2020山东省高三数学强化训练(41) 新人教B版 精品

核心素养测评六指数与指数函数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数f(x)=的值域是( )A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选B.令u=2x-1,则u>-1,且u≠0,y=,则y<-2或y>0.2.(2019·某某模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则( )A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c【解析】选B.因为a=0.24=0.0016,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以b>c>a.3.(2019·某某模拟)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【解析】选D.由题干图象知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图象在y轴上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.4.(2020·模拟)若e a+πb≥e-b+π-a,则有( )A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0【解析】选D.令f(x)=e x-π-x,则f(x)在R上单调递增,又e a+πb≥e-b+π-a,所以e a-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.5.(2019·某某模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为世纪金榜导学号( )A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每小题5分,共15分)6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________.【解析】设f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=a m=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=. 答案:7.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.世纪金榜导学号【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)==1-.因为2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1 (-1,1)8.给出下列结论: 世纪金榜导学号①当a<0时,(a2=a3;②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;④若2x=16,3y=,则x+y=7.其中正确结论的序号有________.【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解, 得x≥2且x≠,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y==3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.故②③正确.答案:②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值.【解析】①当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.②当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,某某数m的取值X围.【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-,因为2x>0,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值X围是[-5,+∞).(15分钟35分)1.(5分)(2020·某某模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【解析】选B.把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又>>,所以<<,即b<a<c.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1,所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【变式备选】(2020·某某模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)(2020·模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r 为常数).在t=0min和t=1min时测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min 时,该物质的浓度为____________mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数的值为________.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;所以M(4)=100+24=26.56;由100+24<24.001得:<(0.1)5;所以lg<lg(0.1)5;所以tlg<-5;所以t[lg 2-(1-lg 2)]<-5;所以t(2lg 2-1)<-5,代入lg 2≈0.301得:-0.398t<-5;解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.56 13【变式备选】已知a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-=3,所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.4.(10分)已知函数y=a+b的图象过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交.世纪金榜导学号(1)求该函数的解析式，并画出图象.(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点，所以0=a+b，即a+b=0，所以b=-a.函数y=a-a=a.又0<≤1，-1<-1≤0.且y=a+b无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，所以a<0且0≤a<-a，所以-a=2，函数y=-2+2.用描点法画出函数的图象，如图. (2)显然函数的定义域为R.令y=f(x)，则f(-x)=-2+2=-2+2=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x<0时，y=-2+2=-2+2为单调减函数.所以y=-2+2在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数.5.(10分)已知函数f(x)=. 世纪金榜导学号(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.。

山东省淄博市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数满足，则函数是（）A．奇函数，关于点成中心对称B．偶函数，关于点成中心对称C．奇函数，关于直线成轴对称D．偶函数，关于直线成轴对称第(2)题已知均为不等于0的实数，则“”是“，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，则概率（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题已知，使恒成立的有序数对有（）A．2个B．4个C．6个D．8个第(6)题将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知，则（）A．B．C．D．第(8)题复数的共轭复数（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列关于该函数的结论正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的一个周期是C．在区间上单调递增D．的最大值为第(2)题已知正数a，b满足，则（）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值为第(3)题已知，且则下列结论一定正确的有（）A．B．C．ab有最大值4D．有最小值9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则______________.第(2)题在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______.第(3)题已知数列的前项和为，且，则____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，.(1)求的值；(2)若，求的面积.第(2)题为了引导人民强健体魄，某市组织了一系列活动，其中乒乓球比赛的冠军由A，B两队争夺，已知A，B两队之间的比赛采用5局3胜制，且本次比赛共设有3000元奖金，奖金分配规则如下：①若比赛进行3局即可决定胜负，则赢方获得全部奖金，输方没有奖金；②若比赛进行4局即可决定胜负，则赢方获得90%的奖金，输方获得10%的奖金；③若比赛打满5局才决定胜负，则赢方获得80%的奖金，输方获得20%的奖金．已知每局比赛A队，B队赢的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．(1)若比赛进行4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为多少？(2)求A队获得奖金金额X的分布列及数学期望．第(3)题已知等比数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．第(4)题如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.(1)证明：；(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.第(5)题给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）。

