学而思五年级计算拓展题目+解析

数列找规律【例1】一块白白的豆腐，帅帅“咣咣咣···咔咔咔”切了六刀，最多能切成多少块？【例2】有一个国家的钱币仅有六元和七元两种，在这个国家里人们买东西时会出现找不开钱的情况。

⑴出现这种情况的价格共有多少种？⑵其中最贵的价格是多少元？【例3】“不好吃”肉串店老板送给帅帅十张优惠券(从1到10分各1张)。

在一个风雨交加的下午，帅帅拿着优惠券喜滋滋的去吃肉串了，结果看见了老板在店门口给帅帅留了一个牌子：【例4】下列⑴~(20)的二十个加法算式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。

组合专题：超难组合数学㈠1．一棱柱以五边形A1A2A3A4A5与B1B2B3B4B5为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一条线段A i B j(i，j＝1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色。

若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。

证明上、下底10条边颜色一定相同。

2．设在空间给出20个点，其中某些点涂黄色，其余点涂红色。

已知在任何一个平面上同色点不超过3个。

求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含异色点。

3．某一天有若干读者去过图书馆。

他们是单独去的，但是在任何三个读者中，至少有两个人这天在图书馆相遇。

证明：一定可以找到这样两个时刻，使得在这一天到过图书馆的任何一个读者，至少在这两个时刻中的一个时刻是在图书馆的。

4．每一个参加循环赛的人和其余参加比赛的人都要比赛一次。

已知任何一次比赛都没有出现平局。

证明：可以找到这样的运动员，其他人或被他战胜，或被他胜过的人战胜。

测试题1．一棱柱以四边形F1I1H1G1与K1L1J1E1为下、上底，这两个多边形的每一条边及每一条线段(所有连接顶点的线段)分别涂上红色或绿色。

若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。

证明上、下底8条边颜色一定相同。

答案及解析证明：先证明上底下底分别同色假如底边有不同色线段，那么假设F1I1为红F1G1为绿，由F1点连三条线段分别为F1E1,F1J1，F1L1，三条线段中必然有两条颜色相同，假设F1J1，F1L1都为红色，那么三角形L1I1J1为全绿三角形，矛盾，假设F1J1，F1L1都为都为绿色，那么三角形G1L1J1为全红三角形，矛盾，所以下底边颜色全部相同。

一、填空题(每题7分，共28分)1．今天是2012年4月7日，欢迎同学们参加“第二届全国学而思综合能力测评(学而思杯)”。

请先计算20120407 除以11的余数是___________。

(张宇鹏老师供题)2．算式：11111201212450310062012×−+−+− 的计算结果是___________。

(齐志远老师供题)3．水泊梁山共聚108名将领，受招安后奉命征讨“方腊”(人名)。

征讨过程中战死将领占总人数的3554，征讨得胜后辞官将领占总人数的118，那么，队伍中还有___________名将领。

(董博聪老师供题)3．如图，是一个由2个半圆、2个扇形、1个正方形组成的“心型”。

已知半圆的直径为10，那么，“心型”的面积是___________。

(注：π取3.14 )(胡浩老师供题)二、填空题(每题9分，共36分)5．定义：A □B 为A 和B 乘积的约数个数，那么，1□8＋2□7＋3□6＋4□5＝___________。

