【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第12章 第3节 归纳与类比

第十二章第一节一、选择题1．(文)(2014·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．1 B．3C．7 D．15[答案] C[解析]本题考查了程序框图的有关概念．S1：k＝0，S＝0，S2：S＝20＝1，k＝1，S3：S＝1＋21＝3，k＝2，S4：S＝3＋22＝7，k＝3，S5：输出S＝7.(理)(2014·北京高考)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7 B．42C．210 D．840[答案] C[解析]本题考查了程序框图．当m输入的m＝7，n＝3时，判断框内的判断条件为k<5，故能进入循环的k依次为7,6,5.顺次执行S＝S·k，则有S＝7·6·5＝210，故选C．2．下列算法框图的功能是()A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对[答案] C[解析]由判断框中的条件和输出的两种结果易知，框图是求|a－b|的值．3．执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2[答案] C[解析]本小题考查的内容为程序框图中的循环结构．k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3.4．(文)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()A．S<8 B．S<9C．S<10 D．S<11[答案] B[解析]本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i＝1，S＝0；i＝2，S＝2×2＋1＝5；i＝3，S＝2×3＋2＝8；i＝4，S＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S<9.(理)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框内应填入的语句为()A．S＝2*i-2 B．S＝2*i-1C．S＝2*i D．S=2*i+4[答案] C[解析]i＝2时，i不是奇数，S＝2×2＋1＝5<10，继续循环，i＝2＋1＝3,3是奇数，执行“选项”后，需继续循环，故排除D．当i＝4时，i不是奇数，S＝2×4＋1＝9<10，继续循环，i＝4＋1＝5,5是奇数，执行“选项”后，应跳出循环，输出i的值5后结束，但2×5－2＝8<10,2×5－1＝9<10，都需继续循环，故排除A、B选项，但2×5＝10<10不成立，故选C．5．(文)(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出s的值()A．10 B．17C．19 D．36[答案] C[解析]本题考查算法的循环结构和层层分析法．k＝2，s＝2；k＝3，s＝5；k＝5，s＝10；k＝9，s＝19，k＝17时，结束循环，此时s＝19.(理)(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45[答案] C[解析] 本题考查了算法与程序框图，第一次循环k ＝9，s ＝1×910＝910，第二次循环k ＝8，s ＝910×89＝45 ，第三次循环，k ＝7，s ＝710循环后k ＝6，即可输出，所以满足条件的s >710.所以选C ．计算程序框图有关的问题要注意判断框中的条件，同时要注意循环节中各个量的位置．二、填空题6．如图给出一个算法框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等．则这样的x 值有________个．[答案] 3[解析] 当x ≤2时，x 2＝x ，有x ＝0或x ＝1； 当2<x ≤5时，2x －3＝x ，有x ＝3； 当x >5时，x ＝1x ，x 无解．故可知这样的x 有3个．7．(2014·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的n 的值为________．[答案]3[解析]本题考查算法的循环结构框图．x2－4x＋3≤0时，1≤x≤3.∴当1≤x≤3时，执行循环分支．当x≥4时，结束循环．初值x＝1，n＝0时，x＝2，此时n＝1，x＝3，此时n＝2，x＝4，此时n＝3.当x＝4时，结束循环，输出n＝3.关键看出x＝4时结束循环，此时n＝3，注意循环条件的使用．8．国家法定工作日内，每周工作时间满工作量为40h，每小时工资8元；如因需要加班，则每小时工资为10元．某人在一周内工作时间为x h，但他须交纳个人住房公积金、失业险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的流程图．(注：满工作量外的工作时间为加班)[解析]算法如下：S1输入工作时间x h；S2若x≤40，则y＝8x×(1－10%)；否则，y＝40×8(1－10%)＋(x－40)×10(1－10%)．S3输出y值．流程图如下：一、选择题1．(文)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2[答案] B[解析] 本题考查程序框图的循环结构．由程序框图依次可得，输入N ＝4，k ＝1，S ＝0，T ＝1→T ＝1，S ＝1，k ＝2；2>4否 T ＝12，S ＝1＋12，k ＝3；3>4否T ＝16，S ＝1＋12＋13×2，K ＝4；4>4否T ＝14×3×2，S ＝1＋12＋13×2＋14×3×2，k ＝5；5>4成立，输出S ＝1＋12＋13×2＋14×3×2，故选B ．(理)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[答案] B[解析] 当输入N ＝10时，由于初值k ＝1，S ＝0，T ＝1，故程序运行过程依次为：T ＝11＝1，S ＝0＋1＝1，k ＝1＋1＝2，此时不满足k >10→T ＝12＝12！，S ＝1＋12！，k ＝2＋1＝3，不满足k >10→T ＝12！3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝3＋1＝4仍不满足k >10，…，直到k ＝10时，T＝19！10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！，k ＝11，此时满足k >10，结束循环，输出S ＝1＋12！＋13！＋ (110)后结束． 2．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．56[答案] D[解析] 本题考查了程序框图的有关知识，并且渗透了裂项求和的方法，在解题时要注意首先弄清楚程序框图的功能，然后看限制条件，题目定位是中档题．根据程序框图可知，该程序框图的功能是计算S ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k ×(k ＋1)，现在输入的N ＝5，所以满足条件k <N 的结果为S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝56，故选D ． 二、填空题3．写出下面算法语句的执行结果________． i ＝0； S ＝1； Do i ＝i ＋1 S ＝S *i Loop While S ≤20 输出i . [答案] 4[解析] 第一次循环i ＝1，S ＝1×1，第二次S ＝1×2，第三次S ＝1×2×3，第四次S ＝1×2×3×4>20不合题意，而此时i ＝3＋1＝4，故输出的i 值为4.4．