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第15课圆内接四边形目标导航学习目标1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.知识精讲知识点01 圆内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．知识点02 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．能力拓展考点01 圆内接四边形的性质的应用【典例1】如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB ＝∠CDE．（1）求证：△ABE是等腰三角形；（2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r．【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．分层提分题组A 基础过关练1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（）A．40°B．60°C．100°D．120°2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2C．D．44. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝度．7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是．8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．题组B 能力提升练11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（）A．2m B．C．180°﹣2m D．13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝°．14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝130°．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．其中正确的结论是（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝P A+PB，④若P A＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，（1）证明：圆中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．（3）证明：P A+PB＝PC．22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．题组C 培优拔尖练23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为．24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD（1）求证：AB＝CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．。
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第25课时与圆有关的位置关系命题点1 与圆有关的位置关系(2014年1次;2013年1次)(’13铜仁5题4分)⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 不能确定命题点2 圆周角定理及推论(2015年3次;2014年8次;2013年7次)类型1 切线长定理计算1. (’15遵义12题3分)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1,B1C1交CD于E,AB=,则四边形AB1ED的内切圆半径为( )A. B. C. D.2.(’13毕节15题3分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4.点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( )A. 2，22.5°B. 3，30°C. 3，22.5°D. 2，30°类型2 切线性质的证明与计算2.(’15贵阳15题4分)小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M.现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是 .3. (’15铜仁24题12分)如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC 经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB,交AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分∠ACE;(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.4. (’15六盘水24题12分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点O是AC边上的一点,以O为圆心,OC为半径的圆与AB相切于点D,连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1,求证：AC=AD·BC.类型3 切线判定的证明与计算5.(’14安顺25题12分)如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG²＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝，求BG的长.命题点1B 【解析】∵⊙O 的半径为8,圆心O到直线l的距离为4,∴8＞4,即d＜r,∴直线l与⊙O相交.命题点2类型11.B 【解析】如解图,连接OA,OD,过点O作OM⊥AD于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠CDA=90°,由旋转的性质得∠DAB1=90°-30°=60°.∵⊙O内切于四边形AB1ED,∴DO、AO 分别平分∠CDA、∠DAB1,∴∠ODA=45°,∠OAD=30°.设OM=x,∴DM=OM=x,AM=OM=x,则x+x=,解得x=.2.A 【解析】如解图，连接OE，⊙O与AB、AC相切，∴∠OEA=∠A=90°，OE∥AB，∴OE=2，即⊙O的半径为2.在Rt△BDO中，∠BOD=∠B=45°，∴∠MND=∠BOD=22.5°.类型22.【解析】如解图①，连接OM，ON，OB,O′G，O′H，O′B，∵⊙O与AB、CD相切于点N、M,又∵OM=ON=1,∠ABM=60°,∴∠OBM=30°,OB=2,MB=,又∵∠ABD=120°,∴∠ABO′=∠HBO′＝60°,∴∠BO′H=30°,又O′H=1,∴BH=,∴OO′=MH=MB+BH=+=.一题多解：如解图②，连接OM,ON,OB,OO′,O′G,O′H,O′B,根据切线长定理得∠O′BG= ∠GBH , ∠OBN=∠MBN,∴∠OBO′=∠O′BG+∠OBN= (∠GBH+∠MBN) =90°,在Rt△OBM中,∠OBM=30°,OM=1,∴OB=2,在Rt△O′BH中,∠O′BH=60°,O′H=1,∴O′B=,根据勾股定理,得OO′===3.(1)证明：如解图，连接OB,∵AE是⊙O的切线,∴OB⊥AE,·············································(1分)∵CE⊥AE,∴CE∥OB,∴∠OBC=∠BCE, ················································(3分)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠BCE,即CB平分∠ACE；················································(5分) (2)解：如解图，连接BD,∵DC是直径,∴∠DBC=∠BEC=90°, ········································(7分)又∵∠OCB=∠BCE,∴Rt△CDB∽Rt△CBE,∴,在Rt△BCE中,BE=3,EC=4,∴BC=5,∴,∴CD=,···················································(11分)∴⊙O的半径为.···········································(12分)4.证明：(1) ∵AB切⊙O于点D,∴OD⊥AB,即∠ADO=90°，······································(3分) 在Rt△ACB与Rt△ADO中，∵∠ACB=∠ADO=90°，∠BAC=∠OAD,∴△ADO∽△ACB; ············································(6分) (2) ∵△ADO∽△ACB,∴AD ∶DO=AC ∶BC. ·········································(9分)∵OD=1,∴AD ∶1=AC∶BC,即AC=AD·BC. ···············································(12分) 类型35.(1)证明：如解图,连接OC,∵ED⊥AB,∴∠3+∠5=90°,又∵PC=PG,∴∠1=∠2,而∠2=∠5,∠4=∠3,∴∠1+∠4=90°,即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线；·············································(3分) (2)证明：如解图,连接OG，∵BG2=BF·BO,即BG∶BO=BF∶BG,而∠FBG=∠GBO,∴△BGO∽△BFG,∴∠OGB=∠BFG=90°,即OG⊥BG,∴BG=CG,即点G是BC的中点；·············································(7分) (3)解：如解图,连接OE,∵ED⊥AB,∴FE=FD,而AB=10,ED=,∴EF=,OE=5, ·············································(9分)在Rt△OEF中,OF===1,∴BF=5-1=4,∵BG2=BF·BO∴BG2=BF·BO=4×5,,∴BG=2. ··················································(12分)。
