高中数学 习题课 空间几何体 新人教B版必修

课时分层作业(九) 空间几何体与斜二测画法(建议用时：40分钟)一、选择题1．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍旧相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍旧是等腰三角形；④菱形的直观图仍旧是菱形．上述结论正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3A[只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不肯定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．应选A．]，那么它的实际外形四边形ABCD为()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形D[由于∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规那么知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．]3．如图，等腰三角形ABC，那么如下图的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()A．①②B．②③C．②④D．③④D[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，那么在△ABC的三边及中线AD 中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．ACD[复原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．]△ABC按“斜二测画法〞得到如下图的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°C[依据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋(3)2＝2，故△ABC是等边三角形，那么∠ABC＝60°.]二、填空题6．(一题两空)在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，那么在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.24[在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.]7．有一个长为5，宽为4的矩形，那么其直观图的面积为________．52[由于该矩形的面积S＝5×4＝20，所以由公式S′＝24S，得其直观图的面积为S′＝24S＝5 2.]△A′O′B′，其平面图形的面积为________．6[由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝12OA·OB＝6.]三、解答题，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．[解]由中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如下图：这是一个底边长为2，高为2的平行四边形．故原图形的面积为2 2.10．用斜二测画法画出如下图的水平放置的四边形OBCD的直观图．[解](1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示．(2)画出相应的x′轴、y′轴，使它们相交于O′点，且∠x′O′y′＝45°，如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些帮助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．图①图②图③11．(多项选择题)以下说法正确的选项是()A．水平放置的角的直观图肯定是角B．相等的角在直观图中仍旧相等C．长度相等的线段在直观图中长度仍旧相等D．两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍旧平行AD[在平面直角坐标系中，假设B＝90°，AB＝BC，A＝C且AB∥x轴，BC∥y轴，那么在直观图中，B′C′＝12A′B′，A≠C，故B，C错误．由斜二测画法，知A，D正确．]12．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，那么原图的周长是()A．8 cmB．6 cmC．2(1＋3)cmD．2(1＋2)cmA[原图形OABC为平行四边形，如图．OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8 cm.]13．两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点究竟面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点究竟面的距离为3 cm，那么其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.5[在直观图中与z轴平行线段的长度不变，所以这两个顶点之间的距离为2＋3＝5(cm)．]14．(一题两空)纸制的正方体的六个面依据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如下图的平面图形，那么标“△〞的面的方向是________，标“○〞的面的方向是________．北南[如图，将所给图形复原为正方体，并将面“上〞“东〞分别指向上面、东面，那么标记“△〞的面的方向是北，标记为“○〞的面的方向是南．]15．如图为一几何体的绽开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．[解]由题设中所给的绽开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如下图．。

教材习题点拨练习A1．答：通常把直尺放在一个面的各个方向上，看看直尺的边缘与这个面有没有空隙，如果不出现空隙就可以判断这个物体表面是平的．2．略．3．解：例如两条交叉走向的立交桥所在的直线．4．(1)对；(2)不对；(3)不对．练习B解：如图所示．练习A1．略．2．矩形3．长方体是四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，如底面是梯形的直四棱柱就不是长方体．4．答案不唯一，如图所示．沿虚线折起即可构成正方体．练习B1．直四棱柱2．A⊂B⊂C⊂D思考与讨论答：观察所给多面体能否还原成棱锥，若能则它是棱台，否则它不是棱台．练习A1．略．2．不一定3．是相交于一点，因为棱台可看作由棱锥截得的．练习B1．如图所示．2．都是直角三角形提示：本题考查识图能力，并记住△SOA ，△SOB ，△SOC ，△SOD 都是直角三角形，这些三角形在今后学习中会不断地运用．3．(1)178；(2)1157；(3)228.4．解：如图中的正三棱台ABCA ′B ′C ′，其中OO ′为高，过A ′作A ′D ⊥OA 于D ，则OO ′＝A ′D .在△ABC 中可求得AO ＝533(cm)．在△A ′B ′C ′中可求得A ′O ′＝233(cm)． ∴AD ＝AO －A ′O ′＝3(cm)． 又AA ′＝5(cm)，∴A ′D ＝AA ′2－AD 2＝25－3＝22(cm)， 即棱台的高为22 cm. 探索与研究解答：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形． (3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥． 圆台是由圆锥截得的，“还台为锥”不失为解决圆台问题的很好的办法． 练习A 1．略．