2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第12章_概率、随机变量及其分布_59_word版含解析

【课时训练】第60节 几何概型一、选择题1.(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A.16.32B.15.32 C .8.68 D.7.68答案为：A解析：设椭圆的面积为S ，则S 4×6=300－96300，故S =16.32.2.(2018辽宁五校联考)若实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k =0相切的概率等于( )A.12B.13C.14D.16答案为：D解析：由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，所以－1＜k ＜0，故所求概率为16.故选D.3.(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( )A.78B.34C.12 D.14答案为：A解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=14S△ABC，∴V S－DEF=18V S －ABC.∴P=V DEF－ABCV S－ABC=78.故选A.4.(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使x2＋y2≤1成立的概率为()A.π2 B.π4C.π3 D.π5答案为：B解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的14与x 轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P=π41=π4.故选B.5.(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.12 B.14C.13 D.25答案为：C解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影=⎠⎛10x2dx=13x310=13，又正方形的面积S=1，故质点落在图中阴影区域的概率P=131=13.故选C.6.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(),A.34 B.23C.13 D.14,答案为：D ,解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P =1－341－0=14.故选D.,7.(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，则以x ，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),A.1－π4B.1－π6C.1－π3D.π12答案为：A ,解析：连接AC ，首先由x ＋y ＞1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α=x 2＋y 2－122xy ＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外.∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内.∴所求概率为12－π4×1212=1－π4.故选A. 二、填空题8.(2018重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________.答案为：29解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC=12×3×32=94，S△AOD=12×1×1=12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S△AODS△ABC=1294=29.9.(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________.答案为：59解析：由题意知，所求的概率为1－⎝⎛⎭⎪⎫4π3×13÷(π×12×3)=59.10.(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________.答案为：2125解析：设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x ，y ，则由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P =1－2×12×2×25×5=2125.11.(2018河南检测)若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3=0与x 轴，y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________.答案为：23解析：对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3=0，令x =0，得y =33－m ；令y =0，得x =3m ＋2.由题意可得12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，所以解得0＜m ＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.12.(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________.答案为：12解析：设AD =x ，AB =y ，则由三角形相似可得x a =a －ya ，解得y =a－x ，所以矩形的面积S =xy =x (a －x )≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a －x 22=a 24，当且仅当x =a －x ，即x =a 2时，S 取得最大值a 24，所以该点取自矩形内的最大概率为a 2412×a ×a=12. 三、解答题13.(2018山东德州一模)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2=0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率.【解】设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2=0有实根”.当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2=0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P (A )=3×2－12×223×2=23.。

【课时训练】第61节离散型随机变量及其分布列一、选择题1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；③某一天中长江的水位X3；④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.其中不是离散型随机变量的是()A．①中的X1B．②中的X2C．③中的X3D．④中的X4【答案】C【解析】①②④中的随机变量可能取的值都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X3不是离散型随机变量．故选C.2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51【答案】C【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为()A.1110B．155C．110 D．55【答案】B【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k ＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a ＝155.4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P (n )，且P (n )与时刻t 无关，统计得到P (n )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·P (0)(1≤n ≤5)，0(n ≥6)，那么P (0)的值是( )A ．0B ．1C ．3263D ．12【答案】C【解析】由题意得P (1)＝12P (0)，P (2)＝14P (0)，P (3)＝18P (0)，P (4)＝116P (0)，P (5)＝132P (0)，P (n ≥6)＝0，所以1＝P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＋P (n ≥6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116＋132·P (0)＝6332P (0)，所以P (0)＝3263. 