集合间的关系-相等子集真子集教案

集合的根本运算教案高一数学——集合第三讲集合的根本运算【教学目的】：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

【重点难点】：1.重点：集合的交集与并集、补集的概念2.难点: 集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“如何样做”【教学过程】：器具：一、复习1、集合间的根本关系：子集、真子集、相等、空集2、作业讲评二、新授（1）知识导向或者情景引入我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进展加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？（2）并集1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？2、调查集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={1,2,3,4}之间的关系在上述两个例子中，集合A，B与集合C之间都具有如此的一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的。

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union），记作：A∪B ，读作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示如上图。

说明：两个集合求并集，结果仍然一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题1：｛1,2,3,6｝∪｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．例题2：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.那么A∪B={a,b,c,d,e,f}例题3：教材例5（3）交集征询题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（V enn图中两个集合相交的部分）还应是我们所关心的，征询题1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？A B征询题2、调查集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.上面两个征询题中，集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的。

高中数学集合复习教案一、教学目标1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法（列举法、描述法）。

2. 掌握集合之间的关系（子集、真子集、补集、集合相等）。

3. 理解集合的基本运算（并集、交集、对称差集）。

4. 能够运用集合的知识解决实际问题。

二、教学内容1. 集合的概念与表示方法集合的定义列举法与描述法2. 集合之间的关系子集、真子集补集集合相等3. 集合的基本运算并集、交集、对称差集的定义与性质运算规律4. 集合的实际应用列举实际问题，运用集合知识解决5. 复习巩固与拓展探讨集合的拓展问题三、教学重点与难点1. 重点：集合的概念、表示方法，集合之间的关系，集合的基本运算。

2. 难点：理解集合的抽象概念，掌握集合的运算规律。

四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解集合的概念、表示方法、关系与运算。

2. 利用例题，引导学生运用集合知识解决实际问题。

3. 采用互动讨论法，鼓励学生提问、交流、探讨。

五、教学过程1. 导入：复习集合的概念，引导学生回顾已学的集合知识。

2. 讲解：详细讲解集合的表示方法、关系与基本运算。

3. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

4. 应用：列举实际问题，引导学生运用集合知识解决。

6. 拓展：探讨集合的拓展问题，激发学生的学习兴趣。

7. 作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对集合概念、表示方法、关系与运算的理解程度。

2. 练习题：评价学生运用集合知识解决问题的能力。

3. 实际应用：评价学生在实际问题中运用集合知识的灵活性。

4. 课堂讨论：评价学生的参与程度、思考深度。

七、教学策略1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，满足不同学生的学习需求。

2. 利用多媒体教学，直观展示集合的图形，帮助学生理解抽象概念。

3. 创设有趣的实际问题，激发学生的学习兴趣。

4. 鼓励学生提问、交流，提高学生的思考能力。

八、教学资源1. 教材：高中数学教材，用于引导学生学习。

教学过程一、复习预习复习集合的定义、分类、表示方法、集合与元素的关系，预习集合间的关系.二、知识讲解1. 集合相等的概念若集合A 中元素与集合B 中的元素完全相同，则称集合A=B等价定义：若B A A B B A =⊆⊆则,,特别的，φφ=2. 子集与真子集的概念子集的概念：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A)真子集的概念：若A 为B 的子集,且A ≠B,则称A 为B 的真子集，记作B A ≠⊂ 注：A ⊆φ考点1集合相等的证明方法若B A A B B A =⊆⊆则,,特别的，φφ=考点2子集与真子集的应用解题（1）A ⊆φ（2）子集与真子集的区别考点3子集和真子集的个数问题若集合A中的元素的个数为n，则其子集个数为n2个2 n个真子集个数为1三、例题精析【例题1】【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．是否存在实数a使得M∩N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a【解析】∵M∩N=M∴M⊆N，∴，解得a∈∅，故不存在.【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．是否存在实数a使得M∪N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a．【解析】∵M∪N=M∴N⊆M①当N=∅时，即a+1>2a﹣1，有a<2；②当N≠∅，则，解得2≤a<3，）综合①②得a的取值范围为a<3【题干】满足{－1,0}M⊆{－1,0,1,2,3}的集合M的个数是( )A．4个B．6 个C．7个D．8个答案：C【解析】依题意知集合M除含有元素－1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个．因而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，故有23－1＝7个．故选C.四、课堂运用【基础】1. 已知集合A＝{－1,1}，B{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( )A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案：D解析:当a=1,-1时显然成立，当a=0时，B=∅也成立，所以选D2. 设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是( ) A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2答案：A解析：.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2，故选A【巩固】1.集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________答案：4解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个2. 定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于( )A．A B．B C．{2} D．{1,7,9}答案：D解析：从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D【拔高】已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值解析：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解． ②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.新课标第一网∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.课程小结1.集合相等的概念与应用2.子集的概念与应用3.真子集的概念与应用课后作业【基础】1. 设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为_______答案：BA 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ， 故BA .2. 设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为_______答案：－1或2解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2【巩固】1.已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________答案：{a|a＞5或a≤－5}解析：作出数轴可得，要使A B，则必须a＋4≤－1或a＞5，解之得{a|a＞5或a≤－5}2. 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解析：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.【拔高】1. 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解析： A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.2.记关于x 的不等式x －a x ＋1<0的解集为P ，不等式||x －1≤1的解集为Q . (1)若a ＝3，求P ； (2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围．解析：(1)由x －3x ＋1<0，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <3. (2)Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ ||x －1≤1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0≤x ≤2. 由a >0，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <a ，又Q ⊆P ，所以a >2， 即a 的取值范围是(2，＋∞)．。

