集合之间的关系 —— 子集

1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。

子集的相关概念
子集是指在数学集合论中，如果集合A中的所有元素都同时在另外一
个集合B中出现，即A中的每个元素都是B中的元素，则A是B的子集，
B是A的超集。

子集的概念非常重要，因为它是描述集合之间关系的基本
工具。

下面列举一些与子集相关的概念：
1.空集：没有任何元素的集合，记作∅。

任何集合的子集都包含空集。

2.原集：一个集合的所有元素的集合，记作U。

一个非空集合S的子
集也一定是S的元素。

3.真子集：如果一个集合A是另外一个集合B的子集，但是A不等于B，则称A是B的真子集。

4.幂集：一个集合的所有子集的集合，记作P(A)。

例如，如果
A={a,b}，则P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。

5.最小子集：一个集合的最小子集是空集{}。

6.最大子集：一个集合的最大子集就是其本身。

7.共用子集：两个或更多集合之间的共同元素所组成的集合称为共用
子集。

8.子集数：对于一个有限集合A，其子集数量为2^|A|，其中|A|表示
A的基数（元素数量）。

9.包含关系：如果一个集合A包含另外一个集合B，则A是B的超集，B是A的子集。

集合的相等与子集的关系《集合的相等与子集的关系》在数学这个奇妙的世界里，集合就像是一个个小团体，成员们聚集在一起就构成了这个小团体。

那集合的相等和子集的关系啊，就像是家庭成员之间的联系，特别有趣。

咱们先说说集合相等。

两个集合相等是啥意思呢？就好比两个一模一样的宝箱，里面装的宝贝完全相同。

比如说集合A={1,2,3}，集合B={3,2,1}，这两个集合虽然元素的排列顺序不一样，可里面的元素是完全一样的呀，那这两个集合就是相等的。

这就像两个人穿着不同顺序的衣服，但都是那几件衣服，本质上没区别。

那子集呢？子集就像是小团体里的小帮派。

如果集合A的所有元素都在集合B里，那集合A就是集合B的子集。

比如说集合A={1,2}，集合B={1,2,3,4}，集合A里的1和2都能在集合B里找到，这时候集合A就是集合B的子集。

这就好比一个小家庭是大家庭里的一部分，小家庭里的成员都在大家庭之中。

那集合相等和子集有啥关系呢？你看啊，要是两个集合相等，那这两个集合就互为子集。

就像两个双胞胎，彼此之间完全相同，那这个就可以看作那个的子集，那个也可以看作这个的子集。

这是不是很神奇？就好像两个人长得一模一样，互相都能在对方身上找到自己的影子。

咱们再深入一点。

如果集合A是集合B的子集，而且集合B里还有集合A没有的元素，那这两个集合肯定不相等。

就像一个小盒子放在一个大盒子里，大盒子里还有其他东西，那这个小盒子和大盒子肯定不是一样的东西。

可是如果集合A是集合B的子集，并且集合B里没有集合A之外的元素，那这两个集合就相等啦。

这就像是一个装满水的小杯子，倒入一个大杯子，大杯子里刚好被小杯子的水填满，没有多余的空间，这时候小杯子和大杯子就可以看作是一样的容器啦。

在解决数学问题的时候，理解集合的相等和子集的关系可太重要了。

比如说在证明一些数学定理的时候，经常要用到这种关系。

要是弄不清楚，就像在黑暗里走路，很容易迷路的。

就像盖房子，如果地基都没打好，房子肯定盖不起来。

最新课程标准：（１）在具体情境中，了解空集的含义．（２）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B（或B⊇A），读作A包含于B或B包含A错误!“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈Ｂ．知识点二集合相等文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.错误!１．若A ⊆B，又B ⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A ⊆B，且B ⊆Ａ．２．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三真子集文字语言：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset）．符号语言：A B（或B A）．错误!在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉Ａ．知识点四空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点五子集的性质１．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.２．对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.[教材解难]教材P8思考{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．[基础自测]１．下列四句话中：１∅＝{0}；２空集没有子集；３任何一个集合必有两个或两个以上的子集；４空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解析：由空集的性质可知，只有４正确，１２３均不正确．答案：B２．集合{0,１}的子集有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：集合{0,１}的子集为∅，{0}，{１}，{0,１}．答案：D３．已知集合A＝{x|—１—x<0}，则下列各式正确的是（）Ａ．0⊆AＢ．{0}∈AＣ．∅∈AＤ．{0}⊆A解析：集合A＝{x|—１—x<0}＝{x|x>—１}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D４．已知集合A＝{—１,３,２m—１}，集合B＝{３，m２}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴２m—１＝m２，∴m＝１．答案：１题型一集合间关系的判断[经典例题]例１（１）下列各式中，正确的个数是（）１{0}∈{0,１,２}；２{0,１,２}⊆{２,１,0}；３∅⊆{0,１,２}；４∅＝{0}；５{0,１}＝{（0,１）}；⑥0＝{0}．