湖北省宜昌市高中数学第一章空间几何体教材习题本1(无答案)新人教A版必修2

高一数学人教a版必修二_习题_第一章_空间几何体_1.1.2_word版有答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是()A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球解析：由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B.答案： B2．下列说法正确的有()①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．答案： C3．(2015·江西临川一中月考)图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)解析：当截面不过旋转轴时，截面图形是(5)，故选D.答案： D4．(2015·安徽宿州十三校联考)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，已知圆台的母线长是6 cm，则圆锥的母线长为()A．2 cm B. 3 cmC．8 cm D．4 3 cm解析：该圆台的上、下底面半径分别为r 1，r 2，圆锥的母线长为l ，因为上、下底面的面积之比为1∶16，所以r 1∶r 2＝1∶4，如图为几何体的轴截面；则有l －6l ＝14， 解得，l ＝8.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________个．解析： 命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是310，则其轴截面面积是________．解析： 设圆台的高为h ，则h ＝(310)2－(5－2)2＝9，∴轴截面面积S ＝12(4＋10)×9＝63. 答案： 637．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________．解析： 设圆锥的母线长为y ，圆台的上、下底面半径为x,4x ，根据相似三角形的比例关系得：y －10y ＝x 4x ，也就是4(y －10)＝y ，所以y ＝403(cm)， 所以圆锥的母线长为403 cm.答案： 403cm 三、解答题(每小题10分，共20分)8．直角三角形ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，分别以AB ，BC ，AC 所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征．解析：在Rt△ABC中，分别以三条边AB，BC，AC所在直线为轴旋转一周所得的几何体，如下图．其中图(1)和图(2)是两个不同的圆锥，它们的底面分别是半径为4和3的圆面，母线长均为5.图(3)是由两个同底圆锥构成的几何体，在圆锥AO中，AB为母线，在圆锥CO中，CB为母线．9．指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解析：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(3)是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成．图(4)是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．。

1.1空间几何体的结构一．判断正误（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（）（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线；（对）（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（）（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．（对）（5）棱垂直于底面的棱柱是直棱柱（对）（6）底面是正多边形的棱柱是正棱柱（7）棱柱的侧面都是平行四边形．（对）（8）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱（9）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥（10）由五个面围成的多面体一定是四棱锥（11）棱台各侧棱的延长线交于一点（对）（12）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；（13）存在每个面都是直角三角形的四面体；（对）（14）棱台的侧棱延长后交于一点．（对）（15）棱柱的侧面可以是三角形（16）正方体和长方体都是特殊的四棱柱（对）（17）棱柱的各条棱都相等（18）所有的几何体的表面都展成平面图形（19）有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；（20）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；（21）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（22）侧面都是长方形的棱柱叫长方体．（23）多面体至少有四个面（对）（24）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（25）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；（26）一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．（对）（27）有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱（对）（28）直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；（29）以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；（30）一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．（31）两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台（对）（32）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．（写出所以正确说法的序号）【答案】①③（33）若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D二．多面体和旋转体表面上的最短距离问题1.已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】2.如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC 1=，P 是BC 1上一动点，则A 1P+PC 的最小值是 ．【答案】3.如图：已知正三棱锥P ﹣ABC ，侧棱PA ，PB ，PC 的长为2，且∠APB=30°，E ，F 分别是侧棱PC ，PA 上的动点，则△BEF 的周长的最小值为（ ）【答案】C ．224.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，2=BC ，5=AC ，31=AA ，M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，△1AMC 的面积为______。

第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC 的直观图如图所示，则△ABC 的面积为________．解析：△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝6，所以S ＝12×3×6＝9. 答案：98．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是_______．解析：在原图中AC ＝6，BC ＝4×2＝8，∠AOB ＝90°，所以AB ＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC ，且AB ＝BC ＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x 轴、y 轴，使∠xOy ＝90°(O 与A ′重合)；(2)在x 轴上取C ′，使A ′C ′＝AC ，在y 轴上取B ′，使A ′B ′＝2AB ；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边O ′B ′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O ′B ＝1，所以O ′A ′＝2，所以在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2 2.所以S △AOB ＝12×1×22＝ 2. 答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中的相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x 与O ′y ′画出底面正六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.。