5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故X ＝k ＝4.6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X 的分布列为则当P (X ＜a )＝A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)【答案】C【解析】由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：其中a ，b ，c d 的取值范围分别是( )A.23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13B ．23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.23⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 D ．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【答案】A【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23， 则a ＝13－d ，c ＝13＋d .根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23， ∴－13≤d ≤13.故选A. 二、填空题8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________.【答案】10【解析】由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .∴取到每个数的概率均为1n .∴P (X ＜4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________.【答案】16【解析】相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝136＋236＋336＝16.10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．【答案】【解析】ηP(η＝0)＝C11C11C12C12＝14；P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12；P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为三、解答题11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．【解】5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C23C25＝0.3；P(ξ＝1)＝C13·C12C25＝0.6；P(ξ＝2)＝C22C25＝0.1.∴优等品数ξ的分布列为。

第十二章概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差.2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a、b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,x i,…,ξ取每一个值x i(i=1,2,…)的概率P(ξ=x i)=p i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k .C k n p k q n-k =b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:DA.1B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾, ∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241. ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s ++1×2)(t s st++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ②①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。

第十二章概率第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差练好题·考点自测1.[改编题]下列结论正确的个数是()(1)数学期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事务是彼此互斥的.(4)随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量.(5)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(6)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的状况,因此它们是一回事.A.2B.3C.4D.52.[2024全国卷Ⅲ,3,5分][理]在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且4i=1p i=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.23.[2024菏泽联考]一盒中有12个乒乓球,其中9个新球、3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后装回(用过一次的球就是旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.21554.[2024浙江,7,4分]设0<a<1.随机变量X的分布列是X0 a 1P 131313则当a在(0,1)内增大时,() A.D(X)增大B.D(X)减小C .D (X )先增大后减小 D .D (X )先减小后增大5.[2024广东模拟]设某项试验的胜利率为失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的胜利次数,则P (X =0)的值为( ) A.1 B.12C.13D.156.[2024浙江重点中学联考]已知0<a <1,随机变量X 的分布列如下:X -10 1P (1-a )22a (1-a)a 2若E (X )=D (X ),则实数a 的值为( ) A.13 B.14 C.12 D.√227.[递进型]已知离散型随机变量ξ~B (5,p ),且E (ξ)=2,则D (ξ)= ;若η=12ξ+1,则D (η)= .8.[2024浙江,16,6分]盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P (ξ=0)= ,E (ξ)= .拓展变式1.[2024河南省名校第一次联考]某公司年会有幸运抽奖环节,一个箱子里有相同的十个乒乓球,球上分别标0,1,2,…,9这十个自然数,每位员工有放回依次取出三个球.规定:每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项:三个数字全部相同中一等奖,嘉奖10 000元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖,嘉奖5 000元现金;三个数字各不相同中三等奖,嘉奖2 000元现金.其他不中奖,没有奖金. (1)求员工A 中二等奖的概率;(2)设员工A 中奖奖金为X ,求X 的分布列;(3)员工B 是优秀员工,有两次抽奖机会,求员工B 中奖奖金的期望.2.[2024天津新华中学模拟]某中学用简洁随机抽样的方法抽取了100名同学,对其社会实践次数进行调查,结果如下.将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”.(1)将频率视为概率,估计该校1 600名学生中“社会实践标兵”有多少人. (2)从已抽取的“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参与社会实践表彰活动. (i)设事务A 为“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”,求事务A 发生的概率; (ii)用X 表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.3.[2024福建省五校其次次联考]某蔬菜种植基地有一批蔬菜须要两天内采摘完毕,这两天是否有雨相互独立,无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择,方案一:基地人员自己采摘,不额外聘请工人,须要两天完成,两天都无雨收益为2万元,只有一天有雨收益为1万元,两天都有雨收益为0.75万元.方案二:基地额外聘请工人,只要一天就可以完成采摘,当天无雨收益为2万元,有雨收益为1万元,额外聘请工人的成本为a 万元.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益. (2)该基地是否应当外聘工人?请说明理由.答 案社会实践次数[0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15) [15,18]男同学人数 7 15 11 12 2 1 女同学人数 51320932第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.B 由数学期望的公式可知(1)错误;在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和为1,故(2)错误;由离散型随机变量的分布列的特点可知(3)正确;由均值和方差的含义可知(4)(5)正确;均值反映的是一组数据的整体水平,而方差反映的是一组数据的离散程度,故(6)错误.