集合的相等集合的包含

高中数学集合知识点归纳一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体，用大写字母如A, B, C等表示。

2. 元素：集合中的每一个成员被称为元素，用小写字母如a, b, c等表示。

3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

4. 集合的表示：集合通常可以通过列举法或描述法来表示。

例如，集合A = {1, 2, 3} 或 A = {x | x 是一个正整数}。

二、集合间的关系1. 子集：如果集合B的所有元素都是集合A的元素，则称B是A的子集，记作B ⊆ A。

2. 真子集：如果集合B是A的子集，并且B不等于A，则称B是A的真子集，记作B ⊂ A。

3. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是包含U中所有不属于A的元素的集合，记作A' 或 C_U(A)。

4. 交集：两个集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A ∩ B。

5. 并集：两个集合A和B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，记作A ∪ B。

三、集合运算1. 德摩根定律：对于任意集合A和B，(A ∪ B)' = A' ∩ B' 和 (A ∩ B)' = A' ∪ B'。

2. 集合的幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集。

3. 笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A × B。

四、特殊集合1. 有限集：包含有限个元素的集合称为有限集。

2. 无限集：包含无限个元素的集合称为无限集。

3. 有界集：如果集合中的所有元素都小于或等于某个实数，那么这个集合是有上界的；类似地，如果所有元素都大于或等于某个实数，则集合有下界。

4. 区间：实数线上的一段，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。

五、集合的应用1. 函数的定义域和值域：函数的定义域是函数中所有允许输入的x值的集合；值域是函数输出的所有y值的集合。

教学过程一、复习预习复习集合的定义、分类、表示方法、集合与元素的关系，预习集合间的关系.二、知识讲解1. 集合相等的概念若集合A 中元素与集合B 中的元素完全相同，则称集合A=B等价定义：若B A A B B A =⊆⊆则,,特别的，φφ=2. 子集与真子集的概念子集的概念：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A)真子集的概念：若A 为B 的子集,且A ≠B,则称A 为B 的真子集，记作B A ≠⊂ 注：A ⊆φ考点1集合相等的证明方法若B A A B B A =⊆⊆则,,特别的，φφ=考点2子集与真子集的应用解题（1）A ⊆φ（2）子集与真子集的区别考点3子集和真子集的个数问题若集合A中的元素的个数为n，则其子集个数为n2个2 n个真子集个数为1三、例题精析【例题1】【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．是否存在实数a使得M∩N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a【解析】∵M∩N=M∴M⊆N，∴，解得a∈∅，故不存在.【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．是否存在实数a使得M∪N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a．【解析】∵M∪N=M∴N⊆M①当N=∅时，即a+1>2a﹣1，有a<2；②当N≠∅，则，解得2≤a<3，）综合①②得a的取值范围为a<3【题干】满足{－1,0}M⊆{－1,0,1,2,3}的集合M的个数是( )A．4个B．6 个C．7个D．8个答案：C【解析】依题意知集合M除含有元素－1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个．因而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，故有23－1＝7个．故选C.四、课堂运用【基础】1. 已知集合A＝{－1,1}，B{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( )A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案：D解析:当a=1,-1时显然成立，当a=0时，B=∅也成立，所以选D2. 设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是( ) A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2答案：A解析：.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2，故选A【巩固】1.集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________答案：4解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个2. 定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于( )A．A B．B C．{2} D．{1,7,9}答案：D解析：从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D【拔高】已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值解析：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解． ②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.新课标第一网∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.课程小结1.集合相等的概念与应用2.子集的概念与应用3.真子集的概念与应用课后作业【基础】1. 设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为_______答案：BA 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ， 故BA .2. 设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为_______答案：－1或2解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2【巩固】1.已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________答案：{a|a＞5或a≤－5}解析：作出数轴可得，要使A B，则必须a＋4≤－1或a＞5，解之得{a|a＞5或a≤－5}2. 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解析：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.【拔高】1. 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解析： A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.2.记关于x 的不等式x －a x ＋1<0的解集为P ，不等式||x －1≤1的解集为Q . (1)若a ＝3，求P ； (2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围．解析：(1)由x －3x ＋1<0，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <3. (2)Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ ||x －1≤1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0≤x ≤2. 由a >0，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <a ，又Q ⊆P ，所以a >2， 即a 的取值范围是(2，＋∞)．。

高中知识点之集合一、集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈〞及“不属于∉两种)⑴假设a是集合A中的元素，那么称a属于集合A，记作a∈A；⑵假设a不是集合A的元素，那么称a不属于集合A，记作a∉A。

5.常用的数集及记法：非负整数集〔或自然数集〕，记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋〞〔太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋〕。

