凑整、提取公因数、约分

第一讲计算、数字谜问题考点概述：一、计算部分：常见计算问题解题方法：1.分组、凑整；（参考题目：本讲例题1）2.提取公因数、整体约分；（参考题目：本讲例题2、例3）3.裂项；（参考题目：本讲例题4、例5）4.找规律计算（归纳法）；（参考题目：本讲例题6）5.比较大小与估算；（参考题目：本讲例题7）6.各种解题方法的综合运用．二、数字谜问题1.横式、竖式；（参考题目：本讲例题8）2.幻方、数阵图；（参考题目：本讲例题13）3.数论相关的数字谜；（参考题目：本讲例题9、例11）4.数字谜综合问题．（参考题目：本讲例题10、例12）本讲主要内容包括：计算问题和数字谜问题．首先总结一下常考的计算公式和技巧方法．常用计算公式、方法：1.等差数列求和：()11232n n n +++++=；例题：123100++++= _______．2.平方求和：()()222211231216n n n n ++++=++ ；3.立方求和：()()22233331123124n n n n +++++=+++=；4.平方差：()()22a b a b a b -=+-；例题：22222221001234599-+-+-+- =_______．5.等比数列求和：()111n a q s q-=-，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比（1q ≠）；例题：2320102222++++ =_______．6.循环小数化分数：7.裂项：分数裂项：()11111n n n n =-++；()1111n n k n n k k⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭；整数裂项：Ⅰ、()()()11223341123n n n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+=++ ；Ⅱ、()()()()()1123234121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ ．8.换元法．常用计算技巧：1.叠数：10101ababab ab =⨯；100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；例题：515151171717=_______．201120112011201020102010=_______．2.需要记忆的一些结果：2510⨯=；425100⨯=；81251000⨯=；1662510000⨯=．2142857285714⨯=；3142857428571⨯=；4142857571428⨯=；5142857714285⨯=；6142857857142⨯=．7142857999999⨯=．一些常用的数平方数：211121=；212144=；213169=；214196=；215225=；216256=；217289=；218324=；219361=．3.头同尾和十的两数相乘：例如：1515225⨯=；2525625⨯=；35351225⨯= 还有：37331221⨯=；84867224⨯=．关于分数7n ：10.1428577= ；20.2857147= ；30.4285717= ……注意每一个分数都是循环小数，每个循环节都由1、4、2、8、5、7构成，只是顺序不同．适用于解一些周期问题．注意：相应公式及解题方法还有很多，这里就不一一列举了．计算部分相应的解题方法或技巧是需要大家练习积累并不断总结的．只有经过积累才能学习到新的方法和解题技巧，为今后的学习打下基础，希望同学们都能养成勤于练习、善于总结的好习惯．数字谜简述：1.横式、竖式问题的突破口：首位分析、尾位分析、进位分析、位数分析；填竖式问题的一些方法：（1）加数相加时每进1位，和的数字和将比加数的数字和之和减少9．（2）与各个数位上的数字有关的问题，往往需要多次尝试才能得到结果．（3）与整除相关的问题，注意运用以前学过的整除知识．．2.数阵图、幻方的突破口：重数计算、整体分析以及三阶幻方的一些有用性质．3.数字谜问题与数论方法的综合题目．典型题目1.计算：()10.030.031111-⨯+ =__________．2.计算：363636636636363363636363⨯⋅3.计算：1111111124681012198200__________1111515253100-+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+．4.计算：11111=______ 121231234123100+++++++++++++…+…+．5.（1）24466898100_______⨯+⨯+⨯++⨯=．（2）1111________ 1232343459899100++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．6.如图所示数表，那么2013在_____行______列．7.老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：1、2、3后来擦掉其中的一个数，剩下的数的平均数保留两位小数后是12.52，那么擦掉的数是_________．8.请在算式“11112[ ][ ][ ]=++”的每个方格中填入一个数字，使其成为等式，有________种可能．9.2112□、2657□、3316□、6397□、7285□、1403□、4538□和8723□这8个五位数的最后一位都被□卡片遮住，而且这8个五位数依次能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，且这8个被遮住的个位数字两两不同．那么这8个个位数字依次写分别是_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____．10.一个三位数被13整除，所得的商等于这个三位数各位数字之和，那么所有满足此条件的三位数之和为______．11.两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，但计算结果都是1360.实际上正确结果的个位不是0，那么正确结果应该是多少？⨯==-，其中相同的字母代表相同的数字，不12.已知算式ABC DC DEFC AGECB CBFC同的字母代表不同的数字，那么AGECB所代表的五位数是__________．13.请将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入图中的8个圆圈，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等（1）请在图中上给出一个填法；（2）这个共同的和可以是______________________（写出所有可能的答案）；（3）一共有________种满足题目要求的填法（旋转、对称之后算作不同的填法）．第一讲测试卷1、计算：165433311361214187÷-+⨯÷287=2、计算：已知4112111+++X =118，则X 等于多少？3、计算：1++++++++……+=4、计算：=5、计算+）+++）++++++++6、（1+++）×（+++（1++++++7、计算20041002111222A A -=⨯个个……，求A 8、计算200820086669333⨯⨯个个……的乘积是多少？9、计算1009819799971956495374253131009998999897654543432321++++++++++++ =10、计算：20082010200920092009⨯-⨯=11、计算下列式子的值：0.1×0.3+0.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0=12、对于任意的两个自然数a 和b，规定新运算“*”；a*b=a（a+1）（a+2）…（a+b-1）。