2．它是一个矩形，其长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高．3．任意一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，它的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为底面圆周长；任意一个圆台的侧面展开图是一个扇环，如图所示，其中AB ，A 1B 1，A ′B ′的长为圆台的母线长，'AA 的长度为⊙O ′的周长，'BB 的长度为⊙O 的周长．4．圆柱的轴截面为矩形，其长为母线长5，宽为底面圆直径4，故面积为5×4＝20. 5．解：如图所示为圆锥的轴截面，其中PA ＝20 cm ，∠APO ＝30°，OP 为高，在Rt △OAP 中，OP ＝AP ·cos 30°＝20×32＝103(cm)．练习B 1．略． 2．略．3．解：圆台的轴截面如图所示，其中A 1B 1＝2，A 2B 2＝8，A 1A 2＝5，O 1O 2为高，过A 1作A 1H ⊥A 2B 2于H ，则A 1H ＝O 1O 2.在Rt △A 1A 2H 中，A 1A 2＝5，A 2H ＝8－22＝3，∴A 1H ＝A 1A 22－A 2H 2＝52－32＝4.故圆台的高为4.4．解：圆台的轴截面如图所示，其中A 1A 2＝20 cm ，∠A 2A 1H ＝30°，A 1O 1＝15 cm.在△A 1A 2H 中，A 1H ＝A 1A 2·cos 30°＝10 3 cm ，A 2H ＝A 1A 2·sin 30°＝10 cm.∴圆台的高为10 3 cm ，圆台的下底面半径O 2A 2为25 cm ，则下底面面积为S ＝πR 2＝252π＝625π(cm 2)．思考与讨论解答：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．练习A1．1 nmile 所对的弧长为αR ＝160·π180·6 370≈1.85(km)．2．解：如图所示为球的大圆，其中O 为球心，AB 为截面圆直径，O 1为截面圆圆心，由题意知OA ＝25 (cm)．∵1O S＝49π，∴O 1A ＝7 (cm)．在Rt △OO 1A 中，OO 1＝OA 2－AO 21＝24 (cm)， 即球心到截面的距离为24 cm.3．课本图126中的基本几何体有：圆锥、圆柱、棱柱、圆台等． 练习B 1．略．2．解：如图，直线与球有三种位置关系：相离——无公共点或球心到直线的距离大于球半径〔如图(1)〕；相切——有且只有一个公共点或球心到直线的距离等于球半径〔如图(2)〕；相交——有多于一个公共点或球心到直线的距离小于球半径〔如图(3)〕．3．解：如图所示，AB为球O截得的线段，且AB＝8，OA＝5，过O作OC⊥AB于C，则AC＝4.∴OC＝OA2－AC2＝3，∴球心到直线的距离为3.思考与讨论若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似．练习A1．(1)不正确；(2)不正确；(3)不正确；(4)正确．2．解：取A′B′、B′C′、A′C′的中点D′、E′、F′，连接A′E′，B′F′，C′D′，三线的交点即为△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′，如图所示．3．解：如图所示为正方形的直观图．如图所示为等边三角形的直观图．4．解：如图所示．练习B1．(1)正确；(2)不正确．2．解：直观图如图所示．3．解：边长为1.5 cm，高为3 cm的正三棱锥的直观图如图所示．4．解：底面半径为1 cm，高为3 cm的圆柱和圆锥的直观图如图所示．思考与讨论解：在平面上表示立体图形有斜二测画法、正等测画法、三视图等，其画法规则各自不同．练习A1．如图所示．2．如图所示．3．如图所示．4．略．练习B1．如图所示．2．如图所示．探索与研究解：(1)当旋转体底面水平放置即轴线为铅垂线时，其三视图比较简单，此时主视图、左视图相同(圆柱、圆锥、圆台分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形)，俯视图为圆(或带圆心)，有时为了方便一般只画出它们的主视图和俯视图(二视图)．(2)球的三视图也符合上述特征．练习A1．S 全＝S 侧＋2S 底＝6ah ＋33a 2＝3a (2h ＋3a )． 2．S 侧＝123，S 全＝16 3.3．S 全＝S 侧＋S 上＋S 下＝(4815＋80)(cm 2)．4．因为2πR ＝16π，所以R ＝8，S ＝4πR 2＝256π(cm 2)． 练习B1．解：正方体的对角线长即为球的直径，设正方体的棱长为a ，则2R ＝3a ， ∴S 正方体＝6a 2，S 球＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2. ∴S 球S 正方体＝π2. 2．解：斜高h ′＝⎝⎛⎭⎫1.522＋0.852＝ 1.285≈1.133 6， S 全＝12×h ′×1.5×4≈3.4(平方米)．3．解：(1)由面积的比等于对应边的平方比，得 S 小棱锥侧∶S 大棱锥侧＝1∶4，S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥底面边长为4 cm ，则大棱锥的底面边长为8 cm ，又PA ＝12 cm ，则A 1A ＝6 cm ，梯形ABB 1A 1的高h ′＝62－22＝4 2 (cm)， ∴S 台侧＝6×4＋82×42＝144 2 (cm 2)，S 台全＝S 台侧＋S 上底＋S 下底＝1442＋243＋96 3 ＝1442＋120 3 (cm 2)． 练习A1．解：长方体的体积等于正方体的体积，设正方体棱长为a ，则a 3＝2×4×8， ∴a ＝4.2．解：三棱锥A ′－BC ′D 的体积是正方体的体积减去四个小棱锥(如A ′－ABD )的体积， 设正方体的棱长为a ，则V 正方体＝a 3. V A ′－ABD ＝13×12a 3＝16a 3，∴V A ′－BC ′D ＝a 3－4×16a 3＝13a 3，则V A ′－BC ′D V 正方体＝13a3a 3＝13.故三棱锥A ′－BC ′D 的体积是正方体体积的13.3．解：设原来球的半径为R ，则S 大圆＝πR 2，V 球＝43πR 3，当大圆面积增长为原来的100倍时，面积为100πR 2.设大圆面积变为原来的100倍后球的半径为x ，则有100πR 2＝πx 2，∴x ＝10R .V ′球＝43πx 3＝1 000·43πR 3.故球的体积变为原来的1 000倍． 练习B1．解：设圆柱体和正方体的高为h ，圆柱的底面半径为R ，则由侧面积相等得4h 2＝2πRh ，∴2h ＝πR ，即R ＝2πh .∴V 正方体＝h 3，V 圆柱＝πR 2·h ＝π·⎝⎛⎭⎫2πh 2·h ＝4πh 3. ∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. 2．解：如图所示．∵PC ＝3，而△PAB 为正三角形， ∴AC ＝1，PA ＝2， ∴OC ＝AC ＝1.在Rt △POC 中，PO ＝ 2. ∴V 棱锥＝13·S ·h ＝13×22×2＝432.3．解：∵V 台＝13h (S 上＋S 下＋S 上·S 下)，又S 下＝62＝36(dm 2)，S 上＝42＝16(dm 2)， ∴190＝13h (36＋16＋36×16)，∴h ＝3×19076＝7.5(dm)＝75(cm)．故它的深度为75 cm. 习题11A1．解：侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱．底面为正多边形的直棱柱为正棱柱． 2．解：由面积的比等于对应边的平方比可知，截面截一条侧棱所得两条线段的比为1∶(2－1)(或(2－1)∶1)．3．对角线长d ＝122＋42＋32＝13.4．解：(1)都在同一直线上(有可能是重合的点)；(2)平行于投影面的线段的平行投影的长度与原线段的长度相等；平行于投影面的线段的中心投影的长度与原线段的长度相应成比例；(3)与投射面垂直的面上的若干图形的正投影在一条直线上． 5．