超空间上集值映射的弱δ-连续性

第30卷第3期高师理科学刊Vol.30No.32010年5月Journal of Science of Teachers ′College and UniversityMay2010文章编号：1007-9831（2010）03-0043-04一类超空间动力系统的稳定性苗小倩（西北大学数学系，陕西西安710127）摘要：研究了当底空间),(d X 是局部紧致的且满足第二可数性公理的度量空间时，拓扑动力系统),,(f d X 和其诱导的超空间动力系统)2,,2(f X ρ关于等度连续之间的关系．给出了一些新的结论．关键词：超空间动力系统；等度连续；等度连续点中图分类号：O193文献标识码：A doi ：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.03.0151引言及预备知识集值分析是20世纪40年代以后发展起来的一个现代数学分支，在控制论、微分对策、数理经济和决策论、微分方程和微分包含等领域有着广泛的应用．然而集值动力系统领域的发展却很缓慢．直到本世纪初，一些学者才开始对集值动力系统领域进行探索[1-4]．当底空间是非紧致空间时，对于底系统与其诱导的超空间动力系统的动力性状研究却很少．文献[5-6]讨论了Hausdo rff 、局部紧致且满足第二可数性公理的底空间拓扑动力系统与它诱导的超空间拓扑动力系统之间的传递性、混合性及初值敏感．本文研究了当底空间),(d X 是局部紧致的且满足第二可数性公理的度量空间时，底空间动力系统),,(f d X 和其诱导的超空间动力系统)2,,2(f X ρ关于等度连续之间的关系.设),,(f d X 为拓扑动力系统，其中：X 是局部紧致的且满足第二可数性公理的度量空间；d 是X 上的紧型度量；f 是完备映射．记X 2是由X 中的非空闭子集构成的集合，其上赋予Hit-o r-miss 拓扑f τ．X2上的Hit-or-miss 拓扑f τ是可度量的．记Xω2是由{}ωω∪X X =上非空闭子集构成的集合，其上赋予Vieto ris 拓扑V τ．而X ω2上Vietoris 拓扑V τ是可度量的，其上的度量为由d 诱导的Hausdorff 度量H d ．映射X X C ω22→∶定义为：对任意的X F 2∈，}{)(ω∪F F C =，则C 是一个同胚嵌入映射．X 2上的度量ρ定义为：对任意的X F F 2,∈′，))(),((),(F C F C d F F H ′=′ρ．由f 诱导的超空间映射X X f 222→∶定义为：对任意的X F 2∈，)()(2F f F f =，则f 2是连续的．故)2,,2(f X ρ构成了一个拓扑动力系统，称)2,,2(f X ρ是由拓扑动力系统),,(f d X 诱导的超空间动力系统[7]1708．定义1[8]120如果对任意0>ε，存在0>δ，使得当X y x ∈,且δ<),(y x d 时，对任意的+∈N n 都有ε<))(),((y f x f d n n ，则称拓扑动力系统),,(f d X 是等度连续．定义2[8]120如果对于X x ∈，任给0>ε，存在0>δ，使得当X y ∈且δ<),(y x d 时，对任意的+∈N n 都有ε<))(),((y f x f d n n ，则称点x 为拓扑动力系统),,(f d X 的等度连续点．定义３[9]设),(d X 是非紧致的度量空间，如果d 可以扩展成为X 的Alex andro ff 紧化X ω上的度量d ．换句话说，d 是X ω上的度量d 在X 上的限制，则称d 是X 的紧型度量．定义４[7]1710设X 是Hausdo rff 拓扑空间，X X f →∶为连续映射，如果f 是闭映射，并且对任意的收稿日期：作者简介：苗小倩（3），女，甘肃白银人，在读硕士，从事拓扑动力系统研究．：q x53@632010-02-20198-E-mail ianm 44高师理科学刊第30卷Y y ∈，)(1y f 为X 中的紧子集，则称f 为完备映射．定义５[7]1710设X 是局部紧致的且满足第二可数性公理的度量空间，X X f →∶为连续映射．（1）如果X 中的任意点列{}∞=1n n x 都没有收敛子列，且0)(lim x x f n n =∞→，其中：X x ∈0，则称f 在无穷远处收敛于0x ．（2）如果X 中的任意点列{}∞=1n n x 都没有收敛子列，且{}∞=1)(n n x f 在X 中也没有收敛子列，则称f 在无穷远处收敛．如果（1）或者（2）成立，则称f 在无穷远处收敛．引理1对任意0>ε，X y x ∈,，若ερ<}){},({y x ，则ε2),(<y x d ．证明由于ερ<}){},({y x ，则)},{}({}{}{εωω∪∪y S x d 且()εωω},{}{}{}{∪∪x S y d ．即()()εωεω},{},{}{}{d d S y S x ∪∪且()()εωεω},{},{}{}{d d S x S y ∪∪．若{}{}()ε,y S x d ，{}{}()ε,x S y d ,则()ε<y x d ,.