全国名校高中数学优质专题讲练汇编(附详解)(六)

第六章 数列一．基础题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】试题解析： 由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值. 故选B.2. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）已知数列{}n a 中，对任意的n ∈*N 若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________. 【答案】2520- 【解析】3. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【答案】A【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．4. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设等差数列{}n a满足27a=，43a=，nS是数列{}n a的前n项和，则使得n S0>最大的自然数n是（）A．9 B.10 C.11 D.12【答案】A【解析】5. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设数列{}n a的前n项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________. 【答案】66 【解析】试题解析：依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得， n n n a a a 21=-+，即n n a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 6. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）等差数列{}n a 中，365,S 36,a ==则9S = （ ） A. 17 B. 19 C. 81 D. 100 【答案】C . 【解析】试题解析：31125656362a a d d a =+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，得112a d =⎧⎨=⎩，∴91989812d S a ⨯=+=，故选C . 7. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足21=346n n n S a a +-（），则=n a . 【答案】31n + 【解析】8. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，若a11=b10，则（）A．a13+a9=b14b6B．a13+a9=b14+b6C．a13+a9≥b14+b6D．a13+a9≤b14+b6【答案】D【分析】设{a n}是为公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的正项等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式和性质，作差比较结合完全平方公式和提取公因式，即可得到结论．9. （山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=．【答案】95【分析】先由a2+a4=4，a3+a5=10，构造关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，再用等差数列前n项和求解．【解析】解：由a2+a4=4，a3+a5=10得可解得：∴故答案为：95【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用．10. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知数列{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或1【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足f（S n+2）﹣f（a n）=f（3）（n∈N*），则a6=（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由f（S n+2）﹣f（a n）=f（3），即为f（S n+2）=f（3）+f（a n），由条件可得f（S n+2）=f（3a n），由单调性可得S n+2=3a n，求得首项，将n换为n﹣1，相减，运用等差数列的通项公式即可得到所求值．【解析】解：f（S n+2）﹣f（a n）=f（3），即为f（S n+2）=f（3）+f（a n），由f（x•y）=f（x）+f（y），可得f（S n+2）=f（3a n），由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，可得S n+2=3a n，当n=1时，可得S1+2=3a1=a1+2，解得a1=1，当n ＞1时，S n ﹣1+2=3a n ﹣1， 相减可得，a n =3a n ﹣3a n ﹣1， 即为a n =a n ﹣1，则a n =a 1（）n ﹣1=（）n ﹣1．则a 6=（）5． 故选C ．【点评】本题考查函数的单调性的运用，抽象函数的运用，考查数列的通项的求法，注意运用通项和前n 项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，属于中档题．12. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知等差数列{a n }中，a 2=7，a 4=15，则前10项的和S 10=（ ） A ．100 B ．210C ．380D ．400【答案】C【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n 项和公式，代入n=10得出结果．【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．13. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)已知数列{}n a 中，对任意的n ∈*N 若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S =___________. 【答案】2520-【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题.14. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】B【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前n 项的取值来确定项数.【解析】由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值. 故选B.15. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点，若函数()(5)xf x a x =+有唯一不动点，且11613x =，111()n nx f x +=()n N *∈，则2016x = . 【答案】2016. 【解析】16. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=A ．5B ．9C ．3log 45D ．10【答案】D【考点】本题考查等比数列的性质【解析】由等比数列性质知7465a a a a =，又564718a a a a +=，965=∴a a ，则原式10213log a a a =10)(log 5653==a a ．【快速解题】准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质. 17. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知数列{a n }满足a 1=60，a n+1﹣a n =2n ，（n ∈N *），则的最小值为 ．【答案】【分析】利用累加法求出a n =n 2﹣n+60，从而=n+﹣1，由此能求出的最小值．【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=60，a n+1﹣a n =2n ，（n ∈N *）， ∴a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1） =60+2+4+…+2（n ﹣1） =60+2×=n 2﹣n+60， ∴==n+﹣1，由n=，n∈N*，得n=8时，取最小值：8+=．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和与项数n的比值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意累加法和基本不等式的合理运用．二．能力题组1. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知正项数列{a n}、{b n}中，a1=1，b1=2，a n，b n，a n+1成等比数列，b n，a n+1，b n+1成等差数列，（1）证明是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令，前n项和为S n，求使S n＜2016的最大自然数n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知，2a n+1=b n+b n+1．求出前四项后猜想．b n=n（n+1），再用数学归纳法证明，从而=n得到是首项为1，公差为1的等差数列，．（2）由==1+（），利用裂项求出法能求出使S n＜2016的最大自然数n．下面利用数学归纳法证明：【点评】本题考查等差列的证明，考查满足条件的实数值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法、裂项求和法的合理运用．2. （山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）由S n=2a n﹣a1，利用递推可得：a n=2a n﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可．（II）a n+1=2n+1，可得S n，b n=，利用“裂项求和”即可得出．【解析】解：（I）由S n=2a n﹣a1，当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣a1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列．∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列公差由已知条件求出a1=1，d=1，由此能求出a n=n．（2）由，利用错位相减法能求出数列{}的前n项和S n．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．4. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知数列的前n项和为S n，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n，，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（1）由，可求a1，然后由n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1可得a n=2a n﹣1，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项可求T n，即可求解【点评】本题主要考查了递推公式，a n=s n﹣s n﹣1，（n≥2）在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式的应用及裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．5. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n ﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．6. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把数列{a n}和{b n}的通项公式代入c n=a n b n，然后直接利用错位相减法求数列{c n}前n 项和T n．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题。