(2014·浙江高考)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．[答案] 6[解析]本题考查循环结构运行，第一次运行结果S＝1，i＝2第二次运行结果S＝4，i＝3，第三次运行结果S＝11，i＝4.第四次运行结果S＝26，i＝5.第五次运行结果S＝57，i＝6.此时S＝57>50，输出i＝6.5．(2015·温州第一次测试)按下图所示的程序框图运算，若输入x＝20，则输出的k＝________.[答案] 3[解析]由题意得x＝20，k＝0；k＝1，x＝39；k＝2，x＝77；k＝3，x＝153，循环终止，输出的k＝3.三、解答题6．用循环语句来书写1＋22＋32＋…＋n2>100的最小自然数n的算法，画出算法流程图．[解析]算法如下：第一步：S＝0；第二步：n＝1；第三步：S＝S＋n2；第四步：如果S≤100，使n＝n＋1，并返回第三步，否则输出n－1.相应的流程图如图所示．。

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第1章第1节集合的概念及其运算北师大版一、选择题1．(文)(2014·北京高考)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1,2,3,4} B．{0,4}C．{1,2}D．{3}[答案] C[解析]A∩B＝{0,1,2,4}∩{1,2,3}＝{1,2}．(理)(2014·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}[答案] C[解析]集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，故A∩B＝{0,2}，选C.2．(文)(2014·湖南高考)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝()A．{x|x>2} B．{x|x>1}C．{x|2<x<3}D．{x|1<x<3}[答案] C[解析]结合数轴可知A∩B＝{x|2<x<3}．(理)(2014·陕西高考)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝() A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)[答案] B[解析]x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}．3．(文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁UQ)＝() A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}[答案] D[解析]本题考查了集合的交、补运算，由已知得P∩(∁UQ)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．(理)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析]本题考查了集合的运算．x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，∴∁RB＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．4．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅[答案] B[解析] 由题意可得，A ＝{x|－1<x<2}，而B ＝{x|－1<x<1}，故B A.5．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的非空真子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个[答案] A[解析] 由已知得P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以P 的非空真子集有22－2＝2个．故选A.6．(文)(2015·浙江名校联考)已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且A ∪∁RB ＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a≤1B ．a<1C ．a≥2D ．a>2[答案] C[解析] 由于A ∪∁RB ＝R ，∴B ⊆A ，∴a≥2，故选C.(理)(2015·唐山调研)己知集合A ＝{x|x2－3x ＋2<0}，B ＝{x|log4x>12}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩∁RB ＝RD ．A ∩B ＝∅[答案] D[解析] ∵x2－3x ＋2<0，∴1<x<2.又log4x>12＝log42，∴x>2，∴A ∩B ＝∅，选D.二、填空题7．已知集合A ＝{3，2，2，a}，B ＝{1，a2}，若A ∩B ＝{2}，则a 的值为________．[答案] － 2[解析] 因为A ∩B ＝{2}，所以a2＝2，所以a ＝2或a ＝－2；当a ＝2时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a ＝－ 2.8．(文)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U|x2＋mx ＝0}，若∁UA ＝{1,2}，则实数m ＝________.[答案] －3[解析] ∵∁UA ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.(理)已知集合A ＝{x|x≤a}，B ＝{x|1≤x≤2}，且A ∪(∁RB)＝R ，则实数a 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] ∵∁RB ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A ∪(∁RB)＝R ，∴{x|1≤x≤2}⊆A ，∴a≥2.9．若集合A ＝{x|(x －1)2<3x ＋7，x ∈R}，则A ∩Z 中有________个元素．[答案] 6[解析] 由(x －1)2<3x ＋7得x2－5x －6<0，∴A ＝(－1,6)，因此A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．三、解答题10．若集合A ＝{x|x2－2x －8<0}，B ＝{x|x －m<0}．(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁UB)；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．[分析] (1)求A 、B→确定A ∪B ，∁UB→求得A ∩(∁UB)；(2)明确A 、B→建立有关m 的关系式→得m 的范围；(3)A ∩B ＝A→A ⊆B→得m 的范围．[解析] (1)由x2－2x －8<0，得－2<x<4，∴A ＝{x|－2<x<4}．当m ＝3时，由x －m<0，得x<3，∴B ＝{x|x<3}，∴U ＝A ∪B ＝{x|x<4}，∁UB ＝{x|3≤x<4}．