若{}{}()εω,d S x ,{}{}()εω,d S y ，则εω<),(x d 且εω<),(y d ，从而=),(y x d ()εωω2,),(),(<+<y d x d y x d ．证毕.引理2[7]1717连续映射f 在无穷远处收敛当且仅当f 可以扩充为连续映射X X f ωω→∶，其中：X ω是X 的Alexandroff 紧化．2主要结果及证明定理1设),,(f d X 为拓扑动力系统，)2,,2(f X ρ为其诱导的超空间动力系统，如果)2,,2(f X ρ是等度连续系统，则),,(f d X 是等度连续系统．证明任给0>ε，由于)2,,2(f X ρ是等度连续系统，则存在0>δ，当δρ<),(B A 时，对任意+∈N n 有ερ<))()2(),()2((B A n f n f ，即ερ<))(),((B f A f n n ．任取X y x ∈,，则X y x 2}{},{∈．当δ<),(y x d 时，则δρ<}){},({y x ．由于对任意+∈N n 有ερ<}){},{(y f x f n n ，根据引理1可知ε2))(),((<y f x f d n n ．故),,(f d X 是等度连续系统．证毕．定理２设),,(f d X 为拓扑动力系统，且f 在无穷远处收敛于0x ，其中X x ∈0，如果),,(f d X 是等度连续系统，则),,(f d X ω是等度连续系统．证明任给0>ε，由于),,(f d X 是等度连续的，则存在0>δ，使得当X y x ∈,且δ<),(y x d 时，对任意+∈N n 有ε<))(),((y f x f d n n ．对δ而言，由于映射X X f ωω→∶在ω处连续，则存在δδ<<10，使得当1),(δω<x d 时，有()δω<)(),(f x f d ，即δ<)),((0x x f d ．从而对任意+∈N n 有ε<))(),((01x f x f d n n ，即εω<))(),((n n f x f d ．综上所述，取1δδ=，当X y x ω∈,且δ<),(y x d 时，对任意+∈N n 有ε<))(),((y f x f d n n ，故),,(f d X ω是等度连续系统．证毕．定理３设),,(f d X 为拓扑动力系统，且f 在无穷远处收敛，)2,,2(f X ρ为其诱导的超空间动力系统，如果),,(f d X ω是等度连续系统，则)2,,2(f X ρ是等度连续系统．证明任给0>ε，由于),,(f d X ω是等度连续系统，则存在0>δ，使得当X y x ω∈,且δ<),(y x d 时，对任意的+∈N n 有ε<))(),((y f x f d n n ．特别地，当X y x ∈,且δ<),(y x d 时，对任意的+∈N n 有ε<))(),((y f x f d n n ．任取X X F F 2,2∈′∈，证明当δρ5.0),(<′F F 时，对任意的+∈N n 都有ερ<′))(2),()2((F F nf n f ．若δρ5.0),(<′F F ，则)5.0},{(}{δωω∪∪F S F d ′且)5.0},{(}{δωω∪∪F S F d ′，即}{ω∪F )5.0},({)5.0,(δωδd d S F S ∪′且)5.0},({)5.0,(}{δωδωd d S F S F ∪∪′．由于F 和F ′对称性，则只需考虑)5.0},({)5.0,(δωδd d S F S F∪′，可分为３种情况：（）)5,(δF S F′．任取F x ∈，则存在F x ′∈′，使得δδ<<′5),(x x ．从而对任意+∈N 有1.0d .0d n第3期苗小倩：一类超空间动力系统的稳定性45ε<′))(),((x f x f d n n ．由x 的任意性，则)),(()(εF f S F f n d n ′．显然∪)),(()(εF f S F f n d n ′)},({εωd S ．（2）)5.0},({δωd S F．任取F x ∈，都有δδω<<5.0),(x d ．从而对任意+∈N n 有=))(),((ωf x f d εω<)),((x f d n ．由x 的任意性可知,)},({)(εωd n S F f ，则∪)),(()(εF f S F f n d n ′)},({εωd S ．（3）)5.0,(1δF S F F d ′=∩，)5.0},({2δωd S F F ∩=且F F F =21∪．任取F x ∈，当1F x ∈时，则存在F x ′∈′，使得δδ<<′5.0),(x x d ，从而对任意+∈N n 有ε<′))(),((x f x f d n n ；当2F x ∈时，则δδ<<′5.0),(x x d ．从而对任意+∈N n 有εωω<=)),(())(),((x f d f x f d n n n ，所以∪)),(()(εx f S x f n d n ′∈)},({εωd S ，由于x 的任意性可知，)},({)),(()(εωεd n d n S F f S F f ∪′．综上所述，当δρ5.0),(<′F F 时，对任意的+∈N n 都有)},({)),(()(εωεd n d n S F f S F f ∪′．