集合间的基本关系1．子集的概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“”(或“”)．2．Venn图用平面上曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念(1)集合相等：如果，就说集合A与B相等；(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素，称集合A是集合B的真子集．记作：A⊆B(或B A)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．4．空集(1)定义：的集合叫做空集．(2)用符号表示为： .(3)规定：空集是任何集合的．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么.问题情境：已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一集合与集合之间的“包含”关系问题1观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；(3)A＝N，B＝R；(4)A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}．问题2如何运用数学语言准确表达问题1中两个集合的关系？问题3类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的符号之间有什么类似之处？问题4集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？小结用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A⊆B(或B⊇A)，如下图所示．例1观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．(2)A＝{正方形}，B＝{四边形}．(3)A＝{育才中学高一(11)班的学生}，B＝{育才中学高一年级的学生}．小结在判断两个集合的关系时，对于用描述法表示的集合，一般要变成用列举法来表示，使集合中的元素特征清晰地呈现出来，便于讨论集合间的包含关系．探究点二集合与集合之间的“相等”关系问题1观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；(2)C ＝{2,4,6}，D ＝{6,4,2}．问题2 与实数中的结论“若a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b ”相类比，在集合中，你能得出什么结论？小结 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．用子集概念对两个集合的相等可描述为：如果A ⊆B 且B ⊆A ，则A ，B 中的元素是一样的，因此A ＝B ，即A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B B ⊆A .问题3 用Venn 图怎样表示两个集合相等的关系？例2 已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}．若 A ＝B ，求实数c 的值．小结抓住集合相等的含义，分情况进行讨论，同时要注意检验所得的结果是否满足元素的互异性．探究点三真子集、空集的概念问题1集合A是集合B的真子集的含义是什么？问题2空集是怎么定义的？空集用什么符号表示？空集有怎样的性质？问题3集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？问题40，{0}与∅三者之间有什么关系？问题5包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A的意义有什么区别？问题6对于集合A，A⊆A正确吗？对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么集合A与C有什么关系？例3写出满足{1,2}⊊A⊆{1,2,3,4,5}的所有集合A共有多少个？小结(1)求集合的子集问题，应按集合中所含元素的个数分类依次书写，以免出现重复或遗漏．(2)此题中“求集合A的个数”，等价于求集合{3,4,5}的非空子集个数。

集合的基本关系教案一、教学目标1. 掌握基本集合概念，如空集、全集、子集、真子集等。

2. 理解并能应用集合的基本关系，如相等、包含、交集、并集、差集等。

3. 能够运用集合的基本关系解决实际问题。

二、教学重点1. 学生能够准确理解和应用集合的基本概念。

2. 学生能够掌握集合的基本关系并能灵活运用。

三、教学难点1. 学生能够灵活运用集合的基本关系解决实际问题。

四、教学过程（一）导入1. 引入思考：学生们是否听过集合的概念？他们对集合有什么了解？2. 提问：如果有一个集合A，它包含元素1、2、3，我们该怎么表示集合A？（二）概念讲解1. 定义集合：集合就是由一些确定的对象构成的整体。

