学而思 方程计数最值行程等问题中的数论综合(上)4

349876第十一讲 最值问题（一）例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。

较大的五位数的后四位最小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数是50123，较小的数是49876，差为5012247−=.例2 （2008年数学解题能力展示）【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。

令B 最小，既最小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大=110-2B=50例3 (第十三届华杯赛)【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多，应该从大往小擦数，最终得到2。

要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007−=.例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则：“保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件，即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件.例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此，让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色，扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。

学习目标本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。

在历年小升初与各类小学竞赛试卷中,行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用,而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v ）和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下：路程 ＝ 速度×时间 可简记为:s vt =速度 = 路程÷时间 可简记为：/v s t =时间 = 路程÷速度 可简记为：/t s v =路程一定，速度与时间成反比速度一定,路程与时间成正比时间一定,路程与速度成正比显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：３，某人走这三段路所用的时间之比是 4：５：6,已知他上坡时每小时行 2.５千米，路程全长为 20千米,此人走完全程需多少时间？【例2】甲、乙两地相距60千米,自行车队8点整从甲地出发到乙地去,前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0．８千米。

自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？【例３】某人上山时每走30分钟休息１0分钟,下山时每走3０分钟休息5分钟,已知下山的速度是上山速度的1.5倍,如果上山用了3时50分钟，那么下山用多少时间？【例4】汽车以7２千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以48千米／时的速度返回甲地，求该车的平均速度。

【例5】甲、乙两车往返于Ａ、Ｂ两地之间，甲车去时的速度为60千米/时,返回时的速度为4０千米／时，乙车往返的速度都是50千米/时,求甲、乙两车往返一次所用的时间比.【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23，一辆汽车上山速度是下山速度的一半,从甲地到乙地共行7时,这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间?【例７】一辆车从甲地行往乙地,如果把车速提高２0%,那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速度行驶１０0千米后再将车速提高３0％，那么也比原定时间提前 1 小时到达,求甲、乙两地的距离。

【例1】设O为坐标原点，(1,1)A，若点B满足222210 1212x y x yxy⎧+--+⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤，则OA OB⋅的最小值为（）A．2B．2C．3D．22+【例2】已知变量,x y满足12xyx y⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，则x y+的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【例3】不等式组0,10,3260xx yx y⎧⎪--⎨⎪--⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于．典例分析线性规划【例4】设变量,x y满足约束条件31x yx y+⎧⎨--⎩≥≥，则目标函数2z y x=+的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【例5】设变量,x y满足0,103260yx yx y⎧⎪--⎨⎪--⎩≥≥≤，则该不等式组所表示的平面区域的面积等于，z x y=+的最大值为．【例6】目标函数2z x y=+在约束条件3020x yx yy+-⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥下取得的最大值是________．【例7】下面四个点中，在平面区域4y xy x<+⎧⎨>-⎩内的点是（）A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2)-D．(2,0)-【例8】已知平面区域1||1(,)0,(,)1y xy xx y y M x yyx⎧⎫+⎧⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪Ω==⎨⎨⎬⎨⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（）A．14B．13C．12D．23【例9】若x，y满足约束条件3003x yx yx+⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤≤，则2z x y=-的最大值为．【例10】已知不等式组y xy xx a⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≤，表示的平面区域的面积为4，点(),P x y在所给平面区域内，则2z x y=+的最大值为______．【例11】 设,x y ∈R ，且满足20x y -+=，则22x y +的最小值为 ；若,x y 又满足4y x >-，则yx的取值范围是 ．【例12】 “关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a <≤”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【例13】 已知不等式组110x y x y y +⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【例14】 已知不等式组022020x x y kx y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥≥所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（ ）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．0【例15】 已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，若数列{}n a 满足()(*)n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．()1,3【例16】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤，则OA OB ⋅的最小值为（ ） AB ．2C ．3D．2+【例17】 已知变量,x y 满足120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，则x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例18】不等式组0,10,3260xx yx y⎧⎪--⎨⎪--⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于．【例19】设变量,x y满足约束条件31x yx y+⎧⎨--⎩≥≥，则目标函数2z y x=+的最小值为（）A．1B．2C．3D．4。

