122123真子集集合相等

集合的包含关系和运算规则总结一、集合的包含关系1.子集的概念：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。

2.真子集的概念：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合就是另一个集合的真子集。

3.集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。

4.集合的并集：两个集合的并集包含这两个集合的所有元素，但元素不重复。

5.集合的交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素。

6.集合的补集：一个集合的补集是指在全集范围内不属于该集合的元素组成的集合。

7.集合的幂集：一个集合的幂集是指该集合所有子集组成的集合。

二、集合的运算规则1.并集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的并集可以表示为A∪B，即包含A和B所有元素的集合。

2.交集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的交集可以表示为A∩B，即包含A和B共有元素的集合。

3.补集的运算规则：对于任意集合A和全集U，A的补集可以表示为∁UA，即包含全集U中不属于A的元素的集合。

4.幂集的运算规则：对于任意集合A，A的幂集可以表示为P(A)，即包含A所有子集的集合。

5.集合的笛卡尔积：对于任意两个集合A和B，它们的笛卡尔积可以表示为A×B，即包含所有形式为(a,b)的元素，其中a属于A，b属于B。

6.集合的限制：在实际应用中，集合的元素通常具有一定的限制，如自然数集、整数集、实数集等。

三、集合的应用1.集合在数学中的应用：集合是数学中的基本概念，广泛应用于概率论、图论、拓扑学等领域。

2.集合在计算机科学中的应用：集合是计算机科学中的基本数据结构，用于存储无序且不重复的元素。

3.集合在逻辑推理中的应用：集合论是逻辑推理的基础，用于构建数学归纳法、反证法等推理方法。

4.集合在实际生活中的应用：集合概念在日常生活中也具有重要意义，如对事物进行分类、统计等。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合的包含关系和运算规则，了解集合在数学及其它领域中的应用，为深入学习数学和其他学科奠定基础。

高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。

高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。

2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。

3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。

子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

证明集合相等的方法在数学中，证明两个集合相等是一种常见的问题。

为了证明两个集合相等，我们可以使用以下几种方法。

一、元素相等法我们可以比较两个集合的元素是否完全相等。

如果两个集合的元素完全相同，且顺序也相同，那么可以得出这两个集合相等的结论。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3}，我们可以通过比较集合A和集合B的元素发现它们是相等的。

二、子集法另一种证明集合相等的方法是通过子集关系。

如果两个集合互为子集，即每个集合都包含了另一个集合的所有元素，那么可以说明这两个集合相等。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}，我们可以通过观察发现集合A的所有元素都包含在集合B中，而且集合B中的额外元素不会影响它们的相等性。

三、互相包含法除了子集法之外，我们还可以使用互相包含的方法来证明集合相等。

如果集合A包含集合B的所有元素，同时集合B也包含集合A的所有元素，那么可以得出这两个集合相等的结论。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={1,2}，我们可以发现集合B是集合A的子集，并且集合A也包含集合B的所有元素，因此这两个集合是相等的。