解：直观图、三视图如图所示．6．解：直观图、三视图如图所示．(1)(2)7．解：设长、宽、高分别为4x 、2x 、x ，则由体积公式得1 000＝4x ·2x ·x ，∴x 3＝125，∴x ＝5(cm)．则长为20 cm ，宽为10 cm ，高为5 cm.8．解：设它的棱长为x cm ，由题意得8x 3＝(x ＋1)3，解得x ＝1.则它的棱长为1 cm.9．解：由题意知底面为等腰三角形，其面积S ＝12×2×22＝22(cm 2)． 侧棱长为棱柱的高，∴V ＝Sh ＝22×4＝82(cm 3)．10．解：正六棱柱的底面积S ＝150 3 (cm 2)．正六棱柱的体积V ＝Sh ＝1503×15＝2 250 3 (cm 3)．11．解：设地球半径为R ，则火星半径为R 2，∴V 地V 火＝43πR 343π⎝⎛⎭⎫R 23＝8. 若R ＝6 370，则V 地＝43π×6 3703≈1.083×1012 (km 3)． V 火＝V 地8≈1.353×1011 (km 3)． 习题11B1．解：由左视图可知正三棱柱的高为2 mm ，由俯左一样宽可知正三棱柱的底面正三角形的高为2 3 mm ，由此可计算出正三角形的边长为4 mm ，∴正三棱柱的表面积＝S 侧＋2S 底＝3×4×2＋2⎝⎛⎭⎫12×4×23＝(24＋83)(mm 2)．2．解：圆柱的底面不变，要使它的体积扩大到原来的5倍，则需要把它的高扩大到原来的5倍；如果圆柱高不变，半径扩大到原来的5倍也可使它的体积扩大到原来的5倍．3．解：因为正三棱柱的高h 不变，因此内切圆柱和外接圆柱的体积只与其底面圆半径有关．设正三棱柱的底面边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则由平面几何性质知R ＝2r .所以V 内切圆柱∶V 外接圆柱＝πr 2h ∶πR 2h ＝r 2∶R 2＝1∶4.4．解：V 正三棱锥＝13×12a 2×a ＝16a 3. 5．解：等边三角形绕其一边旋转一周后，所形成的几何体是两个对底的圆锥，每一个圆锥的母线长为a ，底面圆半径为r ，r ＝32a ，高为h ，h ＝a 2，则V ＝2×13πr 2×h ＝2×13π×34a 2×a 2＝π4a 3. 6．解：∵圆锥的母线长为5 cm ，高为4 cm ，由轴截面图形知底面半径为3 cm ，∴V ＝13π×32×4＝12π(cm 3)． 7．解：设木星的半径为R ，地球的半径为r ，则由题意S 木星S 地球＝4πR 24πr 2＝R 2r 2＝120， ∴R r ＝230. ∴V 木星V 地球＝43πR 343πr 3＝⎝⎛⎭⎫R r 3＝(230)3＝24030≈1 314.5(倍)． 即木星体积是地球体积的1 314.5倍．。

第一章 1.1 1.1.7A 级 基础巩固一、选择题1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为导学号 92434239( B )A ．1B ．13C ．16D ．23[解析] 由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，面积是12×1×1＝12，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，∴三棱锥的体积V ＝13×12×2＝13.2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号 92434240( D )A ．1B ．12C ．32D ．34[解析] 设圆柱与圆锥的底半径分别为R ，r ，高都是h ，由题设，2R ·h ＝12×2r ·h ，∴r ＝2R ，V 柱＝πR 2h ，V 锥＝13πr 2h ＝43πR 2h ，∴V 柱V 锥＝34，选D ． 3．球的体积是32π3，则此球的表面积是导学号 92434241( B )A ．12πB ．16πC ．16π3D ．64π3[解析] 设球的半径为R ，则V ＝43πR 3＝32π3，∴R ＝2，∴此球的表面积S ＝4πR 2＝16π.4．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是导学号 92434242( C ) A ．9 55π B ．9 55 C ．355πD ．355[解析] 设圆锥的底面半径为r ，由题意，得2πr ＝6π，∴r ＝3. 又母线长l ＝8，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝55， ∴它的体积V ＝13πr 2h ＝13π×9×55＝355π.5．(2016·山东文，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为导学号 92434243( C )A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π [解析] 根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π(22)3＝13＋26π.6．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为导学号 92434244( B )A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π[解析] 设球O 的半径为R ，则R ＝12＋(2)2＝3， 故V 球＝43πR 3＝43π.二、填空题7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位： cm)，可得这个几何体的体积是__8 0003cm 3__. 导学号 92434245[解析] 由主视图、左视图、俯视图可知此几何体为一个四棱锥，底面是边长为20的正方形，高为20，∴该几何体的体积为13×20×20×20＝8 0003(cm 3).8．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为24πR 3__. 导学号 92434246 [解析] 设圆锥的底面半径为r ，由题意， 得πR ＝2πr ，∴r ＝12R .∴圆锥的高h ＝R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝32R ，故圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π·14R 2·32R＝324πR 3. 三、解答题9．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积. 导学号 92434247[解析] 如图所示，VA 1－EBFD 1＝VA 1－EBF ＋VA 1－EFD 1＝VF －A 1EB ＋VF －A 1ED 1 ＝13·a ·a 24＋13·a ·a 24＝a 36. 10．如图所示，一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，长、宽分别是4 cm 、2 cm ，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形. 导学号 92434248(1)求该几何体的全面积； (2)求该几何体的外接球的体积.[解析] 该几何体是一个底面边长为4 cm 的正方形、高为2 cm 的长方体，如图所示.(1)该几何体的全面积S ＝2×4×4＋4×2×4＝64(cm 2). (2)设该几何体外接球的半径为R cm ，则2R ＝42＋42＋22＝6， ∴R ＝3 cm.故该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝36π cm 3.B 级 素养提升一、选择题1．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是导学号 92434249( C ) A ．S 球>S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球<S 正方体D ．