(完整版)向量共线的坐标表示

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 2.3.4平面向量共线的坐标表示一、教学目标1．知识与技能（1）理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；（2）掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法；（3）理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标； （4）掌握平面向量共线的坐标表示． 2．过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化．3．态度情感与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美．二、教学重难点1．教学重点：平面向量的坐标运算． 2．教学难点：理解向量坐标化的意义．三、教学过程㈠ 课前1分钟（书P65 习题1.8 A 组 2）根据下列条件，求(0,2)π内的角A1213041()sin ()sin ()cos ()tan A A A A ==-==㈡ 复习回顾平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ, 2λ，使得1122a e e λλ=+．不共线的平面向量1e ，2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底． ㈢ 新课探究引例：光滑斜面上的木块所受重力G 可以分解为平行斜面使木块下滑的力1F 和木块产生的垂直于斜面的压力2F （如图）．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.★在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单，引例就是一个正交分解的例子．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.则对于该平面内的任一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………①其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x ．探究一：以O 为起点，(,)P x y 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ 解：如图 (,)OP xi y j x y =+=以O 为起点的向量OP 的坐标也就是终点P 的坐标向量(,)OP P x y −−−−→一一对应探究二：在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示？可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O 处．+OA xi y j =， +a xi y j =点评：1．把a xi y j =+称为向量基底形式； 2．(,)a x y =，称其为向量的坐标形式； 3．(,)a xi y j x y =+=；4．单位向量(1,0)i =，(0,1)j =；5．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1212x x a b y y =⎧=⇔⎨=⎩例1．如图，已知(1,3)A -，(1,3)B -，(4,1)C ，(3,4)D ，求向量OA ，OB ，OD ，OC 的坐标．例2．如图，用基底i ，j 分别表示向量a ，b ，并求出它们的坐标．解：由图可知：1223a AA AA i j =+=+，∴(2,3)a = 同理，23(2,3)b i j =-+=-探究：你能发现向量a 的坐标与它起点坐标和终点坐标间有什么联系吗？平面向量的坐标运算 向量的加法思考：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，能得出a b +的坐标吗？ 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和．结论：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++ 向量的减法思考：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，能得出a b -的坐标吗？ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差． 结论：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y -=--向量的数乘同理可得，已知11(,)a x y =，则11(,)a x y λλλ=即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标．例5．已知平面上三点的坐标分别为(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形四个顶点．分析：引导学生发现可以,AB BC 为邻边构造平行四边形，则AD BC =即可求出点D 的坐标；还可以以,AB AC 为邻边，或以,BC AC 为邻边． 平面向量共线的坐标表示探究：向量b与向量(0)a a ≠共线当且仅当存在实数λ使b a λ=，若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则上述结果如何用坐标表示？1211222212(,)(,)(,)x x x y x y x y y y λλλλλ=⎧==⇔⎨=⎩思考：（1）如何消去λ？ 当20x ≠时，12x x λ=，∴1122xy y x =即12210x y x y -= （问：左式当20x =时成立吗？）（2）向量共线的两种等价形式：1221//(0)0a b a b a x y x y λ≠⇔=-=或． 探究：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ，当12PP PP λ=时，点P 的坐标是多少？解：∵12PP PP λ=，∴1121PPPP λλ=+（如何确定？）11112121()11OP OP PP OP PP OP OP OP λλλλ=+=+=+-++121211(,)1111x x y y OP λλλλλλλ++=+=++++ ∴点P 的坐标是1212(,)11x x y y λλλλ++++——定比分点坐标公式注意：（1）中点坐标公式是定比分点坐标公式的特殊情况1λ=；（2）套用公式时要分清向量的起点、终点以及λ是多少． ㈣ 课堂练习 课后练习书P100-101（6与7要求用探究得到的定比分点坐标公式重新计算）． 练习巩固1．已知O 是坐标原点,点A 在第一象限，43OA =60xOA ∠=︒，求向量OA 的坐标． 2．已知(11,12)A 、(4,5)B 、(10,11)C ，求证：A 、B 、C 三点共线． 3．已知(,12)A k 、(4,5)B 、(10,)C k ，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． 能力提升1．已知(1,0)a =，(2,1)b =，当实数k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？并确定此时它们是同向还是反向．2．已知(1,3)A -和(8,1)B -，如果点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值． 3．已知ABC ∆中,(0,0)O ,(0,5)A ,(4,3)B ,14OC OA =，12OD OB =,AD 与BC 交于M ，求点M 的坐标．4．已知点,,,O A B C 的坐标分别为(0,0), (3,4)，(1,2)- (1,1)是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立?解释你所得结论的几何意义．㈤ 课堂小结 1．向量坐标定义；2．向量的坐标运算法则：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，11(,)a x y λλλ=3．若),(11y x A ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--； 4．平面向量共线的坐标表示若11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么1221//(0)0a b a x y x y ≠⇔-=． ㈥ 课后作业1．书P101 习题2.3 A 组 1，3，7 B 组 2； 2．课时训练． ㈦ 教后反思。

《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。

教学过程一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则.,)(//λλ=⇔≠使存在唯一实数二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ。

由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。

授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。