4．2.1 对数运算必备知识基础练进阶训练第一层知识点一 对数的概念1.在M 3( ) A ．x >3 B ．x <－2C ．x <－2或x >3D ．x <－3或x >－22．使对数log x －3(7－x )有意义的x 的取值范围是________． 34知识点二 对数式与指数式的互化4.A ．100＝1与lg 1＝0B ．271-3＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 55＝1与51＝55．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64； (2)ln a ＝b ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ； (4)lg 1 000＝3. 知识点三对数的性质及对数恒等式的应用x A ．4 B ．±4 C ．256 D ．27．方程23log x＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝98．若ln(lg x )＝0，则x ＝________.9．式子2log 25＋log 321的值为________.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( ) ①对数的真数是非负数；②若a >0且a ≠1，则log a 1＝0； ③若a >0且a ≠1，则log a a ＝1； ④若a >0且a ≠1，则a log a 2＝2. A ．①②③ B ．②③④ C ．①③ D ．①②③④2．使对数log a (5－a )有意义的a 的取值范围为( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,5) C ．(0,1)∪(1,5) D ．(－∞，5) 3．化简：0.70.7log 8等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．24．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9 D ．25．(易错题)方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( ) A ．－3 B ．3C ．－1或3D ．1或－36．已知f (a 2)＝log 2a ，则f (4)＝( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－1 二、填空题7．已知log 2x ＝2，则x 1-2＝________.8．若a ＝log 92，则9a ＝________，3a ＋3－a ＝________.9．(探究题)已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α，β，则2α＋β＝________.三、解答题10．求下列各式中的x 值：(1)log x 27＝32.(2)log 2 x ＝－23.(3)x ＝log 319.学科素养升级练 进阶训练第三层1．(多选题)下列四个等式正确的是( ) A ．lg(lg 10)＝0 B ．lg(ln e)＝0C ．若lg x ＝10，则x ＝10D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2 2．方程4x －2x －6＝0的解为________．3．(学科素养—数学运算)若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值．4．2 对数与对数函数 4．2.1 对数运算必备知识基础练1．解析：由题意，x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. ★★答案★★：C2．解析：要使对数有意义，有⎩⎪⎨⎪⎧7－x >0，x －3>0且x －3≠1，∴3<x <7且x ≠4.★★答案★★：3<x <7且x ≠43．解析：由1－2x ＝4，得x ＝－32.★★答案★★：－324．解析：log 39＝2与32＝9互化，912＝3与log 93＝12互化． ★★答案★★：C5．解析：(1)因为43＝64，所以log 464＝3. (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a .(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m .(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.6．解析：∵log x 16＝2，∴x 2＝16，又x >0，∴x ＝4. ★★答案★★：A7．解析：∵23log x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. ★★答案★★：A8．解析：因为ln(lg x )＝0，所以lg x ＝e 0＝1，所以x ＝10. ★★答案★★：109．解析：原式＝5＋0＝5. ★★答案★★：5 关键能力综合练1．解析：①对数的真数为正数，①错误；②a 0＝1，∴log a 1＝0，②正确；③a 1＝a ，∴log a a ＝1，③正确；④由对数恒等式a log aN ＝N ，得a log 2a＝2，④正确．★★答案★★：B2．解析：由对数的概念可知a 需满足a >0且a ≠1且5－a >0，解得0<a <5且a ≠1.★★答案★★：C3．解析：由对数恒等式a log a N ＝N ，得0.70.7log 8＝8.∴选B. ★★答案★★：B4．解析：∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9，又∵x >0，∴x＝3.★★答案★★：A5．解析：设lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)， 则x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. ★★答案★★：B 6．解析：令a 2＝4，即a ＝±2，因为a >0，故a ＝2，所以f (4)＝log 22＝1.★★答案★★：C7．解析：∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4,41-2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.★★答案★★：128．解析：a ＝log 92，则9a ＝99log 2＝2，所以3a ＝2，3a ＋3－a ＝2＋12＝322. ★★答案★★：2 3229．解析：因为α＋β＝－log 26，所以2α＋β＝22log 6－＝(22log 6)－1＝16.★★答案★★：1610．解析：(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，所以x ＝2723＝(33) 23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝22-3， 所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝314＝322. (3)由x ＝log 319，可得x ＝log 33－2＝－2.学科素养升级练1．解析：由对数的概念可知，AB 正确；而C 中若lg x ＝10，则x ＝1010；D 中若ln x ＝e ，则x ＝e e .故CD 错误．★★答案★★：AB2．解析：由4x －2x －6＝0，得(2x )2－2x －6＝0， 解得2x ＝3，或2x ＝－2(舍去)，所以x ＝log 23.★★答案★★：x ＝log 23 3．解析：因为log 12x ＝m ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m.因为log 14y ＝m ＋2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4.所以x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m －(2m ＋4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( ) A.x e =2 B.e x=2 C.x 2=e D.2x=e 答案：B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a ＞0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2 答案：D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 答案：C 4.log 2487+log 212-21log 242=_____________.