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）指出下列各组集合之间的关系：１A＝{—１,１}，B＝{（—１，—１），（—１,１），（１，—１），（１,１）}；２A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；３M＝{x|x＝２n—１，n∈N*}，N＝{x|x＝２n＋１，n∈N*}．【解析】（１）对于１，是集合与集合的关系，应为{0}{0,１,２}；对于２，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于３，空集是任何集合的子集；对于４，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于５，{0,１}是含有两个元素0与１的集合，而{（0,１）}是以有序数组（0,１）为元素的单元素集合，所以{0,１}与{（0,１）}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故２３是正确的，应选Ｂ．（２）１集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．２等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.３方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“１”，而集合N不含元素“１”，故N M.方法二由列举法知M＝{１,３,５,7，…}，N＝{３,５,7,9，…}，所以N M.【答案】（１）B （２）见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断１２３４⑥，对于５应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法（１）用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.（２）数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练１（１）若集合M＝{x|x２—１＝0}，T＝{—１，0,１}，则M与T的关系是（）Ａ．M TＢ．M TＣ．M＝TＤ．M T（２）用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：（１）因为M＝{x|x２—１＝0}＝{—１,１}，又T＝{—１,0,１}，所以M T.（２）根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：（１）A （２）见解析错误!（２）学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆Ｃ．题型二子集、真子集及个数问题[教材P8例１、２]例２（１）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．（２）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：１A＝{１,２,３}，B＝{x|x是8的约数}；２A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【解析】（１）集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．（２）１因为３不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．２因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．错误!（１）题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．（２）题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.教材反思１．求集合子集、真子集个数的三个步骤２．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为２n，真子集的个数为２n—１，非空真子集的个数为２n—２．跟踪训练２（１）已知集合A＝{x∈R|x２—３x＋２＝0}，B＝{x∈N|0<x<５}，则满足条件A C B的集合C的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）已知集合A＝{x∈R|x２＝a}，使集合A的子集个数为２个的a的值为（）Ａ．—２Ｂ．４Ｃ．0 Ｄ．以上答案都不是解析：（１）由x２—３x＋２＝0，得x＝１或x＝２，所以A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４}，所以满足条件的C可为{１,２,３}，{１,２，４}．（２）由题意知，集合A中只有１个元素，必有x２＝a只有一个解；若方程x２＝a只有一个解，必有a＝0．答案：（１）B （２）C错误!（１）先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合Ｃ．（２）先确定关于x的方程x２＝a解的个数，然后求a的值．题型三根据集合的包含关系求参数[经典例题]例３已知集合A＝{x|１<ax<２}，B＝{x|—１<x<１}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．【解析】（１）当a＝0时，１A＝∅，满足A⊆B.（２）当a>0时，A＝错误!.又∵B＝{x|—１<x<１}，且A⊆B，∴错误!２∴a≥２．（３）当a<0时，A＝错误!.３∵A⊆B，∴错误!∴a≤—２．综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥２，或a≤—２}．错误!１欲解不等式１<ax<２，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a>0，a<0进行讨论．２A ⊆B用数轴表示如图所示：（a＞0时）由图易知，错误!和错误!需在—１与１之间．当错误!＝—１，或错误!