《1.4.3 含有一个量词的命题的否定》PPT课件(贵州省省级优课)

解答
(3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3. 解 命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”. 当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
解答
类型三 含量词命题的综合应用 例 3 已知命题 p：“至少存在一个实数 x0∈[1,2]，使不等式 x20＋2ax0＋2 －a>0 成立”为真，试求参数 a 的取值范围. 解 由得綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立， 所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则ff21≤≤00，， 所以41＋＋42aa＋＋22－－aa≤≤00，， 解得 a≤－3， 因为綈p为假，所以a>－3， 即a的取值范围是(－3，＋∞).
解 綈 p：存在实数 x0，使得 x20＋1<0.
解答
类型二 特称命题的否认 例2 写出以下特称命题的否认，并判断其否认的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20－2x0－3＝0； 解 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2)p：有些素数是奇数； 解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假) (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假)
解答
跟踪训练1 写出以下全称命题的否认： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解 綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； 解 綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
解答
跟踪训练 3 已知 p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1 ＝0，且 p∧q 为真，求实数 m 的取值范围.

2．全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x， 证明 p(x)都成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么 这个全称命题就是假命题． (2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个 元素 x0，使 p(x0)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在， 那么这个特称命题就是假命题．
[规律方法]
对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的
全称量词．
(3) 否 定 结 论 ： 原 命 题 中 “ 是 ”“ 有 ”“ 存 在 ”“ 成 立 ” 等 改 为 “ 不
是”“没有”“不存在”“不成立”等．
．
2．存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并 用符号“ ∃ ”表示． (2)含有 存在量词 的命题，叫做特称命题，特称命题“存在 M 中的元 素 x0，使 p(x0)成立”，可用符号简记为“ ∃x0∈M，p(x0) ”．
思考：(1)“一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有实数解”是特称命题还是全 称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0 对任意实数 x 恒成立”是特 称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在 x0∈R，使 ax20＋2x0＋1＝0” (2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．

的命题的否定，首 先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量 词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词， 存在量词改成全称量词，同时否定结论．
跟踪练习1 写出下列全称命题和特称命题的否定． (1)每个二次函数的图象都开口向下； (2)某些平行四边形是菱形． 解：(1)命题的否定：存在一个二次函数的图象开口 不向下． (2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”， 也即“每一个平行四边形都不是菱形”．
易混易错警示
典例 4 已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝21x－m，若对∀x1∈ [－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值 范围是__14_，__＋__∞__.
[错解] 因为 x1∈[－1,3]，所以 f(x1)∈[0,9]， 又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]， g(x2)≤0，即12x2－m≤0， 所以 m≥12x2，x2∈[0,2]， 所以 m≥120，即 m≥1.
5．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平 面内”的否定为 _过__平_面__外__一__点__与__已__知_平__面__平__行__的__直__线_不__都__在__同__一__平__面_内__. 【解析】原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词 改为存在量词．
互动探究解疑 命题方向1 全称命题、特称命题的否定
情景引入
数学命题中出现“全部”“所有”“一切”与“存在 着”“有”“有些”的词语，在逻辑中分别称为全称量 词与存在性量词，由这样的量词构成的命题分别称为全 称命题与特称命题．而他们的否定形式是我们困惑的症 结所在．
新知导学
1．命题的否定 (1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p： ___∃_x_0∈__M__，__¬_p_(_x_0)___，全称命题的否定是__特__称___命题． (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p： ___∀_x_∈__M_，__¬_p_(_x_)__，特称命题的否定是__全__称___命题．

根据真假值，命题可分为真命题和假命 题。真命题是符合实际情况的命题，假 命题是不符合实际情况的命题。
真值表与逻辑运算
真值表定义
真值表是列出命题逻辑中所有可能的真假值组合及其结果的 表格。通过真值表可以直观地了解命题逻辑的性质和规律。
逻辑运算
在命题逻辑中，常用的逻辑运算包括合取（∧）、析取（∨）、 否定（¬）等。这些运算符用于将多个命题组合成复合命题，并 确定其真假值。例如，P∧Q表示P和Q都为真时复合命题为真； P∨Q表示P和Q至少有一个为真时复合命题为真；¬P表示P为假 时复合命题为真。
03 否定操作在逻辑中作用和 意义
否定操作定义及性质
否定操作是对一个命题的真值进行取反的操作，即如果原命题为真，则其否定为假； 如果原命题为假，则其否定为真。
否定操作具有逻辑上的对称性，即对于任意命题P，其否定¬P与原命题P的真值相反。
否定操作遵循逻辑运算的基本规则，如交换律、结合律等。
否定操作在逻辑推理中应用
04 含有一个量词命题否定方 法论述
全称量词命题否定方法
01
对于全称量词命题"对于所有的x， P(x)成立"，其否定形式是"存在一 个x，使得P(x)不成立"。
02
否定方法：将全称量词"对于所有 的"替换为存在量词"存在一个"， 并否定谓词P(x)。
存在量词命题否定方法
对于存在量词命题"存在一个x，使得P(x)成立"，其否定形式是" 对于所有的x，P(x)不成立"。
存在量词命题构成
量词“存在”或“有”
表示论域中至少存在一个元素满足命题函数的命题，如 “存在x属于R，使得x^2 = 2”。

