第一讲向量的加减法和共线

第一讲 平面向量的概念及其线性运算一、 知识精选1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何意义．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、 例题精讲 例1、 疑难辨析 1．零向量的问题(1)0的模为0，没有方向．( )(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂直．( ) 2．共线向量的判断(1)若a∥b ，b∥c ，则a∥c .( ) (2)a 和λa 共线，方向相同．( )(3)A 、B 、C 三点共线的充要条件是对不在直线AB 上的任意一点O ，存在实数t 使得OC →＝tOA →＋(1－t )OB →.( )3．平面向量线性运算的应用(1)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )(2)O 为△ABC 重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0.( )(3)四边形ABCD 为平行四边形的充要条件是AB →＋CD →＝0.( )例2、 (1)[2012·石家庄模拟] 如图4－25－1，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12(2)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b例3、(1)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．三、 课后追踪巩固双基,提升能力一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：由减法的三角形法则知EF →＝OF →－OE →. 答案：B2．(2013·德州调研)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∴N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案：A3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线 D ．以上均不正确解析：∵BC →＋BA →＝2BP →， ∴BC →－BP →＝BP →－BA →，即PC →＝AP →， ∴P 、A 、C 三点共线． 答案：B4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心 解析：由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；NA →＋NB →＋NC →＝0，知，N 为△ABC 的重心． 答案：C5．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →，∴CD →＝14CB →＝14(a －b )，∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案：B6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ＞0)，AC →＝μAF →(μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9 B.72 C ．5D.92解析：由题意得，AB →＋AC →＝2AD →＝λAE →＋μAF →⇒AD →＝λ2AE →＋μ2AF →，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号． 答案：D 二、填空题7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为__________． 解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2 (舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)8．(2013·无锡质检)设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__________.解析：因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案：±49．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a __________0，b __________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP →＝aOP →1＋bOP →2，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0.答案：＞ ＜ 三、解答题10．(2013·东莞阶段检测)如图所示，在△ABC 中，点D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →、AE →、AF →、BE →、BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解析：(1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)由(1)可知，BE →＝23BF →，所以B ，E ，F 三点共线．11．(2013·临沂模拟)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解析：依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP →＝λAD →， ∴A ，P ，D 三点共线．即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．。

第1讲 平面向量的概念及加减运算一、考点梳理考点1 基本概念既有大小，又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.|AB →|叫AB →的模或AB →的绝对值，表示向量AB →的长度.(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a∥b . ①规定：零向量与任一向量平行． 例1．（1）下列物理量中不是向量的有( )①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．（2）一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，①在四边形ABCD 中，AB ∥CD .①四边形ABCD 为平行四边形． ①AD →＝BC →，①|AD →|＝|BC →|＝200 km.（3）判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反； (5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． (3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【变式训练1】．在下列命题中，真命题为( )A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB →与向量BA →的长度相等 C ．向量就是有向线段 D ．零向量是没有方向的解析：由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.【变式训练2】．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(图略)． 【变式训练3】．如图所示，①ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解析：(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF =12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.考点2 向量的加法 三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．例2．（1）如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解析：在平面内任取一点O (如下图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边做①OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .2（2）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________. 解析： (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0（1）BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解析：(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. 【变式训练1】．(1)如图①所示，求作向量和a ＋b .(2)如图①所示，求作向量和a ＋b ＋c .解析：(1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图①所示．(2)方法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▭OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作①ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．【变式训练2】．(1)化简：①BC →＋AB →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.(2)如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ①AO →＋AB →； ①AE →＋AB →.解析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．