－2×240＋48＝1008种．二、填空题3．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________种．解析：先从6双手套中任选一双，有C16种取法，再从其余手套中任选2只，有C210种取法，其中选一双同色手套的取法有C15种．故总的取法有C16(C210－C15)＝240(种)．答案：2404．(2023·合肥调研)三条直线两两异面，那么称为一组“T型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为________．解析：如图，任选正方体12条面对角线中的三条，组成一组“T型线”，那么必有2条分别在相对的2个面上．以选出面对角线AC，B′D′为例，可得出“AC，B′D′，A′D”、“AC，B′D′，BC′”、“AC，B′D′，A′B”、“AC，B′D′，DC′”这4组“T型线”，即出现面对角线AC，B′D′的“T型线”的组数为4；同理，出现面对角线A′C′，BD的“T型线”的组数也为4；出现面对角线A′D，BC′的“T型线”的组数也为4；0出现面对角线AD′，B′C 的“T型线”的组数也为4；出现面对角线A′B，DC′的“T型线”的组数也为4；出现面对角线AB′，D′C的“T型线”的组数也为4.故任选正方体12条面对角线中的三条，“T 型线”的组数为6×4＝24.答案：24三、解答题5．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进展一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)假设恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，那么这样的不同测试方法数是多少？(2)假设恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，那么这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同排法A46A24A44＝103680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法A14·(C16·C33)A44＝576(种)．6．六人按以下要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙之间恰间隔两人；(3)甲、乙站在两端．解：(1)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进展全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22＝240种站法．法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站，有A15种站法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A44A15A22＝240种站法．(2)法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，然后将甲、乙按条件插入，有3A22种站法，故共有A44·(3A22)＝144种站法．法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A33种站法；最后对甲、乙进展排列，有A22种站法，故共有A24A33A22＝144种站法．(3)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种站法，根据分步计数原理，共有A22A44＝48种站法．。

2023年高考数学复习----排列组合多面手问题典型例题讲解【典型例题】例1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A ．675B ．575C ．512D ．545【答案】A【解析】分析：根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理．第一类2个只会左边的都不选，有3355100C C ⋅=种； 第二类2个只会左边的有1人入选，有123256400C C C ⋅=种；第三类2个只会左边的全入选，有213257175C C C ⋅=种，所以共有675种不同的选法，故选A ．例2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法A ．225B ．185C ．145D ．110【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有4454C C 种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有134413254524C C C C C C +种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有22442213132545242514C C C C C C C C C C ++种． 综上分析，共可开出441344132244221313542545242545242514185C C C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=种． 故选：B ．例3．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）A ．26种B ．30种C ．37种D ．42种【答案】C【解析】根据题意，设{A =只会划左桨的3人}，{B =只会划右桨的3人}，{C =既会划左桨又会划右桨的2人}，据此分3种情况讨论：①从A 中选3人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中剩下的人中选取，有35C 10=种选法， ②从A 中选2人划左桨，C 中选1人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中选取，有213324C C C 24=种选法，③从A 中选1人划左桨，C 中2人划左桨，B 中3人划右桨，有13C 3=种选法，则有1024337++=种不同的选法． 故选：C ．。

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。

2023年高考数学复习---排列组合几何问题典型例题讲解【典型例题】例1、（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（）A．24对B．16对C．18对D．48对【答案】C【解析】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可．相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，正方体有三组相对面，故3×6=18，故选C例2、（2022·全国·高考真题）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为0,0,2330==+=，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是x y x y（）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【解析】由题设，直线2330+=分别交x、y轴于(15,0)、(10,0)，x y以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线2330+=上的整数点x y有(15,0)、(12,2)、(9,4)、(6,6)、(3,8)、(0,10)，共6个，所以，矩形对角线AB 两侧的三角形中整点的个数为1766852−=个， 综上，△AOB 中整点的个数为85691+=个．故选：B例3、（2022·全国·高三专题练习）已知60C 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，60C 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，．各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个．A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】B 【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为603206125⨯−⨯=个， 故选B ．本课结束。

排列组合专题突破排列组合专项突破一（两个计数原理）1.．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有()A.288种B．144种C．576种D．96种2．里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有()A．6种B．24种C．36种D．42种3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．() A．1 080B．1 280 C．1 440D．2 5604．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有种．(用数字作答)排列组合专项突破二（排数问题）1．从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．6B．12C．18D．242．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．523．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成个不同的三位数．4．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有() A．18种B．20种C．24种D．30种5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是()A．40 B．30C．20D．10排列组合专项突破三（分类问题）1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．362．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种3．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为() A．15 B．30C．35D．424．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．105.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．排列组合专项突破四（涂色问题）1. 如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有()A．24B．48C．96D．1202.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120 B．140C．240 D．2603.用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（）A．12B．13C．14D．3164.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A. 480B. 720C. 1080D. 12005．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(用数字作答)．排列组合专项突破五（相邻不相邻问题）1.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 8002.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A ．12B ．6C ．8D ．164.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．485.A 家庭有一对夫妻和两个女儿，B 家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A 家庭的两个女儿要相邻，B 家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为 ． 6.在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有___________种，7.北京APEC 峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．96种排列组合专项突破六（分组分配问题）1．从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为( )A ．40B ．60C ．100D ．1202．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为 .3．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种4.数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种 B ．C 312C 39C 3634种 C.C 312C 39C 36A 4443种 D ．C 312C 39C 3643种5.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)6．（多选）下列说法正确的是( )A ．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法B ．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种C ．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法D ．用0,1，…，9十个数字可以组成没有重复数字的三位偶数328个。