∴A ∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，又 A ∩B ＝∅，∴m≤－2.(3)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m≥4.一、选择题1．(文)(2015·沈阳质检)设集合A ＝{x|x2＋2x －3>0}，集合B ＝{x|x2－2ax －1≤0，a>0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] B[解析] A ＝{x|x2＋2x －3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y ＝f(x)＝x2－2ax －1的对称轴为x ＝a ，a>0，f(0)＝－1<0，所以根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧ a≥34，a<43.所以34≤a<43.选B.(理)设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A*B ＝{x|x ∈A 或x ∈B ，且x ∉(A ∩B)}，则(A*B)*A 等于( )A ．AB ．BC ．(∁UA)∩BD ．A ∩(∁UB)[答案] B[解析] 画一个一般情况的Venn 图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A 表示集合B.2．设集合M ＝{x|x ＝5－4a ＋a2，a ∈R}，N ＝{y|y ＝4a2＋4a ＋2，a ∈R}，则下列关系正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ⊆N[答案] A[解析] 由x ＝5－4a ＋a2(a ∈R)，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x|x≥1}．由y ＝4a2＋4a ＋2(a ∈R)，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1.故N ＝{y|y≥1}，故M ＝N.故选A.二、填空题3．(文)A ＝{(x ，y)|x2＝y2}，B ＝{(x ，y)|x ＝y2}，则A ∩B ＝______.[答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析] A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝y2x ＝y2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． (理)已知集合A ＝{x||x －a|≤1}，B ＝{x|x2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] (2,3)[解析] B 中，x2－5x ＋4≥0，∴x≥4或x≤1.又∵A 中|x －a|≤1，∴a －1≤x≤1＋a.∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a<3.4．(2015·长沙模拟)已知向量a ＝(x ，y)，b ＝(x －2,1)，设集合P ＝{x|a ⊥b}，Q ＝{x||b|<5}，当x ∈P ∩Q 时，y 的取值范围是________．[答案] (－8,1][解析] 由a ⊥b 可得a·b ＝x(x －2)＋y ＝0，即y ＝－x2＋2x ，故P ＝{x|y ＝－x2＋2x}＝R.由|b|<5得|b|2<5，即(x －2)2＋12<5，解得0<x<4，故Q ＝{x|0<x<4}，P ∩Q ＝Q.所以当x ∈P ∩Q 时，y 的取值范围即为函数y ＝－x2＋2x 在(0,4)上的值域．因为函数y ＝－x2＋2x 图像的对称轴为x ＝1，所以函数在(0,1]上单调递增，在(1,4)上单调递减，故y 的最大值为－12＋2×1＝1，而x ＝0时，y ＝－02＋2×0＝0；x ＝4时，y ＝－42＋2×4＝－8.所以y 的取值范围为(－8,1]．三、解答题5．已知集合A ＝{－4,2a －1，a2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B)；(2){9}＝A ∩B.[解析] (1)∵9∈(A ∩B)，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.6．(文)已知集合A ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0}，B ＝{x|x2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．[分析] 由A ∪B ＝B ，可以得出A ⊆B ，而A ⊆B 中含有特例A ＝∅，应注意．[解析] 由x2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ，(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－1)＜0，得a ＜－1.(2)若A≠∅，则0∈A 或－4∈A ，当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7；但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a 的取值范围是：a≤－1或a ＝1.(理)(临川模拟)已知集合A ＝{x|x2－6x ＋8<0}，B ＝{x|(x －a)·(x －3a)<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x|3<x<4}，求a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x|x2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x|2<x<4}．(1)当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a≤23a≥4⇒43≤a≤2，当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}．要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3a≤2a≥4，不等式组无解，即不存在符合条件的a ， ∴综上可知，当A ⊆B 时，a 的取值范围是43≤a≤2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，若A ∩B ＝∅，则a≥4或3a≤2，∴0<a≤23或a≥4；当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，若A ∩B ＝∅，则a≤2或a≥43，∴a<0；验证知当a ＝0时也成立．综上所述，a≤23或a≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x|3<x<4}，显然a>0且a ＝3时成立，∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值为3.。