(1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.(2)①由题图知，OAFE 为平行四边形，①OA →＋OE →＝OF →； ①由题图知，OABC 为平行四边形，①AO →＋AB →＝AC →； ①由题图知，AEDB 为平行四边形，①AE →＋AB →＝AD →.【变式训练3】．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)． (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. 解析：(1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.考点3 向量的减法 相反向量(1)我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . (2)－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义，a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义， 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .如图①，理解向量加、减法的平行四边形法则：在①ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .例3．（1）在①ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →解析：由题意可知AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →．答案：D（2）化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0解析：答案：D解法一：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0．【变式训练1】．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，OD →＝c ，则OB →＝解析：由于OB ＝DB －DO →，而DB →＝AB →－AD →＝a －b ，DO →＝－OD →＝－c ， 所以OB →＝a －b ＋c .【变式训练2】．化简：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 解析：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．(1)解法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.解法二：原式＝AB →＋MB →－OB →－MO →＝AB →＋(MB →－MO →)－OB →＝AB →＋(OB →－OB →)＝AB →＋0＝AB →. (2)解法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.解法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.二、课堂检测1．下列物理量：①质量；①速度；①位移；①力；①加速度；①路程．其中是向量的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案 C 解析 ①①①①是向量． 2．下列说法中正确的个数是( )①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D3. 下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D 正确． 4. 设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 5. 下列等式不成立的是( )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA → D.AB →＋BC →＝AC →答案C 解析：对于C ，①AB →与BA →方向相反，①AB →＋BA →＝0.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C7. a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C 解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →. 9. 在①ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a 答案B ①BA →＝BC →＋CA →＝a ＋b ，①AB →＝－BA →＝－a －b . 10. (多选)若a ，b 为非零向量，则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同答案ABD 当a ，b 方向相同时，有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |；当a ，b 方向相反时，有|a |＋|b |＝|a －b |，||a |－|b ||＝|a ＋b |，故A ，B ，D 均正确．10. 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.12. 如图，在①ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________.11 答案0 因为D 是边BC 的中点，所以BE →－DC →＋ED →＝BE →＋ED →－DC →＝BD →－DC →＝0.13. 设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4 解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 14. 已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________． 答案 [2,6) 根据题意得||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，即2≤|a －b |＜6.15. 如图所示，P ，Q 是①ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ①AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又①BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，①BP →＋CQ →＝0，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型【考点分析】考点一：向量的基本概念①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，叫做向量的模，记作||AB ． ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算考点三：向量共线定理①如果λ=a b 且0≠b ，则a b ∥；反之a b ∥且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ． 推论：①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线（功能：证明三点共线）；①向量PA ，PB ，PC 中三个向量的终点A ，B ，C 共线⇔存在实数λ，μ使得PA PB PC λμ=+，且1.λμ+=①BD DC λ=，111AD AC AC λλλ=+++． 【题型目录】题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】题型一： 平面向量的概念【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对①：零向量的长度为0，故①正确； 对①：零向量的方向是任意的，故①正确； 对①：单位向量的模都等于1，故①正确. 故选：C.【例2】下列命题中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A 正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B 错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C 错误；AB 与CD 是共线向量，也可能是AB 平行于CD ，故D 错误.故选：A【例3】有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ①若a b ≠，则a ，b 不是共线向量；①若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ①若m n =，n k =，则m k =；①有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5，若a b ≠也有可能a ，b 长度不等，但方向相同或相反，即共线，AB DC =，则AB ，DC 不一定相等，所以四边形，若m n =，n k =，则m k =，①正确；，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，综上，错误的是①①①，共3个. 【例4】设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |0a ；②若a 与0a 平行，则a ＝|a |0a ；③若a 与0a 平行且|a |＝1，则a ＝0a ．