整体约分、连锁约分

11111123420261220420L ＋＋＋＋＋ 第一讲 小升初计算重点考查内容(一)抵消思想——裂项36579111357612203042++++++1111112123123100+++++++++++L L222222222222233333333333331121231234122611212312341226L L L +++++++++-+-+-+++++++++测试题【例1】(★★)11111 1357911_____.612203042+++++=计算A．53614B．7512C．4121D．1712【例2】(★★★)计算：2337911345122030+++++=( )A．3227B．4112C．4121D．2312【例3】(★★★★)11111_____12123123412310+++++=+++++++++LLA．1113B．111C．712D．2011【例4】(★★★★)计算：2222222222221324351820213141191++++++++=----L（）A．72019B．15138190C．1402D．73620本讲学习重点：1．海哥、海马学奥数时的那点笑话～2．整体约分与连锁约分技巧(2010第8届·走进美妙的数学花园·六年级初赛)211354117997⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【附加练习】2129476122323791113791113⎛⎫⎛⎫+++÷+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二讲小升初计算重点考查内容（二）抵消思想——约分(2009·数学解题能力展示·读者评选活动小学六年级组初赛试题)89109101110111211121378910111178910++++++++-+--+-124248361210020040013926183927100300900⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯L L【附加练习】1246248123612181002004006001369261218391827100300600900⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯L L一根铁丝，第1次截去总长度的212，第2次截去剩余长度的213，第3次截去剩余长度的214…第2008次截去剩余长度的212009，此时该铁丝还剩2010厘米，那么该铁丝原长为______厘米？【附加练习】1111111113243520072009⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L已知135979924698100A ⨯⨯⨯⨯⨯L ＝，24696983579799B ⨯⨯⨯⨯⨯L ＝，110C ＝。

六年级奥数第三讲：分数计算技巧----整体约分法【专题精析】 我们知道如何将123经行约分，因为3和12都含有公约数3，所以123＝41。

对于比较复杂的分数，分子、分母含有相同运算的，可提取相同因数进行约分，特别注意：整体相同，只能作为整体约去，不能单独一项一项的约，小升初学习中，整体约分法是重点考查的计算技能之一，整体约分法有三种表现形式：第一种：有相同的部分与运算：例题1：（454+272）÷（151+74） =）（）（7456716524+÷+ （第一组数分别是第二组的4倍） =）（）（7456474456+÷⨯+⨯ （提取公因数） =）（）（7456]74564[+÷+⨯ （ 整体一样，可以整体约去） =4练习：（3117+1137)÷(1119+1310) (31+52+73+94)÷(131+153+175+197)第二种：分子分母整体相同：例题2：186-548×362361×548362+= （观察分子分母，584×361和548×362相近） = （转换成584×361，分母变548-182） = （分子分母整体相同，整体约去） =1）（7456+1865481361361548362-⨯+⨯+）（182548548361361548362-+⨯⨯+362548361361548362+⨯⨯+练习：1-2008×20072008×20062007++1-2009×20082009×20072008+第三种：分子分母中含有相同因数：例题3：516334421721339322621131⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ == （提取公因数）= （有相同的公因数 ，整体约去）= 练习：400×300×20012×9×68×6×44×3×2300×200×1009×6×36×4×23×21+⋯⋯++++⋯⋯+++⨯63×45×921×15×314×10×27×5145×27×915×9×310×6×25×31+⋯⋯+++⨯+⋯⋯+++⨯（每一组数都是第一组数的倍数） 33321++469-725×256255×725256+）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（317323121722211721311333121123211131⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯33333172121721172131131211311131⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯）（）（333332117213211131++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯3433【基础练习】1、计算：987659876554321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋2、计算：173÷7425×12922÷（1.47×715）×237133、计算：（1）0.0199÷0.004×20001 (2)20001994199733333122⨯—【拓展提高】1、计算：（1）8.87.76.65.54.43.32.22642311981651329966＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋（2）19661909190819072008195119501949＋＋＋＋＋＋＋＋⋯⋯⋯⋯2、计算：（1）212121*********×132132132121212（2）999999991122334455667788998877665544332211⨯＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋3、计算：19953212199619941996199519951994＋＋＋＋—＋＋⋯⋯⨯⨯⨯4、1234568123456612345675252252122⨯-⨯-）（5、计算：175********-⨯⨯＋136********-⨯⨯＋＋16059605859-⨯⨯＋＋。