故选B .2.B 对于A,当p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4时,随机变量X A 的分布列为X A 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.4 0.1E (X A )=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D (X A )=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=1.52×0.1+0.52×0.4+0.52×0.4+1.52×0.1=0.65,所以√D (X A )=√0.65.对于B,C,D,同理可得√D (X B )=√1.85,√D (X C )=√1.05,√D (X D )=√1.45,所以B 中的标准差最大.3.C 当X =4时,表示从盒中取出的3个球中有2个旧球,1个新球,故P (X =4)=C 32C 91C 123=27220.故选C.4.D 由分布列得E (X )=1+a 3.解法一 D (X )=(1+a 3-0)2×13+(1+a 3-a )2×13+(1+a 3-1)2×13=29(a -12)2+16,所以当a 在(0,1)内增大时,D (X )先减小后增大.故选D . 解法二 D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=0+a 23+13−(a+1)29=2a 2-2a+29=29[(a -12)2+34],所以当a 在(0,1)内增大时,D (X )先减小后增大.故选D .5.C 设该项试验失败的概率为p ,则胜利的概率为2p ,所以X 的分布列为X 0 1Pp 2p由p +2p =1,得p =13,即P (X =0)=13.故选C .6.D 解法一 由随机变量X 的分布列及数学期望和方差的计算公式知,E (X )=-(1-a )2+a 2=2a -1,D (X )=(-1-2a +1)2(1-a )2+(-2a +1)2×2a (1-a )+(1-2a +1)2a 2=2a (1-a ).因为E (X )=D (X ),所以2a -1=2a (1-a ),得a =√22,故选D . 解法二 令Y =X +1,则X =Y -1,随机变量Y 的分布列为Y 0 1 2P(1-a )22a (1-a )a 2由二项分布的有关学问知,Y~B (2,a ),所以E (Y )=2a ,D (Y )=2a (1-a ),所以E (X )=E (Y -1)=E (Y )-1=2a -1,D (X )=D (Y -1)=D (Y )=2a (1-a ).又E (X )=D (X ),所以2a -1=2a (1-a ),得a =√22,故选D.7.65310因为ξ~B (5,p ),E (ξ)=2,所以5p =2,解得p =25,所以D (ξ)=5p (1-p )=5×25×(1-25)=65.又η=12ξ+1,所以D (η)=D (12ξ+1)=14D (ξ)=310.8.13 1 ξ=0表示停止取球时没有取到黄球,所以P (ξ=0)=14+14×13=13.随机变量ξ的全部可能取值为0,1,2,则P (ξ=1)=24×13+24×13×12+14×23×12=13,P (ξ=2)=24×13×12+14×23×12+24×13×12+24×13×12=13,所以E (ξ)=0×13+1×13+2×13=1.1.(1)记事务“员工A 中二等奖”为M ,有放回,依次取三个球的取法有103种.中二等奖取法有两类:一类是前两次取到同一数字,从10个数字中取出2个,较大的数是前两次取出的数,较小的数是第3次取出的数,取法数为 C 102=45;另一类是后两次取到同一数字,取法数同样是C 102=45.共90种取法,则P (M )=90103=0.09.(2)X 的可能取值为0,2 000,5 000,10 000.P (X =2 000)=C 103103=0.12;P (X =5 000)=90103=0.09;P (X =10 000)=10103=0.01;P (X =0)=1-P (X =2 000)-P (X =5 000)-P (X =10 000)=0.78.则X 的分布列为X 10 5 000 2 0000000.7P0.01 0.09 0.128(3)由(2)可知A中奖奖金的期望E(X)=10 000×0.01+5 000×0.09+2 000×0.12+0×0.78=790(元)(先求抽一次奖的奖金期望,再乘以2即为抽二次奖的奖金期望).员工B每次中奖奖金的期望和A一样,由题意可知员工B中奖奖金的期望是1 580元.2.(1)样本中社会实践次数不低于12次的学生有2+1+3+2=8(人),所以该校1 600名学生中“社会实践标兵”约有1 600×8=128(人).100(2)由(1)知样本中有8名“社会实践标兵”,其中男同学3人,女同学5人.(i)略。

12-4离散型随机变量的分布列A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若随机变量X 的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )．A.12B.13C.14D.16 解析 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13. 答案 B2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是( )．A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另1颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点 解析 “X ＝4”表示抛掷2颗骰子其点数之和为4，即两颗骰子中“1颗1点，另1颗3点，或两颗都是2点．” 答案 D3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )．A.19B.16C.13D.14 解析 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.答案 C4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )．A ．1 B.12 C.13 D.15 解析 设X 的分布列为：即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，因此选C.答案 C5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )．A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ，k ＝1,2,3，…，则a 的值为________．解析 由∑k ＝1∞P (X ＝k )＝1，即a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＝1. ∴a231－23＝1，解得a ＝12.答案 127．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为34，则射击次数为3的概率为________．解析 “X ＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件，则P (X ＝3)＝14×14×34＝364. 答案 3648．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝________.解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35. 答案 35三、解答题(共23分)9．(11分)一个袋中有一个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取得白球为止，求取球次数的分布列． 解 设取球次数为X ，则X 的可能取值为1,2,3,4,5， P (X ＝1)＝1A 15＝15，P (X ＝2)＝A 14A 25＝15，P (X ＝3)＝A 24A 35＝15，P (X ＝4)＝A 34A 45＝15，P (X ＝5)＝A 44A 55＝15，∴随机变量X 的分布列为：10.(12分)3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意知，X 有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为．P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.所以随机变量X 的分布列为：(3)C ，则P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.答案 D2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )．A.1220B.2755C.27220D.2155解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220，故选C.答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2. 