1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a．UNTIL语句b．WHILE语句【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(×)(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．(×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(×)(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(√)(5)5＝x是赋值语句．(×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.否则执行第(4)步．(4)输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C. 3．(2017·广州调研)下列赋值能使y的值为4的是()A．y－2＝6 B．2*3－2＝yC.4＝yD.y＝2*3－2答案 D解析赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量．4．(2017·太原月考)如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是()A．k≤6? B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9?答案 B解析 第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7，此时满足条件．5．执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．答案 3解析 第一次循环：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2； 第二次循环：F 1＝5，F 0＝3，n ＝3.此时1F 1＝15＝0.2满足1F 1≤ε＝0.25，故输出n ＝3.题型一 顺序结构与条件结构 命题点1 顺序结构例1 如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？解(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.命题点2条件结构例2执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]答案 A解析 根据程序框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据程序框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s 属于[－5,9]． 思维升华 应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的． (2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值． 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.题型二 循环结构命题点1 由程序框图求输出结果例3 (2016·全国乙卷)执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1，x 2＋y 2<36； 第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，x 2＋y 2>36，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.命题点2 完善程序框图例4 (2017·保定质检)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．i >10?B ．i <10?C ．i >11?D ．i <11?答案 A解析 经过第一次循环得到s ＝12，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝12＋14，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s ＝12＋14＋16，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件；…；经过第十次循环得到s ＝12＋14＋16＋…＋120，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是“i >10？”．命题点3辨析程序框图的功能例5根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1答案 C解析由程序框图可知，第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；第三次运行：i＝3，a3＝8，S＝8；第四次运行：i＝4，a4＝16，S＝16.故选C.思维升华与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.题型三基本算法语句例6阅读下面两个算法语句：图1图2执行图1中语句的结果是输出________；执行图2中语句的结果是输出________．答案i＝4i＝2解析执行图1中语句，得到(i，i·(i＋1))的结果依次为(1,2)，(2,6)，(3,12)，(4,20)，故输出i ＝4.执行图2中语句的情况如下：i＝1，i＝i＋1＝2，i·(i＋1)＝6<20(是)，结束循环，输出i＝2.思维升华解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．(2015·江苏改编)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析I＝1，S＝1；S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4＜8；S＝3＋2＝5，I＝4＋3＝7＜8；S＝5＋2＝7，I＝7＋3＝10＞8.退出循环，故输出S＝7.13．程序框图中变量的取值典例执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A等于()A．2047 B．2049C．1023 D．1025错解展示解析将每次运算的A值用数列{a n}表示，将开始的A＝1看作a0，则a1＝2a0＋1＝1，a2＝2a1＋1＝3，…∴a10＝2a9＋1＝210－1＝1023.答案 C现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．1．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于()A．3B．4C．5D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．2．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．8B．9C．27D．36答案 B解析①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2；②S ＝0＋13＝1，k ＝1＋1＝2，满足k ≤2；③S ＝1＋23＝9，k ＝2＋1＝3，不满足k ≤2，输出S ＝9.3．(2015·天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．－10B ．6C ．