(崔梦迪老师供题)6．由24个棱长为1的小正方体组成一个大的长方体，那么，组成后长方体的表面积最大为___________。

(刘斌老师供题)7．“2012A”是一个最简真分数，那么，满足条件的 有___________个。

(贺赓帆老师供题)8．在一个盛有部分水的长方体容器中，插有两根木棒，木棒露在外面的长度比是3∶7，当水面的高度升高10厘米后，木棒露在外面长度比变成2∶5。

当木棒露在外面长度比变成1∶3时，还需要升高_______厘米的水。

(郭忠秀老师供题)三、填空题(每题10分，共40分)9．下图为学而思标志中的字母“S”，被分成52个完全相同的小正方形。

那么，在右下图中共有___________个“”。

（注：“L”型可旋转）(李响老师供题)10．北京某水族馆饲养鲨鱼，偶数颗牙齿的鲨鱼总说实话，奇数颗牙齿的鲨鱼总说谎话。

一天，绿鲨鱼、蓝鲨鱼、紫鲨鱼、白鲨鱼在一起聊天。

2015年北京市五年级综合能力测评（学而思杯）考试时间：90分钟满分：150分第Ⅰ卷（填空题共90分）一、填空题A（每题5分，共50分）1.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．整个阅兵式上参加的方（梯）队有：2个抗战老兵乘车方队，11个徒步方队，27个装备方队和10个空中方队，此外还首次邀请了一些外国军队方队代表参加，已知整个阅兵式上所有受阅方队为67个，那么共有__________个外国军队方队参加检阅．【考点】应用题，基础应用题【难度】☆【答案】17【分析】67(2112710)17-+++=（个）．2.君君、嘉嘉、旭旭、宇宇四位同学这次考试的平均分是70分，如果去掉宇宇的成绩，则其他三位同学的平均分是75分，那么宇宇这次考了__________分．【考点】应用题，平均数【难度】☆【答案】55【分析】四个人的总分为704280⨯=分，去掉宇宇后三个人的总分为753225⨯=分，所以宇宇这次考的分数为28022555-=分．3.把""∆定义为一种运算符号，其意义为：ba ba∆=，则213161∆+∆+∆=__________．【考点】计算，定义新运算【难度】☆【答案】1【分析】111 2131611236∆+∆+∆=++=．4.如下图，正方形ABCD的面积是16，点F是BC上任意一点，点E是DF中点，则阴影部分面积为__________．【考点】几何，一半模型【难度】☆☆【答案】4【分析】三角形ADF 的面积是正方形ABCD 面积的一半，所以11682ADF S ∆=⨯=，又因为E 是DF 的中点，所以1=2ADF S S ∆阴影=18=42⨯．5.今天是2015年10月6日星期2，如果要使九位数20151062□恰好是9的倍数，那么□内的数应该填__________．【考点】数论，整除特征【难度】☆☆【答案】1【分析】设□填入a ，则九位数20151062a 的数字和是215162=17a a +++++++920151062917=1a a a ⇒+⇒．6.某幼儿园有三个小班，一班有6个小朋友，二班有9个小朋友，三班有10个小朋友．老师给每个班都买了相同数量的苹果，平均分给班里的小朋友，发现每个班的苹果都恰好够分．那么老师给每个班买的苹果数至少是__________个．【考点】数论，最小公倍数【难度】☆☆【答案】90【分析】每个班里的苹果数都恰好够分，说明这个苹果数分别是6,9,10的倍数，所以至少是[]6,9,1090=个．7.数一数，下图中一共有__________个三角形．【考点】计数，几何计数【难度】☆☆【答案】11【分析】可以分为几类：由一块组成：6个；由两块组成：2个；由三块组成：2个；由六块组成：1个．一共有622111+++=个三角形．8.一个三角形三条边的长度都是整数，如果它的周长是16，那么，这三条边乘积的最大值是___________．【考点】组合，最值【难度】☆☆【答案】150【分析】设三条边分别为a 、b 、c ，则有16a b c ++=，由和一定差小积大可知，当a 、b 、c 分别为5、5、6时，556150a b c ⨯⨯=⨯⨯=最大．9.老师组织五年级同学去图书馆搬书，第一次搬了全部书的25，第二次搬了全部书的37还多10本，两次搬完后还剩下50本书没有搬．那么一共有__________本书要搬．【考点】应用题，分数应用题【难度】☆☆【答案】350【分析】量率对应：23(1050)(1)35057+÷--=本10.掷一大一小两个骰子（骰子是一种正方体形状的玩具，有6个面，每个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6），每次掷出的点数之和恰好为质数的的情况有__________种．【考点】计数，枚举法【难度】☆☆【答案】15【分析】两个骰子每次掷出的点数和在2~12之间，其间的质数有2,3,5,7,11，分别枚举得到：211=+312=21=++514233241=+=+=+=+7162534435261=+=+=+=+=+=+115665=+=+所以每次掷出的点数之和恰好为质数的的情况共有15种．二、填空题B （每题8分，共40分）11.请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是__________．51250⨯ □□□□□□□□□□ □□□【考点】组合，乘法数字谜【难度】☆☆☆【答案】30975【分析】根据题意：0e =，252,5,1abc d fa c d ⨯=⇒===；1109b b +=⇒= 5 1 25 0 a b cd e f ⨯⇒□ □ □ □ □ □ □ 2 5 1 0 5 1 25 0 b b ⨯⇒□ □ □ □ □ □ □ 2 9 5 1 0 51 475 29530 97 5⨯ 12.