小升初培优专题：分数计算技巧----整体约分法【专题精析】 我们知道如何将123经行约分，因为3和12都含有公约数3，所以123＝41。

对于比较复杂的分数，分子、分母含有相同运算的，可提取相同因数进行约分，特别注意：整体相同，只能作为整体约去，不能单独一项一项的约，小升初学习中，整体约分法是重点考查的计算技能之一，整体约分法有三种表现形式：第一种：有相同的部分与运算：例题1：（454+272）÷（151+74） =）（）（7456716524+÷+ （第一组数分别是第二组的4倍） =）（）（7456474456+÷⨯+⨯ （提取公因数） =）（）（7456]74564[+÷+⨯ （ 整体一样，可以整体约去） =4练习：（3117+1137)÷(1119+1310) (31+52+73+94)÷(131+153+175+197)第二种：分子分母整体相同：例题2：186-548×362361×548362+= （观察分子分母，584×361和548×362相近） = （转换成584×361，分母变548-182） = （分子分母整体相同，整体约去） =1）（7456+1865481361361548362-⨯+⨯+）（182548548361361548362-+⨯⨯+362548361361548362+⨯⨯+练习：1-2008×20072008×20062007++1-2009×20082009×20072008+第三种：分子分母中含有相同因数：例题3：516334421721339322621131⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ == （提取公因数）= （有相同的公因数 ，整体约去）= 练习：400×300×20012×9×68×6×44×3×2300×200×1009×6×36×4×23×21+⋯⋯++++⋯⋯+++⨯63×45×921×15×314×10×27×5145×27×915×9×310×6×25×31+⋯⋯+++⨯+⋯⋯+++⨯（每一组数都是第一组数的倍数） 33321++469-725×256255×725256+）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（317323121722211721311333121123211131⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯33333172121721172131131211311131⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯）（）（333332117213211131++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯3433【基础练习】1、计算：987659876554321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋2、计算：173÷7425×12922÷（1.47×715）×237133、计算：（1）0.0199÷0.004×20001 (2)20001994199733333122⨯—【拓展提高】1、计算：（1）8.87.76.65.54.43.32.22642311981651329966＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋（2）19661909190819072008195119501949＋＋＋＋＋＋＋＋⋯⋯⋯⋯2、计算：（1）212121*********×132132132121212（2）999999991122334455667788998877665544332211⨯＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋3、计算：19953212199619941996199519951994＋＋＋＋—＋＋⋯⋯⨯⨯⨯4、1234568123456612345675252252122⨯-⨯-）（5、计算：175********-⨯⨯＋136********-⨯⨯＋＋16059605859-⨯⨯＋＋。

2019高思数学计算模块七大模块：计算、几何、应用题、数论、计数、组合、数字谜一、计算模块（一）四则运算1、交换律2、结合律3、分配律注意：打开括号是否变号，变除为乘，拆某数构造公因数巧算。

（二）数列找规律1、找规律，周期性问题等2、一项一项地看，两项两项地看，奇数项和偶数项分开看，双重/多重数列3、通过归纳递推，注意一般和特殊情况4、等差数列，等比数列，兔子数列/斐波那契数列（三）整数数列计算1、等差数列项数＝（末项－首项）÷公差＋1和＝（首项＋末项）×项数÷2项数为奇数：和＝中间项×项数。

连续奇数：1，3，5，…天下无双，项数平方2、多重等差数列，注意拆分3、平方差公式：4、平方和公式：＝（）5、立方和公式：＝（四）多位数巧算1、凑整法：999…9=1000…000-12、叠数：245245=245×1001，321321321=321×10010013、提取公因数：33333=11111×3（五）数表规律计算1、数表就是一个行、列问题：行位置、列位置、对应数据2、具有周期性和规律性，根据位置找数据，根据数据找位置3、注意对应序号，奇偶性（六）小数巧算1、凑整法2、充分使用四则运算定律3、提取公因数，变形提取公因数4、拆数、构造因数（七）整数裂项1、最后一项往后添加一项，最前一项往前添加一项＋＋＝1×2+2×3＋3×4＋…+99×100＝（99×100×101－0×1×2）÷32、不是从1开始的，前面项补足，再相减11×12+12×13＋13×14＋…+99×100＝（99×100×101－10×11×12）÷33、公差为d（公差不为1）的整数相乘1×3＋3×5＋5×7＋…+27×29＝（27×29×31－1×3×5）÷(3×2)＋1×34×7＋7×10＋10×13＋…+40×43＝（40×43×46－1×4×7）÷(3×3)4、三项相乘，裂项为四项相乘，要除以4d1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…+18×19×20＝(18×19×20×21－0×1×2×3)÷4 2×4×6＋4×6×8＋…+26×28×30=(26×28×30×32－0×2×4×6)÷（4×2）(或者提公因数)＝2×2×2×(13×14×15×16－0×1×2×3)÷4（八）分数基本计算1、分数表示份数比例，三类分数：真分数、假分数、带分数2、分数基本性质：分数的分子和分母同乘或除以相同的非零数，大小不变。

