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4.1空间图形基本关系的认识

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空间图形的公理(公理1,2,3)

空间图形的公理(公理1,2,3)

B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形

B
A l ,B l ,A ,B l

作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．

B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：

B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l


P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面

4.1空间图形基本关系的认识

4.1空间图形基本关系的认识

4.1空间图形基本关系的认识班级：姓名：编号：04设计：史旭龙审核：审批：教学目标：(1)学会观察长方体模型中点线面关系，并能结合长方体模型掌握五类位置关系的分类及有关概念（2）能用图形语言和符号语言表示五类位置关系（3）给定的空间图形能指出有关点线面的位置关系教学重点：点线面的位置关系分类及有关概念教学难点：“异面直线”的理解一、自主学习：1．点、线、面的图形画法和符号表示（1）符号表示：（2）点、线、面的画法：点：A，B，C，D，…线：面：α，β，γ…2. 空间点与直线的关系（1）关系及符号表达：① A∈a （2）图形画法：②点在直线外3. 空间点与平面的关系（1）关系及符号表达：①点在平面内（2）图形画法：② A ∉α4. 空间直线与平面的关系（1）关系及符号表达：（2）图形画法：①直线在平面内：， a ⊂α②直线与平面相交：直线与平面只有一个公共点， b ⋂β=B③直线与平面平行：直线与平面没有公共点，5. 空间直线与直线的关系（1）关系及符号表达：（2）图形画法：①平行：，a⋂b=A②相交：只有一个公共点的两条直线，③异面：同在任何一个平面内的两条直线，a和b异面6.空间平面与平面的关系：（1）关系及符号表达：（2）图形画法：①平行：没有公共点的两个平面，α//β②相交：有公共点且不重合的两个平面，二、自主检测1、观察下图中A，B和a,b,c并用数学符号表达它们的关系。

2、观察上图中A ，B 和α，β并用数学符号表达它们的关系。

三、合作探究1、在上图中找出两对对异面直线.2、两个平面可以将正方体分为几份？三个平面呢？并且画出各种可能.3、在长方体ABCD —1111D C B A 找出今天所学的各种关系.☺今天学到了什么？。

河南省信阳市新课本数学高二,目录

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第一章立体几何初步了解
1、简单几何体
1.1简单旋转体
1.2简单多面体
习题1—1
2、直观图
习题1—2
3、三视图
3.1简单组合体的三视图
3.2由三视图还原成实物图
习题1—3
4、空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理
习题1—4
5、平行关系
5.1平行关系的判定
5.2平行关系的性质
习题1-5
6、垂直关系
6.1垂直关系的判定
6.2垂直关系的性质
习题1—6
7、简单几何体的面积和体积
7.1简单几何体的侧面积
7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积
习题1—7
阅读材料蜜蜂是对的
课题学习正方体截面的形状
本章小结
复习题一
第二章解析几何初步
1、直线与直线的方程
1.1直线的倾斜角和斜率
1.2直线的方程
1.3两条直线的位置关系
1.4两条直线的交点
1.5平面直角坐标系中的距离公式
习题2-1
2、圆与圆的方程
2.1圆的标准方程
2.2圆的一般方程
2.3直线与圆、圆与圆的位置关系习题2—2
3、空间直角坐标系
3.1空间直角坐标系的建立
3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式
习题2—3
阅读材料笛卡尔与解析几何
本章小结
复习题二。

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
与平面的位置关系. 如果一条直线和一个平面有无数个公共点,则称这条直线在这个 平面内.直线 l 在平面 α 内,记作 l⫋α. 如果一条直线和一个平面只有一个公共点,则称这条直线和这个 平面相交.直线 l 与平面 α 相交于点 P,记作 l∩α=P. 如果一条直线和一个平面没有公共点,则称这条直线和这个平面 平行.直线 l 与平面 α 平行,记作 l∥α. (5)空间平面与平面的位置关系. 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面 α 与平 面 β 平行,记作 α∥β. 如果两个平面不重合但有公共点,则称这两个平面相交.
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.

【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)

【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
第一章 立体几何初步
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
第十二页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。

空间图形的基本关系与公理(1)

空间图形的基本关系与公理(1)

分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.

变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α


A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b

④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．

高中数学-4.1空间图形基本关系的认识

高中数学-4.1空间图形基本关系的认识

l
∥
l
5.空间两条直线的位置关系
Ab
a
相交
a
b
Ab
平行
异面 a
课堂探究
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到 桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
4.1空间图形基本关系的认识
学习目标
1. 通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基 本构成----点、线、面的基本位置关系； 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理； 3. 培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行 交流的能力、几何直观能力，通过典型例子的学习和自 主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的 数学思想方法.
错误
C1 D1
B1 A1
②设正方形ABCD与 A1B1C1D的1 中心分别为O，O1 ，则平面 AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1 ；
C
B
正确
D
OA
C1
B1
D1
O1
A1
③由点A，O，C可以确定一个平面；
C
B
D
OA
错误
C1 D1
B1 A1
④由 A, C1, B确1定的平面是ADC1B1；
（7）AB与平面AC。
D1 A1
D A
C1 B1
C B
归纳总结 提高认识
1.空间点与直线的位置关系
（1）点在直线上；（2）点在直线外.
2.空间点与平面的位置关系 （1）点在平面内；（2）点在平面外. 3.空间直线与平面的位置关系