如果一个五位数能被9整除，且其各个数位上的数字乘积是质数，那么，满足条件的最大五位数和最小五位数之和是__________．【考点】数论，质合与整除【难度】☆☆☆【答案】62226【分析】一个五位数的各个数位上的数字乘积是质数，根据质数的定义可知，这五个数位上只能是4个1和1个质数；又因为这个五位数能被9整除，所以这个质数只能是5．则这个五位数的最大值为51111，最小值为11115，最大值与最小值之和为62226．13.从1~20这20个数中随机选出2个不同的数，并且使这两个数的乘积是偶数，那么，一共有__________种取数的方法．【考点】计数，排列组合【难度】☆☆☆【答案】145【分析】两个数的乘积是偶数有两种情况：奇数⨯偶数，偶数⨯偶数奇数⨯偶数：111010100C C ⨯=种偶数⨯偶数：21045C =种所以一共有10045145+=种．14.如下图，在长方形ABCD 中，30AB =，阴影部分面积是120，那么，CF =__________．【考点】几何，等积变形【难度】☆☆☆【答案】8【分析】连接AC ，因为AB DE ∥，所以由等积变形得：BCE ACE S S ∆∆=，两个三角形有共同部分三角形FCE ，所以120BCE FCE ACE FCE ACF BEF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-⇒==，302120ACF S CF ∆=⨯÷=，所以8CF =．15.甲、乙两人同时从A 地出发开车前往B 地．初始时，甲的速度是乙的1.2倍．在距中点还有20千米的C 地设有一处补给站，甲到达补给站时会休息一段时间，并且在甲刚开始休息和刚结束休息这两个时刻，甲乙两人之间的距离刚好是一样的（乙到达C 处时不休息）．如果甲到达C 地后速度会提升三分之一，乙到达C 地后速度会提升二分之一，结果甲乙两人同时到达B 地．那么，A 、B 两地的距离是__________千米．【考点】行程，方程法解行程【难度】☆☆☆☆【答案】88【分析】可以设AB 之间的距离为2S ，初始时甲的速度为12，则乙的速度为10；过了C 地之后甲的速度提升为1121=163⨯+（），乙的速度提升为1101=152⨯+（）．因为甲乙两人同时到达B 地，所以两人所用时间相同．乙不休息，全程开车用的时间为:20201015S S -++；甲休息了一段时间，所以甲全程时间分为开车时间和休息时间，其中开车的时间为20201216S S -++；休息时间较为复杂，因为甲乙初始的速度比为6:5，所以甲乙的路程比也为6:5．当甲到达C 地开始休息时,甲、乙之间距离为1(20)6S -；当甲结束休息时，甲、乙之间距离仍然为1(20)6S -．所以甲休息的时间为11(20)(20)661015S S --+根据甲乙所用时间相等可列方程：20201216S S -++11(20)(20)661015S S --++20201015S S -+=+，解得：44S =,所以AB 之间的距离为24488⨯=千米．,第Ⅱ卷（解答题共60分）三、解答题：（请将解答过程写在答题纸上，试卷作答无效）16.计算：（每题4分，共16分）（1）12233344445555666778+++++++【考点】整数计算，凑整【难度】☆☆【答案】11106【分析】原式=18227733366644445555+++++++（）（）（）（）=9999999999+++=101001000100004+++-=11106（2）3511273164474712⨯+⨯+÷【考点】分数混合运算，提取公因数【难度】☆☆【答案】24【分析】原式31211212=36447477⨯+⨯+⨯1231=364744⨯++（）12=147⨯=24（3）3(5)177(2)x x +-=-【考点】解方程，一元一次方程【难度】☆☆【答案】3【分析】去括号：31517714x x +-=-移项：14151773x x+-=-合并同类项：124x=系数化1：3x =（4）(32):3(92):5x x +=-【考点】解方程，比例方程【难度】☆☆【答案】43或113【分析】内项积等于外项积：5(32)3(92)x x +=-去括号：1510276x x +=-移项：6102715x x+=-合并同类项：1612x=系数化1：43x =17.列方程（组）解应用题（6分）今年大强的年龄是小强的4倍，8年后大强的年龄比小强年龄的2倍还大2岁，求今年大强和小强分别是多少岁？【考点】列方程解应用题【难度】☆☆【答案】大强20岁，小强5岁【分析】解：设今年小强的年龄是x 岁，则大强的年龄是4x 岁．根据题意有：482(8)2x x +=++解得：5x =则今年大强年龄为：5420⨯=岁答：今年小强是5岁，大强是20岁．18.如下图，三角形ABC 的面积是1，且有2BE AE =，BF FD DC ==，G 是AD 中点．请求出：（1）三角形ADC 的面积．（3分）（2）三角形BFE 的面积．（3分）（3）三角形EFG 的面积．（4分）【考点】，几何，鸟头模型【难度】☆☆☆【答案】（1）13；（2）29；（3）16【分析】（1）根据等高模型：1111333ADC ABC S S ∆∆==⨯=；（2）根据鸟头模型：122339BFE BCA S BF BE S BC BA ∆∆⨯⨯===⨯⨯，所以2221999BFE ABC S S ∆∆==⨯=（3）2221333ABD ABC S S ∆∆==⨯=根据鸟头模型：111326AEG ABD S AE AG S AB AD ∆∆⨯⨯===⇒⨯⨯11216639AEG ABD S S ∆∆==⨯=111224DFG DBA S DF DG S DB DA ∆∆⨯⨯===⇒⨯⨯11214436DFG ABD S S ∆∆==⨯=12111139966EFG S ∆=----=19.