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学人教新课标A版必修2 第一章空间几何体 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于（）A．3 √3B．√3C．2 √3D．4 √32．（2分）圆锥的底面半径为2，高为√5，则圆锥的侧面积为（）A．3πB．12πC．5πD．6π3．（2分）已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a的正三角形, 俯视图是边长为a的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（）A．√3a2B．√32C．3 a2D．32a22a4．（2分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．30B．12C．24D．45．（2分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．4B ．203C ．263D ．86．（2分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）A ．√23B ．√33C ．2√23D ．2√337．（2分）半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）A ．√33πR 3B ．√36πR 3C ．√324πR 3D ．16πR 38．（2分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+6 √5B ．30+6 √5C ．56+12 √5D ．60+12 √5二、填空题 (共3题；共6分)9．（2分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为 .10．（2分）如图，三棱锥A-BCD 中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且2AF=FD ，若三棱锥A-BEF 的体积是2，则四棱锥B-ECDF 的体积为 ．11．（2分）设M，N分别为三棱锥P-ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P-ABC的体积记为V1，三棱锥P-AMN的体积记为V2，则V2V1=.三、解答题 (共3题；共20分)12．（5分）已知长方体ABCD-A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1,C1,B三点的的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为403，求几何体ABCD-A1C1D1的表面积.13．（10分）如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′,A′D,A′B, BD,BC′,C′D，得到一个三棱锥A′−BC′D．求：（1）（5分）三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值；（2）（5分）三棱锥A′−BC′D的体积．14．（5分）如图，几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为√3，三棱锥的体积为13× √3×3= √3.故答案为:B．【分析】由棱锥的体积公式求体积.2．【答案】D【解析】【解答】解：圆锥的母线l=√r2+ℎ2=3，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×3=6π．故答案为：D．【分析】求出圆锥的母线，代入侧面积公式即可.3．【答案】D【解析】【解答】由题图可知该几何体为正六棱锥，侧视图为等腰三角形，其中底边长为√3a，高与正视图的高相同，为√3a，所以面积为12×√3a×√3a=32a2.故答案为:D.【分析】结合三视图还原出几何体为正六棱锥,由公式求体积.4．【答案】C【解析】【解答】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，V=1 2×3×4×5−13×(12×3×4)×3=24.故答案为:C.【分析】由三视图还出原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,再由公式求体积. 5．【答案】B【解析】【解答】由三视图可得到几何体的直观图如图所示，该几何体是由一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC组成，四棱锥A-CDEF的底面面积为4，高为4，所以体积是V=13×4×4=163；三棱锥F-ABC 的底面积为2，高为2，故体积是 43 ，所以该几何体的体积为 203 .故答案为:B.【分析】由三视图还出原几何体是由一个四棱锥A-CDEF 和一个三棱锥F-ABC 组成的,再由公式求体积.6．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边为 √2 ，高为 √3 ，所以体积为 V =13Sℎ=13×12×(√2)2×√3=√33，故答案为:B. 【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形,由公式求其体积.7．【答案】C【解析】【解答】解：半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R ，设圆锥的底面半径为r ， 则2πr=πR ， 即r=R 2，∴圆锥的高h=√R 2−(R 2)2=√32R∴圆锥的体积V=13·π·(R 2)2·√32R =√324πR 3故选：C【分析】半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R ，底面半径r=R 2，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．8．【答案】B【解析】【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底= 12×4×5=10，S后= 12×5×4=10，S右= 12×4×5=10，S左= 12×2√5×√(√41)2−(√5)2=6 √5．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6 √5．故选：B．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．9．【答案】50π【解析】【解答】因为圆锥的母线长是10，所以展开半圆的半径为10，S侧=12πr2=50π.故答案为:50 π .【分析】根据圆锥的性质,侧面展开图是半圆就是侧面,由公式求侧面积.10．【答案】10【解析】【解答】因为S△AEFS△ACD=12AE⋅AF⋅sinA12AC⋅AD⋅sinA=16，V底=6V A−BEF=12，则6V B−ECDF=10故答案为:10.【分析】将侧南分成一个三角形和一个四边形,其面积比就是对应棱锥的体积比.11．【答案】14【解析】【解答】三棱锥P-AMN的体积等于三棱锥P-ANC的体积的一半，等于三棱锥P-ABC的体积的四分之一.故答案为：14.【分析】分析几个棱锥体积的关系，求比值.12．【答案】解： ∵V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V B−A 1B 1C 1 =2×2×AA 1−13×12×2×2×AA 1=103AA 1=403 ∴AA 1=4 .则 A 1B =C 1B =2√5，A 1C 1=2√2 ，设A 1C 1的中点H ，则 BH =3√2，∴S △A 1C 1B =6 ， ∴ 表面积 S =3×8+4+2+6=36 .【解析】【分析】长方体截去一个角后的几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积. 13．【答案】（1）解：∵ABCD −A ′B ′C ′D ′ 是正方体，∴A ′B =A ′C ′=A ′D =BC ′=BD =C ′D =√2a ，∴三棱锥 A ′−BC ′D 的表面积为 4×12×√2a ×√32×√2a =2√3a 2 ．而正方体的表面积为6a 2，∴三棱锥 A ′−BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为 2√3a 26a 2=√33 （2）解：三棱锥 A ′−ABD,C ′−BCD,D −A ′D ′C ′,B −A ′B ′C ′ 是完全一样的， 故 V三棱锥A ′−BC ′D =V 正方体A ′−ABD =a 2−4×13×12a 2×a =a 33【解析】【分析】(1)求出三棱锥的表面积和正方体的表面积,再求比值.(2)用等积法求体积.14．【答案】解：圆锥侧面积为 S 1=πrl =15π ，圆台的侧面积为 S 2=π(r +r ′)l ′=10π ，圆台的底面面积为 S 底=πr ′2=4π ，所以表面积为 S =S 1+S 2+S 底=15π+10π+4π=29π .圆锥的体积 V 1=13πr 2ℎ1=12π ，圆台的体积 V 2=13πℎ2(r 2+rr ′+r ′2)=19√33π ，所以体积为 V =V 1+V 2=12π+19√33π .【解析】【分析】几何体为组合体,由公式分别求圆锥和圆台的体积,再求和即为几何体的体积.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确．答案： C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．答案： D3．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为()A．16πB．32πC．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋(6)2＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案： A4.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析： 由斜二测画法的规则可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3， 又∵AO ⊥BC ，∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形． 答案： A5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4解析： 由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π，V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4. 答案： C6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶9解析： 如图，由题意知O 1A 1∶O 2A 2∶OA ＝1∶2∶3，以O 1A 1，O 2A 2，OA 为半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5. 答案： B7．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3解析： 设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.答案： D8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4D ．5解析： V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案： B9．如图所示，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶4解析： 三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的高相等，故其体积之比等于△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比，而△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比等于A 1B 1与AB 比的平方，即1∶4.故三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的体积比为1∶4.答案： D10．一个正三棱柱的三视图如图所示，则此三棱柱的表面积和体积分别为( )A ．24＋83，8 3B ．43，4 3C ．12＋23，4 3D ．24＋43，4 3解析： 由三视图可知此正三棱柱的底面三角形的高为23，三棱柱的高为2，所以其底面边长为4，于是S 表＝24＋83，V ＝12×32×42×2＝8 3.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________． 解析： 设棱台的高为x ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 162＝50512， 解之，得x ＝11. 答案： 1112．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍． 解析： 设原来球的半径为r ，扩大后的半径为R ，则有4πR2＝2×4πr2，则R＝2r.则扩大后的体积V＝43πR3＝43π(2r)3＝22·43πr3，即体积扩大到原来的22倍．答案：2 213．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O－ABCD的体积为________．解析：如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O′，连接O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝23，可得OO′＝2，故V O－ABCD＝13S矩形ABCD ·OO′＝13×6×23×2＝8 3.答案：8 314.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝⎛⎭⎫522＋62＝13.答案：13三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)画出下图中几何体的三视图．解析：图中几何体组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按照正方体和圆柱的三视图的画法画出该组合体的三视图．该几何体的三视图如图所示．16.(本小题满分12分)如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．解析： 设圆台O ′O 的母线长为l ，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm.故SA ′SA ＝O ′A ′OA， 即33＋l ＝r4r. 解得l ＝9，故圆台O ′O 的母线长为9 cm.17．(本小题满分12分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解析： 如图作出轴截面，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm. ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CDAC.设OE ＝R ，则AO ＝3－R ，∴R 3－R ＝12， ∴R ＝33(cm)． ∴V 球＝43π⎝⎛⎭⎫333＝4327π(cm 3)．∴球的体积等于4327π cm 3.18．(本小题满分14分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析： (1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a 33.。