全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解） 平面解析几何 考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页.2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟，满分160分.4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上.)1.直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α＝________. 2.若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为__________.3.直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长为________.4.(优质试题·常熟模拟)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为________. 5.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB ＝________.6.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为________.7.已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为________.8.M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若MF ＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO ＝________.9.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k 的值为____________.10.(优质试题·昆山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.11.(优质试题·常州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是__________.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1－1e2＝______.13.过双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得AB＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是____________.14.(优质试题·南通模拟)设直线l：3x＋4y＋4＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是____________.第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于点B，圆C过点A且与l1，l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标.16.(14分)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值.17.(14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线.18.(16分)(优质试题·镇江模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径.19.(16分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？20.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP →＝2AO →.(1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP →＝mBC →，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值.答案精析1.2π3解析 因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3，即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3. 2．(0,2)解析 OP ＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．3．4 5解析 由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5.4．2 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1， 即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝c a ＝1＋31＝2. 5.135解析 直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0， 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25. ∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25.6.85 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*) 联立直线和圆的方程，消去y 得5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85. 7．6π解析 由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)，∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7， ∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.8．45°解析 设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于MN ＝MF ＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°.9.223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)，由AF ＝2FB 得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)， 消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，② x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223. 10．4 5解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2,0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455， 所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5. 11．(2，＋∞)解析 AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)．12．2解析 由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c， 所以1e 1－1e 2＝4c 2c＝2. 13.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 根据题意过双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得AB ＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <AB ＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a>AB ＝4，并且2a <4，解得0<a <12. 14．[2，＋∞)解析 由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2，所以r 的取值范围是[2，＋∞)．15．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝CA ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2， 故B ′(－23，2)． 由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 16．(1)解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，*把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程*，得x 24＋y 2＝1， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 方法一 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2) ＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1 ＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34. 所以k 1k 2＝－34为定值． 方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32，所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 易知Δ＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34， 所以k 1k 2＝－34为定值． 17．(1)解 由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2， 其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22， 所以12＋12b2＝1，解得b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率．所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1， 所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2， 又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， 所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．18．解 (1)若a ＝－8，则圆M ：(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1,0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，化简为kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离d ＝|k －4k ＋5|k 2＋1＝3， 解得k ＝815.此时切线方程为8x －15y ＋43＝0. 综上，所求切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1,0)，则OM ＝1.设圆的半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2.又因为OA →·OB →＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.19.解 如图，分别以两条道路所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy ，设A (a ，0)，B (0，b )(0<a <1,0<b <1)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 与圆C 相切， 所以|b ＋a －ab |b 2＋a2＝1， 化简得ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2.因为AB ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝(a ＋b －2)2， 因为0<a <1,0<b <1，所以0<a ＋b <2，所以AB ＝2－(a ＋b )．又ab ＝2(a ＋b )－2≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 解得0<a ＋b ≤4－22或a ＋b ≥4＋2 2.因为0<a ＋b <2，所以0<a ＋b ≤4－22，所以AB ＝2－(a ＋b )≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 的最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.答 当A ，B 两点离道路的交点都为(2－2)百米时，小道AB 最短．20．解 (1)因为OP →＝2AO →，又点P 的坐标为(2，2)，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 代入椭圆方程，得1a 2＋12b2＝1.① 又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)．因为OP →＝2AO →，所以点P 的坐标为(－2x 1，－2y 1)．因为BP →＝mBC →，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1－x 2＝m (x 3－x 2)，－2y 1－y 2＝m (y 3－y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1，代入椭圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1mx 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝⎛⎭⎫x 21a 2＋y 21b 2＋(m －1)2m 2⎝⎛⎭⎫x 22a 2＋y 22b 2－ 4(m －1)m 2⎝⎛⎭⎫x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝1.③ 因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.④ 又直线OA ，OB 的斜率之积为－12， 即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0.⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋(m －1)2m 2＝1，解得m ＝52.。

1．(本小题满分12分)(优质试题·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．2．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738， 所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35， P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.3．在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若二面角A -PC -D 的大小为45°，求AP 的值．解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝BC －AD 2＝1， DE ＝DC 2－CE 2＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°.所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥BD ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH .由(1)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥DH .故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝45°.由∠DBC ＝∠BCA ＝45°，BC ＝4，得OC ＝2 2.同理可得OA ＝2，从而得AC ＝3 2.设P A ＝x ，则PC ＝x 2＋18.在Rt △DOH 中，由DO ＝2，∠DHO ＝45°，得OH ＝ 2.在Rt △P AC 中，由P A PC ＝OH OC ，可得x x 2＋18＝222， 解得x ＝6，即AP ＝ 6.法二：由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0，22，0)，D (－2，0,0)．由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设向量m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，由CD →＝(－2，－22，0)，PD →＝(－2，2，－t )，m ·CD →＝m ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －22y ＝0，－2x ＋2y －tz ＝0.令y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，32t . 又平面P AC 的法向量n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝25＋18t 2＝22，解得t ＝6，即AP ＝ 6.4.(优质试题·吉林省吉林市模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3 .(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围.10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，整理得：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2x －2y －1＝0， 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2 －2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得：t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0 ，∴t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝8＋4sin 2α ， ∵α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴|AB |∈[22，23).。