不能确定[解析] 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则4πR 33＝a 3，∴a ＝34π3R ，S正方体＝6a 2＝6×3(4π3)2R 2＝316π2×24R 2， S 球＝4πR 2＝3(4π)3R 2＝316π2×4πR 2， ∴S 球<S 正方体，故选C ．2．(2017·浙江理，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是导学号 92434250( A )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．3．(2017·全国卷Ⅱ文，6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为导学号 92434251( B )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π[解析] 方法1：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分. 由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法2：(估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱. 又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π. 观察选项可知只有63π符合. 故选B ． 二、填空题4．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于__2π__.导学号 92434252[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则其母线长为2r ，∴2π×r ×2r ＝4π，∴r ＝1. 故圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×1×2＝2π.5．(2016·北京文，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为__32__.导学号 92434253[解析] 通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S ＝(1＋2)×12＝32，通过侧(左)视图可知四棱柱的高h ＝1，所以该四棱柱的体积V ＝Sh ＝32. C 级 能力拔高1．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内，过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋轴一周，求所得旋转体的表面积及体积. 导学号 92434254[解析] 如图，过点D 作DE ⊥l ，由已知可得DE ＝a ，CE ＝3a .所以旋转体是以BC 为底面半径的圆柱，挖去以C 为顶点，以DE 为底面半径的圆锥的组合体，所得几何体的体积V ＝π×(2a )2×3a －13π×a 2×3a＝43πa 3－33πa 3 ＝1133πa 3. 所得几何体的表面积S ＝S 圆柱表－S圆锥底＋S圆锥侧＝2π×2a ×3a ＋2π×(2a )2－π×a 2＋π×a ×2a＝(43＋9)πa 2.2．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N 、K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积. 导学号 92434255[解析] 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝(5＋2)2，2πr ＝14×2πl ， 解得r ＝2，l ＝42，h ＝l 2－r 2＝30， ∴S ＝πrl ＋πr 2＝10π， V ＝13πr 2h ＝230π3.。

第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素一、非标准1.下列说法中正确的是()①几何中的点、直线都是抽象的概念,在现实世界中可以说是不存在的;②空间中并没有孤立的点、线、面,它们只是作为几何体的组成元素而共存于几何体中;③几何中画出的点,不考虑它的大小;画出的线,不考虑它的粗细;画出的面,不考虑它的厚度和面积;④任何一个平面图形都是一个平面.A.①③B.②③C.①②③D.①②③④解析:由点、线、面的定义,平面是没有大小的,一个平面图形并不是一个平面.答案:C2.下图表示两个相交平面的画法中正确的是()解析:两个平面相交一定要将公共直线作为交线,并且看不见的部分要用虚线.答案:D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线BD1既不相交又不平行的棱有()A.3条B.4条C.6条D.8条解析:在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1,B1C1,在平面ABCD上的四条棱中有AD,CD,上下两底面之间的四条棱中,有AA1,CC1,故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条.答案:C4.有下列说法:①将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体;②长方体中相对的面都互相平行;③长方体两底面之间的棱相互平行且等长;④点运动的轨迹是线,一条线运动的轨迹是面.其中正确的说法个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①不正确,当矩形水平放置时,沿竖直方向平移,可得到一个长方体,当矩形不是水平放置时,沿竖直方向平移不能得到长方体;②③④正确,故选C.答案:C5.如图所示,平面α,β,γ可将空间分成()A.五部分B.六部分C.七部分D.八部分解析:由平面α,β,γ的位置关系可知,三平面将空间分成六部分,故选B.答案:B6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是线段C1D1,A1D1,BD1,BC的中点,给出下面四个说法:①MN∥平面APC;②B1Q∥平面ADD1A1;③A,P,M三点共线;④平面MNQ∥平面ABCD.其中正确的序号为()A.①②B.①④C.②③D.③④解析:平面APC即为平面ACC1A1,很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点,即MN∥平面ACC1A1;同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1;A,P,M三点不共线;平面MNQ与平面ABCD是相交的.故选A.答案:A7.下列说法正确的是.(填序号)①平面是无限延展的;②一个平面长3cm,宽4cm;③两个平面重叠在一起,比一个平面厚;④通过改变直线的位置,可以把直线放在某个平面内.解析:利用平面所具有的特征进行判断.①④正确,②③不正确.答案:①④8.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A,B,C为其上三点,则在正方体盒子中,∠ABC等于.解析:由展开图可知,折成无盖盒子如图所示(上面无盖).因AB,AC,BC均为正方体的面对角线,所以AB=AC=BC,△ABC为等边三角形,故∠ABC=60°.答案:60°9.观察如图所示三个图形,说明各图形的不同之处.解:(1)表示一个平面图形.(2)表示一个立体图形,是被挡住了3个面的三棱柱.(3)表示一个立体图形,是被挡住了2个面的三棱柱.10.试指出下列各几何体的基本元素(如图所示).解:(1)中几何体有6个顶点,12条棱和8个三角形面.(2)中几何体有12个顶点,18条棱和8个面.(3)中几何体有6个顶点,10条棱和6个面.(4)中几何体有2条曲线,3个面(2个圆面和1个曲面).11.