答案：21- 解法一：487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-.解法二：原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯.10分钟训练 1.式子)5log 211(22+的值为( )A.52+B.52C.2+25 D.1+25答案：B 解析：原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N 答案：D解析：在对数运算的性质中，与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2NMN M 3log =，所以M=N. 3.已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得0112.02.11100011=-ba =1 000.∴ba 11-=1. 解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3，∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y )3等于( )A.2aB.aC.23aD.3a答案：D 解析：ln(2x )3-ln(2y )3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a. 5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案：600解析：∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 解：(1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5, ∴b=log 35. 又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数，且3a =4b =6c，那么( ) A.b ac 111+= B.ba c 122+=C.b ac 221+= D.ba c 212+= 答案：B解析：设3a=4b=6c=k ，则a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ，得a 1=log k 3，b1=log k 4，c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x| A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C解析：①②③不一定成立，④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案：D解析：设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f （91）］的值是( )A.9B.91C.-9D.91- 答案：B 解析：f(91)=log 391=-2，f(-2)=3-2=91.5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x ＞1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( ) A.{(u,v)|u+v=0} B.{(u,v)|u+v=0,u ＞0} C.{(u,v)|u+v=1} D.{(u,v)|u+v=1,v ＞0} 答案：B解析：∵x＞1,∴log 2x ＞0. 又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案：abab++13解析：由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222.7.式子n a n ana aa a 1log 1log log ++(a ＞0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案：-n解析：原式=n aaa na na na 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg =+b a (lga+lgb). 证明：∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab.∵a＞0,b ＞0,∴ab ba =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb).9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga＜0.又［f(x)］max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3,∴4lg 2a-3lga-1=0. ∴lga=1或lga=41-. ∵lga＜0, ∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3， 即12lgN N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。

核心素养测评三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于( )A.2B.2C.2D.【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.2.(2020·某某模拟)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于( )A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为( )A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019·某某模拟)若ab>0,则的最小值为( )A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab>0,所以=+≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为( )A. B.2 C. D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020·滨州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则+的最小值是( )A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=≥=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是世纪金榜导学号( )A. B.2C. D.-【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数, 当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x≠0时,y>0,x+y>0,则x+2y=y+(x+y)≥2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知a>b>0,则a2+的最小值是________. 世纪金榜导学号【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:1610.(2019·某某模拟)函数y=(x<1)的最大值为________,此时x的值为________. 世纪金榜导学号【解析】函数y===x+1+=(x-1)++2 (x<1),因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=的最大值为0.答案:0 0(15分钟25分)1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+≥2B.≥C.≥a+bD.(a+b)≥4【解析】选ACD.因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A 成立;因为a+b≥2>0,所以≤,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立,故B不成立,因为≤=,当且仅当a=b时取等号,==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,所以≥,所以≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值X围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10++≥16,当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2019·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为 ( )A.3B.1C.D.【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以=3,所以4a2+b2=9,所以+=×=++≥+=1.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=[(x+1)+(y+2)]+=≥=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020·某某模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC 的面积为c,则ab的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,可得cos C=-,所以sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=, 代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,所以ab的最小值为48.答案:48。