六年级奥数第三讲：分数计算技巧----整体约分法【专题精析】 我们知道如何将123经行约分，因为3和12都含有公约数3，所以123＝41。

对于比较复杂的分数，分子、分母含有相同运算的，可提取相同因数进行约分，特别注意：整体相同，只能作为整体约去，不能单独一项一项的约，小升初学习中，整体约分法是重点考查的计算技能之一，整体约分法有三种表现形式：第一种：有相同的部分与运算：例题1：（454+272）÷（151+74） =）（）（7456716524+÷+ （第一组数分别是第二组的4倍） =）（）（7456474456+÷⨯+⨯ （提取公因数） =）（）（7456]74564[+÷+⨯ （ 整体一样，可以整体约去） =4练习：（3117+1137)÷(1119+1310) (31+52+73+94)÷(131+153+175+197)第二种：分子分母整体相同：例题2：186-548×362361×548362+= （观察分子分母，584×361和548×362相近） = （转换成584×361，分母变548-182） = （分子分母整体相同，整体约去） =1）（7456+1865481361361548362-⨯+⨯+）（182548548361361548362-+⨯⨯+362548361361548362+⨯⨯+练习：1-2008×20072008×20062007++1-2009×20082009×20072008+第三种：分子分母中含有相同因数：例题3：516334421721339322621131⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ == （提取公因数）= （有相同的公因数 ，整体约去）= 练习：400×300×20012×9×68×6×44×3×2300×200×1009×6×36×4×23×21+⋯⋯++++⋯⋯+++⨯63×45×921×15×314×10×27×5145×27×915×9×310×6×25×31+⋯⋯+++⨯+⋯⋯+++⨯（每一组数都是第一组数的倍数） 33321++469-725×256255×725256+）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（317323121722211721311333121123211131⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯33333172121721172131131211311131⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯）（）（333332117213211131++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯3433【基础练习】1、计算：987659876554321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋2、计算：173÷7425×12922÷（1.47×715）×237133、计算：（1）0.0199÷0.004×20001 (2)20001994199733333122⨯—【拓展提高】1、计算：（1）8.87.76.65.54.43.32.22642311981651329966＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋（2）19661909190819072008195119501949＋＋＋＋＋＋＋＋⋯⋯⋯⋯2、计算：（1）212121*********×132132132121212（2）999999991122334455667788998877665544332211⨯＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋3、计算：19953212199619941996199519951994＋＋＋＋—＋＋⋯⋯⨯⨯⨯4、1234568123456612345675252252122⨯-⨯-）（5、计算：175********-⨯⨯＋136********-⨯⨯＋＋16059605859-⨯⨯＋＋。