四、对等关系法另一种证明集合相等的方法是使用对等关系。

如果两个集合之间可以建立一个一一对应的关系，也就是说每个集合的元素与另一个集合的元素一一对应，那么可以说明这两个集合相等。

例如，如果集合A={a,b,c}，集合B={1,2,3}，我们可以建立一个对等关系，将a 对应到1，b对应到2，c对应到3，这样就可以证明集合A和集合B相等。

我们可以通过元素相等法、子集法、互相包含法和对等关系法来证明集合的相等性。

其中，元素相等法和子集法适用于直接比较集合的元素，互相包含法和对等关系法则更加灵活，可以通过集合之间的关系来判断它们是否相等。

当然，在实际的证明过程中，我们还需要注意符号的使用和逻辑的推导，以确保证明的准确性和严谨性。

1.2.1 集合之间的关系教材知识检索考点知识清单1.子集(1)定义：如果 ；那么集合A 叫做集合B 集合的子集。

(2)符号： ，读作： 。

2.真子集(1)定义：如．果集合A 是集合B 的子集，并且 那么集合A 叫做集合B 的真子集． (2>符号： ，读作： ． 3. 集合的相等(1)集合相等的定义：一般地，如果集合A 的 都是集合B 的元素，反过来，集合B 的 也都是集合强的元素，那么就说集合A 等于集合B ，记作____．(2)推论：如果 ，又 ，则A=B 反之．如果A=B ，则____且____． 4．韦恩图韦恩(Venn)图：通常用 表示一个集合，这个图形通常叫做韦恩图. 5．两个重要规定(1)空集是 的子集．(2)空集是 的真子集． 6．传递性根据子集、真子集的定义可以推知：(1)对于集合4、B 、C ，如果A ⊆ B ，B ⊆C ，则____．(2)对于集合A 、B 、C ，如果A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则 .要点核心解读1．准确理解子集、真子集的概念(1)空集是任何非空集合的真子集，即∅≠⊂A （A 是非空集合）； (2)任何集合都是它本身的 子集，即;A A ⊆(3)子集、真子集都有传递性，即若,,C B B A ⊆⊆则;C A ⊆⋅若A B B,≠⊂A ≠⊂则.C A ≠⊂2．集合相等的概念课本中是用B A ⊆“且A B ⊆则B A =”来定义集合相等的．其实，A 与B 非空且元素完全相同或∅==B A 时，B A =都成立．课本中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法，即欲证,B A =只需证B A ⊆与A B ⊆都成立． 3．符号，，“⊆∈ ≠⊂” 的区分要注意区分，与“⊆∈⊆与≠⊂”“∈”表示元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关系，“⊆”与≠⊂均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含关系。