现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信 息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________. 解析 法一 由已知ξ的取值为7,8,9,10，∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝310＋25＋110＝45.法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.答案 454．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对． 答案 －1,0,1,2,3 三、解答题(共22分)5．(★)(10分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23.⎝ ⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的分布列为：【点评】 常出现，其解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论；6.(12分)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．解X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的分布列为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。

单元检测十二概率、随机变量及其分布(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2X Y＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12答案 C解析由题意知X，Y应满足Y＝2X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为336＝112.2．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364答案 D解析从中有放回地取2次，所取号码的情况共有8×8＝64(种)，其中编号和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3种．由古典概型概率公式可得所求概率为P＝364.3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8答案 B解析 根据几何概型得，取到的点到O 的距离大于1的概率P ＝d D ＝圆外部分的面积矩形的面积＝2－π22×1＝1－π4.4．欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm 的圆，它中间有边长为1cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为( ) A.14πB.14C.116πD.116答案 A解析 由题意得，所求的概率为12π×22＝14π，故选A. 5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为( ) A.25B.310C.15D.110 答案 C解析 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：P ＝110＋910×19＝15.6.如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 作为起点作射线OC ，OD ，则使∠AOC ＋∠BOD ＜45°的概率为()A.12B.14 C.18 D.116答案 C解析 设∠AOC ＝x °，∠BOD ＝y °，把(x ，y )看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤90,0≤y ≤90}，若事件A 表示∠AOC ＋∠BOD ＜45°，则其所构成的区域为A ＝{(x ，y )|x ＋y <45,0≤x ≤90,0≤y ≤90}，即图中的阴影部分，故S 阴影＝12×45×45.由几何概型的概率公式，得所求概率P (A )＝12×45×4590×90＝18.7．有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是( ) A.14B.16C.15D.320 答案 B解析 因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是318＝16.故选B.8．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则其速度超过120的概率为( ) A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 答案 C解析 由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7， 则P (ξ＜80或ξ＞120)＝1－P (80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3. ∴P (ξ＞120)＝12P (ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.则他速度超过120的概率为0.15.9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.4B ．0.6C ．0.75D ．0.8 答案 D解析 设“某一天的空气质量为优良”为事件A, “随后一天的空气质量为优良”为事件B ， 则P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.60.75＝0.8. 10．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)等于( )A.2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2，则a ＝3，∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，∴D (2X －3)＝22D (X )＝4.11．(2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( ) A.13B.25C.23D.45 答案 B解析 由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827，∴所求概率为827÷2027＝25.12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}a n 满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235答案 B解析 据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________． 答案 两次都未中靶14．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m ，第二次掷得的点数为n ，则点P (m ，n )落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1,2， (6)答案 29解析 由题意得，基本事件总数为36，点P 落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个， 由古典概型概率公式可得所求概率为836＝29.15．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，c 为常数，则P (0.5<ξ<2.5)＝________.答案 89解析 随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，∴c 2＋c 6＋c12＝1， 即6c ＋2c ＋c 12＝1，解得c ＝43， ∴P (0.5＜ξ＜2.5)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝c 2＋c 6＝46×43＝89. 16．某篮球运动员投中篮球的概率为23，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是________．(结果用分数表示) 答案727解析 “投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23＋C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝727.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及均值E (ξ)和方差D (ξ)．解 (1)记“甲投篮1次投进”为事件A ，“乙投篮1次投进”为事件B ，“丙投篮1次投进”为事件C ，“至少一人投进”为事件D . P (D )＝1－P (A )P (B )P (C )＝45.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，25， 所以，P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫354－k(k ＝0,1,2,3,4)，故随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝0×81625＋1×216625＋2×216625＋3×96625＋4×16625＝85， D (ξ)＝2425.18．