“中国古代四大创造〞〔造纸，印刷，火药，指南针〕可以构成集合，其元素具有确定性；而“比拟大的数〞，“平面点P周围的点〞一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈〞及“不属于∉〞两种)⑴假设a是集合A中的元素，那么称a属于集合A，记作a∈A；⑵假设a不是集合A的元素，那么称a不属于集合A，记作a∉A。

二、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}〞括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。

集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭，那么,A B 间的关系是（ ）.A.A B B.B A C. A =B D.以上都不对 【答案】B【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素211(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1(1)(1)4n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（ ）. A.A B B.B A C. A =B D.A B Z =【答案】C例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ） A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；集合B={y|y=x 2+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】 设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则M N =（ ）A. {1,1}-B. {1,1}x y =-=C.(1,1)-D. {(1,1)}- 【答案】D【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此MN 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．【变式2】 设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，则M 与N 的关系是（ ） A. N M Ü B. M N Ü C. N M = D. N M =∅【答案】A【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】 当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O ∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .【答案】AB AC B C ===∅,BD D =【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合； 集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合； 集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；A B A C B C ∴===∅,B D D =.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2-2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A. ∅ B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y ≥-1}，N={y|y ≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.例6. 设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题． 【答案】D【解析】由N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}可得：N={x|0<x<2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N={1}，可知1∈M ，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2+4}， 求：A ∩B ，A ∪B ；（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2+1， 2a-1}， 其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B. 【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R . （3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：①a-3=-3⇒a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}⇒A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；②2a-1=-3⇒a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集{}{}21,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.【思路点拨】C u A 隐含了A U ⊆，对于A U ⊆，注意不要忘记A =∅的情形.【答案】 当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5. 【解析】当A =∅时，方程240x px ++=无实数解. 此时2160,44p p ∆=-<-<<.C u A=U当A ≠∅时，二次方程240x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U . 因为124x x =，所以只可能有下述情形：当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5； 当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5； 当5p =-时，C u A={}2,3,5.【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a<4；（2）a ≥-2；（3）-2≤a<4． 【解析】(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠∅，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a ≥-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤ 故选C ．例9. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2． 【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由AB B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意； 当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,AB B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】A B B =,B A ∴⊆.①当B =∅时，此时方程22120x ax a ++-=无解，由0∆<，解得4,a >或4a <-. ②当B ≠∅时，此时方程22120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2，0∴∆=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若B C u A ，求实数p 的取值范围.【答案】4p ≥【解析】 C u A={}|1,2x x x <->或，|4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭.B C u A ，∴14p-≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥. 【巩固练习】1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、B A Ü B 、A B Ü C 、A=B D 、A ∩B=∅ 2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ）A 、{(-2, 1), (2, 1)}B 、{|0x x ≤≤C 、{|1x x -≤≤D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足AB A =,那么下列各式中一定成立的是（ ）A ． AB B ． B AC ． AB B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或06．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a .8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x==且AB B =，则x = .10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = . 11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件： （1）{}1414,,10;AB a a a a =+=（2）集合AB 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<.求1234,,,a a a a 的值.【答案与解析】1.【答案】D【解析】.学生易错选C 。

集合的基本关系教案一、教学目标1. 掌握基本集合概念，如空集、全集、子集、真子集等。

2. 理解并能应用集合的基本关系，如相等、包含、交集、并集、差集等。

3. 能够运用集合的基本关系解决实际问题。

二、教学重点1. 学生能够准确理解和应用集合的基本概念。

2. 学生能够掌握集合的基本关系并能灵活运用。

三、教学难点1. 学生能够灵活运用集合的基本关系解决实际问题。

四、教学过程（一）导入1. 引入思考：学生们是否听过集合的概念？他们对集合有什么了解？2. 提问：如果有一个集合A，它包含元素1、2、3，我们该怎么表示集合A？（二）概念讲解1. 定义集合：集合就是由一些确定的对象构成的整体。

用大写字母A、B、C等表示集合。

2. 集合的元素：构成集合的每一个对象叫做集合的元素。

3. 集合的表示方法：列举法和描述法。

4. 集合的分类：空集、有限集、无限集。

5. 特殊集合：全集、自然数集、整数集、有理数集、实数集。

（三）基本关系讲解1. 相等关系：两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等。

2. 包含关系：如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A包含集合B，记作A⊆B。

3. 真包含关系：如果一个集合A包含另一个集合B，且A≠B，则称集合A真包含集合B，记作A⊂B。

4. 交集：两个集合A和B的交集，是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。

5. 并集：两个集合A和B的并集，是指属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B。

6. 差集：给定两个集合A和B，称A中与B中的元素不同的元素组成的集合为A与B的差集，记作A-B。

7. 补集：假设全集为U，给定集合A，A在全集U中的补集是指U中不属于A的元素组成的集合，记作A'。

（四）课堂练习1. 练习1：已知集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，求A∩B、A∪B、A-B。