用大写字母A、B、C等表示集合。

2. 集合的元素：构成集合的每一个对象叫做集合的元素。

3. 集合的表示方法：列举法和描述法。

4. 集合的分类：空集、有限集、无限集。

5. 特殊集合：全集、自然数集、整数集、有理数集、实数集。

（三）基本关系讲解1. 相等关系：两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等。

2. 包含关系：如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A包含集合B，记作A⊆B。

3. 真包含关系：如果一个集合A包含另一个集合B，且A≠B，则称集合A真包含集合B，记作A⊂B。

4. 交集：两个集合A和B的交集，是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。

5. 并集：两个集合A和B的并集，是指属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B。

6. 差集：给定两个集合A和B，称A中与B中的元素不同的元素组成的集合为A与B的差集，记作A-B。

7. 补集：假设全集为U，给定集合A，A在全集U中的补集是指U中不属于A的元素组成的集合，记作A'。

（四）课堂练习1. 练习1：已知集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，求A∩B、A∪B、A-B。

2. 练习2：已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,2,3,4,5}，求A'。

集合间的基本关系示范教案一、教学目标1. 让学生理解集合间的基本关系，包括子集、真子集、非空子集、超集等概念。

2. 培养学生运用集合间的基本关系解决实际问题的能力。

3. 提高学生对集合论的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 集合间的基本关系概念讲解。

2. 集合间基本关系的图示演示。

3. 集合间基本关系的应用举例。

三、教学重点与难点1. 重点：集合间的基本关系概念及运用。

2. 难点：理解真子集、非空子集等概念。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解集合间的基本关系。

2. 利用图示法直观展示集合间的基本关系。

3. 通过举例法引导学生运用集合间的基本关系解决问题。

五、教学准备1. 教案、PPT及相关教学资料。

2. 教学黑板、粉笔。

3. 练习题及答案。

一、集合间的基本关系概述1. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，这个集合就是另一个集合的子集。