＝１时，说明A 与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如错误!＝１时，A＝错误!，x 取不到１．３a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．方法归纳（１）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．（２）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．（３）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练３设集合A＝{x|x２—8x＋１５＝0}，B＝{x|ax—１＝0}．（１）若a＝错误!，试判定集合A与B的关系．（２）若B⊆A，求实数a的取值集合．解析：（１）由x２—8x＋１５＝0得x＝３或x＝５，故A＝{３,５}，当a＝错误!时，由ax—１＝0得x＝５．所以B＝{５}，所以B A.（２）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝错误!，由B ⊆A得错误!＝３或错误!＝５，所以a＝错误!或a＝错误!.综上所述，实数a的取值集合为错误!错误!（１）解方程x２—8x＋１５＝0，求出A，当a＝错误!时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．（２）分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．１B＝∅，此时a＝0；２B≠∅，此时a≠0．易错点忽略空集的特殊性致误例设M＝{x|x２—２x—３＝0}，N＝{x|ax—１＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a 的取值集合．【错解】由N⊆M，M＝{x|x２—２x—３＝0}＝{—１,３}，得N＝{—１}或{３}．当N＝{—１}时，由错误!＝—１，得a＝—１．当N＝{３}时，由错误!＝３，得a＝错误!.故满足条件的a的取值集合为错误!.【正解】由N⊆M，M＝{x|x２—２x—３＝0}＝{—１,３}，得N＝∅或N＝{—１}或N＝{３}．当N＝∅时，ax—１＝0无解，即a＝0．当N＝{—１}时，由错误!＝—１，得a＝—１．当N＝{３}时，由错误!＝３，得a＝错误!.故满足条件的a的取值集合为错误!.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业２一、选择题１．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤１}和集合N＝{x∈R|x２＝x}关系的Venn图是（）解析：N＝{x∈R|x２＝x}＝{0,１}，M＝{x|x∈R且0≤x≤１}，∴N M.答案：B２．已知集合A＝{１,２,３}，B＝{３，x２,２}，若A＝B，则x的值是（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．±１Ｄ．0解析：由A＝B得x２＝１，所以x＝±１，故选Ｃ．答案：C３．已知集合A＝{—１,0,１}，则含有元素0的A的子集的个数为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,１}，{0，—１}，{—１,0,１}，共４个．答案：B４．设A＝{x|２<x<３}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）Ａ．m>３Ｂ．m≥３Ｃ．m<３Ｄ．m≤３解析：因为A＝{x|２<x<３}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥３．答案：B二、填空题５．已知集合：（１）{0}；（２）{∅}；（３）{x|３m<x<m}；（４）{x|a＋２<x<a}；（５）{x|x２＋２x＋５＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．解析：集合（１）中有元素0，集合（２）中有元素∅，它们不是空集；对于集合（３），当m<0时，m>３m，不是空集；在集合（４）中，不论a取何值，a＋２总是大于a，故集合（４）是空集；对于集合（５），x２＋２x＋５＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：（４）（５）6．已知集合A＝{１,３,５}，则集合A的所有子集的元素之和为________．解析：集合A的子集分别是：∅，{１}，{３}，{５}，{１,３}，{１,５}，{３,５}，{１,３,５}．注意到A中的每个元素出现在A的４个子集，即在其和中出现４次．故所求之和为（１＋３＋５）×４＝３6．答案：３67．若集合A{１,２,３}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{１}，{３}，{１,２}，{３,２}；若A中含有两个奇数，则A＝{１,３}．答案：５三、解答题8．已知{１,２}⊆A{１,２,３,４}，写出所有满足条件的集合A.解析：∵{１,２}⊆A，∴１∈A,２∈A.又∵A{１,２,３,４}，∴集合A中还可以有３,４中的一个，即集合A可以是{１,２}，{１,２,３}，{１,２,４}．9．已知M＝{２，a，b}，N＝{２a,２，b２}，且M＝N，试求a与b的值．解析：方法一根据集合中元素的互异性，有错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!再根据集合中元素的互异性，得错误!或错误!方法二∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴错误!即错误!∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．当b≠0时，由２得a＝0或b＝错误!.当a＝0时，由１得b＝１或b＝0（舍去）．当b＝错误!时，由１得a＝错误!.当b＝0时，a＝0（舍去）．∴错误!或错误![尖子生题库]１0．已知集合A＝{x|—３≤x≤４}，B＝{x|２m—１<x<m＋１}，且B⊆A.求实数m的取值范围．解析：∵B⊆A，（１）当B＝∅时，m＋１≤２m—１，解得m≥２．（２）当B≠∅时，有错误!解得—１≤m<２．综上得m≥—１．即实数m的取值范围为[—１，＋∞）．。