高中数学人教新课标A版必修2 第一章空间几何体 1.2.3空间几何体的直观图一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()A．B．C．D．2．（2分）在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()A．B．C．D．3．（2分）下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是()A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直4．（2分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．8cm B．6cm C．2(1＋√3)cm D．2(1＋√2)cm 5．（2分）图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()A．B．C．D．6．（2分）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()A．12+√22B．1＋√22C．1＋√2D．2＋√27．（2分）如图，Rt△O′A′B′是△OAB的斜二测直观图，斜边O′A′=2，则△OAB的面积是（）A．√22B．1C．√2D．2 √2 8．（2分）用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）A．2 √2倍B．2倍C．12倍D．√24倍二、填空题 (共3题；共6分)9．（2分）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为.10．（2分）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为．11．（2分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图，∠ABC=45∘，AB=√2，AD=1，DC⊥BC则这块菜地的面积为．三、解答题 (共3题；共15分)12．（5分）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.13．（5分）如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．14．（5分）一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故答案为：A【分析】根据斜二测画法与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍即可得出结果。

人教A版高中数学必修2第一章《空间几何体》章节测验（附详解）正方形，则原来的图形是()8．球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为3，A1B1上一点，且．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的．：：3．：：5．：：4 ．：：9．如右图已知圆柱的上、下底面的中心分别为面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为．122π所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是若某空间几何体的直观图如图所示，则该自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．16．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm)．按照给出的数据，求该几何体的体积．18．(12分)如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．19．(12分)如图所示，在多面体FE-ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.20．(12分)用一张相邻边长分别为4 cm,8 cm的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计)，求该圆柱的表面积．21．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．22．(12分)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球的表面积之比．直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图解析：如图，由题意知O A 1O 2A 2OA ＝：：3，以O A ，O A ，OA 为半：：9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为：(4－：＝：：5.的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为r ，母线长为因为轴截面是面积为＝2，所以圆柱的表解析：如图所示，将三棱柱沿AA 1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝13.16. 答案：3π求的直观图，如图(3)．19.解析：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，。