2. 真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，这个集合就是另一个集合的真子集。

3. 非空子集：如果一个集合的子集中包含至少一个元素，这个子集就是非空子集。

4. 超集：如果一个集合包含另一个集合的所有元素，这个集合就是另一个集合的超集。

二、集合间基本关系的图示演示1. 通过图示展示子集、真子集、非空子集、超集等概念。

2. 让学生直观理解集合间的基本关系。

三、集合间基本关系的应用举例1. 举例说明集合间基本关系在实际问题中的应用。

2. 引导学生运用集合间的基本关系解决问题。

四、真子集与非空子集的判断1. 讲解如何判断一个集合是否为真子集。

2. 讲解如何判断一个集合是否为非空子集。

五、练习与巩固1. 布置练习题，让学生巩固所学内容。

2. 批改作业，及时反馈学生学习情况。

六、集合的相等关系1. 定义：如果两个集合包含相同的元素，则这两个集合相等。

2. 性质：集合的相等关系是一种对称关系和传递关系。

3. 举例：解释并展示几个集合相等的情况。

集合之间的关系(子集篇一：集合之间的关系教案1.2集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【学习要求】1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念．2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系．3.会求已知集合的子集、真子集．4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来．【学法指导】通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.填一填：知识要点、记下疑难点1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“A包含于B”，或“B包含A”．2.子集的性质：①A?A(任意一个集合A都是它本身的子集)；②??A(空集是任意一个集合的子集)．3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B (或BA)，读作“A真包含于B ”，或“B真包含A ”．4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图.5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A＝B .用数学语言表示为：如果A?B ，且B?A ，那么A＝B .6.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x) .反之，如果p(x)?q(x)，则A?B研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是ab，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一子集与真子集的概念导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合：(1)A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．问题1 哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述法？答：集合A，B的表示是用列举法；集合C，D，P，Q的表示是用描述法．问题2 这三组集合每组彼此之间有何关系？答：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素，集合Q中的任意一个元素都是集合P的元素．小结：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A?B或B?A，读作：A 包含于B或B包含A.问题3 类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处？答：在实数中如果a大于或等于b，则a，b的关系可表示为a ≥b或b≤a；在集合中如果集合A是集合B的子集，则A，B的关系可表示为A?B(或B?A)．所以这是它们的相似之处．问题4 在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示？答：集合P不包含于Q，或Q不包含P，分别记作P Q或QP.问题5 空集与任意一个集合A有什么关系，集合A与它本身有什么关系？答：(1)空集是任意一个集合的子集；(2)任何一个集合A是它本身的子集．问题6 对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C 有什么关系？答：A与C的关系为A?C.问题7 “导引”中集合A中的元素都是集合B的元素，集合B 中的元素不都是集合A的元素，我们说集合A是集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？答：如果说集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．问题8 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？1 / 3答：能．我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．问题9 如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？答：如图所示：例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：为了一个不漏地写出集合A＝{1,2,3}的所有子集，可以分类写，即空集，含一个元素的子集，含两个元素的子集，含三个元素的子集．解：集合A的所有子集是：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．3小结：集合A＝{1,2,3}中有三个元素，其子集的个数为8个，即2个，事实上，如果一个集合含有n个元素，则它的子集个数为2个．跟踪训练1 写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．探究点二集合的相等问题1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)集合C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；(2)集合C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}；(3)集合A＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，B＝{－1，－2}．答：可以看出每组的两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同．问题2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？答：若A?B，且B?A，则A＝B.小结：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.即：如果A?B，且B?A，那么A＝B.例2 说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；2(2)P＝{x|x＝1}，Q＝{x||x|＝1}；(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．解(1)B A；(2)P＝Q；(3)C D.小结：在两个集合A，B的关系中，有一个集合是另一个集合的“子集”；或一个集合是另一个集合的“真子集”；或两个集合“相等”；另外还可能有“集合A不包含于B”或“集合B不包含于A”．跟踪训练2 用适当的符号(∈，?)填空：(1)0______{0}；0______?；?______{0}；22(2)?______{x|x＋1＝0，x∈R}；{0}______{x|x＋1＝0，x∈R}；(3)设A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x|x ＝4k±1，k∈Z}，则A______B______C. 解析(1)0∈{0},0??，?{0}；22(2)?＝{x|x＋1＝0，x∈R}，{0}{x|x＋1＝0，x∈R}；(3)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C.探究点三集合关系与其特征性质之间的关系问题1 已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．答：集合A是集合B的子集，例如Q＝{x|x是有理数}，P＝{x|x 是实数}，易知Q?P，也容易判断命题“如果x是有理数，则x是实数”是正确命题．这个命题还可以表述为：x是有理数?x是实数，符号“?”表示推出．小结：一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x)．反之，如果p(x)?q(x)，则A?B.问题2 如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”都是正确的命题，那么怎样表示p(x)，q(x)的关系？答：p(x)?q(x)，符号“?”表示相互推出．例3 判定下列集合A与集合B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1)因为x是12的约数?x是36的约数，所以A?B；2 / 3n(2)因为x>5?x>3，所以B?A；(3)因为x是矩形?x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.小结：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．跟踪训练3 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(1)A＝{n|n＝2k＋1，k∈Z}和B＝{m|m＝2l－1，l∈Z}；**(2)C＝{n|n＝2k＋1，k∈N}和D＝{m|m＝2l－1，l∈N}．解(1)当k∈Z，l∈Z时，n＝2k＋1?m＝2l－1，所以A＝B；**(2)当k∈N，l∈N时，n＝2k＋1?m＝2l－1，所以C?D.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?.其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：由于任何集合都是它本身的子集，故①错；空集只有一个子集就是它本身，故②错；空集是任何非空集合的真子集，故③错；2.满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是( )A．3 B．6C．7 D．8解析：M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．若集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x，y分别等于__________．???2x＝7?2x＝4?解：由集合相等的定义得或?，?x＋y＝4?x＋y ＝7??7x＝??2∴?1y＝??2舍?x＝2?或???y＝5 .∴x，y的值分别是2,5.4.观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．(4)A＝{育才中学高一(11)班的女生}，B＝{育才中学高一(11)班的学生}．解：通过观察就会发现，这四组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有A?B.课堂小结：1.能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合．2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．4.注意区分“∈”与“?”的不同涵义.3 / 3篇二：集合间的基本关系知识点集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。