14D ．18答案 B解析 运行相应的程序，第一次循环：i ＝2，S ＝20－2＝18；第二次循环：i ＝4，S ＝18－4＝14；第三次循环：i ＝8，S ＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S ＝6，故选B. 4．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg11<－1.故输出i＝9.5．(2017·成都调研)定义某种运算 ，ab 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3 答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.6．给出一个算法的程序框图(如图所示)，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列 答案 B解析 先比较a ，b 的值，把较小的值赋值给a ；再比较a ，c 的值，把较小的值赋值给a ，输出a .7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056>3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.8．以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是________；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为________．答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15. (2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则， 即x ＝3，y ＝2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.9．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差，因为 a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋428＝7.10．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________； (2)______________． 答案 (1)n 3<1000 (2)n 3≥1000解析 第一个图中，n 不能取10，否则会把立方等于1000的正整数也输出了，所以应该填写n 3<1000；第二个图中，当n ≥10时，循环应该结束，所以填写n 3≥1000.11．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值是________．答案 0,1,3解析 根据题意，本程序框图表示分段函数：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5，由于输入的x 值与输出的y 值相等， 由x 2＝x 解得x ＝0或x ＝1，都满足x ≤2； 由x ＝2x －3解得x ＝3，也满足2<x ≤5；由1x ＝x 解得x ＝±1，都不在x >5内，舍去． 可见满足条件的x 共三个：0,1,3.12．(2016·抚州质检)某框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是________．答案 k >8?解析 由题意可知输出结果为S ＝20，第1次循环，S ＝11，k ＝9，第2次循环，S ＝20，k ＝8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为“k >8？”．13．(2016·长沙模拟)运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．*14.(2016·宣城模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >20152016，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是________．(填序号)①n ≤2015？②n ≤2016? ③n >2015？④n >2016?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0，得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ， 即g (x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由1－1n ＋1>20152016，得n >2015. 故可填入②.。

离散室随机变量及其分布列GKMB咼考目标•考纲解读• 1・理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.• 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.•考向预测• 1.在实际问题中，考查分布列的概念,并进而分析均值、方差是高考中对本节考查的重点.• 2.在选择、填空中可以考查分布列的特1 no I I e I―r / k 丄丄n 丄 J 丄□:rTrrKQZZYX课前自主预习•知识梳理• 1・离散型随机变量的分布列• (1)如果随机试验的每一个可能的结果都对应于一个数，那1尝这种对应叫做随机变量的取值制严軽列岀，这样的随机变量叫做__________ ・• (2)设离散型随机变量X 可能取的值为召， x 2,…x 门，X 取每一个值x z (/=1,2,…，n)>0•为随机变量x 的概率分布，具有性质：a•离散型随机变量在某一范围内取值的概率 等于它取这个范围内各个值的Pi , =1,2,…,+Pr^+p n -^n ；②P1+P2 —2・超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取〃件，其中含有X件次品数，则事件(X=k)发生的概率为：P(X=k)伙=0丄2,…，m),其中m = min{M, «},且〃WN, MWN, n、M、NUN+称分布列• 3.两点分布为超几何分布列.•如果随机变量X的分布列为1_p•其中0<p<1, q=_,则称离散型随机变量X 服从参数为p的二点分布.•基础自测• 1.袋中有大小相同的红球6个、白球5个,从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能值为（•A. 1,2,…,6•B・1,2,…，7•C・1Z •••, 11•D. 1,2,3,…•［答案］B• 2.下列表中能成为随机变量X 的分布列 的舞（Y0.3 0.4 0.4 ).•［答案］c•解析］选项A z D三个概率之和为1.1>1 ,故A、D错误；选项B中P(X=3)=・0.1 错误,故选C.3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，p（x=O）等于（）1A. 012C3［答案］C［解析］设X的分布列为则“X=0”表示试验失败，“X=l”表示试验成功, 设失败率为0则成功率为2p由p+2p= 1 得p=g.应选 C.•4.抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X, 那么X=4表示的随机试验结果是（）•A. 2颗都是4点•B. 1颗是1点，另一颗是3点•C. 2颗都是2点•D. 1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2占八、、•［答案］D• 5 •若随机变量X的概率分布如下表所示•贝I ［答案］存值为____________ .［解析］，.气+ ” + * + ° = 1, '-a =• 6.由于电脑故障，使得随机变量用勺分布列中部分数据丢失（以恢，y”代替）,其表如下：•同丢失的两个数据依次为__________ . •［答案］2,5•［解析］由于0.20+ 0.10 +0.X5 +0.10 + 0.1y+0.20 = 1 z•得0.x5 + 0.1y=0.40 ,于是两个数据分别• 7・一个袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5 ,在袋中同时取3只，以X表示取出的三只球中的最小号码，写岀随机变量X的分布列.［解析］随机变量X的可能取值为1,2,3.当X=1时，即取出的三只球中最小号码为1,则其他两只球只能在编号为2345的四只球中任取两只，故有P(X=1) = C£_6__3 C?=10 = 5;当X=2时，即取岀的三只球中最小号码为2,则其他两只球只能在编号为345的三只球中任取两只，从七C323故有戶（％=2）=己=73；当X=3时，即取岀的三只球最小号码为3,则其他两个球只能在编号为4,5的两只球中任取两只，故有P（X丄io-因此，X的分布列如表所示: X193 n331 r51010KTDLJL课堂典例讲练随机变量的概念•［例1］写出下列随机变量的可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.•(1)-个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X•(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X,所得点数的最大值为/•［分析］(1)三个球中,可能有一个白球, 也可能两个，还可能没有・•(2)投掷结果为(/〃 ,其中仁医6,1牛6且/ /GN\利用投掷结果确定X,Z•［解析］⑴河取0,12•x= 0表示所取三球没有白球・•1表示所取三球是一个白球,两个黑球・•X二2表示所取三球是两个白球,一个黑球•• (2)X0勺可能取值有2,345 ,…，12•啲可能取值为123，…,6•若以(/〃表示先后投掷的两枚骰子出现的点数・则X=2表示(1,1) /X=3表示(1,2)(2,1), 乂二4表示(1,3)(2,2)(3,1),X= 12表示(6,6), 丫二1表示(1⑴/•【点评］确定随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义z明确随机变量所取的值对应的试验结果z是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础•［例2］某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在命题方向随机变量的分布歹I」签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男Q一女的概率为厉・(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每3 1个女生通过的概率均为才，每个男生通过的概率为㊁.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量X,求X的分布列.［解析］(1)设该小组中有n个女生.「S 1Q根据是题意，得■厂二餐・解得n=6, n=4(舍去).•••该小组中有6个女生.(2)由题意，X 的取值范为0丄2,3・1111 J 1 1 仃)•••P (x=o )px 产厂话 P(X=1)=C2；逅嘗+可3X 4 = 5_16?P(X=2) = C 21 ，P(X=3)= |2X |跟踪练习❶•••盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5 的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）•记第一次与第二次取得球的标号之和为X•求随机变量X的分布列.•［解析］由题意可得,随机变量用勺取值是23467,10.•HP（X= 2） = 0.3x0.3 = 0.09 ,•p（X= 3）= C21 x0.3x0.4 = 0.24. •p（X=4） = 0.4X0.4 = 0.16 z•P（X=6） = 2X0.3X0.3 = 0.18 z•p（X=7） = 2X0.4X0.3 = 0.24 zR1±f X -101P121 —2(i寸MB q，则（1为离散型随机变量分布列的性质及应用•［例3］设X是一个随机变量，其分布列为A.1［解析］f+(l—2g)+『=l,、/2解得<7=1+ 2 ?乂1— 2q±0,『三0,故q=i —［答案］D跟踪练习❷••已知某离散型随机变量§的分布列如下:•则常数k的值为（）In— 1 n(2n— 1)［解析］k+3k+5k+ …+ （2卅一1）£= 1,［答案］A命题方向瞩超几何分布•【例4］某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用x表示其中的男生人数，求X的分布列.•【分析］刈艮从超几何分布，利用超几何分布的概率公式. 1J［解析］依题意随机变量X服从超几何分布,厂4—R所以P(X=k)=6r44 伙=0丄2,3,4)・C6°C44 1AP(x=o)=_c^r=2io,C G G3 4P(X=1)=_ C 4厂0P(X=4)=~i-T-= 5o •••X 的分布列为 C 104 ="35^C 62C 42 3 c 104 ■ ~C 63C 41 8 c 104 - "2r P(X=2) =P(X=3) =•［点评］对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给岀，超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个如.跟踪练习❸•••某校组织一次冬令营活动，有8名同学参力口，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.•(1)求X的分布列；•(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. •［分析］利用超几何分布的概率公式.［解析］(l)x〜H(3,5,8), X可取0丄2,3・C33 1怒=0尸张，Cs1^215 Cs2^115 p^x=^=~cr=^ p^x=2^=~cr=^•••X的分布列为(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为：, 15 , 15 45P(XT)+P(X=2 尸而+西二站.•［点评］超几何分布中的概率问题属于古典概型的范畴,这类问题在古典概型中占较大的比例,因而归纳为一种常用的概率分布・用好超几何分布的概率公式有助于提咼正确率/缩减思维量-SXFFDB思想方法点拨-1.所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数X,而在随机变量的概念中，随机变量X是试验结果.• 2.对于随机变量X的研究，需要了解随机变内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.•3.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求岀X取各个值的概率.•4.掌握离散型随机变量的分布列，须注思:•(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机实际上是：上为“事件”,下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列•(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.•5.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. •6.处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量.KHQHZY课后强化作业。

