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θρ
dθ
dρ
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
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柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.
例3. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由
Ω
z
1
1 2
0 ≤ x ≤1
∴
∫∫∫Ω x d x d y d z 1 (1− x ) 1− x − 2 y = ∫ xd x ∫ d y∫ dz 0 0 0
1 2
y
1 x
= ∫ x d x∫
0
1
1 (1− x ) 2
0
(1 − x − 2 y )d y
1 1 1 2 3 = ∫ ( x − 2 x + x )d x = 48 4 0
ρ x 2dz d ρ ρ 原式 = ∫ dθ ∫0 ∫ 0 4 1+ ρ 2 d v = ρ d ρ d θ d z 2 2 h ρ ρ = 2π ∫ (h − ) d ρ 2 0 4 1+ ρ π
2π
0 ≤ θ ≤ 2π
h
2
h
o
y
= [(1 + 4h) ln(1 + 4h) − 4h] 4
机动
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Ω
0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a
z a
原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d z
Ω
o
= ∫ zd z ∫
0
a
π
0
2 dθ
∫0
2 cosθ
ρ2 d ρ
2 ρ = 2 cos θ x
y
=
2 π 4a
3
∫0
2 cos 3θ
8 3 dθ = a 9
Ω : 0 ≤ r ≤ a 3 cosϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , 0 ≤ θ ≤ 2π
利用对称性, 所求立体体积为
V = ∫∫∫ d v
Ω
r = a 3 cosϕ
z a
ϕr θ
= 4∫
π
0
2 dθ
∫0
Z
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方法3. 三次积分法 z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z 2 ( x, y ) 设区域 Ω : ⎧ y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x) ( x, y ) ∈ D : ⎨ a≤ x≤b ⎩ 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
∫∫∫Ω f ( x, y, z ) d v b y ( x) z ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z )d z a y ( x) z ( x, y )
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例2. 计算三重积分 ∫∫∫ z 2 d x d y d z ,
Ω
x2 y2 z 2 其中Ω : 2 + 2 + 2 ≤ 1. a b c −c ≤ z ≤ c 解: Ω : x2 y2 z2 Dz : 2 + 2 ≤ 1 − 2 a b c ∴
z D z c z
∫∫∫Ω f ( x, y, z ) d v = ∫a d z ∫∫D
方法3. “三次积分”
b
1
b
f ( x , y , z )d x d y
Z
∫∫∫Ω f ( x, y, z ) d v = ∫a d x ∫y ( x ) d y ∫z ( x, y )
1
y2 ( x )
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
dv = ρ d ρ d θ d z
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d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例4. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 . r2 h ≤ z ≤ h 4 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ ρ ≤ 2 h
2 2 1 1
投影法
∫∫∫Ω f ( x, y, z ) d v = ∫∫D d xd y ∫ z ( x, y )
1
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
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当被积函数在积分域上变号时, 因为 f ( x, y , z )
f ( x, y , z ) + f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) − f ( x, y , z ) = − 2 2 = f1 ( x, y, z ) − f 2 ( x, y, z )
f ( x, y , z ) d x d y ) d z
z
x
y
该物体的质量为
∫∫∫Ω f ( x, y, z ) d v
=∫
记作
面密度≈ f ( x, y , z ) d z
( a ∫∫
b
b
DZ
f ( x, y , z ) d x d y ) d z
∫ a d z ∫∫D
f ( x , y , z )d x d y
r=R
π
0 ≤ θ ≤ 2π
R 4 r 0
∴
∫∫∫Ω
2π 0
( x 2 + y 2 + z 2 )d xd yd z
4
o
=∫
dθ
∫0
π
4 sin ϕ d ϕ
∫
x
y
dr
1 5 = π R (2 − 2 ) 5
dv = r 2 sin ϕ dr d ϕ d θ
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例6.求曲面 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 3 z ( a > 0)所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
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3. 利用球坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 其柱坐标为( ρ ,θ , z ), 令 OM = r , ∠ZOM = ϕ , 则(r ,θ , ϕ ) 就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系 x = r sin ϕ cosθ ⎛ 0 ≤ r < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ y = r sin ϕ sin θ ⎜ ⎟ z = r cos ϕ ⎝ 0 ≤ϕ ≤π ⎠ 坐标面分别为
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
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例1. 计算三重积分 ∫∫∫ xd xd yd z , 其中Ω 为三个坐标 面及平面 x + 2 y + z = 1 所围成的闭区域 . 0 ≤ z ≤ 1− x − 2y 解: Ω : 0 ≤ y ≤ 1 (1 − x ) 2
λ →0 k =1
lim ∑ f (ξ k ,ηk , ζ k )Δvk
n
记作
∫∫∫Ω f ( x, y, z )dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在Ω上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理. 设 f ( x, y , z ) 在有界闭域 Ω 上连续, V 为Ω 的 体积, 则存在 (ξ ,η , ζ ) ∈ Ω , 使得
f ( x, y, z )d xd yd z
x
Ω
o
dϕ
θ
dθ
y
= ∫∫∫ F (r ,θ , ϕ ) r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ
其中 F ( r ,θ , ϕ ) = f (r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
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方法1. 投影法 (“先一后二” ) ⎧ z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z 2 ( x, y ) Ω :⎨ ⎩ ( x, y ) ∈ D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) ⎛ ⎞ f ( x , y , z ) d z ⎜ ∫ z ( x, y ) ⎟ d xd y ⎝ 1 ⎠ 该物体的质量为
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二”
∫∫∫Ω f ( x, y, z ) d v = ∫∫D d xd y ∫z ( x, y )
1
z2 ( x, y )
f ( x , y , z )d z
方法2. “先二后一”
a
x
by
用“先二后一 ”
Dz
∫∫∫Ω
z d xd yd z = ∫
2
c 2
c 2 z −c
d z ∫∫ d x d y
2
4 z = 2 ∫ z π ab(1 − 2 )d z = π abc 3 −c 15 c
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2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将 x, y用极坐标 ρ ,θ 代替, 则 （ρ ,θ , z )