第四节 一元二次方程的综合一、课表导航二、核心纲要1.一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）(1)-元二次方程c b a a c bx ax ,,,0(02=/=++ 是常数）(2)利用根系关系可以解决如下常见问题：①确定方程中系数或参数的值．二、核心纲要1、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理） （1）一元二次方程是常数）（c b a a c bx ax ,,,002≠=++存在两根212121,,,x x a b x x x x -=+则.ac = (2)利用根系关系可以解决如下常见问题：①确定方程中系数或参数的值.②不解方程，进行代数式整体求值.③不解方程，判断方程根的符号特征．④韦达定理的逆定理可以用来构造一元二次方程．2．一元二次方程的公共根解决一元二次方程的公共根问题的基本步骤：(1)设公共根为a ，把a 代入两个一元二次方程．(2)求出公共根或公共根的有关表达式．(3)把求出的公共根代人原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关 系式．3．一元二次方程的整数根(1)如果一元二次方程c b a c bx ax ,,02（=++是常数，)0=/a 有整数根，那么需要同时满足以下条件： ac b 42-=∆①为完全平方数；ac b b 42-±-②是2a 的整数倍．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a 、b 、c 均为有理数）．(2)解决一元二次方程整数根问题的常用方法①若ac b 42-=∆是完全平方数，则直接解方程，根据根的情况讨论参数的值，②若ac b 42-=∆不是完全平方数，参数有范围，可以根据,042≥-ac b 确定参数的具体取值范围，进而确定参数的整数值，代入验证求解．③若ac b 42-=∆不是完全平方数，但有完全平方项，且参数也没有范围，则假设ac b 42-=∆是完全平方数，利用平方差公式和整数的性质进行解题．4．构造一元二次方程通常有三种构造方式：(1)通过根的定义来构造一元二次方程．(2)通过韦达定理的逆定理来构造一元二次方程．(3)对于多字母变量的情形，通常先选主元，再构造一元二次方程．本节重点讲解：一个关系（根与系数的关系），一个构造（一元二次方程的构造），两种根（公共根、整数根）．三、全能突破基 础 演 练1．若一元二次方程0232=+-x x 有两个根,,21x x 则=+21x x =21,x x2．若方程042=+-a x x 的一个根为,23-则另一个根为 ，a 的值为3．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC 的两条直角边，且,3=∆ABC S 请写出一个符合题意的一元二次方程为4．已知方程032,01222=+-=+-a x x x x 有一个公共根，则=a5．已知一个一元二次方程的两根为1和3，则这个方程为6．当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数．能 力 提 升7．若一元二次方程0252=++x x 有两个根,,21x x 则=++)12)(12(21x x =+2221,x x =++121215,x x x x8．已知方程032=+⋅-m x x 的两根为221,,x x x 是1x 的2倍，则=m9．已知m ，n 为实数，且.0251,015222=-+=--n n m m 求n m m n +的值．1O.已知：关于x 的一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx (m 为实数)(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．(2)求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根．(3)若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．11.已知方程012=+-+m mx x 有两个不相等的正整数根，求m 的值．12.关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，且a 是整数，求a 的值．13.已知关于x 的一元二次方程.)0(022①>=++a c bx ax(1)若方程①有一个正实根c ，且,02<+b ac 求b 的取值范围． (2)当1=a 时，方程①与关于x 的方程04.42=++c bx x ②有一个相同的非零实根，求c b c b +-2288的值．14.已知关于x 的两个一元二次方程： 方程①：;01)2()21(2=-+++x k x k 方程②：.032)12(2=--++k x k x (1)若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简⋅++-2)4(1241k k (2)若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．15.如果方程02=++q Px x 的两个根是,,21x x 那么,,2121q x x P x x =⋅-=+请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程),0(02=/=++n n mx x 求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数．(2)已知a ，b ，c 满足,16,0==++abc c b a 求正数c 的最小值．16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，我们称关于x 的一元二次方程02=-+c bx ax为“△ABC 的☆方程”．根据规定解答下列问题：(1)“△ABC 的☆方程”02=-+c bx ax 的根的情况是 （填序号）．①有两个相等的实数根②有两个不相等的实数根③没有实数根(2)若c x 41=是“△ABC 的☆方程”02=-+c bx ax 的一个根，其中a ，b ，c 均为整数，且,04<-b ac 求方程的另一个根．17.如图21-4—1所示，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC 和Rt△BDE 的三边长，则知.2c AE =这时我们把形如022=++b cx ax 的方程称为关于x 的“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)构造一个“勾系一元二次方程”：(2)证明：关于x 的“勾系一元二次方程”022=++b cx ax 必有实数根．(3)若1-=x 是“勾系一元二次方程”022=++b cx ax 的一个根，且四边形ACDE 的周长是,26求△ABC 的面积．中 考 链 接18. (2013．四川泸州)设21,x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x xx x +的值为( )． 5.A 5.-B 1.C 1.-D19.（2013．山东烟台）已知实数分别满足,046,04622=+-=+-b b a a 且,b a =/则ba ab +的值为( )．7.A 7.-B 11.C 11.-D20.（2013．北京）已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值． 巅 峰 突 破21.已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有____个．22．已知实数x ，y 满足,324,35252424=+=-y y x x 则44425y x +的值为。