同理可证)},({)),(()(εωεd n d n S F f S F f ∪′，所以ερ<′))()2(),()2((F f F n n f ，故)2,,2(f X ρ是等度连续系统．证毕．推论设),,(f d X 为拓扑动力系统，且f 在无穷远处收敛于0x ，其中：X x ∈0，)2,,2(f X ρ为其诱导的超空间动力系统，如果),,(f d X 是等度连续系统，则)2,,2(f X ρ是等度连续系统．证明根据定理２可知，),,(f d X ω是等度连续系统，从而由定理3可知，)2,,2(f X ρ是等度连续系统．证毕．定理４设),,(f d X 为拓扑动力系统，且f 在无穷远处收敛于0x ，如果系统),,(f d X 存在等度连续点，则系统),,(f d X ω存在等度连续点．证明设x 是),,(f d X 的等度连续点，则对于任给0>ε，存在0>δ，使得当X y ∈且满足δ<),(y x d 时，对任意的+∈N n 都有ε<))(),((y f x f d n n ．对于δ，由于X X f ωω→∶是连续映射，则存在δδ<<10，使得当1),(δω<x d 时，有δω<))(),((f x f d ，即δ<)),((0x x f d ．故对任意+∈N n 有ε<+))(),((01x f x fd n n ，即<++))(),((11ωn n f x f d ε．综上所述，当X y ω∈且1),(δ<y x d 时，对任意+∈N n 有ε<))(),((y f x f d n n ，故x 是系统),,(f d X ω等度连续点．证毕．定理5设),,(f d X 为拓扑动力系统，)2,,2(f X ρ为其诱导的超空间动力系统，如果)2,,2(f X ρ存在等度连续点，则),,(f d X 存在等度连续点．证明设{}x 是系统)2,,2(f X ρ等度连续点，则对于任给0>ε，存在0>δ，使得当X F 2∈且δρ<)},({F x 时，对任意的+∈N n 有ερ<))()2(}),({)2((F x n f n f ，即ερ<))(}),({(F f x f n n ．任取X y ∈，若δ<),(y x d ，则δρ<}){},({y x ．从而对任意+∈N n 有ερ<}){},{(y f x f n n ，根据引理1可知，ε2))(),((<y f x f d n n ．故x 是系统),,(f d X 等度连续点．证毕．参考文献：[1]Roman-Flores H ．A note o n transitivity in set-valued discrete sy stems[J]．Chaos So litons and Fractals ，2003，17（1）：99-104．[2]Fedeli A ．On chaotic set-valued discrete dynamical systems[J]．Chaos Solitons and Fractals ，2005，23（4）：1381-1384．[3]Gu Rongbao ．Kato ’s chaos in set-valued discrete systems[J]．Chaos Solitons and Fractals ，2007，31（3）：765-771．[4]Jose S ，Canovas Pena ，Gabriel S L ．Topological entropy for induced hyperspace maps[J]．Chaos Solitons and Fractals ，2006，28（4）：979-982．[5]Wang Yangeng ，Wei Guo ，Campbell W H ．Sensitive dependence on initial conditions betw een dynamical systems and their hyperspace dynamical systems[J]．Topology and its Applications ，2009，156（4）：803-811．[6]Wang Yangeng ，Wei Guo ．Characterizing mixing ，w eak mixing and transitivity ofinduced hyperspace dynamical systems[J]．Topology and its Applications ，2005，155（1）：56-68．[7]Wang Yanggeng ，Wei Guo ，Campbell W H ．A framework of induced hyperspace dynamical systems equipped w ith hit-or-miss topology[J]．Chaos Solitons and Fractals ，2009，41（4）：1708-1717．[8]叶向东，黄文，邵松．拓扑动力系统概论[M]．北京：科学出版社，2008：120．[]R ．G T y[M]．W z ：B W N ，．