我们发现，6、10、15是3个很神奇的数，它们中任意两个数的最大公因数都不是1，但3个数放在一起，最大公因数就变成了1．（1）请你在1~25之间选出另外3个互不相同的数，也满足上述条件．（4分）（2）请你在1~120之间选出4个互不相同的数，满足这4个数中任意三个数的最大公因数都不是1，但这4个数放在一起的最大公因数是1．（4分）（3）在1~30中，挑选出若干个互不相同的数排成一排，并满足：任意相邻两个数的最大公因数不是1，但任意相邻的三个数的最大公因数都是1．那么，最多可以挑选出多少个数？（4分）【考点】数论，分解质因数【难度】☆☆☆☆【答案】见分析【分析】将6、10、15分解质因数：623=⨯，1025=⨯，1535=⨯，发现每个数都是由2,3,5这三个质因数中的两个组成，即只要三个数的分解质因数形式分别为23⨯□□，25⨯□□，35⨯□□，就可以满足任意两个数的最大公因数都不是1，但是三个数的最大公因数却是1．下面按照这个方法来构造即可．（1）在1~25之间选取三个数，所以三个不同的质因数可以取2,3,5或2,3,7①当三个质因数为2,3,5时，三个数的分解质因数形式分别为23⨯□□，25⨯□□，35⨯□□，满足条件的三个数有8组，分别为：（6,10,15）（12,10,15）（18,10,15）（24,10,15）（6,20,15）（12,20,15）（18,20,15）（24,20,15）②当三个质因数为2,3,7时，三个数的分解质因数形式分别为23⨯□□，27⨯□□，37⨯□□，满足条件的三个数有4组，分别为：（6,14,21）（12,14,21）（18,14,21）（24,14,21）．因为是要选出另外三个互不相同的数，所以含有6、10、15的数组都不能取，只能取（12,14,21）（18,14,21）（24,14,21）这三组．（2）在1~120之间选出4个互不相同的数，需要4个不同质因数，可以取2,3,5,7，四个数的分解质因数形式分别为235⨯⨯□□□，237⨯⨯□□□，257⨯⨯□□□，357⨯⨯□□□，满足条件的四个互不相同的数有8组，分别是：（30,42,70,105）（60,42,70,105）（90,42,70,105）（120,42,70,105）（30,84,70,105）（60,84,70,105）（90,84,70,105）（120,84,70,105）（3）根据前面的思路，要想满足条件，这一排数除了前后两端的两个数，其他所有数都应该至少含有2个质因数．在1~30中有6，10，12，14，15，18，20，21，22，24，26，28，30．又因为不能有三个相邻的数都是偶数，所以要想最多中间应该多排奇数，上面的数中只有15和21是奇数，所以两个都选且要隔在中间以保证没有三个连续偶数，排列情况如下：_____,_____,15，_____,_____,21_____,_____但其实还可以排的更多，因为这一排数的两端都可以各自放一个质数，同样可以满足条件，所以最多的情况是可以挑选出10个数．给出一组满足条件的构造如下：11，22，12，15，10，14，21，6，28，7四、阅读材料并回答下列问题（每小题4分，共16分）20.如果一个数列的第n 项n a 与其项数n 之间的关系可用式子来表示，这个式子就称为该数列的通项公式．①通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；②通项公式以数列的项数n 为唯一变量；③并非每个数列都存在通项公式．如果一个数列的第n 项n a 与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式．例如：对于数列1，3，5，7，9，11……它的通项公式是21n a n =-它的递推公式是12n n a a -=+（其中的n 都表示项数）根据上述材料：（1）请判断下列公式是通项公式还是递推公式（4分，每空2分）n a n =是_________公式．12n n n a a a --=+是_________公式．（2）请根据下面的通项公式，写出这个数列的第2015项（4分）21n a n n =+-（3）请根据下面的递推公式，分别求出这个数列的第2、3、4、6项（4分，每空1分）11a =，11n n a a n -=+-2a =________，3a =________，4a =________，6a =________（4）请写出下面这个数列的通项公式和递推公式（4分）2、5、10、17、26、37、50、65、82、101……【考点】阅读材料【难度】☆☆☆【答案】（1）通项公式；递推公式（2）4062239（3）22a =，34a =，47a =，616a =（4）通项公式：21n a n =+；递推公式：121n n a a n -=+-【分析】（1）通项公式；递推公式（2）22201512015201514062239n a n n a =+-⇒=+-=【分析】（3）21211212a a =+-=+-=32312314a a =+-=+-=43414417a a =+-=+-=545175111a a =+-=+-=6561116116a a =+-=+-=（4）通项公式：21n a n =+；递推公式：121n n a a n -=+-。