约分的三种方法通俗的说，约分就是分子分母同时除去它们的公约数。

最简分数就是分子和分母只有公约数1的分数。

一般先从分子分母的最小公约数开始逐步约去，但熟练后亦可直接用他们的最大公约数直接约分。

约分时通常要约到最简分数为止。

比较快速的方法也是最常见的方法为一下俩种：方法一：使用最大公因数；方法二：用较小的数整除。

方法一：使用最大公因数①将分子分母的因子罗列出。

如果两个数相加获得第三个数，那么这两个数就是第三个数的因子。

②找出分子和分母的最大公因子。

最大公因子是分子分母都能整除的最大的数。

当你已经把分子分母所有的因子罗列出来之后，只需要找到这两组数中最大的那个数。

③用分子和分母同时除以最小公因子。

因为在上一步中已经找到了最小的公因子，所以只须要用分子和分母同时除以最小公因子，除回去之后的结果就是最简分数。

比如把24和32同时除以8，即24/8=3，32/8=4，最后获得最简分数就是3/4。

④检查。

检查是很关键的一个步骤，一定不能疏忽，它可以确保你是否能够把题目完全做对。

要验证约分是否正确，你需要用最大公因子去乘以新的分子和分母，看看最后的结果过能否还原到原来的分数。

③用分子和分母同时除以最小公因子。

因为在上一步中已经找到了最小的公因子，所以只须要用分子和分母同时除以最小公因子，除回去之后的结果就是最简分数。

比如把24和32同时除以8，即24/8=3，32/8=4，最后获得最简分数就是3/4。

④检查。

检查是很关键的一个步骤，一定不能疏忽，它可以确保你是否能够把题目完全做对。

要验证约分是否正确，你需要用最大公因子去乘以新的分子和分母，看看最后的结果过能否还原到原来的分数。

③用分子和分母同时除以最小公因子。

因为在上一步中已经找到了最小的公因子，所以只须要用分子和分母同时除以最小公因子，除回去之后的结果就是最简分数。

比如把24和32同时除以8，即24/8=3，32/8=4，最后获得最简分数就是3/4。

④检查。

分式的化简与约分分式是数学中常见的一种表示形式，它可以帮助我们表示两个数之间的比例关系或者一个数相对于另外一个数的部分。

在处理分式问题时，为了方便计算和理解，我们经常需要对分式进行化简和约分。

本文将介绍分式的化简和约分的方法及其应用。

一、分式的化简方法1. 提取公因式法当分子与分母有相同的因式时，可以利用提取公因式的方法进行化简。

具体步骤如下：例如：化简分式 12/36首先，我们观察到12和36都可以被2整除，因此可以提取公因式2：12/36 = (2×6)/(2×18) = 6/18然后，我们可以继续提取公因式6：6/18 = (6÷6)/(18÷6) = 1/3最终，我们得到了化简后的分式1/3。

2. 分子分母同乘或同除法当分子和分母可以同时乘以或除以一个数时，可以利用分子分母同乘或同除的方法进行化简。

具体步骤如下：例如：化简分式 8/12我们可以发现，8和12都可以被2整除，因此可以同时除以2：8/12 = (8÷2)/(12÷2) = 4/6然后，我们可以继续同时除以2：4/6 = (4÷2)/(6÷2) = 2/3最终，我们得到了化简后的分式2/3。

二、分式的约分方法1. 提取最大公因数法当分子和分母有一个公共的因数时，可以利用提取最大公因数的方法进行约分。

具体步骤如下：例如：约分分式 16/24首先，我们观察到16和24都可以被2整除，因此可以提取公因式2：16/24 = (2×8)/(2×12)然后，我们继续观察到8和12也可以被2整除，因此可以再次提取公因式2：(2×8)/(2×12) = (2×2×4)/(2×2×6)接着，我们可以继续提取公因式2：(2×2×4)/(2×2×6) = (2×2×2×2)/(2×2×3×1)最后，我们得到了约分后的分式1/3。