如图是边长为1m的正方体,有一蜘蛛潜伏在A处,B处有一小虫被蜘蛛网粘住,请制作出实物模型,将正方体剪开,描述蜘蛛爬行的最短路线.解:制作实物模型(略).通过正方体的展开图(如下图所示),可以发现,AB间的最短距离为A,B两点间的线段的长,为√22+12=√5(m).由展开图可以发现,C点为其中一条棱的中点.蜘蛛爬行的最短路线如图①~⑥所示.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作空间几何体同步练习本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成（）A．平面B．曲面C．直线D．锥面2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体3．有关平面的说法错误的是（）A．平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名，如平面α…B．平面是处处平直的面C．平面是有边界的面D．平面是无限延展的4．下面的图形可以构成正方体的是（）A B C D 5．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形6．A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有（）A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个7．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有（）A．1 B．2 C．3 D．48．下列命题中正确的是（）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥9．长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（）A．5 B．7 C．29D．3710．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（）A．E⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂B．A C B F D E⊂CA⊂DFBC．C A B D F E⊂⊂⊂⊂⊂D．它们之间不都存在包含关系第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移4cm记为A′B′，依次连结构成长方体ABCD—A′B′C′D′.①该长方体的高为；②平面A′B′C′D′与面CD D′C′间的距离为；③A到面BC C′B′的距离为 .12．已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.13．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果A 在多面体的底面，那么哪一面会在上面 ；②如果面F 在前面，从左边看是面B ，那么哪一个面会在上面 ；③如果从左面看是面C ，面D 在后面，那么哪一个面会在上面 .14．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)15．（12分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．16．（12分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．17．（12分）正四棱台上，下底面边长为a ，b ，侧棱长为c ，求它的高和斜高．18．（12分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥的母长．19．（14分）已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积．20．（14分）有在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .问：①依据题意制作这个几何体； ②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；③若正方形边长为a ，则每个面的三角形面积为多少．参考答案一、DBCCA DDBAB二、11．①3CM ②4CM ③5CM ； 12．圆锥、圆台、圆锥； 13．①F ②C ③A ； 14．52． 三、15．解：J 与N ，A 、M 与D ，H 与E ，G 与F ，B 与C.16．解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点.小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途： ①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；③可以利用两底是相似多边形进行有关推算.17．分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形B E BE E E O O B B O O ''''''和，及两个直角三角形OBE 和E B O '''∆中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两底面的外接圆半径（B O OB '',）内切圆半径（E O OE '',）的差，特别是正三、正四、正六棱台.略解：h OO B F h EE B G ='=''='='，2222)(222)(21)(21)(22a b c a b c h a b BG a b BF --=--=∴-=-='=--=--h c b a c b a 222214124()() 18．解：设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为r R ，.l l r Rl l l cm -=∴-=∴=101014403() 答：圆锥的母线长为403cm. 19．解：设底面正三角形的边长为a ，在RT △SOM 中SO=h ，SM=n ，所以OM=22l n -，又MO=63a ，即a =2236l n -，)(3343222l n a s ABC -==∴∆，截面面积为)(34322l n -． 20．解：①略．②这个几何体由四个面构成，即面DEF 、面DFP 、面DEP 、面EFP .由平几知识可知DE =DF ，∠DPE =∠EPF =∠DPF =90°，所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△EFP 、△DEP 为直角三角形.③由②可知，DE =DF =5a ,EF=2a ,所以，S △DEF =23a 2。