上述命题中，假命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【详解】单位向量的模为1，方向可以是不同方向，所以①错 ；若a 与0a 平行，则两个向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以①错；①错因此选D 【例5】下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量； ①若,a b 满足||||a b >，且a 与b 同向，则a b >①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ①若,a b b c ∥∥，则a c ∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误； 向量有方向，不能比较大小，故①错误；向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故①错误； 当0b =时，可满足,a b b c ∥∥，但a 与c 不一定平行，故①错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A ．【例6】下面关于向量的说法正确的是（ ） A ．单位向量：模为1的向量B ．零向量：模为0的向量，零向量没有方向C ．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量D ．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ACD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向量为零向量，零向量的方向是任意的，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD 均正确， 故选：ACD ．【例7】下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．若a b ∥，则a 与b 的方向相同或相反 C ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥ D ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 【答案】ABC【分析】对于A ，根据向量的概念判断，对于BCD ，举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A 错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故，若b 为零向量，则a 与c 可能不是共线向量，故，对任一非零向量a ，||aa 表示与a ABC 【题型专练】1.下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C【详解】A 选项方向不同，所以错 ；B 选项共线向量是方向相同或者相反，所以错；C 选项，规定零向量的方向是任意的，所以C 对；D 选项向量共线可以在一条直线上，直线平行不能共线，所以D 错 2.下列命题中正确的个数是（ ）①若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ①若向量a 与向量b 平行，则a ，b 方向相同或相反；①若非零向量AB 与CD 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ①若a b =，则a ，b 是相等向量或相反向量. A ．0 B ．1C ．2D ．3，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量AB 与CD 是共线向量，则AB 与CD 平行或共线；错误，a 与b 至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知正确； 错误，由a b =，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了方向.3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______.【答案】①【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ①正确 ①AB DC =,①||||AB DC =且//AB DC , 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ①四边形ABCD 为平行四边形.反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则//AB DC 且||||AB DC =,①AB DC =;①不正确,当//a b 且方向相反时,||||a b =,但不能得到a b =,故||||a b =且//a b 不是a b =的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：①4.把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 【答案】以O 为圆心的单位圆设终点为A ，则1AO =，则终点构成的图形是以O 为圆心的单位圆. 故答案为：以O 为圆心的单位圆. 5.下列说法中正确的是（ ） A ．若12,e e 为单位向量，则12e e = B ．若a 与b 共线，则a b =或a b =-C ．若0a =，则0a =D ．a a是与非零向量a 共线的单位向量中，向量12,e e 的方向不一定相同，所以中，向量a 与b 的长度不一定相等，所以0a =，根据零向量的定义，可得0a =，所以C 1a a a a =⋅，可得a a与向量a 同向，a a的模等于a a是与非零向量a 共线的单位向量，所以故选：CD.6．下列说法中正确的是（ ）A ．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B ．若向量//AB CD ，则//AB CDC ．在四边形ABCD 中，若向量//AB CD ，则该四边形为平行四边形 D ．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 【答案】AD【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A 正确； 对于B 中，向量//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，所以B 错误；对于C 中，在四边形ABCD 中，若向量//AB CD 、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C 错误；对于D 中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D 正确. 故选：AD.7．下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件 D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 是不共线的四点，则当AB DC =时，，故且,AB DC 同向，故AB DC =，故C ，当a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到a b =，故D 错误；8．下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b = D ．向量AB 与BA 相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项．【详解】对于C ，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D ，向量AB 与BA 互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB 正确． 故选：AB ．题型二： 平面向量的加法、减法【例1】AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．AB B ．0C ．BCD ．AC【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解：AO OB OC CA BO ++++ ()()AO OC CA BO OB =++++000=+=故选：B【例2】化简下列各式： (1)AO OB CA CB ++-； (2)MN MD NQ DQ -+-.【答案】(1)0；(2)0【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（1）()()AO OB CA CB AO OB CA CB ++-=++-0AB BA =+=；（2）()()MN MD NQ DQ MN MD NQ QD -+-=-++0DN ND =+= 【例3】正方形ABCD 的边长为1，则AB AD +为（ ） A．1 BC ．3D ．根据向量加法的平行四边形法则，AB AD AC +=, 212AB A AD C +==，故选：B.【例4】在ABC 中，M 是BC 的中点，则AB AC +等于（ ） A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA【答案】C【分析】根据向量的加法法则计算．【详解】如图，作平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，则2AB AC AE AM +==. 故选：C.【例5】如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OC HG FH ++=（ ）A ．OB B ．ODC ．OFD ．OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得OC HG FH OC FG OC CB OB ++=+=+=. 故选：A.【例6】设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为平面上任意一点，则OA OB OC OD +++=（ ） A ．4OM B ．3OM C ．2OM D ．OM【分析】分别在OAC 和OBD 【详解】解：在OAC 所以1()2OM OA OC =+，即2OA OC OM +=．在OBD 中，因为M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OM OB OD =+，即2OB OD OM +=． 所以4OA OB OC OD OM +++=． 故选：A ．【例7】若74AB AC ==，，则BC 的取值范围是（ ）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311， D ．