如何约分最简单的方法
约分是将一个分数化简为最简形式的过程。

最简分数是指分子和分母没有公因数的分数形式。

以下是一种最常用和简单的方法来约分：
1.找出分子和分母的公因数。

分子和分母可以同时除以相同的数来约分。

2.找出分子和分母的最大公因数（GCD）。

最大公因数是分子和分母能够整除的最大正整数。

可以使用欧几里得算法来找到最大公因数。

3.将分子和分母都除以最大公因数，得到约分后的最简分数。

以下是一个示例来说明如何使用这个方法来约分：
例如，将分数12/24约分为最简形式。

1.找出分子和分母的公因数：12和24都可以被2整除，所以2是12和24的公因数。

2.找出分子和分母的最大公因数：使用欧几里得算法，用24除以12得到商2和余数0。

余数为0表示12是24的约数，所以最大公因数为12
3.将分子和分母都除以最大公因数：12/24除以12得到最简形式为1/2
这个方法适用于任何分数的约分。

只需找到分子和分母的公因数，然后找到最大公因数，最后用最大公因数除分子和分母，得到最简形式的分数。

希望这个方法能帮助你理解如何约分。

有理数混合运算技巧笔记一、拆分法：把有理数混合运算中的复杂计算式拆分成多个简单的计算式进行计算，再将计算结果汇总。

例如：计算32.4÷2.7-0.5×0.2拆分成：32.4÷2.7=120.5×0.2=0.112-0.1=11.9二、调整法：有理数混合运算中的括号可以通过调整运算次序来简化计算。

例如：计算6×(3×1+5)调整后为：6×(3+5)=6×8=48三、去除括号法：将括号中的内容乘以括号前的系数，或者将括号内的运算结果代替括号，可以简化计算。

例如：计算-3×(2-5)-3×(2-5)=-3×(-3)=9四、分配律：在有理数混合运算中，可以将括号内的运算结果分别乘以括号前的系数，然后再进行运算。

例如：计算-2(3-4)+5(2+3)-2(3-4)+5(2+3)=-2×3+2×4+5×2+5×3=-6+8+10+15=27五、提取公因数法：通过提取公因数可以简化计算。

例如：计算-14+35-42-14+35-42=(-7+14×5-14×3)=(-7+14×2)=(-7-28)=-35六、化简合并同类项法：将相同类型的有理数合并在一起，可以简化计算。

例如：计算-2x+3x-4x-2x+3x-4x=(-2+3-4)x=(-3)x=-3x七、等式转换法：将有理数混合运算中的等式转换成另一种形式，可以更方便地进行计算。

例如：计算3a-2b+a+4b3a-2b+a+4b=(3a+a)-(2b-4b)=4a-2b八、约分法：将分数型有理数转换成最简形式可以方便计算。

例如：计算2/3+5/62/3+5/6=(4/6+5/6)=(9/6)=(3/2)九、倒数法：有理数的倒数是将分子和分母互换，可以方便运算。

例如：计算3/(1/4)3/(1/4)=(3×4)/1=12以上是九种有理数混合运算技巧，掌握并灵活运用这些技巧，可以帮助你更轻松地解决有理数混合运算问题。

华杯赛决赛考试指南华杯赛决赛以填空题和解答题为主，共14题总分150分，其中填空题80分（8×10’），解答题70分（4×10’+2×15‘），其中简答题四道，详答题二道。

华罗庚杯考试六大专题加高频率考点：试题分析：☆公校难度☆☆公校难度升级☆☆☆奥数初级题目☆☆☆☆奥数高级题目近五年决赛试卷内容分析：决赛考点解读1. 计算模块：计算题几乎是每年必考一题，通常会放在第一题，难度是全卷最小的，因此这10分是参赛孩子们必须拿到手的。

只有对于简单会做的题目拿满分，难度大的题目尽量拿分，才有可能冲刺奖牌。

从历届决赛题目来看，这道计算题考点基本都是分小混合运算、提取公因数、约分、拆分和凑整等常规技巧，如果临时想不出巧算方法，那么硬算也是可以的，总之命题老师不是想在计算上考倒大家，而是为了把这10分送给所有考生。