高中数学新课标人教A版必修二第一章空间几何体同步经典习题==本文档为word格式，下载后可随意编辑修改！==1.1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征基础达标1．(昆明高一检测)在棱柱中满足()．A．只有两个面平行B．所有面都平行C．所有面都是平行四边形D．两对面平行，且各侧棱也相互平行2．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()．3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()．A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝2，A1C1＝2，AC＝4C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1A1＝CA4．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．5．如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．6．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD -A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.7．已知正三棱锥V-ABC，底面边长为8，侧棱长为26，计算它的高和斜高．能力提升8．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()．A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台9．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()．A．20 B．15 C．12 D．1010．长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体的结构特征基础达标1．下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()．A．①②B．②③C．①③D．②④2．过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是()．A．有且只有一个B．一个或无穷多个C．无数个D．以上均不正确3．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()．4．下列几何体中是台体的是________．5．下面这个几何体的结构特征是_________________________________________ _________________________________________________________________.6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________．7．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．能力提升8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是()．A．①③B．②④C．①②③D．②③④9．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．（9题图）（10题图）10．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．1.2空间几何体的三视图和直观图基础达标1．下列说法正确的是()．A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形2．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．A．①②B．①③C．①④D．②④3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱4．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．根据图中所给出的物体的三视图，试画出它们的形状．能力提升8．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()．9．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________．10．(1)如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x，y的值．(2)画出如图所示的正四棱锥的三视图．1.2.3空间几何体的直观图基础达标1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()．A．45°B．135°C．45°或135°D．90°2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD 中，最长的线段是()．A．AB B．AD C．BC D．AC3．下列说法正确的个数是()．①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1 B．2 C．3 D．44．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．6．(石家庄高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．7．根据图(1)(2)(3)所示的几何体的三视图，想象其实物模型，画出其对应的直观图(不写画法)能力提升8．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()．A．2 B．4 C．2 2 D．4 29．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是________．10．如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积基础达标1．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( )． A.26 B.23 C.33 D.232．(许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )．A ．π B ．2π C ．4π D ．8π3．一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 ( )．A ．16 cm 2B ．10＋4 2 cm 2C ．12＋4 2 cm 2D ．8＋2 2 cm 24．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S 1与底面面积之和S 2的大小关系为 ( )．A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．以上都不是5．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()．A．3πB．4πC．33πD．6π6．一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为________．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.能力提升8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为()．A.33ab4 B.3＋22ab C．(3＋2)ab D.23＋22ab9．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________ m3.10．若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积．1.3.2 球的体积和表面积基础达标1．(洛阳高一检测)一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是 ( )．A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3169V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是 ( )．A ．d ≈3169V B ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157V D ．d ≈ 32111V3．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为( )． A.4π3 B ．43π C.246π3 D.82π34．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O－ABCD 的体积为________．5．若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．6．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于________．7．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．能力提升8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为 ( )．A.43π27B.6π2C.6π8D.6π249．球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为________．10．在棱长为2R 的正方体容器内装满水，先把半径为R 的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入这两个球后溢出的水量与容器容量之比．高中数学新课标人教A版必修二第一章空间几何体同步经典习题参考答案1.1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征基础达标1．(昆明高一检测)在棱柱中满足()．A．只有两个面平行B．所有面都平行C．所有面都是平行四边形D．两对面平行，且各侧棱也相互平行解析由棱柱的定义可得只有D成立．答案 D2．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()．解析两个不能相并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．答案 A3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()．A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝2，A1C1＝2，AC＝4C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1A1＝CA解析因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△A1B1C1∽△ABC，所以A1B1AB＝B1C1BC＝A1C1AC.答案 C4．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．解析利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判定．答案①③④⑥⑤5．如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．解析可通过选取小阴影正方形作底折叠分别检验．答案1，4，56．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD -A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm ，3 cm ，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是13 cm.答案137．已知正三棱锥V -ABC ，底面边长为8，侧棱长为26，计算它的高和斜高． 解 如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点，∴△VAO 和△VCD 是直角三角形．∵底面边长为8，侧棱长为26， ∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4，∴VO ＝VA 2－AO 2＝（26）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8332＝23 6.VD ＝VC 2－CD 2＝（26）2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2.能力提升8．如图所示，在三棱台A ′B ′C ′－ABC ，截去三棱锥 A ′－ABC ，则剩余部分是( )．A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台 解析 剩余部分是四棱锥A ′－BB ′C ′C .答案 B9．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( )．A ．20B ．15C ．12D ．10解析 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.答案 D10．长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．解把长方体的部分面展开，如图所示．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E 到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体的结构特征基础达标1．下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()．A．①②B．②③C．①③D．②④解析①③错误，②④正确．答案 D2．过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是()．A．有且只有一个B．一个或无穷多个C．无数个D．以上均不正确解析当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．答案 B3．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()．解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.答案 B4．下列几何体中是台体的是________．解析①中的几何体侧棱延长线没有交于一点；②中的几何体没有两个平行的面；很明显③中几何体是棱锥，④是圆台．答案④5．下面这个几何体的结构特征是_________________________________________ _________________________________________________________________.答案上面是一个四棱锥，下面是一个与锥体同底的长方体挖去一个圆柱6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________．解析 ∵d ＝12R ，∴α＝30°∴r ＝R cos 30°＝32R ∴S 截S 大圆＝πr 2πR 2＝34.答案 34 7．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为l 并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．解 如图是此几何体的轴截面图OA ＝AB ＝R ，所以△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，设O 1D ＝x ，因为CD ＝R －x ，BC ＝R －l ，故x ＝l ，所以截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．能力提升8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( )．A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.答案 C9．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．解析 如图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O 1的半径为r ，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SO SO 2＝14，设SO ＝x ，SO 2＝4x ，则OO 2＝3x ，因为OO 1∶O 1O 2＝2∶1，所以OO 1＝2x ，在△SBO 1中1r ＝SO SO 1＝x 3x ，所以r ＝3，因此截面圆的面积是9π.答案 9π10．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．解 此题的关键在于作截面．球不可能与边AB 、CD 相切，一个球在正方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图所示的截面图．球心O 1和O 2在AC 上，过O 1、O 2分别作AD 、BC 的垂线交于E 、F 两点．设小球半径为r ，大球半径为R .则由AB ＝1，AC ＝3，得AO 1＝3r ，CO 2＝3R ，∴r ＋R ＋3(r ＋R )＝3，∴R ＋r ＝33＋1＝3－32. 1.2 空间几何体的三视图和直观图基础达标1．下列说法正确的是 ( )．A ．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B ．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C ．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D ．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析 对于A ，球的三视图与物体摆放位置无关，故A 错；对于B ，D ，正方体的三视图与摆放位置有关，故B ，D 错；故选C.答案 C2．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )．A．①②B．①③C．①④D．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．答案 D3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.答案 D4．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．解析直径d＝103sin 60°＝15.答案155．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案7 6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．解析三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.答案2 47．根据图中所给出的物体的三视图，试画出它们的形状．解根据所给的三视图，得其直观图，如图．能力提升8．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()．解析 正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B 、D ，侧视图中小长方形在右上方，排除A ，故选C.答案 C9．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a ＝________．解析 由三视图可知原几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a .∴V ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a ＝33⇒a ＝ 3. 答案 310．(1)如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x ，y 的值．(2)画出如图所示的正四棱锥的三视图．解 (1)棱柱的底面是一个直角三角形，根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则可知⎩⎨⎧x ＋y －2＝8，x －y ＋5＝3y ， 即⎩⎨⎧x ＋y ＝10，x －4y ＝－5，解得x ＝7，y ＝3. (2)四棱锥的三视图如图所示．1.2.3空间几何体的直观图基础达标1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()．A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.答案 C2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD 中，最长的线段是()．A．AB B．AD C．BC D．AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．答案 D3．下列说法正确的个数是()．①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1 B．2 C．3 D．4解析①②③错误，④正确．答案 A4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为52.答案 525．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________． 解析 由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.答案 4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm6．(石家庄高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，原平面图形的面积为________．解析 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22， 高为2，∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案 2＋22 7．根据图(1)(2)(3)所示的几何体的三视图，想象其实物模型，画出其对应的直观图(不写画法)解 三视图对应的几何体如下图所示能力提升8．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为()．A．2 B．4 C．2 2 D．4 2解析由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝22S直观图，得12·OB·h＝22×12×2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4 2.答案 D9．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是________．解析在直观图中边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64.答案16或6410．如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图解由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积基础达标1．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()．A.26 B.23 C.33 D.23解析由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为22，故正八面体的体积V＝2V 正四棱锥＝2×13×12×22＝23.故选B.答案 B2．(许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )．A ．π B ．2π C ．4π D ．8π解析 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.答案 B3．一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 ( )．A ．16 cm 2B ．10＋4 2 cm 2C ．12＋4 2 cm 2D ．8＋2 2 cm 2解析 此几何体为三棱柱且侧棱与底面垂直，则表面积为(2＋2＋22)×2＋2×12×2×2＝12＋42(cm)．答案 C4．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S 1与底面面积之和S 2的大小关系为 ( )．A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．以上都不是解析 斜高h ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤36（4－2）2＝2， S 1＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×2＋3×4)×2＝92，S 2＝34×22＋34×42＝53，∴S 1＞S 2.答案 A5．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( )．A ．3πB ．4πC ．33πD ．6π解析 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体，则正方体内接于球．正方体棱长为1，则对角线长为球的直径，∴2R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝3π.答案 A6．一个正四棱台两底面边长分别为m 、n ，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为________．解析 如右图所示，设O 1、O 分别为棱台上、下底面中心，M 1、M 分别为B 1C 1、BC 的中点．连接 O 1M 1、OM ，则M 1M 为斜高．过M 1作M 1H ⊥OM 于H 点，则M 1H ＝OO 1，S 侧＝4×12(m ＋n )·M 1M ，S 上底＋S 下底＝m 2＋n 2.由已知得2(m ＋n )M 1M ＝m 2＋n 2，∴M 1M ＝m 2＋n 22（m ＋n ）. 在Rt △M 1HM 中，MH ＝OM －O 1M 1＝12(m －n )，∴M 1H ＝O 1O ＝M 1M 2－MH 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2＋n 22（m ＋n ）2－14（m －n ）2＝mn m ＋n .答案 mn m ＋n 7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.能力提升8．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，∠BB 1C 1＝90°，侧棱长为b ，则其侧面积为 ( )． A.33ab 4 B.3＋22ab C ．(3＋2)ab D.23＋22ab解析 如图，由已知条件可知：侧面AA 1B 1B 和侧面AA 1C 1C 为一般的平行四边形，侧面BB 1C 1C 为矩形．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，∴BC ＝2a .∴S 矩形BCC 1B 1＝2a ·b ＝2ab .∵∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，AB ＝AC ＝a ，∴点B 到直线AA 1的距离为a sin 60°＝32a .∴SAA 1B 1B ＝32ab .∴S 侧＝2×32ab ＋2ab ＝(3＋2)ab 答案 C9．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，由“长对正，宽相等，高平齐”的原则可知三棱锥的高为2，底面三角形的底边长为4，高为3，则所求棱锥的体积为V ＝13×12×3×4×2＝4.答案 410．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积．解 如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A ­B 1EFC 1的高相等，∴V A ­BEFC ＝VA ­B 1EFC 1＝12VA ­BB 1C 1C .又VA ­A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC －A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，∴VA ­A 1B 1C 1＝m 3，∴VA ­BB 1C 1C ＝VABC ­A 1B 1C 1－VA ­A 1B 1C 1＝23m ，∴V A ­BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A -BEFC 的体积是m 3.1.3.2 球的体积和表面积基础达标1．(洛阳高一检测)一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是 ( )．A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析 设三棱锥的外接球半径为r ，则有(2r )2＝32＋42＋52＝50，即4r 2＝50，故它的外接球的表面积S ＝4πr 2＝50π.答案 C2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是 ( )．A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析 由球体积公式得d ＝36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78， 300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91，而2111最接近于6π，所以选D.答案 D 3．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为( )．。