2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（五年级）详解一．填空题（每题5 分，共20 分）1. 两个质数的和是9，那么这两个质数的乘积是．【考点】数论，质数性质【难度】☆【答案】14【分析】两质数和为奇数，必有偶质数2，另一质数为7，故答案为2 ⨯ 7 = 14 .2. 如右图，共有个正方形．【考点】组合，几何计数【难度】☆【答案】10【分析】1⨯1的正方形有4 个，2 ⨯ 2 的正方形有5 个，4 ⨯ 4 的正方形有1 个，共10 个.3. 学而思教研部一共购买了300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语书．那么，英语书共有本．【考点】应用题，分数应用题【难度】☆【答案】80【分析】300 ⨯ (1 - 2-1) = 300 - 120 - 100 = 80 （本）.5 34. 如右图，正方形ABCD 边长为40 厘米，其中M、N、P、Q 为所在边的中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是平方厘米．（π取3.14）【考点】几何，圆与扇形面积【难度】☆☆【答案】344【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长40 厘米的正方形面积减去半径为20 厘米的圆的面积（4 个扇形刚好拼成一个整圆），故答案为402 - 3.14 ⨯ 202 = 400 ⨯ (4 - 3.14) = 344 平方厘米.5. 对一个大于1 的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则先减去1 再除以2，如此进行直到得数为1，操作停止．那么，所有经过3 次操作结果为1 的数中，最大的数是．【考点】数论，奇偶性，倒推【难度】☆☆【答案】15【分析】从1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数⨯2 ；若上一步是奇数，则须本数⨯2 + 1 ；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：1→3→7→15；故15 为原数的可能达到的最大值.6. 定义：∆( A, B,C, D) = A ⨯ 4 + B ⨯ 3 + C ⨯ 2 + D ⨯1 ，那么，∆(2, 0,1, 3) =_ ．【考点】计算，定义新运算【难度】☆【答案】13【分析】按定义式，∆(2, 0,1,3) = 2 ⨯ 4 + 0 ⨯ 3 + 1⨯ 2 + 3 ⨯1 = 13 .7. 一项工程，由甲队单独做10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了8 天完成；这项工程，如果全部由乙队单独做，20 天可以完成．那么，如果全部由甲队单独做，天可以完成．【考点】应用题，工程问题【难度】☆☆【答案】30【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做120，故可在甲乙合作的条件中求出甲队的工作效率为每天做(1 - 1⨯ 8) ÷ (10 + 8) =3÷18 =1；故答案为30.20 5 308. 如右图，大正方体的棱长为2 厘米，两个小正方体的棱长均为1厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为平方厘米．【考点】几何，立体几何，表面积【难度】☆☆【答案】32【分析】三个立方体原总表面积为12 ⨯ 6 + 12 ⨯ 6 + 22 ⨯ 6 = 36 平方厘米，之后放在一起时缺失了4 个1⨯1 的表面，故答案为36 - 12 ⨯ 4 = 32 平方厘米；或者可用三视图法求表面积：(5 + 5 + 6) ⨯ 2 = 32 平方厘米.9.甲、乙、丙 3 人共有 2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克 力数比为 4: 2: 5 ，那么，甲原．有．【考点】应用题，比例应用题 【难度】☆☆☆ 【答案】726块巧克力．【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为 2013 ⨯732 - 3 ⨯ 2 = 726 块.4 4 + 2 + 5= 732 块，故甲原有巧克力10. 在 5×5 的方格中，将其中的一些小方格染成红色，使得对于图中任意的2×2 的方格中，均有至少 1 个小方格是红色的．那么，至少要将个小方格染成红色． 【考点】组合，构造与论证 【难度】☆☆ 【答案】4【分析】论证：为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个 2 ⨯ 2 的方格中都至少有 1个红色方格，可知答案必不小于 4； 构造：如右图，4 是可能的； 综上，答案为 4.11. 一个五位数，各．位．数．字．互．不．相．同．，并且满足：从左往右，第一位是 2 数是 3 的倍数，前三位组成的三位数是 5 的倍数，前四位组成的四位数是 7 的倍数，这个五位数 是 11 的倍数．那么，这个五位数最小是 ．【考点】数论，整除特征，最值 【难度】☆☆☆ 【答案】21076【分析】考虑最值确定各位数字：万位是 2 的倍数，故万位最小应为 2； 前两位组成的数是 3 的倍数，故前两位最小应为 21； 前三位组成的数是 5 的倍数，故前三位最小应为 210；前四位组成的数是 7 的倍数，最小为 2100，但要求各位数字不同，故应为 2107； 这个五位数是 11 的倍数，故此数应为 21076.12. 