2. 几何模块：几何部分每年会考一道题或者两道题，涉及的考点集中在：基本图形的面积计算（三角形、平行四边形、正方形、长方形、梯形、圆和扇形等）、勾股定理和常用勾股数、等高模型、一半模型、鸟头模型、燕尾模型、风筝模型、沙漏模型、金字塔模型和格点面积公式等，要求孩子能够熟练基本图形面积计算公式，会用割补法和整体减局部法对不规则图形进行分割和拼凑，从而间接求面积。

会用等高模型和一半模型对图形进行等积变换，理解和运用“七大模型”实现图形面积比与线段长度比之间的转化。

要求孩子孩子具有一定的添加辅助线能力，有时题目中无法直接运用模型进行求解，这时需要孩子对图形具有敏锐的观察力和对题目考点的把控，添加辅助线后运用模型求解。

例如第十八届决赛A卷第4题需要简单添加辅助线构造直角三角形进行求解，第十八届决赛B卷第10题需要添加简单辅助线构造等高模型和燕尾模型求解，第十九届决赛A卷第12题需要添加简单辅助线构造风筝模型求解，第二十届决赛A卷第11题需要创造性的添加辅助线构造一半模型帮助求解。

快速约分的四种方法
约分可是数学里很有趣的一部分呢！今天咱就来说说快速约分的四种方法。

先说说找公因数约分法。

就好像在一堆数字里找宝藏一样，找出它们共有的因数，然后把分子分母同时除以这个公因数，约分就轻松完成啦！这多简单直接呀，就像你一下子找到了打开锁的钥匙。

还有分解质因数约分法。

把分子分母都分解成质因数的乘积，然后把相同的质因数约掉，哇，这就像给数字来了一次大拆解，再重新组装，得到最简的结果。

倍数关系约分法也很厉害哦！当你发现分子分母存在倍数关系时，那简直就是送分题呀！直接约掉那个倍数，快速又准确。

最后就是辗转相除法约分啦！这就像是一场数字之间的追逐游戏，通过不断地除呀除，找到最简的比值。

想想看，学会了这些方法，约分是不是就变得超级简单啦？再也不用为复杂的分数头疼啦！约分就像是给数字做了一次瘦身，让它们变得更加简洁明了。

就如同我们整理房间一样，把不必要的东西清理掉，留下整洁和清爽。

快速约分的这四种方法，就像是我们手中的魔法棒，轻轻一挥，分数就乖乖听话啦！大家一定要好好掌握呀，这样在数学的世界里就能畅游无阻啦！。

技巧题一、速算、巧算1、加减凑整（1）加法凑整：54+97+46 （2）减同尾：765+297-665 （3）减法的性质：123-77-23（4）255+345+178+222 （5）带符号搬家：77+58-27+79-58+21（6）凑整：9+99+999+9999 （7）0.9+0.99+0.999+0.99992、乘除凑整（1）凑整十、百、千：20×67×5 4×77×25 25×32×125 2004×25（2）9、99、999等变整：12×9 234×99 37×999 99×9999（3）拆数：79×201 87×301（4）提取公因数：78×56+78×44 311×29-111×29 157×101-157（5）除法的性质：4500÷（25×90）300÷25÷4 2002÷7÷11÷13（6）商不变原理：190÷5=380÷10（去0乘2）350÷253、与11相乘两边一拉，中间相加（也可以进位）23×11 45×11 57×114、椅子数（重叠数）101×23 101×89 101×571001×123 1001×574 1001×7610101×72 1001001×796 100010001×84325、头同尾合十（头×头+头）+尾×尾（尾占两位）13×17 24×26 35×35 87×836、尾同头合十（头×头+尾）+尾×尾（尾占两位）32×72 58×58 79×39 46×667、尾是1的乘法头×头+（头+头）+1（可进位）21×31=651 31×41 61×71 91×418、“相反数”相减21-12=（2-1）×9 64-46=（6-4）×9 82-28 96-699、金字塔数有几个1，积的最大的最中间的就到几。