4．“元素个数”与“子集个数”之间的关系 (1)列下表．①若},{a A =则其子集可以是},{,a ∅子集个数为2；②若},,{b a A =则其子集可以是},,{},{},{,b a b a ∅子集个数为4；③若},,,{c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},,{c a b a },,,{},,{c b a c b 子集个数为8；④若},,,,{d c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},{b a d },,{},,{da c a },,{},,{dbc b },,,{},,{c b ad c },,,{d b a },,,{},,,{d c b d c a },,,,{d c b a 子集个数为16.所以表格中依次填2、4、8、16. 综上所述，，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍， 其对应关系为： 元素个数 子集的数目1 221=2 21222=⨯3 32222=⨯4 43222=⨯(2)由(1)可以猜想：若集合中有n 个元素，其子集的个数应为n2个，其真子集的个数应为)12(-n 个．典例分类剖析考点1 求集合的子集或真子集[例1]已知集合M 满足},5,4,3,2,1{}3,2{⊆⊆M 求集合M ． [解析]，(1)当M 中舍有两个元素时，M 为};3,2{(2) 当M 中含有三个元紊时，M 为};5,3,2{},4,3,2{},1,3,2{(3)当M 中合有四个元素时 M 为},5,1,3,2{},4,1,3,2{};5,4,3,2{ (4)当M 中含有五个元素时：M 为}.5,4,1,3,2{所以满足条M 件集合M 为},1,3,2{},3,2{},4,3,2{},5,3,2{},4,1,3,2{},5,4,3,2{},5,1,3,2{},5,4,1,3,2{ 集合M 的个数为8．[点拨】 对于求集合的子集问题，一定要注意有两个集合比较特殊，即∅和集合本身．因此解决这类问题时.(1)要注意对符号h ⊆≠⊂的辨析．(2)合理使用分类讨论的思想，按集合元素的个数多少分类写出母题迁移 1．满足条件-⊆⊆=+22|{}01|{x x M x x }01=的M 为考点2 集合关系的判定[例2] 已知集合},,1|{2N a a x x M ∈+==集合==y y P |{},,222N b b b ∈++试问M 与P 相等吗？[解析] 设,P y ∈则1)12222++=++=b b b y （,,1,N a N b N b ∈∈+∴∈ 又 .,M p M y ⊆∈∴故 .1,1,0M x a ∈∴==时当而,,1)1(2222N b b b b y ∈++=++=,0≥∴b 即.2≥y,1P ∉∴故M 不是P 的子集．综上所述，.P M =/[点拨] 解答本题时，首先观察两个集合中函数式的结构特点．关键是要“变”（或“凑”）形式，即由”“222++b b 向+2a ”1的形式变化，再由Nb N a ∈∈,进行判断．母题迁移2．（2010年武汉调考题）已知集合{},)12(91A Z k k x x ∈+==},,9194|{z k k x xB ∈±==则集合A 、B 之间的关系为( )．A A .B ≠⊂ B B .A ≠⊂ B AC =. B AD =/. 考点3 集合相等问题[例3] 设集合,},,,{},,,1{2B A ab a a B b a A ===则a= =b , [解析] 由集合的相等关系，且均有元素a ，故有⎩⎨⎧==ab b a ,12或⎩⎨⎧==,,12a b ab 且.1,1=/=/b a .0,1=-=∴b a[答案]-10[点拨] (l ）两个集合的元素相 同.(2)注意集合内元素的互异性，为避免出错，常代回检验．母题迁移 3．已知三元素集合=-=B y x xy x A },,,{},|,|,0{y x 且,B A =求x 与y 的值，考点4 利用集合关系，求字母参数或取值范围[例4] 设},01|{},0158|{2=-==+-=ax x B x x x A 若,A B ⊆求实数a 组成的集合． [解析] ,A B ⊆即B 是A 的子集，只需求出A ，即可分类讨论解决． 由于,},5,3{A B A ⊆=(1)若;0,=∅=a B 则 (2)若,∅=/B 则,0=/a 这时有31,5131===a a a 即或或⋅=51a综上所述，由实数a 组成的集合为⋅}31,51,0{[点拨] 要解决本题，首先要搞清楚集合A 的元素是什么，然后根据,A B ⊆求a 的值．特别要注意讨论B 为⋅∅的情况，在A B ⊆中，含有∅=B 这种情况，解题时需注意，防止遗漏．在集会这一单元中含有丰富的分类讨论的内容，要增强分类讨论的意识，掌握分类的方法．母题迁移 4.(1)若集合 ==-+=B x x x A },06|{2},01|{=+mx x 且,A B ≠⊂求m 的值． (2)设集合+++==+=x a x x B x x x A )1(2|{},04|{22}.,012R a a ∈=-若,A B ⊆求实数a 的值．自主评价反馈考点知识清单1．(1)集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素B A ⊆)2( A 包含于B2．(l)存在元素B x ∈且A x ∉B A ≠⊂)2(A 真包含于B3．(1)任何一个元素任何一个元素B A =B A ⊆)2( A B ⊆ B A ⊂ A B ⊂4．封闭图形5．(1)任何集合 (2)任何非空集合C A ⊂)1.(6 C A ≠⊂)2(母题迁移}1{}1,1{}1{.1或或或--∅2．C.0,,0.3A B A B ∈∴=∈∴ 集合A 为三元素集，,xy x =/∴.0=/∴x 又,0,,0=/∴∈∈y B y B 从而⋅==-y x y x ,0 这时，},|,|,0{},0,,{2x x B x x A ⋅==|,|2x x =∴则0=x （舍去）或1=x （舍去）或.1-=x经验证：1,1-=-=y x 是本题的解．