2019-2020学年度高中数学第二章解析几何初步2

2．4．2 空间两点的距离公式1．了解空间两点的距离的定义．2．理解空间两点的距离公式的推导思路．3．掌握空间两点的距离公式．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，A)＝x2＋y2＋z2．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．( )(2)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变．( )答案：(1)√(2)√2．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A． 6 B． 5C．2 D． 3答案：A3．求下列两点间的距离．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝(1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2＝1．(2)d(C，D)＝(－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2＝22．求两点间的距离在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4，4，2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【解】由C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中点坐标公式得，E(4，2，0)，F(2，0，2)．所以|EF|＝(4－2)2＋(2－0)2＋(0－2)2＝23．利用空间两点的距离公式求线段长度的一般步骤在空间直角坐标系中，点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，求A′、B′两点间的距离．解：因为点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，所以A′(2，3，0)．因为点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，所以B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝[2－(－5)]2＋(3－1)2＋(0－0)2＝72＋22＝53，所以A′、B′两点间的距离为53．利用距离公式求点的坐标(1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；(2)已知点P到坐标原点O的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【解】(1)由题意可设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2．又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)．(2)由题意可设P点的坐标为(x，y，z)．所以|OP|＝x2＋y2＋z2＝23．又x＝y＝z，所以3x2＝23．所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2．所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．已知点在某轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般要根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．点的位置与相应特征如下表：位置坐标特征 x 轴上 (x ，0，0) y 轴上 (0，y ，0) z 轴上 (0，0，z ) xOy 平面内 (x ，y ，0) yOz 平面内 (0，y ，z ) xOz 平面内(x ，0，z )已知空间中两点A (－3，－1，1)、B (－2，2，3)，在z 轴上有一点C ，它到A 、B 两点的距离相等，求点C 的坐标．解：设C 点的坐标为(0，0，z )， 则 32＋12＋(z －1)2＝ 22＋(－2)2＋(z －3)2， 即10＋(z －1)2＝8＋(z －3)2， 解得z ＝32，所以点C 的坐标为(0，0，32)．空间两点距离公式的应用在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点N (6，5，1)的距离最小． 【解】 由已知可设M (x ，1－x ，0)， 则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51．所以xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上到点N 的距离最小的点为M (1，0，0)．本题利用空间两点的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别是A (－1，2，3)，B (2，－2，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3．求证：△ABC 是直角三角形． 证明：d (A ，B )＝ (－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，d (A ，C )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＋(3－3)2 ＝102， d (B ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－2－522＋(3－3)2 ＝3102． 故[d (B ，C )]2＋[d (A ，C )]2＝904＋104＝25＝[d (A ，B )]2， 所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下，任意给定坐标的两个点之间的距离．其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式求值．对于空间几何体建立空间直角坐标系后，就把点和坐标联系起来，这样就可以把空间中的线段长、距离及位置关系等几何问题转化成代数式再用代数的方法来解决，从而借助代数中最基本最普遍的函数与方程的思想，解决几何问题，使许多复杂的几何问题迎刃而解．1．点A (2，－3，5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则|AA ′|等于( ) A ．4 B ．6 C ．10D ．38解析：选C ．因为点A 到平面xOy 的距离为5，所以|AA ′|＝10．2．若O (0，0，0)，P (x ，y ，z )，且|OP |＝1，则x 2＋y 2＋z 2＝1表示的图形是________________．解析：由题意知，P 点满足球的定义．答案：以原点O 为球心，以1为半径的球面3．点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为________． 答案：(33，33，33)或(－33，－33，－33)[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)和点B (2，－1，6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D ．86解析：选D ．由空间两点间的距离公式可得|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86． 2．已知点A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A ．534B ．532C ．532D ．132解析：选B ．AB 的中点M (2，32，3)，它到点C 的距离d (M ，C )＝ (2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)2＝532．3．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若D (0，0，0)、A (4，0，0)、B (4，2，0)、A 1(4，0，3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B ．29C ．5D ．2 6解析：选B ．由已知易求得C 1(0，2，3)，所以|AC 1|＝42＋22＋32＝29． 4．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ．|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |BC |＝ (4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， |AC |＝ (1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， 所以|AB |2＝|BC |2＋|AC |2．所以△ABC 为直角三角形．5．一束光线自点P (1，1，1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A ．37B ．33C ．47D ．57解析：选D ．P 关于xOy 平面对称的点为P ′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为 |P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57．6．在空间直角坐标系中，点M (1，0，3)与N (－1，1，a )两点间的距离为6，则a ＝________．答案：2或47．已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．