专题强化训练(四) 统计一、选择题1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量C[被抽查的个体是样本]2．已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105C．00,01，…，105 D．000,001，…，105D[由随机数法抽取原则可知选D．]3．某农科所种植的甲、乙两种水稻，连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验，试验得出平均产量是x甲＝x乙＝415 kg，方差是s2甲＝794，s2乙＝958，那么这两种水稻中产量比较稳定的是()A．甲B．乙C．甲、乙一样稳定D．无法确定A[∵s2甲<s2乙，∴产量比较稳定的是甲，故选A．]4．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为()A．18 B．36C．54D．72B[易得样本数据在区间[10,12]内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12]内的频数为36.] 5．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：分组 [90,100) [100,110)[110,120)[120,130) [130,140)[140,150)频数1231031则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的( ) A ．30% B ．70% C ．60%D ．50%B [由数据分布表可知，质量不小于120克的苹果有10＋3＋1＝14(个)，占苹果总数的1420×100%＝70%.]二、填空题6．下列一组数据的70%分位数是________． 78, 73, 76, 77, 68, 69, 76, 80, 82, 77.77.5[把数据按照从小到大的顺序排列可得 68,69,73,76,76,77,77,78,80,82，因为10×70%＝7是整数，所以数据的70%分位数是77＋782＝77.5]7．某学习小组有男生56人，女生42人，一次测试后，用分层随机抽样的方法从该学习小组全体学生的测试成绩中抽取一个容量为28的样本，样本中男生的平均成绩为84分，女生样本的平均成绩为98分，则所抽取的这28人的平均成绩为________分．90[由题意可知样本中男生的人数为56×2856＋42＝16，女生的人数为42×2856＋42＝12，所以所抽取的这28人的平均成绩为1628×84＋1228×98＝90分．]8．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的X 围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．9[设样本容量为n ，则n ×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n ＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.]三、解答题9．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？ [解] (1)依题意有x1 000＝0.15，解得x ＝150.(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250， ∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400. 设应从第三车间抽取m 名工人，则有m400＝501 000，解得m ＝20，∴应在第三车间抽取20名工人． 10．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下表是该学生7次考试的成绩．(1)(2)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明． [解] (1)把数学成绩按照从小到大的顺序排列可得： 83,88,92,100,108,112,117，所以数学成绩的中位数是100. (2)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100，∴s 2数学＝17[(88－100)2＋(83－100)2＋(117－100)2＋(92－100)2＋(108－100)2＋(100－100)2＋(112－100)2]＝142，s 2物理＝17[(94－100)2＋(91－100)2＋(108－100)2＋(96－100)2＋(104－100)2＋(101－100)2＋(106－100)2]＝2507，从而s 2数学>s 2物理，∴物理成绩更稳定．11．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6,1.1B ．48.8,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.6A [设原来数据的平均数和方差分别为x 和s 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4.4＝22s 2，2x －80＝1.2，得⎩⎪⎨⎪⎧s 2＝1.1，x ＝40.6.]12．已知一组正数x 1，x 2，x 3的方差s 2＝13(x 21＋x 22＋x 23－12)，则数据x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [由方差的计算公式可得s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝1n [x 21＋x 22＋…＋x 2n －2(x 1＋x 2＋…＋x n )x －＋n x －2] ＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －2n x －2＋n x －2) ＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2， ∴由题意x 1，x 2，x 3的方差s 2＝13(x 21＋x 22＋x 23－12)，知x －2＝4， 又x 1，x 2，x 3均为正数，故x －＝2.所以数据x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数是2＋1＝3.]13．(一题两空)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．0.0303[∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则x100＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.] 14．统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2 500,3 000)内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4 000,4 500)内的应抽取多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．[解](1)因为(0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.5，所以a＝0.51 000＝0.000 5.又0.000 5×500＝0.25，所以月收入在[4 000,4 500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[4 000,4 500)内的人数为0.25×100＝25.(2)因为0.000 2×500＝0.1,0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25,0.1＋0.2＝0.3<0.5,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以中位数在区间[3 500,4 000)内，所以样本数据的中位数是3 500＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝3 900(元)．(3)样本平均数为(2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3 750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000 1)×500＝3 900(元)．15．某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层随机抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？(2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如表1和表2.表1生产能力分组 [100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]人数48x 53表2生产能力分组 [110,120)[120,130)[130,140) [140,150] 人数6y3618① 先确定x ，y ，再补全频率分布直方图(如图)．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)② 分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．A类工人生产能力的频率分布直方图B类工人生产能力的频率分布直方图[解](1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名．(2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5.由6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.频率分布直方图如图：A类工人生产能力的频率分布直方图B类工人生产能力的频率分布直方图从图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．②x －A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x －B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8， x －＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。