4．(1)},2,3{}06|{2-==-+=x x x A自主评价反馈,A B ≠⊂当∅=B 时，0=m 适合题意；当∅=/B 时，方程01=+mx 的解为,1mx -= 则31-=-m 或,21=-m 31=∴m 或⋅-=21m综上可知，所求m 的值为⋅-2131,0R A B ⊆)2(可分为A B A B B =≠⊂∅=,,三种情况，而=A }.4,0{-当B A =时，},4,0{-=B 即 40-==x x 与是方程01)1(222=-+++a x a x 的两根，求得.1=a 当∅=B 时，方程01)1(222=-+++ a x a x 无解，由判别式.10)1(4)1(422-<⇒<--+=∆a a a当,A B ≠⊂且∅=/B 时．}0{=B 或},4{-=B 即方程01)1(222=-+++a x a x 有两个相等的实数根． 此时.10)1(4)1(422-=⇒=--+=∆a a a}0{=∴B 满足条件．综上所述，所求实数a 的取值为.11=-≤Ra a优化分层测试学业水平测试1. 在下列所给的五个关系式：①};0{≠⊂∅,1,2{}2,1,2{=-②}2-};2,1{}1{;∈③};3{)}3,3{(=④}{∅⑤{}012=++=x x x 中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个 D.3个2.若集合},1,{},,3,1{2x B x A ==且,A B ⊆则满足条件的实数x 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43.若集合},21|{<<=x x A 集合},0|{2>=x x B 则A B ．4.若集合},0|{},2,1{2=++==b ax x x B A 若,B A =则=a =b .5.判定下列集合之间的关系，用适当的符号表示它们的关系． (1){}{x x b z n n x z x =∈=∈=,,2A 是偶数}； (x x A |{)2=是平行四边形}，x x B |{=是正方形}； (3){}{};,,,22R x x y R y B R y x y R x A ∈=∈=∈-=∈(4){x x A =是奇数}，}.,14|{z n n x R x B ∈±=∈=6. 设集合{x x A =是三角形},{x x B =是锐角三角形},{x x c =是正三角形},指出A 、B 、C 三者之间的关系，并用韦恩图表示.高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．下列各式中，正确的个数是( )．};0{=∅① };0{⊆∅② };0{∈∅③ };0{0=④ };0{0∈⑤ };3,2,1{}1{∈⋅⑥ };3,2,1{}2,1{⊆⑦ }.,{},{b a b a ⊆⑧1.A2.B3.C4.D2．设集合,)12(|{},,)12(1{ππ-==∈+==k x x N z k k x x M },z k ∈则M 、N 之间的关系为( )．N M A ≠⊂. N M B ⊇. N M C ⊆. N M D =.3．已知集合},2,1{=P 那么满足P Q ⊆的集合Q 的个数是( )．4.A 3.B 2.C 1.D4．（2010年江西南昌调研测试题）集合A S },5,4,3,2,1,0{=是S 的一个子集，当A x ∈时，若A x ∉-1 且,1A x ∉+则称X 为A 的一个“孤立元素”，那么 S 中无“孤立元素”的含有4个元素的子集个数是( )．A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 5．（2007年全国高考题）设,,R b a ∈集合=+},,1{a b a },,,0{b ab则=-a b ( )． 1.A 1.-B 2.C 2.-D6．（2010年天津高考题）设=∈<-=B R x a x x A },,1|||{},,2|||{R x b x x ∈>-若,B A ⊆则实数a,b必满足( )．3||.≤+b a A 3||.≥+b a B 3||.≤-b a C 3||.≥-b a D7．已知a 为不等于零的实数，那么集合=M },01)1(2|{2R x x a x x ∈=++-的子集的个数为( )．A ．1B ．2C ．4D ．1或2或 48．（2008年四川高考题）集合A A },1,0,1{-=的子集中含有元素O 的子集共有( )． A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个 二、填空题（5分x4=20分）9．设},123|),{(},23|),{(,=--=-=-=∈x y y x B x y y x A R y x 、则A 、B 的关系是 10.已知集合=∈+==⊂C z k k x x B B A },,214|{,},,418|{z k k x x ∈+=那么集合A 与C 的关系为11．设},0|{},21|{<-=<<=a x x B x x A 若B A ≠⊂则a 的取值范围是 12.已知集合},12,3,1{--=m A 集合},,3{2m B =若,A B ⊆则实数m= 三、解答题（10分×4 =40分）13．设数集},,1{},,2,1{2a a B a A -==若,B A ⊇求实数a 的值．14.已知集合},112|{.},43.|{4+≤≤-=≤≤-=m x m x B x x 且,A B ⊂求实数m 的取值范围．15．已知集合++-==+-=x m x x B x x x A )1(|{},023|{22}.0=m (1)若,A B ≠⊂求m 的值组成的集合P ； (2)若,A B ⊂求m 的值组成的集合Q ．16.已知集合|{},03|{2R x Q b x x R x P ∈==+-∈=}.0)43()1(22=-++x x x (1)若,∅=P 是否存在集合M ，使得?Q M P ⊆≠⊂求出这样的集合M;(2)P 是否能成为Q 的一个子集？若能，求出b 的取值或取值范围；若不能，说明理由．。