3.对全称命题与特称命题关系的认识 (1)结构关系的认识 全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性 质，无一例外.而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的 对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题 的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. (2)真假性的认识 全称命题的否定与全称命题的真假性相反；特称命题的否定与 特称命题的真假性相反.
【解析】1.选C.“存在”的否定是“任意”，“x＞1”的否定 是“x≤1”. 2.(1) p：任意一个正方形都是矩形，真命题． (2) r x∈R，x2-x+2≤0，假命题． (3) s x∈R，x3＋1≠0，假命题． (4) q: x,y∈N,如果 x y 0，则x=0或y=0，假命题．
至多有一个
存在
至少有两个
任意
【典例训练】 1.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
(A)对任意实数x,都有x＞1 (B)不存在实数x，使x≤1 (C)对任意实数x,都有x≤1 (D)存在实数x,使x≤1
()
2.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p:有的正方形是矩形；
(2)r x0∈R，x02 x0 2 >0; (3)s：至少有一个实数x0，使 x30＋1＝0； (4)q x0,y0∈N,如果 x0 y0 0，则x0=0且y0=0.
2x
2 0
1>0
2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) (A)所有不能被2整除的整数都是偶数 (B)所有能被2整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被2整除的整数是偶数 (D)存在一个能被2整除的整数不是偶数
3.写出下列命题的否定.
(1)所有自然数的平方是正数.
(2)任何实数x都是方程5x-12=0的根.

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拓展提升 分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时 要熟悉常用量词的否定形式．
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【跟踪训练 3】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x>1，log2x>0； (2)p：直线 l⊥平面 α，则对任意 l′⊂平面 α，l⊥l′； (3)p：∀x0>1，使 x02－2x0－3＝0.
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含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或 a<f(x))”为真的问题，实质就是不
等式恒成立问题，通常转化为求函数 f(x)的最大值(或最小值)，即 a>f(x)max(或 a<f(x)min)．
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(3)綈 p：∃x>1，使 x2－2x－3≠0.
∵当 x＝2>1 时，x2－2x－3≠0， ∴綈 p 是真命题．
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探究 4 求参数的取值范围 例 4 已知命题 p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
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【跟踪训练 2】 写出下列特称命题的否定，并判断真假． (1)p：有的一元二次方程有实数根； (2)p：∃x0∈R，sinx0＋π2＝sinx0.

1.4.3含有一个量词的命题的否定
一、复习 全称命题： x M ,px () （1）基本形式： （2）意义：对 任 意 x 属 于 M ， 有 p ( x ) 成 立 （3）真假性的判断：
只要有一个x值不成立，即为假命题
特称命题： （1）基本形式： x M ,p ( x ) 0 0 （2）意义：存 在 x 属 于 M ， 使 p () x 成 立 0 0 （3）真假性的判断： 只要有一个x值成立，即为真命题
四、例题讲解 例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假： （1）p：任意两个等边三角形都是相似的； （2）p：∃x0∈R，x02+2x0+2=0； （3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.
（ 4 ） p ： 对 所 有 的 正 实 数 a ， a 为 正 数 且 a a ;
2 2 （ 5 ） q ： 存 在 一 个 实 数 x ， 使 ( x 1 ) 1 或 x 4 . 解： （1） ﹁p：存在两个等边三角形不相似 这是个假命题 （2） ﹁p： ∀x∈R，x2+2x+2≠0 这是个真命题
（3） ﹁p： 存在实数m，使方程x2+x-m=0没有实根 这是个真命题
（ 4 ） paRa : ， 0 或 aa ；
﹁p是真命题
（ 5 ） q ： x R ， ( x 1 )1 且 x 4 ；
2 2
﹁q是假命题
五、练习 1.命题“不是每个人都会开车”的否定是（ ） A A. 每个人都会开车 B. 所有人都不会开车 C. 有些人会开车 D. 存在一个人不会开车
二、练习 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： （1）p：1不是负数； ﹁p：1是负数 假 （2）p：所有的正数都是偶数； ﹁p：所有的正数不都是偶数 真 （3）p：至少有一个三角形是锐角三角形； ﹁p：没有一个三角形是锐角三角形 （4）p：p既大于3又小于4； ﹁p：p不大于3或不小于4 假 （5）p：至多有一个自然数不是正数； ﹁p：至少有两个自然数不是正数 假 假