高三数学当堂训练 基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C.答案：C2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]解析：∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2.答案：D3．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋b 的最小值为4.答案：C4．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b＋2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1＋b ＋222，即16≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋322，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立．故选B.答案：B5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B6．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y 元/升，甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y2；乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xyx ＋y ，因为x ≠y ，所以x ＋y22xy x ＋y ＝(x ＋y )24xy >1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．故选B.答案：B 二、填空题7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：48．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________． 解析：由1a ＋2b ＝ab ，知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取等号，所以ab 的最小值为2 2.答案：2 29．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为yx ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 8三、解答题10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.。

一、选择题1．(优质试题·福建“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )A ．(2,3]B ．(2,3)C ．(－3，－2)D ．[－3，－2)2．(优质试题·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(优质试题·福州质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<04．(优质试题·山东)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．25．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于( ) A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )7．(优质试题·福州质检)已知函数f (x )＝32,2,(1),2,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x >0，y >0，则x ，y 的值分别为( )A.3，1B ．1＋3， 3C ．2， 3 D.3，1＋ 39．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan 2x 等于( ) A.24 B ．－24C.427 D ．4 210．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22C ．－24D ．－3411．(优质试题·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 12．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO →，则m 等于( ) A.33 B.32C ．3 D.53 二、填空题13．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (1)＝________. 14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________. 15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题：①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称； ④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合． 其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)三、解答题17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.(1)求函数f (x )的最小值； (2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数，若p 正确，q 错误，求实数m 的取值范围．18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |.19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．。

全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）1．(优质试题·兰州市实战考试)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B.由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24，故选B.2．(优质试题·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( ) A ．2∶3 B ．4∶3 C ．3∶1D ．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D.因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.4．(优质试题·安徽合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π 解析：选C.已知b cos A ＋a cos B ＝2，由正弦定理可得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2(R 为△ABC 的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2R sin(A ＋B )＝2，则2R sin C ＝2，因为cos C ＝223，所以sin C ＝13，所以R ＝3.故△ABC 的外接圆面积为9π.故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb 的值为( )A.22B. 2 C ．2D ．4解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋c b＝2.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：27．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，所以sin C ＝378，所以sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案：18．已知△ABC 的周长为2＋1，面积为16sin C ，且sin A ＋sin B ＝2sin C ，则角C 的值为________．解析：将sin A ＋sin B ＝2sin C 利用正弦定理化简得： a ＋b ＝2c ，因为a ＋b ＋c ＝2＋1，所以2c ＋c ＝2＋1，即c ＝1，所以a ＋b ＝2，因为S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ，所以ab ＝13.因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－12ab＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝2－23－123＝12，则C ＝π3.答案：π39．(优质试题·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(优质试题·贵州省适应性考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3. (1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长． 解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3， 两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34，又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝45，故a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.1．(优质试题·长沙市统一模拟考试)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3D ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3解析：选C.设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ]＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3.选C.2．(优质试题·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析：选D.在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c2sin C .所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2·sin C＝12sin A ·sin B ·sin C ·c 2sin 2C ， S 2＝πR 2＝π4·c 2sin 2C，所以S 1S 2＝2sin A ·sin B ·sin Cπ＝2×22×32×6＋24π＝3＋34π，故选D.3．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，则 BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°， 整理得x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)． 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，所以BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.答案：8 24．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为________．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3. 答案：35.(优质试题·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围． 解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，10sin 45°＝CB sin 60°⇒BC ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10. 在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB >BC ＝10，cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC ⇒(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，所以（AB ＋AC ）2－1003≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22， 解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]．6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A .(1)求a 的值；(2)圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)由正弦定理可知，sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ⇔a 2c ＋4c ＝4ac ，因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ca ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，可得a ＝2. (2)设BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ， 所以S △OBC ＝12BC ·OD .又因为S △OBC ＝33，BC ＝2， 所以OD ＝33， 在Rt △BOD 中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝3，又0°<∠BOD <180°，所以∠BOD ＝60°， 所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°， 因为O 在△ABC 内部， 所以∠A ＝12∠BOC ＝60°，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .所以4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又b ＋c ＝4， 所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2， 所以△ABC 为等边三角形．。

空间几何体的外接球与内切球。

专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。

首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。

在此基础上，定义了外接球和内切球。

外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。

其次，文章介绍了外接球的性质和结论。

其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。

文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。

最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。

经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。

2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。

3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。

4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。

5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。

6.与台体相关的内容在此略过。

7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。

8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。