第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。

图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————祝你前程似锦三、解答题：11、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，由A 到C 1在长方体表面上的最短距离为多少？AA 1B 1BCC 1D 1D12、说出下列几何体的主要结构特征（1）（2）（3）1.2空间几何体的三视图和直观图一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（ ） A 两条相交直线 B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线 2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ）① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图甲 乙 丙3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ）A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥 4、下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21倍 B42倍 C 2倍 D 2倍 6、如图（１）所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）（１） 二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。

高中数学 第一章《空间几何体》练习（基础版） 新人教A版必修2一、选择题（共12小题，每小题 5分，共60分）1．下图几何体是由选项中的哪个平面图旋转而得到的（ ）A B C D 2．下列关于直观图的说法中正确的是（ ）A ．正方形的直观图可能是梯形B ．相等的线段在直观图中仍然相等C ．平行四边形的直观图是平行四边形D ．垂直线段在直观图中仍然垂直 3．若圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V和2V ，则1V :2V =( ) A 3:2 B ．2:1 C ．3:1 D ．1:1 4．一个球的外切正方体的全面积等于26cm ，则此球的体积为( ) A π343cm Bπ863cm C π66 3cm D π61 3cm 5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积为( )A π8B π12C π16D π326．圆柱的轴截面是正方形，面积是S ，则圆柱的侧面积是 ( ) A ．S π1B ．S πC ．S π2D ．S π47．下面三视图的实物图形的名称是（ ） A 四棱台 B 四棱锥 C 三棱柱 D 三棱锥俯视图8．可得几何体的表面积是( )A 244+πB 324+πC π22D π129．右图中三棱柱的正视图为 ( )A B C D10．棱长为1正方体1111D C B A ABCD -中截去三棱锥111BC A B -，剩下几何体的体积为( ) A ．32 B ．65 C ．43 D ．21 11．一枚骰子的每一面有一个数字，右图 是从3种不同角度看同一骰子的情况， 则数字1对面的数字是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 12．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北 现在沿该正方体的一 些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的 平面图形，则标“△”的面的方位是（ ）A 南B 北C 西D 下 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．球的面积扩大为原来的4倍,它的体积扩大为原来的_______倍. 14．底边和侧棱长均为3的三棱锥的表面积为__________.15．已知一个正方体的顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该正方体的表面积为 __________．16．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图俯视图1 2334 561 5△上东正视图侧视图都是上、下底分别为2和4，腰为2的等腰梯 形，俯视图是两个同心圆，那么这个几何体的体 积为________．三、解答题（共6小题，其中第17小题10分，其他各题12分，共70分）17．( 10分) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形， 求这个几何体的表面积.18．( 12分) 圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，求这个圆柱的体积.19．( 12分) 如图所示，已知三棱锥BCD A -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1， 且 20=∠BAC ，M 、N 分别在棱AC 和AD 上，求NB MN BM ++的最小值．20．(12分) 如图，在三角形ABC 中，若3=AC ，4=BC ，5=AB ，以AB 所在直线为 轴，将此三角形旋转一周， 求所得旋转体的表面积．ACOB侧视图正视图俯视图俯视图21．( 12分)(1) 写出这个几何体的名称；(2) 求此几何体的体积．22．( 12分) 将圆心角为120、面积为 3的扇形，作为一个圆锥的侧面，求此圆锥的体积.正视图侧视图俯视图10 104 45。