(311)， 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量,AC AB 共线时取得最值，即可求得答案74AB AC ==，，且||BC AC AB -=,当,AC AB 同向时，BC 取得最小值，|||||||4||BC AC AB AC AB ===---当,AC AB 反向时，BC 取得最大值，|||||||||4BC AC AB AC AB -+===+当,AC AB 不共线时，BC 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，BC 的取值范围是[]311，， 故选：C【例8】已知ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）AC AB =-①AB CA BC AB -=-；①AB CA CA BC -=-；①CA BC AB AC -=-. AB AC CB BC -==，故①分别为,,AB BC AC 的中点，32AB ， 23AB CA AB AC AE AB -=+==， 23BC AB BC BA BF BA -=+==，所以AB CA BC AB -=-，故①成立；对于①，23CA BC CA CB CD AB -=+==， 所以AB CA CA BC -=-，故①正确；①，AB AC CB AB CA BC -==≠-，故①不成立故答案为：①①①.【题型专练】1.32AB BC AC +-=（ ） A ．AB AC + B ．AB AC - C ．AB D ．BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++- 2AC CB AB AC =+=+．故选：A.2．下列能化简为PQ 的是（ ） A ．QC QP CQ -+ B ．()AB PA BQ ++C ．()()AB PC BA QC ++- D ．PA AB BQ +-【答案】ABC【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，A 选项正确. B 选项，()AB PA BQ AB AQ BQ PA PA PQ ++=+=+=+，B 选项正确.C 选项，()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=，C 选项正确. D 选项，()PA AB BQ PB BQ BP BQ BP BQ PQ +-=-=--=-+≠，D 选项错误. 故选：ABC3. 在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．4. 在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则下列向量与AB DC +不相等的是（ ） A ．2EF B ．AC DB + C ．EB EC + D ．FA FD +所以11,22AE ED AD BF FC BC ====， 因为EF EA AB BF =++，EF ED DC CF =++ 2EF ED DC CF EA AB BF AB DC =+++++=+, A 正确，因为,DC DA AC AB AD DB =+=+，所以DC AB DA AC AD DB AC DB +=+++=+，所以B 正确，因为,DC DE EC AB AE EB =+=+，所以DC AB DE EC AE EB EC EB +=+++=+，所以因为()FA FD FB BA FC CD BA CD AB DC +=+++=+=-+， D 错误， 故选：D5．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ） A ．AB BC CA +=B ．AB AD BD -=C．AB AD AC+=D．BC CD BD+=【答案】D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB BC AC+=，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得AB AD DB-=，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB AD AC+=，C错误；根据三角形法则可得BC CD BD+=正确，所以D正确.故选：D.6．在四边形ABCD中，AB DC=，若AD AB BC BA-=-，则四边形ABCD是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【分析】由AB DC=，可得四边形为平行四边形，又BD AC=，从而即可求解【详解】解：在四边形ABCD因为AB DC=，所以四边形AD AB BC BA-=-，即BD AC=，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.7．在ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为ABC的重心，则下列结论中正确的是（）A．AB BC CA-=B．1()3AG AB AC=+C．0AF BD CE++=D．0GA GB GC++=【答案】BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．【详解】解：如图：，2AB BC AB CB EB AC-=+=≠，即选项为ABC的重心，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+，即选项，1()02AF BD CE AB BC CA++=++=，即选项C正确；，122()2GA GD GB GC=-=-⨯+，即0GA GB GC++=，即选项D正确，8．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB++；(2)EG CG DA EB+++.【答案】(1)GE；(2)0.【分析】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE+++++===；（2）EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE==+=++++++.题型三：平面向量的线性运算与共线定理【例1】[多选题]下列命题是真命题的是（）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量C．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量AB，CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD 是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD 两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ， 且AB 与AC 是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线． 故选：AD ．【例2】已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B 则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确； 选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，不存在，故该选项错误；，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，48(72)a b a b λ+=-，解得λ不存在，故该选项错误； 故选：A.【例3】下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线 【答案】ABC选项：根据向量共线的性质，可知A 、选项：a 与b 同向，则a 与b -反向，显然正确; 选项：如果0λμ==，则无法得知a 与b 共线.【详解】a 与b 同向，但a 不一定与b 相等，∴a b ≠，若a b =，则a 与b 同向， a =b ，∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件，A 正确.AB 与BC 共线，则有AB =BC λ，故一定有,,A B C 三点在同一条直线上，B 正确.a 与b 同向，则a 与b -反向，C 正确.0λμ==时，a 与b 不一定共线，D 错误.故选：ABC【例4】“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 【答案】必要不充分【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当AB CD ∥时，直线AB 与CD 的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A ，B ，C ，D 四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“AB CD ∥”无法推出“A ，B ，C ，D 四点共线”；当A ，B ，C ，D 四点共线时，直线AB 与CD 的位置关系为重合，此时，AB CD ∥， 则“A ，B ，C ，D 四点共线”可以推出“AB CD ∥”，因此“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分.【例5】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 【答案】21 【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a b a μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ 【例6】已知P 是①ABC 所在平面内的一点，若CB PB PA λ-=，其中λ①R ，则点P 一定在（ ） A ．AC 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．①ABC 的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】①CB PB PA λ-=，PB PC CB =+①()CB PC CB PA λ-+=，则PC -=λPA ，则CP PA λ= ①CP PA ∥①P 点在AC 边所在直线上． 