基础达标检测一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由S n ＝1－12n1－12>12764得n >7，又n ∈N ＋，所以n ≥8.2．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋____________( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π [答案] B[解析] 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则 n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2 <(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．4．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析](1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．5．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n＋(n－1)…＋2＋1＝n2(n∈N ＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，左边添加的代数式为() A．k＋1 B．k＋2C．k＋1＋k D．2(k＋1)[答案] C[解析] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边式子为1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋2＋1，因此，左边添加的式子为k ＋1＋k .6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．二、填空题7．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．[答案] a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)[解析] a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9，∴a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案] 2k ＋1[解析] ∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为________．[答案] 2(2k ＋1)[解析] 当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2，而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．三、解答题10．用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.[解析] (1)当n ＝1时，左边＝11×3，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立 ，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)， ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，一切n ∈N ＋，等式成立.能力强化训练一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 [答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385 [答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n6. 当n ＝10时，总数为715.二、填空题3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．[答案] f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 [解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．(2014·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．[答案] 2k[解析] 当n ＝k 时为1＋12＋13＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时为1＋12＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12·2k －1，所以从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了2k 项． 三、解答题5．由下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．[解析] 根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为： 1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，1>12，猜想成立；(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋2k 2k ＋1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也确，由(1)(2)可知对任意的n ∈N ＋，不等式都成立．6．是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝12＋1)；3k(2k当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝12＋1)＋(k＋1)2＋k23k(2k＝12＋3k＋1)＋(k＋1)23k(2k＝123k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)＝12＋4k＋3)3(k＋1)(2k＝12＋1]．3(k＋1)[2(k＋1)即n＝k＋1时，等式成立．因此存在a＝1，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．3。