3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

必修一 全册测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x∈Z |x ≤2}，A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 3．已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，2x ＋y ＝7，则x ＋y 的值是( )A ．3B ．5C ．7D ．94．关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是－2，则方程的另一个根是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－25．已知a ，b ∈R ，条件甲：a >b >0；条件乙：1a <1b，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－1,3) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)7．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 009个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 007B ．1 008C ．2 018D ．2 0198．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值X 围是( )A ．(8，＋∞) B．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8)二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列表达式的最小值为2的有( ) A ．当ab ＝1时，a ＋b B ．当ab ＝1时，b a ＋a bC ．a 2－2a ＋3 D.a 2＋2＋1a 2＋210．若函数f (x )的图像在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法错误的有( )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 11．下列命题正确的是( ) A ．∃a ，b ∈R ，|a －2|＋(b ＋1)2≤0 B ．∀a ∈R ，∃x ∈R ，使得ax >2 C ．ab ≠0是a 2＋b 2≠0的充要条件 D ．a ≥b >－1，则a1＋a ≥b1＋b12．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，给出下面几个结论中正确的有( ) A ．f (x )的图像关于点(－1,1)对称 B ．若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2) C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．函数g (x )＝f (x )－x 有三个零点三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．命题∃x ∈R ，x 2－2x >0的否定是________．14．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]的单调递增区间为______，f (x )max ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________．16．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设集合A ＝{x |a －1<x <2a ，a ∈R }，不等式x 2－7x ＋6<0的解集为B . (1)当a ＝0时，求集合A ，B ； (2)当A ⊆B 时，某某数a 的取值X 围．18．(12分)已知函数f (x )＝2x－x ，(1)判断f (x )的奇偶性；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．19.(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．21．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m －1)>0，某某数m的取值X围．22．(12分)2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌，40年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，某某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数M(x)(单位：百万元)：M(x)＝50x10＋x，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)：N(x)＝0.2x.(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；(2)生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？必修一 全册测试卷1．解析：A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤3，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.答案：B2．解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：D3．解析：两个方程相加，得3x ＋3y ＝15，∴x ＋y ＝5，故选B. 答案：B4．解析：设方程的另一个根为t ，由根与系数的关系可得，－2·t ＝－2，解得t ＝1，故选B.答案：B5．解析：条件乙：1a <1b，即为1a －1b <0⇔b －a ab<0，若条件甲：a >b >0成立，则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则b >0>a 也可以，但是此时不满足条件甲：a >b >0， 所以甲是乙成立的充分不必要条件． 答案：A6．解析：关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )·(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集为(－1,3)．答案：C7．解析：∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 009个零点，∴在(－∞，0)上也有1 009个零点，又∵f (0)＝0，∴共有2 018＋1＝2 019(个)零点．答案：D8．解析：∵f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，∴不等式f (x )＋f (x －8)≤2可化为f (x (x －8))≤f (9)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x x －8≤9x >0x －8>0，解得8<x ≤9，∴x 的取值X 围是(8,9]，故选B. 答案：B9．解析：对选项A ，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对选项B ，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，ab>0，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2； 对选项C ，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2； 对选项D ，a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2，故选BC. 答案：BC10．