子集真子集空集相等的概念在集合论中，子集、真子集、空集和相等是几个重要的概念。

下面将详细解释这些概念，并讨论它们在数学中的应用。

首先，子集是指一个集合中的元素都是另一个集合的元素。

如果集合A的每个元素都同时是集合B的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4, 5}，那么A是B的子集。

其次，真子集是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合本身。

如果集合A是集合B的子集，并且集合A不等于集合B，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

使用上述例子，A是B的真子集，因为A不等于B。

第三，空集是一种特殊的集合，其中没有任何元素。

空集通常用符号∅表示。

注意，空集是任意集合的子集，因为空集的元素都是其他集合的元素。

举个例子，如果集合A={1, 2}，那么空集是A的子集。

最后，相等是指两个集合具有相同的元素。

如果一个集合A的元素和另一个集合B的元素完全一样，那么称集合A和集合B相等，记作A=B。

举个例子，如果集合C={2, 1}，那么C=B，因为集合C和集合B的元素是相同的。

这些概念在数学中非常重要，尤其在集合运算和证明中的应用。

在集合运算中，我们常常需要确定一个集合是否是另一个集合的子集或真子集。

这样可以帮助我们理解和描述集合之间的关系。

例如，给定一个集合A={1, 2, 3, 4}和另一个集合B={1, 2, 3, 4, 5}，我们可以说A是B的子集，因为A的所有元素都是B的元素。

但是A不是B的真子集，因为A等于B。

另一方面，如果我们考虑集合C={1, 2, 3}，那么C是A的真子集，因为C是A的子集，但C不等于A。

在证明中，这些概念也经常被使用，特别是在证明集合相等性的命题时。

例如，假设我们要证明集合A和集合B相等，我们可以通过证明A是B的子集并且B 是A的子集来完成证明。

首先，我们证明A是B的子集，即A⊆B。

这意味着A 中的每个元素都是B中的元素。

高考数学思想方法、九大考点与知识点总结高考数学九大核心考点回顾不管是什么考试，无非都是对各知识点的一个练习、总结，只要我们能够对各个知识点深刻了解，考试中拿高分并不难，你知道高考数学常考的知识点有哪些吗？我们不妨一起来了解一下。

九大核心的知识点：函数、三角函数，平面向量，不等式，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，导数。

这些内容非常重要。

当然每章当中还有侧重，比如说拿函数来讲，函数概念必须清楚，函数图象变换是非常重要的一个核心内容。

此外就是函数的一种性质问题，单调性、周期性，包括后面我们还谈到连续性问题，像这些性质问题是非常重要的。

连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点，我想这些内容特别值得我们在后面要关注的。

再比如说像解析几何这个内容，不管理科还是文科，像直线和圆肯定是非常重要的一个内容。

理科和文科有一点差别了，比如说圆锥曲线方面，椭圆和抛物线理科必须达到的水平，双曲线理科只是了解状态就可以了。

而文科呢?椭圆是要求达到理解水平，抛物线和双曲线只是一般的了解状态就可以了。

这里需要有侧重点。

拿具体知识来讲，比如说直线当中，两条直线的位置关系，平行、垂直的关系怎么判断应该清楚。

直线和圆的位置关系应该清楚，椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，参数之间的关系，再比如直线和椭圆的位置关系，这是值得我们特别关注的一个重要的知识内容。