解析：设点P (0，0，z )，由|PA |＝|PB |， 所以(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3． 答案：(0，0，3)8．点A (1－t ，1－t ，t )和B (2，t ，t )的距离的最小值为________． 解析：|AB |2＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2． 当t ＝15时，|AB |2min ＝95，即|AB |min ＝355．答案：3559．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，求|AB |取最小值时，A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |．解：由空间两点间的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357． 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67．10．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ |的最小值．解：(1)由题意知点C 1(0，1，1)，点D 1(0，0，1)，点C (0，1，0)，点B (1，1，0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P (12，12，12)．因为点Q 在棱CC 1上，且2|C 1Q |＝|QC |，所以点Q 为(0，1，23)．由空间两点的距离公式，得|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－23)2＝1936＝196． (2)当点Q 在棱CC 1上移动时，则点Q (0，1，a )，a ∈[0，1]．由空间两点的距离公式有|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－a )2＝ (a －12)2＋12．故当a ＝12时，|PQ |取得最小值22，此时点Q (0，1，12)．[B 能力提升]11．若P (x ，2，1)到Q (1，1，2)，R (2，1，1)的距离相等，则x 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选B ．由(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，解得x ＝1．12．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为________． 解析：由题意得|y |＝x 2＋z 2即x 2＋z 2－y 2＝0． 答案：x 2＋z 2－y 2＝013．如图所示，在长方体OABC ­O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点，作OD ⊥AC 于点D ，求线段B 1E 的长度及顶点O 1到点D 的距离．解：由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，3，0)、C (0，3，0)、O 1(0，0，2)、A 1(2，0，2)、B 1(2，3，2)、C 1(0，3，2)．因为E 是BC 的中点，所以点E 的坐标为(1，3，0)， 所以由两点间的距离公式得|B 1E |＝(2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2＝5． 设D (x ，y ，0)，在Rt △AOC 中， |OA |＝2，|OC |＝3，|AC |＝13， 所以|OD |＝2×313＝61313．在Rt △ODA 中， |OD |2＝x ·|OA |， 所以x ＝36132＝1813．在Rt △ODC 中，|OD |2＝y ·|OC |， 所以y ＝36133＝1213．所以点D (1813，1213，0)，由两点间的距离公式得 |O 1D |＝ (0－1813)2＋(0－1213)2＋(2－0)2＝1 144132＝228613． 14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？解：(1)因为面ABCD ⊥面ABEF ， 面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂面ABEF ，所以BE ⊥面ABCD ． 所以AB 、BC 、BE 两两垂直．所以以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0．所以|MN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1 ＝(a －22)2＋12(0<a <2)． (2)因为|MN |＝ (a －22)2＋12， 故当a ＝22时，|MN |min ＝22．。

2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案
苏教版必修2
教学目标：
1．复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用；
2．掌握典型题型及其处理方法．
教材分析及教材内容的定位：
本章研究平面直角坐标系中直线与圆的有关知识以及空间直角坐标系，是高中知识的重点内容，也是高考的高频考点；充分体现了高中数学的坐标法方程法的解题思想．
教学重点：
《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类．
教学难点：
《平面解析几何初步》的重点题型的处理方法．
教学方法：
导学点拨法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境；
2．问题：本章我们学了哪些内容？
二、学生活动
1．回顾本章所学内容；
2．在教师引导下归纳本章知识结构；
3．在教师引导下做例题和习题．
三、建构数学
1．知识分析；
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．全章知识总结；
2．题型与方法总结；
3．数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想总结．。

2.2.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断方法直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断1.思考辨析(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．[答案](1)×(2)√(3)√2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交[由题意知点M(a，b)在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]3．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为________． 2 [由直线与圆的距离d ＝|m |2＝m ，解得m ＝2.]4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]思路探究：法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1))．[解] 法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x 2＋y 2＝4，∴5x 2＋4x －3＝0.判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 法二：∵x 2＋y 2＝4， ∴圆心为(0，0)，半径r ＝2. 又∵y ＝2x ＋1，∴圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋12＝55<2＝r . ∴直线与圆相交．法三：由题意知，直线过定点(0，1)． 而02＋12＝1<4.所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆位置关系的判定方法1．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[解] 法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时， 直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2，1)，半径r ＝2.圆心C (2，1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．数a 的值是__________．(2)已知过点(2，5)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，则直线l 的方程为__________．思路探究：(1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．(1)－4 (2)x －2＝0或4x －3y ＋7＝0 [(1)将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4. (2)当直线斜率不存在时，x －2＝0满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为y －5＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋5＝0.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，所以25－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －2－2k ＋5|k 2＋12＝4，所以k ＝43，所以直线l 的方程为4x －3y ＋7＝0. 