学而思小学奥数知识点梳理概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中，统一以分数形式。

⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简 2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：1212...... (...... n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷3．估算求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小①通分a. 通分母b. 通分子②跟“中介”比③利用倒数性质若111a b c >>，则c>b>a.。

形如：312123m m m n n n >>，则312123n n nm m m <<。

5．定义新运算6．特殊数列求和运用相关公式：①(21321+=++n n n ②((612121222++=+++n n n n③(21n a n n n n =+=+ ④((412121222333+=++=+++n n n n ⑤131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc ⑥((b a b a b a -+=-22 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n2二、数论1．奇偶性问题奇±奇=偶奇×奇=奇奇±偶=奇奇×偶=偶偶±偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如：abc =100a+10b+c4．整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a±b 。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且（b,c ）=1,那么bc|a。

学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！首先，甲跑一个全程需30130÷=（秒），乙跑一个全程需300.650÷=（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5420⨯=（次）【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．NM如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．。

六年级奥数竞赛班
1．不定方程(组)
2．数论计数
3．数论最值
4．数论行程
解方程9648015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩(其中a 、b 、c 均为自然数 )
两个四位数ACCC 和CCCB
满足，
25ACCC CCCB =请问A ×B ×C 之值是什么？
如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是1千米，A 、B 、C 三位运动员同时从交点O 出发，
分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时
43千米，每小时65千米，每小时89
千米。

问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？
方程、计数、最值、行程等
问题中的数论综合（上）
(★★)
(★★★)
(★★★)
2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a＋b＋c＋d的最小值是多少？
有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。

例如：30就能满足上面的要求，因为30＝9＋10＋11；30＝6＋7＋8＋9；30＝4＋5＋6＋7＋8。

请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数。

(★★★★) (★★★★★)。

速度变化的行程'问题【例1】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点，如果甲车速度不变，乙'车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B 两地同时出发相向而行，而相遇地点距C点16千米，甲车原来每小时行多少千米？【例2】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点，如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米，如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点B距C点5千米，间：甲原来的速度是每小时多少千米？【例3】小红和小强同时从家里出发相向而行，小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇，若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇，小红和小强两人的家相距多少米？【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，6小时相遇，如果甲早出发2小时，甲乙相遇时，甲已经走过AB 的中点后还走了144千米，如果乙早出发2 小时，甲乙相遇时，甲还差48千米才到AB的中点，求甲、乙两人的速度差。

【例5】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练，他们同时以同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈的速度提高了15，已知沿跑道看从甲乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？与数论有关的行程问题与行程杂题(上)【例1】甲乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇，如果两人的速度各增加1千米/时，那么相遇的地点距前一次相遇的地点1 千米，问：甲乙二人的速度各是多少？【例2】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=23×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．所以，至少要分成3组．8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【分析与解】由于3128÷142=114，3128÷324=92．所以狐狸跳4个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个3128米的距离时，将掉进陷阱．又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×142=40.5(米)．11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．所以，除数4为17．13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．4n+4n+1，显然除以4余1．评注：设奇数为2n+1，则它的平方为214．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．。