这是从我的一个角度来说。

我们后面有六个大题，一般是侧重于六个重要的板块，因为现阶段不可能一个章节从头至尾，你没有时间了，必须把最重要的知识板块拿出来，比如说数列与函数以及不等式，这肯定是重要板块。

再比如说三角函数和平面向量应该是一个，解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个。

再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形，这肯定是重要板块。

再后面是概率统计，在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起，最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式，四部分内容综合在一起。

应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行。

（{1,2,3}B)U B ={4}{1,2,3}.，，则实数B ．1 ．2，而，（ ，故选：A、已知集合（ D ．【答案】C.，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有AB B =A B B = C ．()U A B =∅D ()U A B =∅【答案】B 、D 【解析】A B ，A B A ∴=，A B B =，()U C A B =≠∅，()U AC B =∅，{0,3,4}UB =(){3}U B =}1,2{2,B a a ={}1B ={}1B =1{|2A x =-<}20x ->B =}1x <-B R =A = RB =()2,1-(-∞{ R|B x = RB =(),1-∞{5,7,11B =B 中元素的个数为年高考全国Ⅲ卷理数已知集合{(A x = ） B ．3C ．4B 中的元素满足y x ≥的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)B 中元素的个数为【新课标】已知集合A =B ={(,)x y │AB ．21相交于两点(1,1B 中有两个元素，T（）∅【答案】C【解析】任取t T∈因此，S T T=.故选：1、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为(B)BM N P PB A B=∅【答案】B【解析】A=（－1，故B⊂≠A，故选4、（2021·山东青岛市·高三二模）已知的子集，且，则下面选项中一定成立的是（）．的子集，且，，，C方法总结(1)若B⊆A，应分两种情况讨论.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系考向三集合的运算)RA B A⋂=A⊆A B R=B=∅R B=R)R B A=RBB=∅B=（，则：}0P Q ({B x=又全集所以，图中阴影部分所表示的集合为故选：D.方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，{3,2,3B =-{3,U =-){2,0B =-M P=，则[-1，1]M P=，所以a P∈，得的取值范围是[1,1]-={x|x2－2x＞＜5＝，则（B．A∪B，0)∪(2，N M=．高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（【答案】AD【解析】：由图可知，阴影部分是集合与C的交集，()B C()UB C⋂⋂)(A B A C⋂⋃⋂。