解析：由题知f (0)·f (1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点，又f (1)·f (2)>0，因此无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点．答案：ABD11．解析：A.当a ＝2，b ＝－1时，不等式成立，所以A 正确．B.当a ＝0时，0·x ＝0<2，不等式不成立，所以B 不正确．C.当a ＝0，b ≠0时，a 2＋b 2≠0成立，此时ab ＝0，推不出ab ≠0.所以C 不正确．D.由a 1＋a －b1＋b＝a 1＋b －b 1＋a 1＋a 1＋b ＝a －b1＋a 1＋b，因为a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：函数f (x )的定义域为全体实数，f (－x )＝－x 1＋|－x |＝－x1＋|x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图像关于原点对称，f (x )＝x1＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x ，x ≥0x1－x ，x <0.选项A ：由上分析函数关于原点对称，若函数关于(－1,1)对称，原点关于(－1,1)对称的点是(－2,2)，而f (－2)＝－21＋|－2|＝－23≠2，显然(－2,2)不在该图像上，故函数不关于(－1,1)对称，本选项是错误的；选项B ：当x ≥0时，f (x )＝x1＋x ＝1－11＋x，显然函数单调递增，此时0≤f (x )<1； 当x <0时，f (x )＝x 1－x ＝－1＋11－x，显然函数单调递增，此时－1<f (x )<0，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)是正确的，本选项是正确的；选项C ：由选项B 的分析可以知道本选项是正确的； 选项D ：g (x )＝f (x )－x ＝0⇒f (x )＝x ⇒x1＋|x |＝x ⇒－x |x |1＋|x |＝0⇒x ＝0，只有一个零点，D 错误，故选BC.答案：BC13．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即∀x ∈R ，x 2－2x ≤0. 答案：∀x ∈R ，x 2－2x ≤014．解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 815．解析：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15(当且仅当x＝1时取等号)，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15，所以由已知不等式恒成立得a ≥15.故a 的取值X围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 16．解析：设函数g (x )＝f (x )－ax ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋a －a 24，x ≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－2a ，x >0.依题意得，函数g (x )恰有两个零点，即函数g (x )与x 轴有两个交点．又因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24>0，a 24－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24<0，a 24－2a <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 24＝0，a 24－2a ＝0，解得4<a <8.所以a 的取值X 围为(4,8)． 答案：(4,8)17．解析：(1)当a ＝0时，A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x 2－7x ＋6<0}＝{x |1<x <6}．(2)①当a －1≥2a ，即a ≤－1时， 可得A ＝∅，满足A ⊆B ，故a ≤－1符合题意．②当a －1<2a ，即a >－1时，由A ⊆B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，2a ≤6，解得2≤a ≤3.综上可得a ≤－1或2≤a ≤3.∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]∪[2,3]．18．解析：(1)函数f (x )＝2x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝2－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－x 1－2x 2＋x 2 ＝2x 2－x 1x 1x 2＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2.∵x 1>0，x 2>0，且x 1<x 2， ∴(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．19．解析：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，∴q ：2<x ≤3，当a >0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |a <x <3a }， ∴p ：a <x <3a .∵p 是q 的必要不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2.当a <0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |3a <x <a }， ∴p ：3a <x <a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a >3，此时无解．综上所述，a 的取值X 围是(1,2]． 20．解析：(1)由f (0)＝2，得c ＝2， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得：a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数f (x )图像的对称轴为x ＝1，且开口向上， 所以f (x )单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． (3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 对称轴为x ＝1∈[－1,2]， 故f min (x )＝f (1)＝1， 又f (－1)＝5，f (2)＝2， 所以f max (x )＝f (－1)＝5. 21．解析：由f (m )＋f (m －1)>0， 得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又因为f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，所以f (x )在[－2,2]上为减函数．所以1－m >m ，又－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2， 所以解得－1≤m <12.故m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 22．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈(0,100)．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5，＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－250010＋x ×10＋x5＝72－20＝52， 当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.word∴y的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．- 11 - / 11。

2.2.2 不等式的解集必备知识基础练进阶训练第一层知识点一解一元一次不等式(组)1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≤3，－x －2>0的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x ≤1}C ．{x |x ≤－2}D ．{x |x ≥－2}2．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，x ＋1≥0，其解集在数轴上表示正确的是( )3．x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？知识点二解绝对值不等式4.不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5]B ．(－∞，3]∪[5，＋∞)C ．[－4,4]D ．R5．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2)6．关于x 的不等式|x |＋|x －1|≥3的解集是( ) A ．(－∞，－1] B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[－1,2]7．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．8．设数轴上点A 与数3对应，点B 与数x 对应，已知线段AB 的中点到原点的距离不大于5，则x 的取值X 围为________．