1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)

1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)

[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．

北师大版必修二数学4.1空间图形基本关系的认识

北师大版必修二数学4.1空间图形基本关系的认识

安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第47 课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：第12周集体备课个人空间一、课题：4.1空间图形基本关系的认识二、学习目标1、了解空间点、线、面间的位置关系，理解线面位置关系的定义。

2、正确理解异面直线的定义，会画空间点、线、面位置关系的各种图形。

3、同过对空间图形基本关系的认识，结合三种语言的互相转换，体会数学图形的直观美以及数学语言的简洁美。

三、教学过程【温故知新】课前认真阅读教材22-23内容，通过独学、结合导学案的引领，认真完成预习学案的问题导学部分；在独学过程中，要能够发现自己的问题并用红笔将相关的问题标出，以便在后面正课做到有目的地进行相关学习.1、空间点与直线的位置关系（1）点A在直线l上，记为读作：（2）点A不在直线l上，记为读作：从图示的长方体中，找出点在线上，点不在线上的例子。

2、空间点与平面的位置关系（1）点A在平面α内，记作读作：（2）点A在平面α外，记作，读作：从图示的长方体中，找出点在面内，点在面外的例子。

3、空间直线与直线的位置关系（1）（2）（3）从图示的长方体中，找出平行、相交、异面的例子,完成教材23页，右上角的问题与思考部分。

4、空间直线与平面的位置关系（1）（2）（3）从图示的长方体中，找出线在面内、线面相交、线面平行的例子5、空间平面与平面的位置关系（1）（2）从图示的长方体中，找出线在平面平行、平面相交的例子【导学释疑】例1、用符号语言表示下列语句，并作出图形。

（1）点A在平面β内，但在平面α外（2）直线l 在平面α内，又在平面β内，即平面β和平面α相交于直线（3）直线l 在平面α外，且过平面α内的一点A（4）直线l 在平面α内两点M 、N例2、将下面用符号语言表示的关系改用文字语言叙述，并且用图形语言表示。

βαβα≠≠⊂⊂∈=⋂AC AB l A l ,,, 【巩固提升】例3、如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线M A 1与C 1C 是相交直线②直线M A 1与NB 是平行直线③直线N B 1与MB 是异面直线④直线M A 1与DD 1是异面直线其中正确结论的序号是【检测反馈】1、若a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则（ ）A.a ∥cB. a 、c 相交C. a 、c 是异面直线D. a 、c 或平行或相交或异面2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与棱AB 异面的棱有（ ）A.2条B.4条C. 6条D.8条3、两条异面直线指的是（ ）A.分别位于两个不同平面内的两条直线B.空间内不相交的两条直线C.某一平面内的一条直线与这个平面外地一条直线D.空间两条既不平行又不相交的直线反思栏。

空间图形的基本关系

空间图形的基本关系
•平行平面
//
两个平面没有公共点
平面 与平面 平行


•相交平面
两个平面有公共点

平面 与平面 相交于直线 l
l
l

预习自测
例1、如图所示，下列符号表示错误的是 A. l B. P l P C. l D. P （ A）
l
例2、如图所示，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BM是异面直线； CN与BE是异面直线； DN与BM是异面直线. 以上四个命题中，正确命题的序号是
m
（1）


P
l
A
（2）

l

Q
（3）

m
l

n
3、“a , b 是异面直线”是指： a b 且a 不平行于b ； b 平面 且 a b ； a 平面 ， b 平面 ； a 平面 ， 不存在平面 ，能使 a 且 b 成立. 上述结论中，正确的是 （ C ） A. B. C. D.
b a
b
a A
•异面直线（两条直线不同在任何一个平面内，无交点） 直线a与b异 面
b
b
a
a
4、空间直线与平面的位置关系有三种:
•直线在平面内 直线a 在平面 内

b
a
a
•直线与平面相交 直线b与平面 相交


B
b B
•直线与平面平行
直线c与平面 平行 c //
c

5、空间平面与平面的位置关系有二种:
§4.1空间图形基本 关系的认识
教学目标
掌握空间图形的基本构成 点、线、面 的五种基本位置关系；（重点） 理解异面直线的概念；（难点） 掌握文字语言，符号语言，图形语言的相 互转化.（难点）

高中数学-北师大版必修二 空间图形的公理4及等角定理 课件

高中数学-北师大版必修二 空间图形的公理4及等角定理 课件
图 1-4-16
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