综上所述，直线l 的方程为x －2＝0或4x －3y ＋7＝0.]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法，即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形中求解．2．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________． 22 [最短的弦为过点(3，1)且与圆心(2，2)和点(3，1)连线的垂直的弦， 弦长l ＝24－（3－2）2－（1－2）2＝2 2.]1．求过点P (3，4)的圆C ：x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵点P (3，4)在圆上，∴切点为P ，设切线斜率为k . 则k ·k PC ＝－1，∴k ＝－3－04－0＝－34.切线方程为y －4＝－34(x －3)，即3x ＋4y －25＝0.2．求过点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－5，52的圆x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵(－5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522>25，∴点Q 在圆外． 若所求直线斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y －52＝k [x －(－5)]，即kx －y ＋5k ＋52＝0.因圆心C (0，0)到切线的距离等于半径5，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋52k 2＋1＝5，∴k ＝34.故所求切线方程为34x －y ＋154＋52＝0，即3x －4y ＋25＝0. 若所求直线斜率不存在，则直线方程为x ＝－5，圆心C (0，0)到x ＝－5的距离为5，符合题意． 综上，过点Q 的切线方程为x ＋5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1. (1)过点A (3，2)，求圆的切线方程； (2)过点B (4，－3)，求圆的切线方程．思路探究：(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．[解] (1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1， ∴A 在圆上．由题意知圆心C (3，1)，直线CA 无斜率， ∴切线斜率为0， ∴所求切线方程为y ＝2.(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点B 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0；②若切线斜率不存在，圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)当点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上时，切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝13，它与斜率为－23的直线相切，求该切线的方程．[解] 设切线方程为y ＝－23x ＋b ，即2x ＋3y －3b ＝0，依题意得：|2×0＋3×0－3b |22＋32＝13， 解得b ＝±133.∴切线方程为2x ＋3y ＋13＝0或2x ＋3y －13＝0.1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)直线与圆位置关系的判断方法． (2)求圆的切线的方法．(3)求直线与圆相交时弦长的方法．3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心D [圆心(1，－1)到直线的距离为|3×1－4×1＋12|5＝115<3，∴直线与圆相交．又圆心(1，－1)不在直线上，故选D.]2．由点P (1，3)引圆x 2＋y 2＝9的切线的长是________． 1 [点P 到原点O 的距离为PO ＝10，∵r ＝3， ∴切线长为10－9＝1.]3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 22 [由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径长为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.]4．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P (4，0)，问过P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？[解] 设圆心到直线的距离为d ，过P 点的直线斜率为k ，由题意， 知斜率k 存在，则其方程为y ＝k (x －4)， 则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2. (1)d ＝r ，即4|k |1＋k 2＝8，∴k 2＝1，∴k ＝±1时，直线与圆相切．(2)d <r ，即4|k |1＋k2<8，∴k 2<1，即－1<k <1时， 直线与圆相交． (3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，∴k2>1，即k<－1或k>1时，直线与圆相离．。

2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________． 答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一 二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二 求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三 求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识 圆的一般方程7.已知A 解析：方法一 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2， 整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22， 所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)， 表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0， 所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2， 所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二 同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。

第二章 解析几何初步知识网络构建高频考点例析考点一 直线的方程例1 直线l 过点P (8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程． [解] 解法一：直线l 与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l 在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a＝1(a ≠0)， 当直线l 的方程为x a ＋y a＝1时， 把P (8,6)代入得8a ＋6a＝1，解得a ＝14，∴直线l 的方程为x ＋y －14＝0； 当直线l 的方程为x a ＋y－a＝1时， 把P (8,6)代入得8a －6a＝1，解得a ＝2，∴直线l 的方程为x －y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b k. ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b k .∵b ≠0，∴k ＝±1.当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0；当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 类题通法常用待定系数法求直线方程求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．[变式训练1] 将直线的方程x －2y ＋6＝0；(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在x 轴、y 轴上的截距．解 (1)将原方程移项得2y ＝x ＋6，两边同除以2，得斜截式y ＝12x ＋3，因此它的斜率k ＝12，在y 轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x －2y ＝－6，两边同除以－6，得截距式x －6＋y3＝1.由方程可知，直线在x 轴、y 轴上的截距分别为－6,3.考点二 直线的位置关系例2 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a 、b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋a －a＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.