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5>1－x ，x －1≤34x －18的解集为( )A ．(－∞，－12) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，12D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＜3，x ＋12≤2的正整数解的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．23．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4]C ．[－2,1]∪[4,7]D ．(－2,1]∪[4,7)4．|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集是( )学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2a －3，2x ≥3x －2＋5仅有三个整数解，则a 的可能取值为( )A.12B.23C.34D ．1 2．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 恒成立，则a 的取值X 围为________． 3．(学科素养—运算能力)若|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，某某数a 的值．2．2.2 不等式的解集必备知识基础练1．解析：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≤3，①－x －2>0，②解①，得x ≤1，解②，得x <－2，∴不等式组的解集为{x |x <－2}，故选A. 答案：A 2．答案：D3．解析：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3x －1，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52.将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1， 得x ≤4.所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4， 所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.4．解析：|4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.答案：B5．解析：由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．答案：D6．解析：x ≥1时，x ＋x －1≥3，解得x ≥2， 0＜x ＜1时，x ＋1－x ≥3，不成立，x ≤0时，－x ＋1－x ≥3，解得x ≤－1，综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)， 故选C. 答案：C7．解析：解法一 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．解析：因为AB 的中点对应的数为3＋x 2，所以由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋x 2≤5，即|3＋x |≤10，因此－10≤3＋x ≤10，所以－13≤x ≤7，因此x 的取值X 围是[－13,7]．答案：[－13,7]关键能力综合练1．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5>1－x ，x －1≤34x －18可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋15＞3－3x ，①8x －8≤6x －1.②解不等式①，得x ＞－125.解不等式②，得x ≤72.所以原不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72.故选B.答案：B2．解析：解不等式1－2x ＜3，得x ＞－1， 解不等式x ＋12≤2，得x ≤3，则不等式组的解集为(－1,3]，所以不等式组的正整数解有1,2,3这3个， 故选C. 答案：C3．解析：不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得－2<x ≤1或4≤x <7.所以原不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．故选D. 答案：D4．解析：∵当x ＜－12时，|2x ＋1|－|x －4|＞2⇔－5－x ＞2，解得x ＜－7，∴x ＜－7；当－12≤x ≤4时，|2x ＋1|－|x －4|＞2⇔3x －3＞2，解得x ＞53，∴53＜x ≤4； 当x ＞4时，|2x ＋1|－|x －4|＞2⇔x ＋5＞2， 解得x ＞－3， ∴x ＞4.综上所述，不等式|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集是(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 故选B. 答案：B5．解析：不等式整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x >m ＋1，由不等式组的解集为x >1，得到m ＋1≤1，解得m ≤0.故选D.答案：D6．解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.故选D.答案：D7．解析：原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．答案：[0,4]8．解析：∵关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，∴－53和13是|ax －2|＝3的两个根且a ≠0，∴将|ax －2|＝3，两边平方得a 2x 2－4ax －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－53＋13＝4a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×13＝－5a 2，得a ＝－3. 答案：－39．解析：原不等式等价于－2＜ax ＋b ＜2.①当a ＞0时，解得－2＋b a＜x ＜2－ba，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b a＝1，2－b a ＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.②当a ＜0时，解得2－b a ＜x ＜－2＋ba ， 与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2－ba ＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以点(a ，b )的坐标为(1，－3)或(－1,3)． 答案：(1，－3) (－1,3)10．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤2－2x ，①2x 3>x －12，②解不等式①得x ≤1， 解不等式②得x ＞－3，所以不等式组的解集为(－3,1]． (2)x ≥12时，2x －1＜x ，解得12≤x <1，x ＜12时，1－2x ＜x ，解得13<x <12，∴不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，2x －3＋x －1≥5或⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜32，3－2x ＋x －1≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ＋1－x ≥5，解得x ≤－13或x ≥3.故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[3，＋∞)． 学科素养升级练1．解析：由x ＞2a －3和2x ≥3(x －2)＋5， 解得2a －3＜x ≤1， 由关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2a －3，2x ≥3x －2＋5仅有三个整数解，解得－2≤2a －3＜－1， 解得12≤a ＜1，故选ABC.答案：ABC2．解析：由于|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的x 对应点到1和－2对应点的距离之和， 故距离最小值为3.所以a ≤3. 答案：(－∞，3] 3．解析：当a ≤－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1x ≤a ，x －2a －1a <x ≤－1，3x －2a ＋1x >－1，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝－a －1， 所以－a －1＝5，所以a ＝－6.当a >－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1x ≤－1，－x ＋2a ＋1－1<x ≤a ，3x －2a ＋1x >a ，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝a ＋1， 所以a ＋1＝5，所以a ＝4. 综上可知，a ＝－6或a ＝4.。