广西桂林市逸仙中学高一数学《空间向量及其加减与数乘运算》课件

2．空间向量和的多边形法则
有限多个空间向量 a1，a2，…，an 相加，也可以像平面向量那样，从某点 O 出发，逐一 引向量 OA1― →＝ a1， A1A2― →＝ a2， …， An－ 1An― →＝an， 如图， 于是以所得折线 OA1 A2… An 的起点 O 为起点、终点 An 为终点的向量 OAn― →，就是 a1，a2，…，an 的和，即 OAn― →＝ OA1―→＋ A1A2― →＋…＋ An－ 1An― →＝ a1＋ a2＋…＋ an. 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上，这时的和向量就为零向量．
知识要点二：关于向量的三角形法则和平行四边形法则 1．正确应用向量的三角形法则和平行四边形法则 (1)在掌握向量加减法的同时， 应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差， 如共线、 共起点、共终点等． (2)要记住常用关系、常用数据．如在△ ABC 中， AB― →＋ BC― →＋ CA―→＝ 0；以向 量 a、 b 为邻边的平行四边形中， a± b 表示的是两条对角线所在的向量． (3)在应用向量的三角形法则和平行四边形法则时，要注意其要点：①对于向量加法，运 用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连． ②对于向量的减法，要求两向量有共同的起点． a－b 表示的是由 b 的终点指向 a 的终点的向量，即 a－b 的方向是由减数的终点指向被 减数的终点．
(2)空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律： ①加法交换律： a＋b＝b＋a. ②加法结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． ③数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．平行六面体的概念 平行四边形 ABCD(包括它的内部 )平移向量 a 到 A′B′ C′D′的轨迹所形成的几何体 叫做平行六面体，并记作平行六面体 ABCDA′B′C′ D′.它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱．
解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相 等，却不一定起点相同、终点相同，故 ①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不 仅模要相等，而且方向还要相同，但 ②中向量 a 与 b 的方向不一定相同，故 ②错；根据正方 体的性质，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向量 AC― →与 A1C1― →的方向相同，模也相等， 应有 AC― →＝ A1C1― →，故 ③正确；命题 ④显然正确；对于命题 ⑤，空间中任意两个单位向 量模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故 ⑤错．故选 C.
做一做： 1．两个向量 (非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
)
解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选 B.
2．在平行六面体 ABCDA′ B′C′D′各棱上的向量中，与向量 AA′―→相等的向量 有( B ) (A)0 个 (B)3 个 (C)6 个 (D)9 个
4．正方体 ABCDA1B1C1D1 中化简 AB― →＋BC― →＋CC1― →＝________.
解析：由向量的加法运算法则得 AB― →＋BC― →＋CC1― →＝ AC1― →.
答案：AC1― →
(
教师备用： 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，化简 AB― →＋BC― →＋CC1― →正确的结果是 A ) (A)AC1― → (B)A1C― → (C)BD1― → (D)D1B―→
解析： 平 行六面体中与 向量 AA′― → 相等 的向量分别是 BB′― → 、 CC′― →、 DD′― →，一共有 3 个，选 B.
3．空间任意四个点 A、B、C、D，则 DA― →＋CD― →－CB― →等于( (A)DB―→ (B)AC― → (C)AB―→ (D)BA― →
D )
解析： DA―→＋ CD― →－CB― →＝CD― →＋ DA― →＋BC― →＝CA― →＋ BC― → ＝BC― →＋ CA― →＝ BA― → 应选 D.
二
空间向量
9．5
空间向量及其运算
第一课时
空间向量及其加减与数乘运算
想一想： 1．空间向量的概念及表示方法 如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等的向量． 2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义 (1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下： OB― →＝ OA― →＋ AB― → ＝a＋b； CA― →＝ OA―→－ OC― → ＝ a－ b； OP― →＝ λa(λ∈ R)．
解析：如图 AB― →＋ BC― →＋ CC1― →＝ AC1― → 应选 A.
知识要点一：空间向量的加减与数乘运算 1． 向量的加法运算结果仍是向量，它的运算法则与平面向量的加法一样，有平行四边 形法则和三角形法则． 例如：已知 求 a＋ b. 解：法一：用平行四边形法则求：作 AB― →＝a，AD― →＝ b，则有如图 (1)所示 AC―→ ＝ a＋ b.
向量的概念辨析题 【例 1】 给出以下命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a、 b 满足 |a|＝ |b|，则 a＝ b； ③在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，必有 AC― →＝ A1C1― →； ④若空间向量 m、 n、 p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (NP― →＝b，则有如图(2)所示 MP― →＝ a＋ b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－ b＝a＋ (－b)，例如上 面图(2)中 MP― →－ MN― →＝ NP― →，图 (1)中 AB―→－ AD―→＝ DB― →.