2. 练习2：已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,2,3,4,5}，求A'。

不等式与集合的关系在数学中，不等式是描述数值关系的一种工具，而集合是由元素组成的一个整体。

不等式与集合之间存在着紧密的关系，通过不等式可以确定集合中的元素范围，而集合也可以用来表示满足一定不等关系的元素集合。

本文将探讨不等式与集合之间的关系，并通过例子来进一步说明。

一、不等式与集合的基本定义首先，我们来了解一下不等式和集合的基本定义。

1. 不等式：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数学陈述。

一般形式为a < b或a > b，其中a、b为实数。

如果不等式中的不等号是≤或≥，则表示的是“不小于”或“不大于”的关系。

2. 集合：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

用大写字母A、B、C等表示集合，集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。

常用的表示集合的方法有列举法、描述法和集合运算。

二、不等式确定集合的范围不等式可以通过确定数值的范围来描述数值之间的关系，从而确定集合中的元素范围。

1. 真不等式和开区间：对于一个真不等式a < b，可以表示a和b之间的数的集合，也可以表示为开区间(a, b)。

开区间表示数值在a和b之间，但不包括a和b。

例如，不等式3 < x < 8表示满足条件的数值范围，用集合表示为{x | 3 < x < 8}，也可以表示为集合(3, 8)。

2. 不等式和闭区间：对于一个不等式a ≤ b，可以表示a和b之间的数的集合，也可以表示为闭区间[a, b]。

闭区间表示数值在a和b之间，包括a和b。

例如，不等式2 ≤ x ≤ 7表示满足条件的数值范围，用集合表示为{x | 2 ≤ x ≤ 7}，也可以表示为集合[2, 7]。

三、集合表示满足不等关系的元素集合除了用不等式确定集合的范围外，我们还可以通过集合表示满足一定不等关系的元素集合。

1. 包含关系：如果集合A中的所有元素都满足不等式a ≤ b，则可以表示为A ⊆ B，即集合A是集合B的子集。

1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体问题；1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。

【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；1.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。

【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或"整数集：Z；有理数集：。

；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （B^0）；（5）假设一个集合A中有〃个元素，那么集合A有2：个子集，2"-1个真子集。

2.集合的运算（1）集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案：D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案：B4.(21 •全国乙文)全集。

集合间的基本关系教案教学目标：1. 了解并掌握集合间的四种基本关系：子集、真子集、非子集、相等。

2. 能够运用集合间的四种基本关系解决实际问题。

3. 理解集合间的基本关系在数学及其它领域的重要性。

教学内容：一、集合间的基本关系概述1. 引入集合的概念，引导学生回顾集合的基本定义。

2. 介绍集合间的四种基本关系：子集、真子集、非子集、相等。

二、子集与真子集1. 讲解子集的定义，举例说明子集的概念。

2. 引导学生理解真子集的概念，即除去集合本身外的子集。

3. 通过例题，让学生掌握判断子集和真子集的方法。

三、非子集1. 讲解非子集的定义，即一个集合不是另一个集合的子集。

2. 通过例题，让学生理解非子集的概念，并掌握判断非子集的方法。

四、相等1. 讲解集合相等的定义，即两个集合包含的元素完全相同。

2. 通过例题，让学生理解集合相等的概念，并掌握判断集合相等的方法。

五、集合间基本关系的应用1. 引导学生运用集合间的四种基本关系解决实际问题。

2. 通过例题，让学生学会运用集合间的基本关系分析问题和解决问题。

教学方法：1. 采用讲解法，明确集合间基本关系的定义和概念。

2. 运用例题，让学生通过实践掌握集合间基本关系的判断方法。

3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对集合间基本关系的理解和掌握程度。

2. 通过课后作业，检验学生运用集合间基本关系解决问题的能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习效果进行综合评价。

六、集合的幂集1. 引入幂集的概念，讲解幂集的定义。

2. 通过图示和例题，让学生理解幂集的概念，并掌握求解幂集的方法。

七、集合的笛卡尔积1. 讲解笛卡尔积的概念，引导学生理解笛卡尔积的定义。

2. 通过例题，让学生掌握求解集合的笛卡尔积的方法。

3. 引导学生运用笛卡尔积解决实际问题，如排列组合问题。

八、集合的包含关系与维恩图1. 讲解集合的包含关系的概念，引导学生理解包含关系的含义。