9Engelking eneral opolog ars awa Polska iblioteka irtualna auki 197746高师理科学刊第30卷Stability f or some hyperspaces dynamical systemM IAO Xiao -qian（Department of Mathematics ，Northwest University ，Xi'an 710127，C hina ）Abstract ：Studied the relations between the to polog y dynamical sy stem ),,(f d X and its induced hyperspace dynamical system ()fX 2,,2ρon equico ntinuity w hen the base space ),(d X is locally co mpact and seco ndcountable metric space ．So me new conclusion was obtained ．Key w ords ：hy perspace dy namical system ；equicontinuity ；equicontinuity po int结合数学实验的高职数学教学改革陈燕燕数学实验，概括地说是一种以实际问题为载体，以计算机为工具，以数学软件为平台，以学生为主体，借助教师辅导而完成的数学实验活动[1-2]．结合数学实验，利用与专业结合的具体实例与数学软件的应用，着重培养学生淡化理论的推导和繁杂的运算，运用数学的思想、方法解决实际问题的能力．1借助数学软件，让学生在繁杂的计算中解放出来在教学改革中，要注意减轻学生在数学运算方面的负担，引导学生把更大的精力投入到数学概念的理解和运用中，重点向学生介绍数学软件（如Matlab ），并根据教学的进度，在教给学生简单的基本运算的同时，安排基础实验，把繁杂的数学运算交给计算机来做．2融入数学实验，优化整合教学内容考虑到数学的严谨性特点，仍保持数学教学原有的体系和结构，在总课时数不变的前提下，删减掉繁杂计算和艰深理论推导．在相关的章节中引入数学实验的内容，突出重点，结合专业实例对蕴涵重要数学思想的数学概念进行详细的讲解．例如：在经济数学课程中讲授定积分的概念时，可以先引导学生发现身边的收入不平等现象，让学生谈谈自己的观点和感受，之后顺其自然地引入经济学中描述国民收入不平等现象的劳伦茨曲线和基尼系数，最后再引入可以用来计算基尼系数的数学概念——定积分．结合具体的专业实例，大大地激发了学生的学习兴趣，培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力．3利用数学实验，让抽象的数学生动化数学是一门高度抽象、逻辑严密的学科，数学中有许多概念和公式利用传统的教学方法很难将问题的来龙去脉讲清楚，利用数学实验辅助教学可以使学生自己动手来“做数学”，使抽象的数学概念变得形象、直观．例如：学习“第二个重要极限”时，可让学生动手做如下实验：要求学生利用数学软件计算当n 逐步增大时n n)/11(+的值，并让学生绘制x x y )/11(+=的图形，从具体的数值和直观的图形中学生可以自行归纳得出e )/11(lim =+∞→x x x ．4利用数学实验，加强学生应用数学的能力在课程的最后部分，可以根据不同专业，深入挖掘具有专业背景的综合实验．首先，根据学生的具体情况将整个班分为若干个小组，然后根据“循序渐进，由浅入深”的教学原则，让学生在教师的指导下以小组的形式独立完成具有专业背景的数学实验．同样以经济数学课程为例，可以根据学生的学习情况选取经济学中的投入产出问题、连续复利问题、最佳销售策略等数学实验．通过与专业结合的数学实验，不仅可以培养学生运用数学知识解决专业知识的能力，还可以激发学生动手、动脑的热情，在数学课程中注入学习的原动力，培养学生的团队合作精神，一改过去传统教学模式中单调、沉闷的局面．最后，在教学改革中还应注意：（1）在教学过程中要坚持实验教学为理论教学服务的原则，结合数学实验创新教学内容和教学方法，并正确对待数学软件的应用，避免学生过分地依赖数学软件，而忽视了数学思想方法的学习．（2）在实验教学中要坚持以学生为主体，循序渐进地开展研究性的学习．高职学生的学习基础较为薄弱，在教学中特别要注意实验内容的选取，刚开始时应从最简单的实验入手，培养他们学习的信心和兴趣，再由浅入深，逐步提高．在实验的过程中，教师应遵循“学生为主，教师为辅”的原则，让学生亲自体验问题解决的全过程，教师的辅导只是引导式的，教师不能过分地参与到学生的实验中．（3）根据教学改革的要求，加强课程建设和师资建设．将数学实验融入数学课程的教学，是一项新型的教学改革，教学内容、教学方法、考核方式、配套的教材、课件等都需要不断地去探索和实践．另外，数学实验也对教师提出了更高的要求，要求教师不仅要熟悉计算机应用技术，还必须对所教学生的专业具有更深的了解，尽可能地收集、积累相关的应用案例，以配合教学改革的需要．参考文献：[]华天瑞．数学概念与数学实验[]．大学数学，，（）：5．[]李宏艳，王雅芝．数学实验[M]．北京：清华大学出版社，．（作者单位：广州科技贸易职业学院基础部，广东广州5）1J 200420224-22200711442。