4．据图填入相应的符号：A________平面 ABC，A________平面 BCD，BD________平面 ABC，平面 ABC________平面 ACD＝AC.
[答案] ∈ ∉
∩
合作 探究 释疑 难
三种语言的相互转换 【例 1】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直 线 AB 上．
[跟进训练] 1．(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么 l 与 α 的位置 关系是________．
(2)如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直 线与直线 BC′是异面直线？
(1)直线 l 在平面 α 内 [如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公 理 2，l α.]
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a α
[答案] C
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点
不在同一直线上，则这两个平面重合．]
3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选 D.]
对于长方体有 12 条棱和 6 个面． 思考 1：12 条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 提示：相交，平行，既不平行也不相交． 思考 2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面 相交．

空间图形基本关系的认识

空间图形基本关系的认识
A.0个B.1个C.2个D.3个
请根据下图提示,完善本节知识结构图:
◎会用长方体解释点线面的位置关系.
◎学会用集合的语言表述点线面的位置关系.
◎掌握两个相交平面和一对平行平面的画法.
◎理解异面直线的含义.
1.用符号表示下列语句
（1）点A在平面 内，但在平面 外.
（2）直线 经过平面 外一点 .
1．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．
D.不同在任何一个平面内的两条直线
5.下列命题正确的个数为（）
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
（1）（2）（3）
2.完成直线和平面的位置关系表
位置关系
线在面内
线与面相交
线与面平行
公共点
图形表示
符号表示
3.完成两个平面的位置关系表
位置关系
两平面平行
两平面相交
公线是指（）
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线

空间图形基本关系的认识及公理123

空间图形基本关系的认识及公理123

【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？ 提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重 合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么 问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三 个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×

空间图形的基本关系的认识`

空间图形的基本关系的认识`

a b A
a、b异面
a / /b
位置关系
文字表述
图形语言
符号语言
直线l在
直线与平面
平面内 直线l 平行 于平面 直线l与平 面 交于A
l Ø
l / / l A
平面 与平
平面与平面 面 相交于l
平面 与平
l
关于异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。
§4
实例分析
空间图形的基本关系与公理
观察下列长方体，回答问题。
A
4.1 空间图形基本关系的认识
a
α
c
问题
b
B
(1) 长方体有几个顶点？ （2）长方体有几条棱？ （3）长方体有几个表面？
通常把平面用一个希腊字母，， 等字母表示， 还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表示 （或用用表示平行四边形的对角顶点的两个字母来表示） 例如：
D α β C
A
记为：平面α
C
记为：平面 β
O
记为：平面 ABCD或平面AC、 平面BD
B
A
B
记为：平面ABC
记为：圆面O
位置关系
文字表述
图形语言
符号语言
点与Байду номын сангаас线
点A在直线l上
点A不在直线l上
Al Al A
A
点A在平面内
点与平面 点A不在平面
内
平行直线
直线与直 线
相交直线 异面直线
(4)不存在平面，使得a 刎平面，b
平面
3.两个平面有三个公共点，则这两个平面（ C ） B. 重合
4.直线a、b两条直线都平行于平面，则直线a、b 的位置关系是（ D ） A.平行 B. 相交 C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
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c
b
B
记作： P
β
3. 空间两条直线的位置关系有三种：A
①平行直线—— 在同一个平面内，没有公 共点的两条直线。 ②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有 一个公共点的两条直线。
α α
a
c
b
B
b 记作：a//b
a
β
a O b
记作： b O a
③异面直线— 不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。 —
b
α
b
a
a β b
α
γ
a
A （1）直线在平面内— 直线与平面有无数个 — 公共点。 （2）直线与平面相交— 直线与平面只 α 有一个公共点。 —
4. 空间直线与平面的位置关系有三种：
b
a
β
F
E
（3）直线与平面平行—— 直线与平面没有公共点。
5. 空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）平行平面—— 没有公共点的两个平面。 （2）相交平面—— 两个平面不重合， 并且有公共点。 α
E
β
F
练习
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？ （2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系： （1）AB和CC1； D1 （2）A1 C和BD1 ； B1 A1 （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC； D （7）AB与平面AC。 A B
§4
实例分析
空间图形的基本关系与公理
观察下列长方体，回答问题。 A α
4.1 空间图形基本关系的认识
a
c
问题
b
B
(1)长方体有几个顶点？
（2）长方体有几条棱？ （3）长方体有几个表面？
1.空间点与直线的位置关系有两种： A a ①点在直线上 记作：A 作：B b 2.空间点与平面的位置关系有两种： ①点在平面内 记作： O ②点在平面外 P O
C1
C
平面 “平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念. 桌面、窗 玻璃面、墙面、平整的地面等等都给我们以平面的 形象. 几何里的平面是无限延展的，我们见到的“平面”只是数学 里所说平面的一部分，通常画平行四边形来表示平面所在 的位置. 平面通常用一个希腊字母α 、β 、γ 等来表示，也可以用表 示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示. 例：平面α 、β ，平面AC等.