（ ）AC >AD >AB >则原图形 的面积为______．．OABC 242√=6×4=24S OABC 2√2√例题：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．平行投影投影线平行的投影称为平行投影．其中投影线与投影面垂直的平行投影叫做正投影，投影线与投影面不垂直的平行投影称为斜投影．平行投影的性质线段的平行投影是线段或点；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长的比等于这两条线段长的比．中心投影投影线交于一点的投影称为中心投影．空间几何体的三视图三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形．通常，总是选择三种正投影：投影线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影称为几何体的正视图，也叫主视图；投影线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影称为几何体的侧视图，也叫左视图；投影线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影称为几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．三视图的画法一个几何体的俯视图和正视图长度一样，侧视图和主视图高度一样，侧视图和俯视图宽度一样，简称为：“长对正，高平齐，宽相等”．侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．给出以下四个命题：①正方形的平行投影一定是菱形；②三角形的平行投影一定是三角形；③平行直线的平行投影仍是平行的直线；④当直线或线段不平行于投影线时，它的平行投影仍是直线或线段．其中真命题的个数是（ ）A． B． C． D．解：B①正方形的平行投影有三种情况：a．当正方形所在平面与投影面平行时，它的投影是正方形；b．当正方形所在平面与投射面垂直时，它的投影是一条线段；c．当正方形所在平面与投射面斜交时，它的投影是平行四边形．②三角形的平行投影可能是一条线段或三角形．③两条平行直线的平行投影为两个点或重合为一条直线或仍为两条平行直线．0123④由平行投影的性质知④是真命题．如图(1)，、 分别是正方体的面 ，面 的中心，则四边形 在该正方体的面上的正投影可能是图(2)中的______．（要求把可能序号都填上）解：②③四边形 在正方体的面 、面 、面 、面 上的投影是②．四边形 在正方体的面 、面 上的投影是③．E F AD D 1A 1BC C 1B 1BF E D 1BF E D 1ABCD A 1B 1C 1D 1CD D1C 1AB B 1A 1BF E D 1BCC 1B 1AD D 1A 1下列四个几何体中，只有主视图和左视图相同的是（ ）A．①② B．①③ C．①④ D．②④解：D如图(1)(2)所示的是两个相同的正方体，阴影面选为正面，正方体的棱长均为 ，分别画出它们的三视图．解：三视图分别如下图中的(1)(2)．1一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为（ ）解：C由正（主）视图可知去掉的长方体在正对视线的方向，从侧（左）视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧．A． B． C．862√×4×2+43√．．．．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第一章 空间几何体P8 1、选择题（2）下列命题正确的是（ ）（A ）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

（B ）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

(C) 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

(D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

P19 1。

用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定） （1）等边三角形 （2）平行四边形； （3）正八边形； 2、判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。

（1）角的水平放置的直观图一定是角。

（ ） （2）相等的角在直观图中仍然相等。

（ ） （3）相等的线段在直观图中仍然相等。

（ ）（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。

（ ） 3、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形。

②平行四边形的直观图是平行四边形。

③正方形的直观图是正方形。

④菱形的直观图是菱形。

以上结论，正确的是（ ） （A ）①② （B ）① (C) ③④ (D) ①②③④4、用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE 的直观图，其中底面ABCDE 是正五边形，点P 在底面的投影是正五边形的中心O （尺寸自定）。

P21、用斜二测画法画出水平放置的一个角为︒60，边长为cm 4的菱形的直观图。

P24 、已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。

P25 如图，一个圆台形花盆盆口直径为cm 20，盆底直径为cm 15，底部渗水圆孔直径为cm 5.1，盆壁长cm 15。

为了美化花盆的外观，需要涂油漆。

已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆。

P28 将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 2.、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a ，求球的体积。

3、一个球的体积是3100cm ，试计算它的表面积。

必修2 1.1空间几何体的结构(练习题)一、选择题1．在棱柱中（）A．只有两个面平行 B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也互相平行2．将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、44．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B l＝1，AB＝2，B l C l＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A l B l＝1，AB＝2，B1C l＝1.5，BC＝3，A l C l＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A15．有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）6．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形7．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）二、填空题8.如图，长方体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C l的最短距离为______．9.在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．10.高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是____．11图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题12.察以下几何体的变化，通过比较，说出他们的特征．13.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长____．设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B. A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间纬线圈的劣弧长及A、B两点间的球面距离.在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°，A、B两地沿纬线圈的弧长与A、B两点的球面距离之比为（）A．3:2 B.2:3 C.1:3 D.3:15.把地球看成一个半径为R的球，地球上的两点A、B的纬度都是45°，A、B两R，若A点在东经20°处，求B点的位置.点间的球面距离为3必修二 1.1空间几何体的结构练习题参考答案一、选择题1．D 2． B 3C 4C 5D 6。