逆极限空间上的移位映射的（几乎）等度连续性和刚性
牛应轩
【期刊名称】《六安师专学报》
【年(卷),期】2000(016)002
【摘要】设Ｘ为昆致度量空间，ｆ：Ｘ→Ｘ为连续映射，σ：ｌｉｍ（Ｘ，ｆ）→ｌｉｍ（Ｘ，ｆ）为移位映射。

本文证明了：（１）如果ｆ为拓扑传递的，即么σ为几乎等度连续的（等度连续的）当且仅当ｆ为几乎等度连续的（等度连续的）。

（２）如果ｆ为满射，那么σ为弱刚笥的（一致刚性的）当且仅当ｆ为弱刚性的（一致刚性的）。

【总页数】3页(P11-13)
【作者】牛应轩
【作者单位】六安师范专科学校数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
【相关文献】
1.双重逆极限空间上移位映射的Li-Yorkeτ混沌 [J], 罗飞
2.双重逆极限空间上移位映射的等度连续性 [J], 刘会彩;谢凤艳
3.双重逆极限空间上移位映射的刚性和几乎等度连续性 [J], 张洁;金渝光
4.逆极限空间上诱导映射的等度连续性与完全混沌 [J], 陈玉;曾凡平;罗智明
5.群作用下逆极限空间上移位映射的G非游荡点与G链回归点 [J], 冀占江
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2017，53（6）1预备知识设X ≠ϕ，P (X )={A :A ⊂X }，P 0(X )=P (X )-ϕ，称P 0(X )为X 上的超空间[1-2]。

设X ,Y ≠ϕ，映射f :X →P 0(Y )，x ∈X ，f (x )∈P 0(Y )称为X 到Y 的对应[1-2]，对B ∈P 0(Y )，记f *(B )={x ∈X :f (x )⊂B }，f *(B )={x ∈X :f (x )⋂B ≠ϕ}。

文中(X,ℑ1)，(Y,ℑ2)表示一般拓扑空间，简记为X,Y 。

U x 表示x 的开邻域集，A -，A °∘与A ′分别表示集合A 的闭包，内部与补集。

定义1.1[2]设X,Y,Z 是拓扑空间，f :X →P 0(Y )与g :Y →P 0(Z )是对应，(g ∘f )(x )=g (f (x ))=⋃{g (y )|y ∈f (x )}，对∀x ∈X ，定义的从X 到Z 的对应g ∘f 称为f 与g 的复合。

定理1.1设X,Y,Z 是拓扑空间，f :X →P 0(Y )与g :Y →P 0(Z )是对应，B ∈P 0(Z )，则(g ∘f )*(B )=f *(g *(B ))和(g ∘f )*(B )=f *(g *(B ))。

2超空间上几种连续对应间的关系定义2.1设(X,ℑ1)是拓扑空间，如果∀x ∈X ，对x 的任意正则开邻域U ，存在x 的正则开邻域V 使得V -⊂U ，则称拓扑空间X 是几乎正则空间。

定义2.2设(X,ℑ1)是拓扑空间，如果X 的每个开集的闭包是开集，则称拓扑空间X 是极不连通空间。

定理2.1设(X,ℑ1)，(Y,ℑ2)是拓扑空间，f :X →P 0(Y )是对应，（1）若f 是上（下）半连续[3]，则f 是上（下）几乎连续[4]，进而f 是上（下）弱连续[5]。

（2）若f 是上（下）θ-连续[6]，则f 是上（下）弱δ-连续[7]。

（3）若f 是上（下）几乎强θ-连续[8]，则f 是上（下）δ-连续[9]。

数字图像处理知识点总结第一章导论1.图像：对客观对象的一种相似性的生动性的描述或写真.2.图像分类：按可见性（可见图像、不可见图像），按波段数（单波段、多波段、超波段），按空间坐标和亮度的连续性（模拟和数字)。