右边的乘法竖式中，相．同．汉字代表相．同．数字，不．同．汉字代表不．同．数字，那么，“大自然”代表的三位数是．【考点】数论，数字谜【难度】☆☆☆☆【答案】958我爱大自然⨯ 4 大自然爱我【分析】由个位可知“我”为偶数，再分析最高位即可知“我”只能为2；故“然”为3 或8；（还可分析知五个汉字所代表的数字之和必为3 的倍数，这个小结论可以辅助之后的分析）若“然”= 8，①则分析万位知“大”只能为9，故千位“爱”乘以4 后向万位进1，可知“爱”为3 或4；②若“爱”= 4，此时十位：“自⨯4 + 3 ”的末位数字为4，这表示“自⨯4 ”的末位数字为1，奇偶性矛盾！故确定“爱”只能为3；③若“爱”= 3，此时十位：“自⨯4 + 3 ”的末位数字为3，这表示“自⨯4 ”的末位数字为0，“自”为0或5；若“自”= 0，千位要接受进位8，这不可能；若“自”= 5，则有答案23958 ⨯ 4 = 95832 ；若“然”= 3，①分析万位知“大”为9 或8；②若“大”= 9，则千位“爱”乘以4 后向万位进1，可知“爱”只能为4；此时十位：“自⨯4 + 1 ”的末位数字为4，这表示“自⨯4 ”的末位数字为3，奇偶性矛盾！故知只能“大”= 8；③若“大”= 8，分析十位可知“爱”为奇数，再分析千位可知“爱”= 1；④此时无论十位的“自”为0 还是为5，式子的百位和千位都是错误的（21803 ⨯ 4 = 80312 错误；21853 ⨯ 4 = 85312 错误），故知“然”= 3 时无解；综上，本数字谜只有唯一解：23958 ⨯ 4 = 95832 ，本题答案为958.四．填空题（每题8 分，共32 分）13. 有A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，1B 会讲汉语、英语和法语，C 会讲汉语、英语和德语，D 会讲6 2汉语和德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语．如果每个人都能与他相邻的两个人交流，那么，共有种不同的排座位方式．（经过旋转、对称后重合的方式不．算．做．一．种．）【考点】组合，逻辑推理 5 3【难度】☆☆☆4【答案】24【分析】本题突破口在于A，由于A 只会说英语，英语也只有A、B、C 三人会说，故座位顺序中必然有紧邻的BAC（或CAB），此时分析F 可知F 必须与B 或C 中的一个相邻，E 必须在D、F 的中间；综上，得到两种圆排列方式：①BACEDF；②BACFDE；每种圆排列方式都有旋转、对称的12 种排座方式，故答案为12 ⨯ 2 = 24 种.⎨ ⎩ Q14. A 、B 两地相距 120 千米．甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙行了 20 千米．甲到达 B 地后立即原路返回，当乙、丙相遇在途中 C 地时，甲也恰好到达 C 地． 那么，当丙到达 A 地时，乙共行了 千米．【考点】行程问题，比例法解行程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】72【分析】本题关键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为 120 : 20 = 6 :1 ；设甲、乙、丙三人到达 C 点⎧z + y = 120时各走了 x 、y 、z 千米，则有方程组：⎪x - z = 120，解得 y = 3 （可以解出 x 、y 、z 的具体值， ⎪(x + z ) : y = 6 :1 z 5但其实不必要）；故丙走了 120 千米时，乙走了120 ⨯ 3= 72 千米.515. 如右图，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BCA 的中点，MNPQ 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC 上． NP如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米． 那么，正方形 MNPQ 的面积是 平方厘米．Q【考点】几何，面积，弦图 BMC【难度】☆☆☆ 【答案】20【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D ；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内含正方形的弦图，；则 MD 为△ABC 的中位线， MD = AC = 4cm ， AD = AB= 6cm ；故弦图中外2 2围正方形边长为 6cm ， AN = MD = 4cm ， DN = 6 - 4 = 2cm ；故所求面积为 62 - 2 ⨯ 4⨯ 4 = 20cm 2 .2AANP NPDD FBMCMQE16. 有一个自然数A，它的平方有9 个约数，老师把9 个约数写在9 张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3 ．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2 ，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是．