类题通法两条直线位置的判定方法两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．[变式训练2] 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值． 解 (1)若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a a －－2×1＝0，a a 2－－6×1≠0.∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2. (2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直． 当l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝11－a ，k 1＝－a2. ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1.∴a ＝23.考点三 求圆的方程例3 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．[解] 解法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b －2＝a －2＋b －2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254，∴圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254.解法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.解法三：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3)．∴圆心为AP 中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254.类题通法求圆的方程常用的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程．[变式训练3] 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程．解 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∵圆过点A (2，－1)， ∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.②将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0. Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0，∴D ＝－2或D ＝－18.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－18，E ＝36，F ＝67.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a )．又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2， 即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝338， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系例4 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点；若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意， 则OA ⊥OB ，设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y ，得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0. 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)，③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4. 类题通法开放性题的解题思路解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．[变式训练4] 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C .在Rt △MBC 中，|BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.思想方法一、数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这是数学的规律性与灵活性的有机结合，解析几何本身就是数与形的完美结合．例1 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．|b |＝ 2B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上结论均不对[解析] 将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．画出直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2，如下图．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，满足|0－0＋b |2＝1，则|b |＝ 2.观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．[答案] B二、函数与方程思想解决有关直线与圆的最值或范围问题时，常把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围．例2 试在坐标平面yOz 内的直线2y －z －1＝0上确定一点P ，使P 点到点Q (－1,0,4)的距离最小．[解] ∵P 在yOz 平面内，∴可设点P 的坐标为(0，y,2y －1)．由两点间的距离公式， 得|PQ |＝＋2＋y －2＋y －1－2＝5y 2－20y ＋26＝y －2＋6.显然当y ＝2时，|PQ |取得最小值6，这时点P 的坐标为(0,2,3)． 三、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，是历年高考的重点．在用二元二次方程表示圆时，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时，都要分类讨论．例3 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．[解] (1)当两条平行直线的斜率都不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，满足题意．(2)当两条平行直线的斜率都存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.∴两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的两条直线方程分别为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 四、转化与化归思想涉及与圆有关的最值问题，可借助图形的性质，考查所给式子的几何意义，一般地： (1)形如y －bx －a的最值问题，可转化为动直线的斜率问题； (2)形如ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离问题．例4 如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求： (1)y x的最大值或最小值； (2)x ＋y 的最大值与最小值； (3)x －2＋y 2的最大值与最小值．[解] (1)设P (x ，y )，则点P 的轨迹就是已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6. 而y x 的几何意义就是直线OP 的斜率，其中O 为坐标原点．设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx .画图可知(图略)，当直线OP 与圆相切时，斜率取得最值．∵圆心C 到直线y ＝kx 的距离为|3k －3|k 2＋1，∴当|3k －3|k 2＋1＝6，即当k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，∴y x的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.(2)设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b .画图可知(图略)，当直线y ＝－x ＋b 与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6相切时，截距b 取得最值．∵圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为|6－b |2，∴当|6－b |2＝6，即当b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，∴x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3. (3)代数式x －2＋y 2的几何意义是圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6上的点到定点(2,0)的距离．∵圆心C (3,3)与定点(2,0)的距离是－2＋32＝10，圆的半径是6，∴ x －2＋y 2的最大值是10＋6，最小值是10－ 6.。