第一章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(C) A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．2．下列说法中，正确的个数为(B)①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确．3．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是(A)解析：根据三种视图的对角线位置关系，容易判断A是正确结论．4．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(D)A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2解析：由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图． 设△AOB 的边OB 上的高为h ， 则12·OB ·h ＝22×12×2O ′B ′. ∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.5.如图，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点B 处的食物．当圆柱的高等于12 cm ，底面半径为 3 cm 时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是( C )A ．12 cmB.15π cm C.144＋9π2 cmD ．18 cm解析：如图，在圆柱的侧面展开图中，BC 的长为底面圆周长的一半，即BC ＝12×2π×3＝3π(cm)，蚂蚁所走路程为AB ＝122＋(3π)2＝144＋9π2(cm)．故蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是144＋9π2 cm.6．棱台上、下底面面积分别为16,81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( C )A ．1 1B ．12C ．23 D ．34解析：如图，将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h .两棱台的高分别为x 1，x 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫h h ＋x 12＝1636，解得x 1＝h 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫h h ＋x 1＋x 22＝1681，解得x 2＝34h .故x 1x 2＝23. 7．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是32，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( A )A ．1 1B ．1 2C ．23D ．32解析：设圆柱的高为2，球的半径为r ，则V 球＝43πr 3＝43π，解得r ＝1，故所求比为11.8．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( D )A ．3B ．2 C. 3D ．1解析：由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S ＝12×2×3＝3，高h ＝3，所以其体积V ＝13Sh＝13×3×3＝1.故选D. 9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C )A.1727B.59C.1027D.13解析：该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V ＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积V 毛坯＝π×32×6＝54π(cm 3)，被切部分的体积V 切＝V 毛坯－V ＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 切V 毛坯＝20π54π＝1027. 10.如图，如果底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是( B )A.13πr 2(a ＋b )B.12πr 2(a ＋b ) C ．πr 2(a ＋b )D ．2r 2(a ＋b )解析：将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a ＋b 的圆柱，故圆柱被截后剩下部分的体积为12πr 2(a ＋b )．11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( D )A ．963B ．16 3C ．243D ．48 3解析：由球的体积公式可求得球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有a 2×33＝R ＝2，解得a ＝4 3.故此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.12．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1-DFD 1，V 3＝VB 1E 1B -C 1F 1C ，其余部分为V 2，若V 1V 2V 3＝141，则截面A 1EFD 1的面积为( C )A ．410B ．8 3C ．413D ．16解析：三部分都是棱柱，三棱柱AA 1E -DD 1F ，三棱柱B 1BE 1-C 1CF 1和四棱柱A 1EBE 1-D 1FCF 1，显然它们的高都是4，设它们的底面面积分别为S 1，S 2，S 3.由V 1V 2V 3＝141，得4S 14S 24S 3＝141.∴S 1S 2S 3＝14 1.∴S 四边形A 1EBE 1＝4S △A 1AE ＝4S △BB 1E 1. 设AE ＝a ，则BE ＝6－a ， ∴(6－a )×3＝4×12×a ×3.∴a ＝2.∴A 1E ＝22＋32＝13.∴S 截面A 1EFD 1＝13×4＝413.第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图所示的螺母是由正六棱柱和圆柱两个简单几何体构成的．14．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π.解析：如图，设正四棱锥底面的中心为O ，则在Rt △ABC 中，AC ＝2×AB ＝6，∴AO ＝CO ＝3. 在Rt △P AO 中，PO ＝P A 2－AO 2＝(32)2－32＝3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r ＝3，球的表面积S ＝4πr 2＝36π. 15.如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A ，B ，C ，D 为其上四个点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积为16.解析：将展开图还原为正方体如图．故以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积V ＝V C -ABD ＝13×12×12×1＝16×1＝16.16．下列关于棱柱的特征叙述正确的是①②③④.(把所有正确的序号都填上)①两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行； ②侧面是平行四边形；③面数最少的棱柱是一个五面体； ④任何两条侧棱平行且相等；⑤长方体是一个四棱柱，它的三视图是三个矩形；⑥长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1一定是由矩形ABCD 平移得到的．解析：⑤中，只有把一个侧面作为正视图时，其三视图才是三个矩形；⑥中，长方体侧面的矩形也可以通过平移形成这个长方体．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64 cm 2.故该几何体的表面积是64 cm 2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径．记长方体的对角线为d ，球的半径是r ，d ＝16＋16＋4＝36＝6，所以球的半径r ＝3.因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π cm 3.所以外接球的体积是36π cm 3.18．(10分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示(单位：cm)．(1)求出这个工件的体积；(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分)．解：(1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3，设圆锥高为h ，则h ＝32－22＝5，则V ＝13Sh ＝13πR 2h ＝13π×4×5＝453π(cm 3)．(2)圆锥的侧面积S 1＝πRl ＝6π cm 2，则表面积＝侧面积＋底面积＝6π＋4π＝10π(cm 2)，喷漆总费用＝10π×10＝100π≈314(元)．19.(10分)如图，在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，△ABC 为等边三角形，AA ′⊥平面ABC ，AB ＝3，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长度； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C -MNP 的体积．解：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如图，设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3， ∴x ＝2，即PC ＝2.又∵NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC2.∴NC ＝45.(3)S △P ＝12×CP ×＝12×2×45＝45.在三棱锥M -P 中，M 到平面P 的距离h ＝32×3＝332.∴V C -MNP ＝V M -P ＝13·h ·S △P ＝13×332×45＝235. 20．(10分)某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，该养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝π3×82×4＝2563π(m 3)．word11 / 11 如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝π3×62×8＝2883π(m 3)． (2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则半径为8 m. 圆锥的母线长l ＝4 5 m ，则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)； 如果按方案二，仓库的高变成8 m.圆锥的母线长l ＝10 m ，则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，∴方案二比方案一更加经济．。

