共线向量的坐标运算

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

高中数学向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学目标：理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学重点：向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学过程一、复习引入：1. 向量的表示方法2. 向量的加法，减法及运算律3．实数与向量的乘法二、讲解新课：1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa , 当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2.若存在两个不全为0的实数μλ,使得0=+b a μλ，那么a 与b 为共线向量，零向量与任意向量共线3.与向量a 同方向的a 的单位向量为||a a e = 4．数轴上的基向量e 的概念5、轴上向量的坐标：轴上向量a ，一定存在一个实数x ，使得e x a =，那么x 称为向量a 的坐标6、设点A 、B 是数轴上的两点其坐标分别为1x 和2x ，那么向量AB 的坐标为12x x AB -=由此得两点A 、B 之间的距离为||||21x x AB -=7．例子例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。

已知：如图3-1，ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点。

求证：BC DE //且BC DE 21=。

证明：因为D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， 所以−→−−→−=AB AD 21，−→−−→−=AC AE 21。

所以−→−−→−−→−−→−−→−−→−=-=-=BC AB AC AD AE DE 21)(21， 再由D ，B 不共点，故BC DE //且BC DE 21=。

例2 如图3-2，平行四边形OACB 中，BC BD 31=，OD 与BA 相交于E 。

求证：BA BE 41=。

证明：设E ’是线段BA 上的一点，且BA BE 41'=，只要证E ，E ’重合即可。

两向量共线坐标关系
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果x2／x1＝y2／y1，也就是x1y2＝x2y1，则共线。

分四种情况：
①横坐标都为0的两个向量共线。

②纵坐标都为0的俩个向量共线。

③0向量（横、纵坐标都是0）与任何向量共线。

④横坐标之比等于纵坐标之比的两个向量共线（其中，比值为正则同向，比值为负则反向）。

平面向量：a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则a//b <=> a1b2 = a2b1 。

空间向量：a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），
则a//b <=> 存在实数x、y 使xa = yb ，用坐标写出来就是a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 。

当然这个成比例是有一个前提，就是它们非零。

如果有0，则对应的也为0
扩展资料
向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法：
向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB＋OA＝OC．向量的减法如果a、b是互为相反的向量。

那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．0的反向量为0向量的数量积定义：
已知两个非零向量a，b．作OA＝a，OB＝b，则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π。