集合子集公式(一)
集合子集公式
什么是集合子集公式？
集合子集公式是描述集合与其子集之间关系的数学公式。

在集合论中，一个集合的子集是指包含于该集合的元素组成的集合。

集合子集公式描述了一个集合中的元素是否属于另一个集合。

集合子集公式的形式
集合子集公式可以表示为A⊆B，其中A和B是两个集合。

这表示集合A是集合B的子集，即A中的所有元素都在B中。

集合子集公式的例子
以下是一些集合子集公式的例子：
•如果A={1,2}和B={1,2,3,4}，则A是B的子集，可以表示为A⊆B。

•如果C={2,4,6}和D={1,2,3,4,5,6}，则C是D的子集，可以表示为C⊆D。

•如果E={3}和F={1,2,3}，则E是F的子集，可以表示为E⊆F。

集合子集公式与真子集公式的区别
集合子集公式中的等号是一个重要的区别。

如果A是B的子集，可能存在A中的元素不在B中。

当A是B的真子集时，表示为A⊂B，这意味着A是B的子集且A≠B。

总结
集合子集公式是描述集合与其子集之间关系的数学公式，用于判断一个集合是否是另一个集合的子集。

它可以帮助我们理解集合论中的集合关系，并在解决问题时提供便利。

子集真子集的计算公式
子集和真子集是集合论中常见的概念，它们描述了集合之间的包含
关系。子集是指一个集合的元素都是另一个集合的元素，而真子集
则是指一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等。

假设我们有两个集合A和B，其中A是B的子集。那么根据子集的
定义，A中的所有元素都必须是B中的元素。换句话说，对于集合
A中的任意一个元素x，它必须属于集合B。这可以表示为A ⊆ B。

如果A是B的真子集，那么A和B必须是不相等的。也就是说，
存在一个元素y，它属于B，但不属于A。这可以表示为A ⊂ B。

举个例子来说，假设集合A表示所有奇数，集合B表示所有整数。
那么A是B的子集，因为所有奇数都是整数。但A不是B的真子
集，因为没有任何一个整数不是奇数。

我们可以通过以下方式判断两个集合之间的子集关系：
1. 验证A中的每个元素是否都属于B。如果是，则A是B的子集。
2. 验证A是B的子集，并且存在一个元素y，它属于B但不属于A。
如果满足这两个条件，则A是B的真子集。

需要注意的是，在进行子集和真子集判断时，需要考虑集合中的每
个元素。如果集合中有无限多个元素，那么很难逐个验证每个元素。
在这种情况下，我们可以使用数学推理和逻辑推断来判断子集关系。
总结起来，子集和真子集是集合论中描述集合之间包含关系的概念。
子集表示一个集合的所有元素都属于另一个集合，而真子集则表示
一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等。我们可以通
过验证每个元素的归属关系来判断子集和真子集的关系。

子集的概念子集是指一个集合中的元素都是另一个集合中的元素的集合。

换句话说，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A就是集合B的子集。

子集的概念在数学中非常重要，它可以用来描述集合之间的包含关系。

在集合论中，我们可以通过判断一个集合是否是另一个集合的子集来进行集合的比较和分类。

例如，假设有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}。

我们可以看出，集合A的所有元素都是集合B的元素，因此集合A是集合B的子集。

反过来，集合B不是集合A的子集，因为集合B中有一些元素（4和5）不属于集合A。

子集的概念可以通过集合的元素之间的包含关系来形象地理解。

如果我们把集合看作一个容器，那么子集就是一个更小的容器，它可以完全放入另一个更大的容器中。

换句话说，集合A是集合B的子集，意味着集合A中的元素都可以在集合B中找到。

在数学中，我们可以使用符号来表示子集关系。

如果集合A是集合B的子集，我们可以用符号A⊆B来表示。

这个符号读作“A是B的子集”或“A包含于B”。

如果集合A不是集合B的子集，我们可以用符号A⊈B来表示。

子集的概念还可以扩展到空集。

空集是一个不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

根据子集的定义，空集是任何集合的子集，因为空集中没有元素，所以它的所有元素都可以在其他集合中找到。

除了子集的概念，还有一些与子集相关的概念需要了解。

首先是真子集的概念。

如果集合A是集合B的子集，但是集合A和集合B不相等，那么集合A就是集合B的真子集。

用符号A⊂B来表示。

例如，如果集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，那么集合A是集合B的真子集。

另一个与子集相关的概念是幂集。

幂集是指一个集合的所有子集的集合。

例如，对于集合A={1, 2}，它的幂集包括空集∅，集合A本身，以及包含A的所有可能子集，即{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。