第一章 1.1 1.1.1A级基础巩固一、选择题1．下面多面体中，是棱柱的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．2．下列说法正确的是(D)A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．3．下列说法中正确的是(B)A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条[解析]棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数至少是6，三棱柱的侧棱数至少是3，三棱柱的棱数至少是9，所以C、D 项不正确，B项正确．4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(D)[解析]A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D．5．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(B)A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台[解析]①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B．6．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(C)A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形[解析]按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．二、填空题7．八棱锥的侧面个数是__8__.[解析]八棱锥有8个侧面．8．下列说法正确的是__①④__.①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析]①正确．②不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．三、解答题9．判断如图所示的几何体是不是棱台？为什么？[解析]①②③都不是棱台，因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．B级素养提升一、选择题1．(2016嘉峪关一中高一检测)下面说法正确的是(C)A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱柱的各侧棱长不一定相等C．棱台的各侧棱延长必交于一点D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台[解析]棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选C．2．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为(C)A．1B．2C．3D．4[解析]如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1.3．(2016·日照高一检测)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(A)A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定[解析]倾斜后水槽中的水形成的几何体是棱柱．二、填空题4．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有__10___条.[解析]在上底面选一个顶点，同时在下底选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是__①③④⑤__(写出所有正确结论的编号).①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．[解析]在如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面．即正方形或长方形，∴①正确，②错误．棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；棱锥A－A1B1C1符合⑤，∴⑤正确．6．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．C级能力拔高1．一个几何体的表面展开平面图如图.(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形.[解析]图1是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．第一章 1.1 1.1.2A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中不是旋转体的是(D)[解析]由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是(D) A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱[解析]棱柱的任何截面都不可能是圆面．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(C) A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆台[解析]用任意一个平面截球体所得的截面都是圆面，故选C．4．下列命题中正确的是(C)①过球面上任意两点只能作球的一个大圆；②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．A．①②③B．②③C．②③D．②[解析]过直径的两个端点可作无数个大圆，故①错；两个大圆的交点是两个大圆的公共点，也一定是直径的端点，故②正确；球心与截面圆心的连线一定垂直于截面，故③正确．5．如图(1)所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？(A)[解析]因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C，故选A．6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)A．(1)(2)B．(1)(3) C．(1)(4)D．(1)(5)[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题7．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__22__.[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.8．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是__④__(填序号).[解析]过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形．三、解答题9．说出下图是由什么几何体组合而成的？[解析]①三棱柱挖去一个圆柱②球、圆柱和圆台B级素养提升一、选择题1．下列几何体中(A)A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个D．旋转体3个，多面体4个[解析](6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体．2．下列命题，其中正确命题的个数是(C)①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个(注：轴截面是指过旋转轴的截面)；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆．A．0B．1C．2D．3[解析]由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C．3．下列说法正确的是(D)①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．A．①②B．②③C．①③D．②④[解析]①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中点连线旋转形成的；②正确；由母线的定义知③错；④正确．4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由(D)A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成[解析]旋转体如图，可知选D．二、填空题5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为__103__cm.[解析]h＝20cos30°＝20×32＝103(cm)．6．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是__④__.①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．[解析]平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面，故填④.C级能力拔高1．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：2．如图(1)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的.[解析]如图(2)所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图(3)所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的．第一章 1.2 1.2.1 1.2.2A级基础巩固一、选择题1．下列投影是平行投影的是(A)A．俯视图B．路灯底下一个变长的身影C．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上D．以一只白炽灯为光源的皮影[解析]三视图是由平行投影形成的，而B、C、D中由电灯发出的光得到的投影是中心投影．2．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的△A′B′C′与△ABC(B)A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对[解析]根据题意画出图形，如图所示．由图易得AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′≠1，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′.故选B ． 3．如图所示的三视图表示的几何体可能是( B )A ．圆台B ．四棱台C ．四棱锥D ．三棱台[解析] 由三视图可知，该几何体是四棱台．4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( A )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱[解析] 圆柱的正视图不可能是三角形．5．小周过生日，公司为她预订的生日蛋糕(示意图)如下图所示，则它的正视图应该是 ( B )[解析] A 为俯视图，注意到封闭的线段情形，正视图应该是B ．6．若一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是( B )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．四棱柱[解析] 由俯视图可知底面为四边形，由正视图和侧视图知侧面为三角形，故几何体为四棱锥．二、填空题7．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是__15__.[解析]皮球的直径d＝103sin60°＝103×32＝15.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为__1__.[解析]三棱锥P－ABC的正视图与侧视图为等底等高的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.三、解答题9．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图.[解析]所给四棱锥的三视图如下图．B级素养提升一、选择题1．下列说法不正确的是(C)A．光由一点向外散射形成的投影，叫作中心投影B．在一束平行光线照射下形成的投影，叫作平行投影C．空间几何体的三视图是用中心投影的方法得到的D．在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的[解析]空间几何体的三视图是在平行投影下得到的，故C中说法不正确．2．某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是(C)[解析]A、B、D都可能是该几何体的俯视图，C不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如右图所示的矩形．3．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为(A)[解析]显然AB1、AC、B1D1、CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．4．已知三棱柱ABC－A1B1C1，如图所示，则其三视图为(A)[解析]其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC1可见，为实线，只有A符合．二、填空题5．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是__②④⑤__.[解析]三角形的投影是线段或三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．6．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有__①②③④__.C级能力拔高1．由几何体的三视图如图所示，试分析该几何体的结构特征.[解析]由正视图和侧视图可知，该物体的下半部分为柱体，上半部分为锥体，又因俯视图为一个正六边形，故该几何体是由一个正六棱柱和一个正六棱锥组合而成的，如图所示．2．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图.[解析] 三视图如图所示．第一章 1.2 1.2.3A 级 基础巩固一、选择题1．AB ＝2CD ，AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，已知在直观图中，AB 的直观图是A ′B ′，CD 的直观图是C ′D ′，则( C )A ．A ′B ′＝2C ′D ′B ．A ′B ′＝C ′D ′ C ．A ′B ′＝4C ′D ′ D ．A ′B ′＝12C ′D ′ [解析] ∵AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AB ＝A ′B ′，CD ＝2C ′D ′，∴A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′.2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( B )A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[解析]平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确．3．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(C)①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0B．1C．2D．3[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(A)[解析]由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(C) A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6．如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(C)A．1B．2C．22D．4 2[解析]由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝2，OA ＝2O ′A ′＝4，∴S △OAB ＝12OB ·OA ＝22，故选C ． [点评] 平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S 原，它的斜二测画法直观图的面积为S 直，则有S 直＝24S 原(或S 原＝22S 直)． 二、填空题7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为__M ′(4,2)__，点M ′的找法是__在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′__.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.8．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是__10__.[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积.[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D 的面积为12×(1＋2)×24＝328. 10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为4 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此几何体的直观图.[解析] (1)画轴．如图1所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB .选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A′A、B′B、P A′、PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．B级素养提升一、选择题1．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(C)A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形[解析]将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示．由题意知O′D′＝2 O′C′＝2 2 cm，OD＝2O′D′＝4 2 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm，OC＝CD2＋OD2＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm＝OC，∴原图形为菱形．2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(A)A．8 cm B．6 cm C．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cm [解析]根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝22，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8.3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的(C)[解析] 按斜二测画法规则，平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y 轴或在y 轴上的线段在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，将图形还原成原图形知选C ．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( D )A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D ．616a 2 [解析] 根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2. 二、填空题5．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是__16__.[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，又∵底边OB 的高为8，∴面积S ＝12×4×8＝16. 6．如右图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为__22__.[解析]因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如右图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝2 2.C级能力拔高1．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.[解析]由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x轴、y 轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O和上底面⊙O′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O与⊙O′.③取OO′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．2．由如图所示几何体的三视图画出直观图.[解析] (1)画轴．如图，画出x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC .(3)画侧棱．过A 、B 、C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′、BB ′、CC ′，且AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图，顺次连接A ′、B ′、C ′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．第一章 1.3 1.3.1A 级 基础巩固一、选择题1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( C ) A ．2倍B ．3倍C ．2倍D ．5倍[解析] 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.故选C ．2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( C )A ．27B ．43C ．6D ．3[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( C ) A ．288πcm 3B ．192π cm 3C ．288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 3[解析] 圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×(122π)2×8＝288πcm 3，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×(82π)2×12＝192πcm 3.4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( A ) A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为( D )A ．1B ．12C ．32D ．34[解析] 设圆柱底面半径为R ，圆锥底面半径r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，∴r ＝2R ， V 柱︰V 锥＝πR 2h ︰13πr 2h ＝3︰4，故选D ．6．(2015·山东文)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )A ．22π3B ．42π3C ．22πD ．42π[解析] 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为__24＋23__.[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1︰S 2＝9︰4，则V 1︰V 2＝__3︰2__.[解析] 设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.三、解答题9．如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)[解析] 正方体的表面积为4×4×6＝96(cm 2)， 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm 2)，则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm 2)．B 级 素养提升一、选择题1．(2017·浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D )A ．180B ．200C ．220D ．240[解析] 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240.3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( D )A ．18B ．17C ．16D ．15[解析] 由三视图得，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A －A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则VA －A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.4．(2017·全国卷Ⅰ理，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( B )A ．10B ．12C ．14D ．16[解析] 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形。