(2) 每一个素数都是奇数;
(3) ∀x∈R, x² -2x+1≥0.
这些命题和它们的否定在形式 上有什么变化?
以上三个命题都是全称命题,即具有形式 “∀x∈M,p(x)”其中命题(1)的否定是“并非所有 的矩形都是平行四边形”, 也就是说,
存在一个矩形不是平行四边形;
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”, 也就是说,
关键量词的否定
是 词语 的否 定 词语 词语 的否 定 相等 是 都是 大于 小于 且
不等
不是
不都是 小于或等于
大于或等于
或
必有一 个
一个也 没有
至少有 n个
至多 有n-1 个
至多有 一个
至少有 两个
所有x成立
所有x不 成立
存在有一 个x成立
存在一个x 不成立
练习：1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练； （2）p：xR，x2＋x+1>0； （3）p：平行四边形的对边相等； （4）p： x∈R，x2－x+1＝0；
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x 0 ∈M, p(x0)”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
所有实数的绝对值都不是正数;
特称命题的否定是全称命题
例题
例3 :写出下列特称命题的否定： （1）p： ∃x0∈R, x0² +2x0+2≤0;
（2）p：有的三角形是等边三角形;
（3）p：有一个素数含三个正因数. 答:（1）ㄱp： ∀x0∈R, x0² +2x0+2>0; （2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：每一个素数都不含三个正因数.

思路分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再写出相应
的否定.
解(1)¬p:存在正数 x,使 ≤x-1.
(2)¬q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有
外接圆.
(3)¬r:所有三角形的内角和小于或等于 180°.
(4)¬s:所有的质数都不是奇数.
(5)¬t:∀α,β∈R,cos(α+β)≠cos α+cos β.
这种形式,故该命题是假命题.
(3)这是全称命题,因为对∀x∈R,sin x+cos x= 2sin +
π
4
≥- 2,所以存在 x0∈R,sin x+cos x∈[- 2,-1),故该命题为假命题.
(4)这是特称命题,因为对任意 x∈R,x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
所以不存在 x0∈R,使02 -2x0+3<0,故命题为假命题.
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,¬p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
结论
全称命题的否定是
特称命题
特称命题的否定是全称
命题
特别提醒 1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题
的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.
【做一做3】 (1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否
称命题.
(2)只有A,B两个选项中的命题是特称命题.因为|sin x|≤1,所以sin
π
x0= 2 不成立,故B中命题为假命题.又因为当θ=45°时,tan θ=tan(90°θ),故A中命题为真命题.
答案：(1)B (2)A

一般地，对于含有一个量词的全称命 题的否定，有下面的结论：
一般地，对于含有一个量词的全称命 题的否定，有下面的结论：
全称命题 p：“x∈M， p(x) ” 它的否定p：“x∈M， p(x) ” 特称命题 p：“x∈M， p(x) ” 它的否定p：x∈M，p(x)
一般地，对于含有一个量词的全称命 题的否定，有下面的结论：
例 2.写出下列命题的否定，并判断其真假. （1）无论 m 取何实数，方程 x2＋x－m＝0
必有实数根. （2）至少有一个实数 x，使 x3＋1=0.
例3. 若 r( x) : sin x cos x m，
s( x) : x2 mx 1 0， 如果x R，r( x)为假命题， 且s( x)为真命题，求m的取值范围.
课堂练习
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写 出它们的否定： （1）p：所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p：对x∈Z，x2 个位数字不等于 3； （4）p： x∈R, x 2＋2 x＋2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数.
后三个命题都是特称命题，即具有形式 “x∈M, p(x) ”
命题（4）的否定“不存在一个实数，它的绝 对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值 都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是 菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是 菱形；
后三个命题都是特称命题，即具有形式 “x∈M, p(x) ”
前三个命题都是全称命题，即具有形式 “x∈M, p(x) ”
命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平 行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是 平行四边形；
前三个命题都是全称命题，即具有形式 “x∈M, p(x) ”