3.图像处理：对图像进行一系列操作，以到达预期目的的技术。

4.图像处理三个层次:狭义图像处理、图像分析和图像理解。

5.图像处理五个模块：采集、显示、存储、通信、处理和分析。

第二章数字图像处理的基本概念6.模拟图像的表示：f（x，y)＝i（x,y)×r(x，y），照度分量0< i（x,y）< ∞ ，反射分量0 <r（x,y）〈1.7.图像数字化:将一幅画面转化成计算机能处理的形式——数字图像的过程。

它包括采样和量化两个过程。

像素的位置和灰度就是像素的属性。

8.将空间上连续的图像变换成离散点的操作称为采样。

采样间隔和采样孔径的大小是两个很重要的参数。

采样方式：有缝、无缝和重叠。

9.将像素灰度转换成离散的整数值的过程叫量化。

10.表示像素明暗程度的整数称为像素的灰度级（或灰度值或灰度）。

11.数字图像根据灰度级数的差异可分为:黑白图像、灰度图像和彩色图像。

12.采样间隔对图像质量的影响：一般来说，采样间隔越大，所得图像像素数越少，空间分辨率低，质量差,严重时出现像素呈块状的国际棋盘效应；采样间隔越小，所得图像像素数越多，空间分辨率高，图像质量好，但数据量大。

13.量化等级对图像质量的影响：量化等级越多，所得图像层次越丰富，灰度分辨率高，图像质量好，但数据量大;量化等级越少,图像层次欠丰富，灰度分辨率低，会出现假轮廓现象,图像质量变差，但数据量小.但在极少数情况下对固定图像大小时，减少灰度级能改善质量，产生这种情况的最可能原因是减少灰度级一般会增加图像的对比度。