约分的方法约分是数学中常用的一种简化分数的方法，也叫做分数的化简。

在学习分数的过程中，我们常常会遇到一些复杂的分数，如果能将其约分，不仅能使计算更加简便，还能更好地理解分数的含义和性质。

所谓约分，就是将一个分数表示为一个等价的最简分数形式。

最简分数是指分子和分母之间没有可以同时整除的公因数，也就是分子和分母的最大公约数为1。

在约分的过程中，我们需要找到分子和分母的最大公约数，然后将两者同时除以最大公约数，得到的结果就是最简分数。

约分的方法有很多种，下面我来介绍几种常见的约分方法。

一、质数因子分解法质数因子分解法是约分的一种常用方法。

首先，我们需要找到分子和分母的所有质因数，然后将其写成质因数的乘积形式。

接下来，我们找出两者的公共质因数，将其连乘得到最大公约数。

最后，我们将分子和分母同时除以最大公约数，得到的结果就是分数的最简形式。

举个例子，假设我们要约分分数12/18。

首先，12和18都可以分解成质因数的乘积形式，即12=2*2*3，18=2*3*3。

接着，我们找出两者的公共质因数，即2和3。

将其连乘得到最大公约数为6。

最后，将12和18同时除以6，得到的结果为2/3，即分数12/18的最简形式。

二、辗转相除法辗转相除法也是一种常用的约分方法，适用于大数的约分。

它基于一个原理，即两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的余数的最大公约数。

具体操作上，我们使用辗转相除的方法，将较大的数除以较小的数，并取得余数。

然后，将两个数中较小的数和余数再次执行相同的操作，直到余数为0为止。

此时，较小的数就是最大公约数。

例如，假设我们要约分分数28/42。

我们首先用辗转相除法，将较大的数42除以较小的数28，得到余数14。

然后，将28和14再次执行相同的操作得到余数0。

此时，较小的数28就是最大公约数。

最后，我们将分子和分母同时除以28，得到的结果为1/3，即分数28/42的最简形式。

除了质数因子分解法和辗转相除法，约分还可以通过其他方法实现，如通分的思想、反复分解的方法等。

小升初各专题知识点分析与归纳一、计算专题考点分析1. 数学基本功（四则混合运算）2. 初中基本功（解方程）3. 分数的计算（列项、换元、通项归纳）4. 计算技巧（重要公式、常用结论）5. 定义新运算、比较与估算计算是数学基本功，基本功一定要扎实，各重点中学都很看重，为必考考点。

计算常考题型有两种：区重点：分数小数四则混合运算——乘法分配律逆用。

市重点：抵消思想——裂项，整体约分与连锁约分等。

二、计数专题考点分析1. 枚举归纳（分类枚举、数形枚举）2. 加乘原理（分类相加、分步相乘）3. 排列组合（有序排列、无序组合）4. 容斥原理（韦恩图及意义）5. 概率与统计（古典概型、概率可乘性）计数比较抽象，考查条理性(分类、分步)，对小学生来说杀伤力比较强！分类思想，枚举观察的解题思路为考查重点。

利用分类瓦解难题，利用特例或简单题目找解题方法。

三、数论专题考点分析1. 整除问题（整除问题、整除特性、整除技巧）2. 约数倍数（约数三定律、完全平方数、短除模型）3. 质数合数（质数明星、分解质因数）4. 余数问题（余数求解、带余除法、同余问题、剩余问题）数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。

小升初数论考查三重点：约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。

“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。

四、行程专题考点分析追及问题相遇问题环形问题火车过桥变速问题多次相遇多人行程间隔发车变道问题扶梯问题走走停停钟表行程接送问题流水行船多节点行程多过程行程……行程问题关键在于一个公式：路程＝时间×速度。