1.1.1一、选择题1．构成空间几何体的基本元素为()A．点B．线C．面D．点、线、面2．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．43．如图所示，下面空间图形画法错误的是()4．下列关于长方体的叙述中不正确的是()A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B．长方体中相对的面互相平行C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D．两相对面之间的棱互相平行且等长5．下列说法中错误的是()A．平面用一个小写希腊字母就可以表示B．平面可以用表示平面的平行四边形一条对角线的两个顶点字母表示C．三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD．一条直线和一个平面可能没有公共点6．下列是几何体的是()A．方砖B．足球C．圆锥D．魔方7．在长方体ABCD－A1B1C1D1六个面中，与面ABCD垂直的有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与A1D1既不相交也不平行的不是下面哪条棱()A．AB B．BC C．B1B D．CD二、填空题9．完成如下类比练习：“直线上一个点把这条直线分成两部分”①把其中的直线改为平面，点改为直线，则类比为____________．②把其中的直线改为空间，点改为平面，则类比为____________．10．如图是一个长方体的图形，试指出其中：(1)一组互相平行的面________．(2)一组互相垂直的面________．(3)一条直线与一个平面平行________．(4)一条直线与一个平面垂直________．(5)一个点到一个平面的距离________．(6)两条既不相交，也不平行的直线________．11．在立体几何中，可以把线看成________运动的轨迹．如果点运动的方向始终不变，则其运动的轨迹为__________________；如果点运动的方向时刻变化，则其运动的轨迹为__________________．12．直线平行移动，可以形成________或________．三、解答题13．画出(1)、(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体．14．根据图中给出的平面图形，折叠几何模型．15．下图为一个正方体表面的一种展开图，图中的线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面内的共有多少对？16．取两张长方形的纸，根据下图分别演示两个平面的位置关系．17．请将图中各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．1 D点、线、面共同构成空间几何体．2 B球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．故选B.3 DD项中的两个平面没有按照实虚线的画法规则作图，故选D.4 A本题主要考查长方体的有关性质，其关键是要从各个角度认识长方体．A选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选A.5 C由平面的表示法知A，B正确，从长方体模型可看出，直线和平面可以无公共点．故选C.6 C几何体是一个几何图形，它只考虑物体占有空间部分的形状和大小，而不是实实在在的物体．7 D与面ABCD垂面的有面A1ADD1、面ABB1A1、面BCC1B1和面CDD1C1共4个．8 B由图形可以看到与A1D1既不平行也不相交的棱共有4条，它们是AB、CD、BB1和CC1；BC与A1D1是平行关系，故选B.9①直线把所在的平面分成两部分．②平面把空间分成两部分．10答案不惟一，如(1)平面A1B1C1D1与平面ABCD、平面ADD1A1与平面BCC1B1等．(2)平面ABCD与平面BCC1B1、平面ABB1A1与平面A1B1C1D1等．(3)A1B1与平面ABCD、AD与平面BCC1B1等．(4)A1A与平面ABCD、B1C1与平面CDD1C1等．(5)点D1到平面ABCD距离为D1D的长度，点A到平面CDD1C1距离为AD的长度等．(6)A1D1与B1B、AB与B1C1等．11点一条直线或一条线段一条曲线或曲线的一段12平面曲面13(1)L与l平行，旋转过程中L上各点与l的距离均相等，产生的曲面是圆柱面，如图(1)．(2)L与l相交，旋转产生的曲面是以L与l的交点为顶点的圆锥面，如图(2)．1415如图，将展开图恢复为正方体，则有AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对不在同一平面内的线段．16略多动手操作对发展空间想象能力颇有助益．17用虚线把被平面遮住的部分画出，如下图的立体图形．。

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1.３圆柱、圆锥、圆台和球课后训练１.正方形ＡＢCＤ绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是（).A.两个圆台组合成的B．两个圆锥组合成的C.一个圆锥和一个圆台组合成的D．一个圆柱和一个圆锥组合成的2.下列判断正确的是（）.A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形Ｃ.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形3．上、下底面面积分别为３６π和４9π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ).Ａ.4 B.． D．４.设长方体的长,宽,高分别为2ａ,ａ，a，其顶点都在一个球面上，则该球的半径为( ）．B.Ｃ D５．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面）是边长为５ cm的正方形ABCD,则圆柱侧面上从A到C的最短路线长为（）.A．１0 ｃｍB cmＣ．Ｄ．6.圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，则这个圆锥的高为_＿__＿_____.7．水平桌面α上放有4个半径均为2Ｒ的球,且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形).在这４个球的上面放一个半径为R的小球,它和下面的4个球恰好相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是＿_________．８.在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是4９π cm2，求球心到这个截面的距离.9．圆台的上底周长是下底周长的13，轴截面面积等于3９2，母线与底面的夹角为45°,求此圆台的高、母线长及两底面的半径．ﻬ参考答案1。

第一章 1.1 1.1.2 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．棱锥至少由多少个面围成 ( B ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥.2．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为2，则该四棱台的高为 ( A )A ．62B ．32 C ．12D ．22[解析] 如图所示，由题意知，四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1为正四棱台，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，连接OO 1、OA 、O 1A 1，过点A 1作A 1E ⊥OA ，E 为垂足，则A 1E 的长等于正四棱台的高， 又OA ＝2，O 1A 1＝22， ∴AE ＝OA －O 1A 1＝22， 在Rt △A 1EA 中，AA 1＝2，AE ＝22， ∴A 1E ＝AA 21－AE 2＝2－12＝62. 3．过正棱台两底面中心的截面一定是 ( C ) A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．一般梯形或等腰梯形D ．矩形[解析] 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等. 当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形. 故选C．A．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C．底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥5．一个正三棱锥的底面边长为3，高为6，则它的侧棱长为(C)A．2 B．2 3C．3 D．4[解析]如图所示，正三棱锥S－ABC中，O为底面△ABC的中心，SO为正三棱锥的高，SO＝6，AB＝3，∴OA＝3，在Rt△SOA中，SA＝SO2＋OA2＝6＋3＝3.6．