集合间的基本关系教案教学目标：1. 了解并理解集合间的基本关系，包括子集、真子集、超集、幂集的概念。

2. 能够判断集合之间的包含关系，并能运用集合间的基本关系解决实际问题。

3. 提高逻辑思维能力和数学表达能力。

教学内容：1. 集合间的基本关系2. 子集、真子集、超集的概念及判断3. 幂集的概念及判断4. 集合间的基本运算5. 实际问题中的应用教学重点：1. 集合间的基本关系的理解2. 子集、真子集、超集、幂集的判断3. 集合间的基本运算的应用教学难点：1. 幂集的概念及判断2. 集合间的基本运算的运用教学准备：1. 教学课件或黑板2. 教学素材（如集合卡片、实例等）教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入集合的概念，复习集合的基本运算（并集、交集、补集）。

2. 提问：我们已经学习了集合的基本运算，集合之间还有哪些基本关系呢？二、子集、真子集、超集（10分钟）1. 介绍子集的概念，讲解子集的定义及判断方法。

2. 举例说明如何判断一个集合是否是另一个集合的子集。

3. 引入真子集的概念，讲解真子集的定义及判断方法。

4. 举例说明如何判断一个集合是否是另一个集合的真子集。

5. 介绍超集的概念，讲解超集的定义及判断方法。

6. 举例说明如何判断一个集合是否是另一个集合的超集。

三、幂集（10分钟）1. 介绍幂集的概念，讲解幂集的定义及判断方法。

2. 举例说明如何求一个集合的幂集。

3. 讲解幂集的性质及运算规律。

四、集合间的基本运算（10分钟）1. 复习集合的基本运算（并集、交集、补集）。

2. 讲解集合间的基本运算的运用，如求集合的并集、交集、补集等。

3. 举例说明如何运用集合间的基本运算解决实际问题。

五、实际问题中的应用（10分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用集合间的基本关系和基本运算解决。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为集合间的基本关系和基本运算问题。

3. 讲解解题思路和方法，并进行解答。

教学反思：本节课通过讲解集合间的基本关系，让学生了解并理解子集、真子集、超集、幂集的概念及判断方法，能够判断集合之间的包含关系，并能运用集合间的基本关系解决实际问题。

集合间的基本关系教案教学目标：1. 了解并掌握集合间的四种基本关系：子集、真子集、非子集、相等。

2. 能够运用集合间的四种基本关系解决实际问题。

3. 理解集合间的基本关系在数学及其它领域的重要性。

教学内容：一、集合间的基本关系概述1. 引入集合的概念，引导学生回顾集合的基本定义。

2. 介绍集合间的四种基本关系：子集、真子集、非子集、相等。

二、子集与真子集1. 讲解子集的定义，举例说明子集的概念。

2. 引导学生理解真子集的概念，即除去集合本身外的子集。

3. 通过例题，让学生掌握判断子集和真子集的方法。

三、非子集1. 讲解非子集的定义，即一个集合不是另一个集合的子集。

2. 通过例题，让学生理解非子集的概念，并掌握判断非子集的方法。

四、相等1. 讲解集合相等的定义，即两个集合包含的元素完全相同。

2. 通过例题，让学生理解集合相等的概念，并掌握判断集合相等的方法。

五、集合间基本关系的应用1. 引导学生运用集合间的四种基本关系解决实际问题。

2. 通过例题，让学生学会运用集合间的基本关系分析问题和解决问题。

教学方法：1. 采用讲解法，明确集合间基本关系的定义和概念。

2. 运用例题，让学生通过实践掌握集合间基本关系的判断方法。

3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对集合间基本关系的理解和掌握程度。

2. 通过课后作业，检验学生运用集合间基本关系解决问题的能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习效果进行综合评价。

六、集合的幂集1. 引入幂集的概念，讲解幂集的定义。

2. 通过图示和例题，让学生理解幂集的概念，并掌握求解幂集的方法。

七、集合的笛卡尔积1. 讲解笛卡尔积的概念，引导学生理解笛卡尔积的定义。

2. 通过例题，让学生掌握求解集合的笛卡尔积的方法。

3. 引导学生运用笛卡尔积解决实际问题，如排列组合问题。

八、集合的包含关系与维恩图1. 讲解集合的包含关系的概念，引导学生理解包含关系的含义。