虽然题目种类各有不同。

但关键还是这个公式找准对策，返璞归真！行程问题难度相对较大，在小升初中经常作为压轴题出现，高频考点：变速，往返，多人。

数形结合思想——小奥思维中对初中，高中帮助最多，最大的一个思维。

五、应用题专题考点分析植树问题和差问题倍数问题盈亏问题鸡兔问题周期问题平均问题归一问题还原问题分百问题工程问题浓度问题经济问题年龄问题钟表问题牛吃草问题……六、几何专题考点分析1．简单图形（正方形、长方形、三角形、平行四边形的周长与面积）2．平面几何（五大模型＋曲线型几何＋图形的轨迹问题）3．立体几何（堆积体的体积、表面积）4．勾股定理(构造弦图)七、其他专题考点分析抽屉原理最不利原则逻辑推理游戏与对策幻方与数阵图巧填算符染色与覆盖找规律数字谜多笔画统筹与最优化页码问题智巧趣题……。

小学数学思维知识点大全——元宝老师整理——8个专题，102个模块，303个知识点【计算专题】23个模块，83个知识点。

1、自然数的加减法巧算（5个知识点）（1）分组凑整（2）自身凑整（3）基准数（4）添括号、去括号（5）提公因数（分配律）2、自然数的乘除法巧算（6个知识点）（1）好朋友数（2和5；4和25；8和125；……）（2）交换律、结合律、分配律（3）添括号、去括号（4）积不变、商不变（5）提公因数（6）分解质因数3、小数的加减法巧算（2个知识点）（1）小数加减法的运算注意事项：小数点对齐，结果的小数点也对齐原有小数点，数位不足的补0。

然后按照自然数的加减法进行运算。

（2）小数加减法的巧算：与自然数的加减法巧算类似。

4、小数乘除法巧算（2个知识点） （1）小数乘除法基本运算乘法：末位对齐，按照自然数的乘法进行运算。

结果的小数点后的数位等于两个乘数的小数点后的位数之和（原因：先扩大倍数成为自然数，再缩小倍数变成原来的结果）除法：想办法把除数变成自然数（商不变的性质），商的小数点与被除数的小数点对齐，之后按照自然数的除法进行计算。

（2）小数的乘除法巧算（交换律，结合律，分配律，添括号去括号，积不变，商不变，好朋友数，提公因数，等差数列求和）注意：除数相同时可以类似提公因数的样子把除数提到后面，被除数相加减即可。

化成分数后，分母相同，分子可以直接相加减。

5、多位数的计算（3个知识点）（1）加减法：分组凑整，自身凑整，找规律，位值原理（2）乘除法：分解质因数，提公因数，交换律，结合律，分配律（3）积的数字和：M ×k 9999...9个的数字和为9×k ．(其中M 为自然数，且M ≤k 9999...9个)证明： 0k 9999...9==000k k M M M M ⨯⨯个个个（1000?…0-1）…0-，列竖式后发现，被减数和减数的数字和之差为0，每借位1次，差的数字和增加9，共借位K 次，则差的数字和是：9k 。

分数计算题型综合整体约分——观察的威力连锁约分——多米诺骨牌循环小数——分小的联系【例1】(★★)(走进美妙的数学花园·六年级初赛)211 3计算：541 1_____7997【例2】(★★★)(数学解题能力展示·读者评选活动小学六年级组初赛试题) 计算：89109101110111211121378910_____111 178910【例3】(★★★)计算：2009个20082008200820082008200820082009200920092009200920092009个2009____【例4】(★★★)计算：【例6】(★★★★)计算：124248100200400 1392618100300900 _____111 1111 113243520072009____【例5】(★★★)(清华附中分班考试)计算：11_____11111 120082007100110001【例7】(★★★★★)已知循环小数化分数A135979924698100，纯循环小数化分数：B2469698＝,13579799,C＝试求A、B、C三者大小关系。

10混循环小数化分数：abc0.abc＝999abc9900.abc＝a理解：分母：9＝；0＝的个数循环节位数的个数不循环小数位数分子：,从小数点后开始到第一个循环节结束－不循环部分【例8】(★★）0291019203750526....计算：⑴03300186..⑵【例9】(★★★)计算：0.160.1428570.1250.1一、本讲重点知识回顾1．整体约分：分母对应相等，带假互化2．连锁约分：多分数连乘吐血推荐：大分数运算想约分小分数连加要裂项二、本讲经典例题例2，例4，例5，例7，例82。