例如对细节比较丰富的图像数字化.14.数字化器组成：1)采样孔:保证单独观测特定的像素而不受其它部分的影响。

2)图像扫描机构：使采样孔按预先确定的方式在图像上移动。

向量优化问题ε-有效解的Pr性质蒋娅【摘要】在实赋泛线性空间中,研究了有效解与ε-有效解的关系,在一定条件下得出并证明了ε-有效解的一个Pr性质.【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2012(012)012【总页数】2页(P9-10)【关键词】有效解;ε-有效解;Pr性质【作者】蒋娅【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002【正文语种】中文【中图分类】O224向量优化问题的理论研究及应用已有几十年的历史.其中，对各种有效解性质的研究则是最优化理论的一个重要内容［1－4］.由于ε－有效解存在的条件比其它有效解存在的条件要广，建立的数学模型往往更接近实际情况，更有利于通过一些算法来解决许多实际问题.近年来不少学者对向量优化问题中的各种ε－有效解进行了研究，并获得了许多丰富的研究成果［5－8］.文献［5］研究了集值向量优化问题ε－真有效解的拓扑性质，证明了ε－真有效解集的闭性、紧性和连通性.文献［6］讨论了集值向量优化问题－超有效解的性质，给出了ε－超有效解集连通性的证明.本文在实赋泛空间中，研究了有效解与ε－有效解的关系，在一定条件下得出并证明了ε－有效解的一个Pr性质.1 基本概念及引理设是一个实赋范线性空间，D⊂Y为非空子集.如果λD⊂D，∀λ＞0，则称D为一个锥;如果D为锥且是凸的，则称D为一个凸锥;如果D为锥且D∩{－D}={0}，则称D为一个点锥.在本文中，总假设设X、Y是两个实赋范线性空间，M⊂X，M≠Φ，N⊂Y是Y的一个闭凸点锥.锥N在Y中建立如下偏序关系:∀y1，y2∈Y，y1≤y2⇔y2－y1∈N.用y1≤≠y2表示y2－y1∉N.设f:X→Y是一个向量值函数，考虑如下向量优化问题(VOP):定义1.1［1］点x0∈M称为(VOP)的有效解，记为x0∈Min(f，M)，如果不存在x∈M使得f(x)－f(x0)∈－N\{0}.定义1.2［1］设ε∈N.点x0∈M称为(VOP)的ε－有效解，记为x0∈Minε(f，M)，如果不存在x∈M使得f(x)－f(x0)+ε∈－N\{0}.定义1.3［1］称x0∈M满足Pr性质，如果对∀ε∈N\{0}，∃δ＞0，使得f－1(B(f(x0)，δ))∩M⊂Ming(f，M)，这里 B(f(x0)，δ)表示以 f(x0)为中心，δ＞0为半径的开球.f－1表示f的逆映射.定义 1.4［1］称f在x0∈M满足条件(P)，如果存在充分小的λ＞0，使得∀f(x)∈B(f(x0)，λ)∩f(M)，有f－1(f(x))=x0.定义1.5设F→2Y:X是一个集值映射.(1)∀x0∈X，称F在点x0上半连续，如果对{xn}⊂X，xn→x0，{yn}⊂Y，yn∈F(xn)，且yn→y0总有y0∈F(x0).(2)∀x0∈X，称F在点x0附近是一致紧的，如果存在x0的一个领域U，使得是紧的，其中，为的闭包.2 主要结论定理 2 .1Min(f，M)⊂Minε(f，M)证明:∀x0∈Min(f，M)，由定义知，不存在x ∈M 使得反证.若 x 0∉Minε(f，M)，则存在x∈M使得f(x)－f(x0)+ε∈－N\{0}.注意到ε∈N，又－N是闭凸锥，所以有即x∈M使得f(x)－f(x0)∈－N\{0}.这与x0∈Min(f，M)矛盾.所以x 0∈Minε(f，M).从而 M in(f，M)⊂Minε(f，M).注2.1:记f(x0)为f在x0点的函数值，由定义1.2知，对∀x0∈Minε(f，M)，有定理2.2设F:Y→2Y是一个集值映射，且F(y)=(y－N)∩f(M).如果F在点f(x0)上半连续且在点f(x0)是一致紧的，若x0∈Min(f，M)，则x0∈M满足Pr性质.证明:一方面，若f(x0)是f(M)的孤立点，那么∃δ＞0，使得 B (f(x0)，δ)∩f(M)={f(x0)}.由于f满足条件(P)，因此有这表明x0满足Pr性质.另一方面，若f(x0)是f(M)的非孤立点.假设x0∈M不满足Pr性质，则∃ε∈N\{0}，使得对取则使得因此以及从而，当n→∞时，有f(xn)→f(x0).由于x n∉Minε(f，M)，因此对每个{xn}⊂M，∃{zn}⊂M，{dn}⊂N\{0}，使得从而∃{f(znk)}⊂{f(zn)}，使得f(znk)→f(x0).又因F在点f(x0)附近是一致紧的，因此∃f(x0)领域U⊂Y，使得是紧集.由 f (xn)→f(x0)可知，∃n0∈N使得结合(1)有因此，又由)的紧性可知，存在f(zn)的收敛子列f(znk)，{f(znk)}收敛于点 y ，y∈Y.使得对∀nk，f(znk)∈F(f(xnk))有f(x nk)→f(x0).又因F在点f(x0)上半连续且x 0∈Min(f，M)，因此，y∈F(f(x0))={f(x0)}.从而有y=f(x0)，定理得证.结合定义1.5和定理2.1可得如下推论:推论2.1设f(M)是紧集，集值映射F(y)=(y－N)∩f(M)在点f(x0)处上半连续且是一致紧的，若x0∈Min(f，M)，则x 0∈M满足Pr性质.参考文献:［1］柴艳飞，邹云志，李军.向量优化问题广义严格有效解的一个性质［J］.西华师范大学学报(自然科学版)，2009，30(3):233－235.［2］周洪波，尹文双.集值映射向量优化问题弱有效解的性质［J］.湖北民族学院学报(自然科学版)，2009，27(2):201－203.［3］W hite D J.Epsilon efficiency ［ J］.J Optim Theory Appl，1986，49(2):319－337.［4］J imenez B.Strict efficiency in vector Optimization［J］.J Math Anal Appl，2002，26(5):264 －284.［5］姚永芳，王引观.集值向量优化问题ε－真有效解的拓扑性质［J］.嘉兴学院学报，2004，16(3):5－8.［6］邵建英.集值向量优化问题－超有效解的性质［J］.应用数学与计算数学学报，2003，17(1):67－72.［7］L oridan P.ε － Solutions in vector minimization problems［J］.J Optim Theory Appl，1984，43(2):265 －276.［8］S trodiot J J，Nguyen V H，Heukemes N.ε－Optimal solutions in nondifferentiable convex programming and some related questions ［J］.Math Program，1983，25(2):307－328.。