故选：A ．【例7】在①ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+① 所以3144EB AB AC =-①故选A.【例8】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-，即34λ=，14μ=-. 故答案为：34；14-.【例9】在ABC 中，4AC AD =，P 为BD 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．38【答案】C 【解析】4AC AD =，14AD AC ∴=，则14BD AD AB AC AB =-=-， 1233BP AP AB AB AC AB AC AB λλ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭，由于P 为BD 上一点，则//BP BD ，设BP k BD =，则21344kAC AB k AC AB AC k AB λ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 所以423k k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.【例10】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A．12+ B1 C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC ANμ=， 1344AP AM ANλμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选：B. 【例11】已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+，则AMN BCNS S =△△（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC =， 所以MN ①BC ，又因为 M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离， 所以13AMN BCN MN S S BC==△△,【题型专练】1.已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线 【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得2AC CD =，从而可求解.【详解】解：()()1221123422AC AB CB e e e e e e CD -=-=+-=+=,所以A ，D ，C 三点共线.故选:C.2.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ 法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =． 3.设12e e ，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则 A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k = 【答案】D【解析】因为向量12=-+m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ， 所以有2211(2)λ-+=-e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =. 4.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=225.在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC =，则DP =( )A ．1144AB AC + B ．1144AB AC -- C ．1144AB AC - D ．1144AB AC-+ 【答案】B【解析】①点P 为AC 中点，①12AP AC =,①3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=-, ①1344AD AB AC =+,①113244DP AP AD AC AB AC =-=--=1144AB AC --,故选：B. 6.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=( ) A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC 【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A7.设D 为①ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD =+=+，CA =+3(CD CB -)，即有CD =﹣1322CA CB +， 因为CD CA CB λμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3. 8.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+， M 、O 、N 三点共线，122m n ∴+=，2m n ∴+=.故选：C.9.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．38 D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =，4BC =，∴14BD BC =， ∴14AD AB BD AB BC =+=+，O 为AD 中点， ∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，AO AB BC λμ=+， ∴1128AB BC AB BC λμ+=+，∴12λ=，18μ=， ∴115288λμ+=+=. 10.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ） A ．AO OD = B ．2AO OD = C ．3AO OD = D ．4?AO OD【答案】A【解析】D 为BC 边中点，①2OB OC OD +=，①20OA OB OC ++=，①0OA OD =+，即AO OD =.11．设,,D E F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 首先根据平面向量基本定理表示2133AD AB BD AB AC =+=+，2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+，【详解】()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 同理：2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+， 所以212121333333AD BE CF AB AC BA BC CB CA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13CB , 所以AD BE CF ++与BC 反向平行.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型题型四：由平面向量的性质判断图形的形状【例1】若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆的形状为____【答案】直角三角形=OC OA OC +=+=-+，+= 所以ABC ∆的形状为直角三角形【例2】若113e ,5e AB CD ===，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形 ，结合AD BC =，即可判断四边形【详解】解：因为113e ,5e AB CD ==，所以35AB CD =-，所以//AB CD AB CD ≠，AD BC =，所以四边形ABCD 为等腰梯形.故选：C.【题型专练】1．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2323OA OC OD OB +=+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形 【答案】B【分析】由2323OA OC OD OB +=+化简可得23DA CB =，结合向量共线定理判断四边形ABCD 的形状.【详解】① 2323OA OC OD OB +=+，① 2()3()OA OD OB OC -=-，① 23DA CB =，① 四边形ABCD 一定是梯形． 故选：B.2．四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，若a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【分析】由向量知识可知//AD BC ，AD BC ≠可得答案【详解】由已知得，2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+----=--= ， 故//AD BC ，由AD BC ≠，所以四边形ABCD 是梯形.故选：C.3．在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+ ∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形． 故选：D ．4．下列有关四边形ABCD 的形状判断正确的是（ ）A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形 C ．若AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 为菱形D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．【详解】AD BC =，则AD 13AD BC =，则//AD BC 若AB DC =，四边形ABCD AB AD =，即AB 若AB DC =，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，即AC 故选：ABC ．。