子集的概念在数学中有着广泛的应用。

它可以用来证明数学定理，解决问题，以及进行集合运算。

专题1 ⼦集、交集、并集、补集之间的关系式⼆级结论1：⼦集的个数问题【结论阐述】若⼀个集合含有（）个元素，则集合有个⼦集，有个真⼦集，有个⾮空⼦集，有个⾮空真⼦集.理解：的⼦集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应⽤.对解决有关集合的个数问题，可以直接利⽤这些公式进⾏计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪⾥来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的⼦集问题.另外要注意⼦集､真⼦集､⼦集､⾮空真⼦集之间的联系有区别.【典例指引1】（2023·安徽·合肥市第⼋中学模拟预测）【典例指引2】【针对训练】（2023·河南·开封市东信学校模拟预测）（2022·⿊⻰江⻬⻬哈尔·⼆模）A n n ∈N ∗A 2n (−1)2n (−1)2n (−2)2n A 2n n 2n 已知集合，，则满⾜条件的集合的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8已知集合，则集合的真⼦集的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．集合的⾮空真⼦集的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8设集合，则集合M 的真⼦集个数为（ ）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【典例指引2】已知集合，或.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【针对训练】已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A．B．C．D．（2023·湖北·⻩⽯市有⾊第⼀中学模拟预测）已知，且，则满⾜条件的x有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（2021·辽宁沈阳·三模）已知集合，若，则实数（）A．B．1C．D．或（2023·重庆⼋中模拟预测）已知集合，，且，则a的取值范围可以是（）A．B．C．D．（2023·辽宁·⾼三⽉考）（2023·浙江绍兴·模拟预测）（2023·天津·南开中学模拟预测）A ．B ．C ．D ．若全集，则集合等于（ ）A ．B ．C ．D ．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．已知全集为，集合，则___________，___________.。

学员姓名： 学科教师：年 级：新高一 辅导科目：数学授课日期时 间 段 主 题 集合之间的关系学习目标1. 深刻理解集合与集合之间的包含以及相等关系2. 掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念3. 会写出任意集合的所有子集、真子集教学内容 课堂引入我们知道实数有大、小或相等的关系,那么集合间是不是也有类似的关系呢？１.{}{}1,2,3,1,2,3,4,5A B ==２.设集合Ａ为高一(２)班全体女生组成的集合,集合Ｂ为这个班全体学生组成的集合.３.设{}{}|,|C x x D x x ==是等边三角形是三角形.４.{}{}|,|213A x x D x x =≥=-≥2.观察上面的例子,指出给定两个集合中的元素有什么关系？集合之间的关系子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”． 其中：“A 含于B ”中的于是被的意思，简单地说就是A 被B 包含.“⊆”类似于“≤”开口朝向谁谁就“大”. 在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合venn （韦恩）图.那么，集合A 是集合B 的子集用图形表示如下：A B ⊆A B巩固练习1.已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值2.若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有________个．3.若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________4.设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．5.已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围6.设集合},421{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则 (A 与B 的包含关系)课后作业1.用适当的符号填空：（1）∅ }01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ；（3）{1} }{2x x x =；（4）0 }2{2x x x =．2.定义集合运算：，，．设集合，则集合的所有元素之和为_______________3.如果集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x A ,3|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z n n x x B ,31|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z n n x x C ,32|，那么下列结论中正确的是（ ） A. C B ≠ B ． AB C ． A B C ⊆= D ． C A ⊆ 4.满足条件},,,,{},{e d c b a M b a ⊆⊂≠的集合M 的个数是5.已知φ≠=+-=+-⊆=+-}02{},023{}02{222mx x x x x x mx x x 且，求实数m 构成的集合M。