【考点】数论，约数个数定理，幻方【难度】☆☆☆☆☆【答案】55【分析】A2 有9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A 的质因数分解形式为p4 或pq （p、q 为不相同的质数）；若A = p4 ，那么可把A2 的9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p 、p7 ）（1、p2 、p6 ）（1、p3 、p5 ）（p 、p2 、p5 ）（p 、p3 、p4 ）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1 + p4 + p8 = 625 或1 + p5 + p7 = 625 ，可是这两种情况p 均无解；故知A 的质因数分解形式不能为p4 ，只能为pq ；若A = pq ，那么可把A2 的9 个约数写成如下的表格形式思思手中拿到的可能是（1、p 、pq2 ）（1、q 、p2 q ）（1、p2 、q2 ）（p 、q 、pq ）；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、p2 q 、pq2 ），故1 + p2 q + pq2 = 625 ，（可用枚举法，或因数分析）解得A 的两个质因数p、q 为3 和13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为3 + 13 + 39 = 55 .五． 解答题（每题 8 分，共 16 分）17. 计算：（1） 0.27 ⨯103 + 0.19 （4 分）（2） 2013⨯ 2.3+ 201 3÷ 0.4 - 2013 ⨯ 1（4 分） 10 4 【考点】计算、巧算 【难度】☆☆ 【答案】28；4697【分析】（1）原式 = 0.27 ⨯100 + (0.27 ⨯ 3 + 0.19) = 27 + 1 = 28 ；（2）原式 = 2013 ⨯ 7 + 2013 ÷ 4 - 2013 ÷ 4 = 2013 ⨯ 7= 4697 .3 318. 解方程：（1） 4(2x - 1) - 3(x - 2) = 7 （4 分） （2） 2 x + 5 = 4 x - 7 （4 分） 3 5【考点】计算、解方程【难度】☆☆ 【答案】 x = 1 ； x = 23【分析】（1）注意去第 2 个括号时要变号；原方程化为： 8x - 4 - 3x + 6 = 7 ，即 5x = 5 ，解得 x = 1 ；（2）通分，原方程化为：5(2x + 5) = 3(4x - 7) ，即10x + 25 = 12x - 21 ，即 2x = 46 ，解得 x = 23 .六．解答题（每题 15 分，共 30 分）19. 如图，将 1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表，那么，12 13 14 15上 3 行（1）下 5 行从左向右数的第 5 个数是多少？（4 分） （2）上 6 行最左边的数是多少？（4 分）（3）2013 排在哪一行的从左向右数的第多少个？（7 分） 【考点】计算、数列与数表6 7 82 3 1 5 4 11 10 9上 2 行 上 1 行 0 行下 1 行下 2 行 【难度】☆☆☆☆【答案】37；42；上 44 行从左向右第 34 个19 18 17 16下3 行【分析】（1）下 n 行从左向右第 (n + 1) 个数（即最右数）为 (n + 1)2 ；故下 5 行从左向右第 6 个数为 36，下 5 行从左向右第 5 个数为 37；（2）上 n 行从左向右第 1 个数（即最左数）为 n (n + 1) ；故上 6 行最左数为 42； （3）上 44 行从左向右第 1 个数为 44 ⨯ 45 = 1980 ，故 2013 为上 44 行从左向右第2013 - 1980 + 1 = 34 个数.20. 思思编了一个计算机程序，在屏幕上显示所有由0、1、2、3 组成的四位编码（数字可以重复使用），每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种．并且，如果两个编码的每一位数字均不相同，那么这两个编码的颜色也不相同．如果，0000 是红色的、1000 是黄色的、2000 是蓝色的，那么：（1）下列编码中，一定不是红色的是（）（2 分）A. 0102B. 0312C. 2222D. 0123（2）编码3111 是什么颜色的？（5 分）（3）编码2013 是什么颜色的？（8 分）【考点】组合，构造与论证【难度】☆☆☆☆【答案】C；绿色；蓝色【分析】（1）2222 与0000 的每一位数字均不相同，故2222 一定不是红色的，选C；（2）3111 与0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故3111 不是红色的，不是黄色的，也不是蓝色的，故3111 是绿色的；（3）0222 与1000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故0222 是红色的；1222 与0000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故1222 是黄色的；3222 与0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故3222 是绿色的；2013 与0222、1222、3222 的每一位数字均不相同，故2013 是蓝色的.。