关于集值映射连续性的若干反例李赛【摘要】文章给出关于集值映射的若干反例。

包括Housdorff空间中下半连续但不是上半连续的例子；赋范空间中，ε上半连续但不是上半连续，下半连续但不是ε下半连续的例子。

通过这些反例，能清楚地知道单值映射与集值映射连续性的差异。

了解这些差异，有助于把单值映射的重要性质推广到集值映射。

这些例子是首次给出的。

%This paper gives some counter examples about set-valued mappings. Including the examples of low⁃er semi-continuous set-valued mappings that is not upper semi-continuous in Housdorff space and ε-up⁃per semi-continuous set-valued mappings that is not upper semi-continuous in normed space and lower semi-continuous set-valued mappings tha t is not ε-lower semi-continuous in normed space. We can know the difference between the single-valued mappins and the set-valued mappings through these counter exam⁃ples. It contributes to extend preperties of the single-valued mappings to the set-valued mappings. These ex⁃amples are given in this paper for the first time.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】4页(P26-29)【关键词】集值映射;上半连续;下半连续;ε上半连续;ε下半连续【作者】李赛【作者单位】南京财经大学应用数学系，江苏南京 210046【正文语种】中文【中图分类】O177.91关于单值映射的连续性，有如下结果［1］：若X，Y是Housdorff拓扑空间，f:X→Y是单值映射，则 f在x0点连续等价于以下2条陈述之一：（1）对 f(x0)的任何邻域，存在x0的邻域，使得；（2）对 f(x0)的任何邻域，存在x0的邻域，使对任何.对于集值映射F:X→Y，x0∈X，上述2条陈述变成如下形式：（3）对F(x0)的任何邻域，存在x0的邻域，使得；（4）对任何y∈F(x0)及y的任何邻域Uy，存在x0的邻域，使对任何.对于单值映射的情形，（1）和（2）是等价的.但是对于（多值）集值映射而言，（3）、（4）不再等价.在文献［2-7］中，已经讨论集值映射连续性的一些性质.本文主要关注集值映射上半连续，下半连续，ε上半连续，ε下半连续的差异.首先，引用集值映射连续性的若干定义.定义1 设X，Y是Housdorff空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对，对于，则称F(x)在x0点上半连续.定义2 设X，Y是Housdorff空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对于，使得对于∀x∈Ux0，F(x)⋂Uy≠∅，则称F(x)在x0点下半连续.定义3 设X，Y是Housdorff空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果F在x0点既是上半连续也是下半连续，则称F在x0点连续.若F在X中的每一点连续，则称F在X中连续.定义4 设X，Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对于∀ε＞0，∃δ＞0，当‖x- x0‖＜δ时，∀y∈F(x)，∃y0∈F(x0)，使得‖y- y0‖＜ε，则称F在x0点ε上半连续.定义5 设 X，Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对于∀ε＞0，∃δ＞0，∀x，‖x- x0‖＜δ，∀y0∈F(x0)，∃y∈F(x)，使得‖y- y0‖＜ε，则称F在x0点ε下半连续.定义 6 设X,Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果F在x0既是ε上半连续也是ε下半连续，则称F在x0点ε连续.如果F在X中的每一点连续，则称F 在X中ε连续.上面定义中的Uα表示的都是α的邻域.关于上半连续与ε上半连续，下半连续与ε下半连续，已知有如下关系成立：设X，Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，有（5）如果F在x0点上半连续，则F在x0点ε上半连续，反过来不一定成立；（6）如果F在x0点ε下半连续，则F在x0点下半连续，反过来不一定成立；（7）如果F(x0)是紧的，则F在x0点上半连续当且仅当F在x0点ε上半连续. F在x0点下半连续当且仅当F在x0点ε下半连续.下面的例子中，ℤ表示的是整数的集合.【相关文献】［1］张从军.集值分析与经济应用［M］.北京：科学出版社，2004:88-105.［2］朱继生.集值映射的连续性［J］.数学年刊，1984，6：733-737.［3］夏顺友，向淑文.锥度量半连续集值映射的连续性［J］.辽宁工程技术大学学报（自然科学版），2013，32（1）：119-122.［4］杨卓程.集值映射的两种连续性［J］.黑龙江大学自然科学学报，1982（1）：45-48. ［5］沙秋英.集值映射的两种弱连续性［J］.黑龙江大学自然科学学报，1991（1）：30-34. ［6］林一星.集值映射的可测性与连续性［J］.数学的实践与认识，2014，44（1）：236-243.［7］王宝玲，辛玉梅.集值映射的伪（*）连续与弱（*）连续性［J］.应用数学，2000（1）：19-22.［8］KELLY J L.General toplogy［M］.New York：Springer，1955:84-100.［9］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京：高等教育出版社，2010:42-50.。