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是(D)A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥[解析]如图，正六棱锥P－ABCDEF，PO是正六棱锥的高，连接OA，则OA＝AB，若△P AB为正三角形，则P A＝AB，∴P A＝OA，这显然不可能，故正六棱锥的各个侧面不可能是等边三角形.二、填空题7．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为__13__.[解析] 如图，OO 1是正三棱台的高，过点A 1作A 1D ⊥OA ，D 为垂足，则A 1D ＝OO 1.∵正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，∴OA ＝833，O 1A 1＝233，∴AD ＝OA －O 1A 1＝23，∴A 1D ＝AA 21－AD 2＝13.8．正四棱锥S －ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为__12a 2__.[解析] 截面三角形三边长分别为a 、a 、2a ，为等腰直角三角形. ∴面积S ＝12a 2.三、解答题9．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？[解析] 不一定. 如图(1)所示，将正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去两个三棱锥A －A 1B 1D 1和C －B 1C 1D 1，得如图(2)所示的几何体，其中有一个面ABCD 是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.10．如图，正三棱台ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝10，棱台一个侧面梯形的面积为2033，O 1、O 分别为上、下底面正三角形中心，D 1D 为棱台的斜高，∠D 1DA ＝60°，求上底面的边长.[解析] 由AB ＝10， 则AD ＝32AB ＝53， OD ＝13AD ＝533.设上底面边长为x ，则O 1D 1＝36x . 过D 1作D 1H ⊥AD 于H ，则DH ＝OD －OH ＝OD －O 1D 1＝533－36x ，在△D 1DH 中，D 1D ＝DH cos60°＝2⎝⎛⎭⎫533－36x ， ∴在梯形B 1C 1CB 中，S ＝12(B 1C 1＋BC )·D 1D ，∴2033＝12(x ＋10)·2⎝⎛⎭⎫533－36x ， ∴40＝(x ＋10)(10－x ). ∴x ＝215，∴上底面的边长为215.B 级 素养提升一、选择题1．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积之比为1∶4，截去的棱锥的高是3 cm ，则棱台的高是 ( D )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm[解析] 棱台的上、下底面面积之比为1∶4，则截去的棱锥的高与原棱锥的高之比为1∶2，故棱台的高是3 cm.2．在侧棱长为23的正三棱锥S －ABC 中，∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝40°，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为 ( C )A ．2 2B ．4C ．6D ．10[解析] 将三棱锥沿SA 剪开，展开如图. 连接AA ′交SB 于E ，交SC 于F ，则AA ′即为△AEF 的最小周长.∵SA ＝SA ′＝23，∠ASA ′＝120°， ∴AA ′＝2×23sin60°＝6，故选C ． 二、填空题3．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则棱台的斜高等于__10__.[解析] 如图，BDD 1B 1是等腰梯形，B 1D 1＝52，BD ＝72，BD 1＝9，∴OO 1＝BD 21－(BD ＋B 1D 12)2＝3，又O 1E 1＝52，OE ＝72，在直角梯形OEE 1O 1中，斜高E 1E ＝OO 21＋(OE －O 1E 1)2＝10.4．一个正三棱锥P －ABC 的底面边长和高都是4，E 、F 分别为BC 、P A 的中点，则EF 的长为__22__.[解析] 如图在正△ABC 中，AE ＝23， 在正△PBC 中，PE ＝23，在△P AE 中，AE ＝PE ＝23，P A ＝4，F 为P A 中点， ∴EF ⊥P A ， ∴EF ＝AE 2－(12AP )2＝2 2.三、解答题5．如图，将边长为83的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高.[解析] 由题设知正四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝CA ＝43， 过点S 作SO ⊥面ABC ，O 为垂足，过点O 作OD ⊥AC ，则D 为AC 中点. 连接SD ， 则SD ⊥AC ，故SO 为正四面体的高，SD 为斜高. 在Rt △SDA 中，SA ＝43，AD ＝23， ∴SD ＝SA 2－AD 2＝(43)2－(23)2＝6. 又∵△ABC 为正三角形， ∴△ABC 的高h ＝32×43＝6， ∴OA ＝23h ＝23×6＝4，∴在Rt △SOA 中，SO ＝SA 2－OA 2＝(43)2－42＝4 2. ∴该四面体的高为42，斜高为6.C 级 能力拔高1．一个几何体的表面展开平面图如图.(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析] (1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”.2．已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2∶3，求此三棱锥的高与斜高的比. [解析] 设正三棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则一个侧面面积S 1＝12a ·b 2－a 24，底面面积S 2＝34a 2，由题意得S 1S 2＝12a ·b 2－a 2434a 2＝23， ∴b 2－a 24＝33a ，∴此三棱锥的斜高h ′＝33a ， 高h ＝(33a )2－(36a )2＝a 2， ∴h h ′＝a 233a ＝32.。

第一章 1.1 1.1.3A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是导学号92434105(A)①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆.A．1B．2C．3D．4[解析]半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误.2．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，两底面间的距离为导学号92434107(D)A．4 B．3 2C．2 3 D．2 6[解析]由题意，得圆台上、下底面半径分别为6和7，在圆台的轴截面等腰梯形中，易求得两底面距离d＝52－(7－6)2＝2 6.3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是导学号92434108(B)A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能[解析]球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形；对于圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形.4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是导学号92434109(D)[解析] 过球心与正方体的对角面时为B ，过球心与正方体一组平行棱的中点时为C ，过球心及一组平行棱的位于顶点和中点之间的某种分点时为A ，∴不可能为D ．