学而思寒假拓展练习第一讲小升初必考专题之数论【拓1】：六位数是27的倍数，请算出a+b+c。

【拓2】：（其中1、2各有100个，a是一个自然数）能被13整除。

那么，a的值是多少？【拓3】：M,N为非0的自然数，能被7整除，M+N最小值为多少？【家庭作业1】：求除以7的余数。

【家庭作业2】：求出437×309×1993被7除的余数。

第二讲小升初必考专题之应用题【拓1】：刘老师的年龄是刘备，关羽，张飞三位同学年龄和。

9年后刘老师的年龄是刘备的年龄和关羽的年龄和，又过3年，刘老师的年龄是刘备的年龄和关羽的年龄的和，再过3年，刘老师的年龄是关羽的年龄和张飞的年龄的和。

求刘备，关羽，张飞，刘老师四个人的年龄。

【拓2】：刘师傅生产一批零件，他把零件分为甲乙二堆,从甲堆取9个到乙堆，则两堆数量一样；从乙堆取12个到甲堆，甲是乙的2倍。

问：甲堆原有个多少零件？刘师傅这一天共生产零件多少个？【拓3】：12年前父亲是儿子的11倍，今年父亲是儿子的3倍，问：多少年后父亲是儿子的2倍？【拓4】：五一班有12人，小红考试缺考，其余11人分数平均为85分，小红补考分数比全班12人平均分高出11分，问小红补考多少分？【拓5】：已知：那独角龙有多少只？【拓6】：苹果和梨各有若干个，如果把1个苹果和3个梨放入一袋，就多了2个梨；如果将半个苹果和2个梨放入一袋，多半苹果。

问：有多少个苹果，有多少梨?【拓7】:甲乙两册书，两书共用2010个数码，甲册比乙册多28页，问：甲册有多少页，乙册多少页？【拓8】:2013年，父母共78岁，兄弟共17岁。

四年后，父亲是弟弟的4倍，母亲是哥哥的3倍。

问：父亲是哥哥的3倍是几年？【拓9】:爸、姐姐妹妹三人现在的年龄和是64岁，当爸爸年龄是姐姐的年龄3倍时，妹妹9岁；当妹妹年龄是姐姐一半时，爸爸34岁。

现在三人的年龄各是多少？【家庭作业1】：一本书被撕裂成了两部分，每一部分的页数都是连续的，如果该书一共687个数字，并且第一页的第一部分比第二部分多5页，那么第一部分有几页？第三讲小升初必考专题之行程【拓1】：甲乙两列火车火车速度比是5:4，乙车先走，从B站到A站。

四年级 2019 第15讲 必胜策略3.1第15讲 必胜策略一、基本前提游戏双方足够聪明，目的都是获胜。

二、方法：倒推 三、游戏类型（一）拿火柴棍/抢数 如：桌子上放着10根火柴，二人轮流每次取走1—2根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？分析：如果从开始分析，“局面”太大，有太多种取法要讨论。

所以我们尝试从结果倒推。

如上图，要必胜，也就是要让自己拿到10号火柴，那就应给对方留下8，9,10三根火柴供他取，这样对方不管取一根还是两根，自己都能拿到最后的10号火柴。

照这样分析，自己应该拿到7号火柴（这样就是给对方留下了8,9,10号三根）就必胜。

同理分析，要想取7号，就应该取4号，要想取4号，就应该取1号。

那么，本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴，对于足够聪明的人来说，拿到第一个制胜点1号火柴，一定能拿到其余的制胜点。

所以本题要必胜，就要抢先取1根，然后对方取a 根，自己就取3-a 根，这样保证自己能取到每一个制胜点，最终取到10号火柴。

总结一下，同学们应该能看出，这里面有周期现象（只是周期是从后往前排布的），周期是几呢？是可取的最大限度2再加1等于3，制胜点是哪些呢？是每个周期的最后一根。

掌握此规律，就不难总结出这类题的解题方法了： 解题方法：（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1 （2）总数÷周期1 桌子上放着60根火柴，聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走1—3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？ 解析： 周期为 3+1=4（根）60÷4=15（组） （整除，应该抢后） 制胜点：4,8,12……60 做法：1、让对方先取2、对方取a 根，自己就取4-a 根 2 有一种抢数游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数），最后谁报到规定的“某个数字”为胜。

如“抢50”，规定每次必须报1或2个1 2 3 4 5 6 7 8 9 10有余数：抢先拿余数 整除（余数为0）：抢后假3.2自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。