2021-2022学年高一上数学必修一1．2集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和V enn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相等吗？答案不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．空集中不含任何元素，所以∅不是集合．(×)2．任何一个集合都有子集．(√)3．若A＝B，则A⊆B且B⊆A.(√)4．空集是任何集合的真子集．(×)一、集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.反思感悟判断集合间关系的方法(1)用定义判断①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B.②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则A B.③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()答案 B解析 x 2－x ＝0得x ＝1或x ＝0，故N ＝{0,1}， 易得NM ，其对应的V enn 图如选项B 所示．二、子集、真子集的个数问题例2 已知集合M 满足{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M 所有的可能情况．解 由题意可以确定集合M 必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 反思感悟 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n 个元素的集合有2n 个子集． (2)含n 个元素的集合有(2n －1)个真子集． (3)含n 个元素的集合有(2n －1)个非空子集． (4)含n 个元素的集合有(2n －2)个非空真子集．跟踪训练2 已知集合A ＝{x |0≤x <5，且x ∈N }，则集合A 的子集的个数为( ) A ．15 B ．16 C ．31 D ．32 答案 D解析 A ＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32. 三、集合间关系的应用例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}． 延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．(2)涉及到“A ⊆B ”或“A B 且B ≠∅”的问题，一定要分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．跟踪训练3 若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≥2} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥1} D ．{a |a ≤2}答案 B解析 如图所示，A B ，所以a≤1.1．下列四个集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案 B解析选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A答案 D解析集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．3．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．A B⊆C D．A＝B⊆C答案 B解析集合A，B，C关系如图．4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.答案 4解析∵B⊆A，∴元素3,4必为A中元素，∴m＝4.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是()A．0∈A B．{1}∈AC．∅⊆A D．{0,1}⊆A答案 B解析∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．2．集合{1,2}的子集有()A．4个B．3个C．2个D．1个答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．3．下列表述正确的有()①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()A．0 B．1 C．2 D．－1答案 C解析由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，经验证，符合题意，则2x＋y＝2.6．集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}．答案④解析∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，①②③不正确．7．集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为________．答案{a|a≥6}解析∵A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a≥6.8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．答案{0,1，－1}解析因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，当a＝0时，方程化为2x＝0，方程只有一个根x＝0，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解(1)若A B，由图可知，a>2.故实数a 的取值范围为{a |a >2}． (2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.故实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．11．若集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k －1，k ∈Z }，则A ，B ，C 的关系是( ) A ．C A ＝B B ．A ⊆C ⊆B C ．A ＝B C D ．B ⊆A ⊆C答案 A解析 ∵A ＝{x |x ＝2(k ＋1)－1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝2·2k －1，k ∈Z }，∴C A ＝B ，故选A.12．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________． 答案 M ＝P解析 因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .13．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么实数a 的值是________． 答案 0，±1解析 由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ⊆P ，若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ，若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，实数a 的值是0，±1.14．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x ＝0}，则集合A ＝______.若集合B 满足{0}B ⊆A ，则集合B ＝________.答案 {－1,0} {－1,0}解析 ∵解方程x 2＋x ＝0，得x ＝－1或x ＝0, ∴集合A ＝{x ∈R |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}, ∵集合B 满足{0}B ⊆A, ∴集合B ＝{－1,0}．15．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋1＝0}，若B ≠∅，B ⊆A ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 答案 D解析 当B ＝{－1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两相等的实根－1，即a ＝－1； 当B ＝{1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两相等的实根1，即a ＝1； 当B ＝{－1,1}时，不成立． 故a ＝±1.16．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．解 (1)对于任意实数b 都有A ⊆B ，当且仅当集合A 中的元素为1,2. ∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝1， 解方程组可知无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)易知，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝10 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．。

集合的相等与子集关系集合是数学中一种重要的概念，它是由一些确定的对象按某种特性定相同加以归纳而成的整体。

在集合的运算中，相等和子集关系是两个基本的概念。

本文将探讨集合的相等及子集关系，并探讨它们在数学和日常生活中的应用。

一、集合的相等在集合的定义中，集合内的元素是无序的，所以两个集合要判断是否相等，只需要判断它们的元素是否完全相同即可。

若两个集合A和B的所有元素相同，则称集合A和集合B相等，记作A=B。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 1}，由于集合中的元素无序，集合A和集合B是相等的。

在实际应用中，集合的相等常用于数据库的查询和数据比对等场景，能够帮助我们快速准确地筛选出符合要求的数据。

二、集合的子集关系集合的子集关系是指一个集合的所有元素都包含在另一个集合中。

设集合A和集合B，若A中的所有元素都属于B，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

例如，设集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，由于集合A中的元素都包含在集合B中，所以集合A是集合B的子集。

在实际生活中，子集关系常常用于描述一组物体或概念的层级关系。

例如，在一个学校的学生集合中，可以将某个班级的学生集合看作是整个学校学生集合的子集。

三、集合相等与子集关系的性质1. 自反性：集合A和集合A相等，即A=A；集合A是集合A的子集，即A⊆A。

2. 对称性：若集合A=B，则集合B=A；若集合A是集合B的子集，则集合B是集合A的子集。

3. 传递性：若集合A=B，且集合B=C，则集合A=C；若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。

这些性质在集合的运算中具有重要的作用，能够帮助我们推导和证明集合相等和子集关系的性质。

四、集合相等与子集关系的应用集合的相等和子集关系在数学和其他学科中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 集合论：在数学的基础理论中，集合的相等和子集关系是研究集合运算和集合性质的基础。