5．在地球北纬60°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差180°，A 、B 两地沿纬线圈的弧长与A 、B 两点的球面距离之比为导学号 92434110( A )A ．3∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．3∶1[解析] 本题主要考查球面距离的求法，求球心角是求球面距离的关键.由题知∠OAB ＝60°，∴∠AOB ＝60°，O 1A ＝R 2.∴AB 两地的球面距离是l 1＝60180πR ＝13πR .而AB 两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周， ∴l 2＝π·R 2＝12πR . ∴l 2∶l 1＝12πR ∶13πR ＝3∶2.6．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括导学号 92434111( D )A ．一个圆台、两个圆锥B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆锥D ．一个圆柱、两个圆锥[解析] 如图，等腰梯形ABCD ，绕梯形较长的底边AB 所在的直线旋转一周，所得的几何体是如图所示的一个圆柱、两个圆锥.二、填空题7．给出下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面. 其中正确说法的序号是__②④__. 导学号 92434112[解析] 作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确.8．已知圆柱的底面半径是20 cm ，高是15 cm ，则平行于圆柱的轴且与此轴相距12 cm 的截面面积是__480_cm 2__. 导学号 92434113[解析] 设所求截面的底边长为x ，则⎝⎛⎭⎫x 22＝202－122，解得x ＝32，∴S 截＝32×15＝480 cm 2.三、解答题9．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面的面积分别为4π cm 2和25π cm 2，求：导学号 92434114(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.[解析] (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，由已知可得上底的一半O 1A ＝2 cm ，下底的一半OB ＝5 cm. ∵腰长为12 cm ， ∴高为AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm).(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ， 可得l －12l ＝25，∴l ＝20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B 级 素养提升1．下列命题中，错误的是导学号 92434115( B ) A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的 B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的 C ．圆台的轴截面一定是等腰梯形 D ．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形[解析] 当圆锥的轴截面的顶角是锐角或直角时，轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的，当轴截面的顶角是钝角时，轴截面的面积小于过顶点且顶角为直角的截面面积，故选B ．2．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是导学号 92434116( D )A ．1B ．7C ．3或4D ．1或7[解析] 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD ＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD ＝52－32＋52－42＝7.3．以钝角三角形的最小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是导学号 92434117( D )A ．两个圆锥拼接而成的组合体B ．一个圆台C ．一个圆锥D ．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥[解析] 如图，以AB 为轴，所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.4．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为导学号 92434118( B )A ．4B ．3C ．2. 5D ．2[解析] 设截面圆半径为r ，则πr 2＝16π，∴r ＝4. 球心到截面的距离为d ＝52－r 2＝52－42＝3. 二、填空题5．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm 2，则球的半径为__8_cm__. 导学号 92434119[解析] 如图，过球心作垂直于截面的平面，由截面面积为48π cm 2， 可得AC ＝4 3 cm ， 设OA ＝R ，则OC ＝12R ，∴R 2－⎝⎛⎭⎫12R 2＝(43)2， 解得R ＝8(cm).6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得. 现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是__①⑤__(填序号). 导学号 92434120[解析] 组合体的上底面已经挖去，故②错. 当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错.C 级 能力拔高1．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱. 已知某等边圆柱的截面面积为16 cm 2，求其底面周长和高. 导学号 92434121[解析] 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD . 由题意知，四边形ABCD 为正方形. 设圆柱的底面半径为r ，则AB ＝AD ＝2r .其面积S ＝AB ×AD ＝2r ×2r ＝4r 2＝16(cm 2)， 解得r ＝2 cm.所以其底面周长C ＝2πr ＝2π×2＝4π(cm)， 高2r ＝4 cm.2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 导学号 92434122[解析] 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 、3x cm ， 延长记分1交OO 1的延长线于S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x .S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，解得x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长A 1A ＝2OO 1＝14 2 cm ， 两底面半径分别为7 cm 、21 cm.。