(12分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示．(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 的值及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10的同学中，各随机选取1名，求这2名同学的投篮命中次数之和为16的概率．解 (1)依题意得x ＋8×2＋9＋105＝7＋8＋9＋11×25－1，解得x ＝6，x 乙＝415，s 2＝15⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫415－62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫415－82×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫415－92＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫415－102＝1.76. (2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A 1，A 2，A 3，他们的命中次数分别为9,8,7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们的命中次数分别为6,8,8,9.依题意，不同的选取方法有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，共12种．设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件C ，其中恰含有(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 4)，共3种．∴P (C )＝312＝14.19．(13分)(2018·武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间(每月用手机时间总和)的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在[0,30)，第二类的时间区间在[30,60)，第三类的时间区间在[60,720](单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对该校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.(1)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；(2)利用分层抽样的方法从1000名选出10名学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；(3)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X 为获奖学生人数，求X 的均值E (X )与方差D (X )．解 (1)平均数为5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小时)．(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 18C 12C 210＝1645.(3)由题可知，这1000名学生中第一类学生占80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X ～B (10,0.8)，其均值E (X )＝np ＝10×0.8＝8，方差D (X )＝np (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6.20．(13分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；(2)若对在[15,25)，[25,35)的被调查的人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及均值．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解(1)2×2列联表如下：因为K 2≈6.272<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 24C 25×C 28C 210＝610×2845＝84225，P (ξ＝1)＝C 14C 25×C 28C 210＋C 24C 25×C 18C 12C 210＝410×2845＋610×1645＝104225， P (ξ＝2)＝C 24C 25×C 22C 210＋C 14C 25×C 18C 12C 210＝610×145＋410×1645＝35225，P (ξ＝3)＝C 14C 25×C 22C 210＝410×145＝2225，所以ξ的分布列是所以ξ的均值E (ξ)＝0＋1×104225＋2×35225＋3×2225＝45.。

【课时训练】第62节 二项分布及其应用一、选择题1．(2018郑州模拟)设X ～B (4，p )，其中0＜p ＜12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( )A.881 B ．1681 C ．827 D ．3281【答案】D【解析】P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827，即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23(舍去)，故P (X ＝1)＝C 14p ·(1－p )3＝3281.2．(2018大连模拟)把一枚骰子连续抛两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【解析】设事件A ：第一次抛出的是偶数点，事件B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12×1212＝12.3．(2018广东汕头一模)设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ，A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，则事件A 发生的概率为( )A ．2pB ．p 2C ．1－pD ．1－2p【答案】C【解析】由题意可设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有⎩⎨⎧(1－a )(1－b )＝p ，①a (1－b )＝(1－a )b .②由②知a ＝b ，代入①即得a ＝1－p .4．(2018江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )A.5660 B ．35 C ．12 D ．160【答案】B【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题意知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．(2018天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582【答案】D【解析】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38，所以P (X ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38.6．(2018江西重点中学联考)设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( ) A.56 B ．45 C ．3132 D ．12【答案】C【解析】∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.7．(2018陕西咸阳二模)若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729 B ．80243 C ．665729 D ．100243 【答案】C【解析】一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729.故选C.8．(2018云南大理一模)已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (A ·B )＝16，P (B ·C )＝18，P (A ·B ·C )＝18，则P (B )＝( )A.12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】A 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )P (B )＝16，[1－P (B )]P (C )＝18，P (A )P (B )[1－P (C )]＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝14.故选A.二、填空题9．(2018湖北武汉模拟)位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．【答案】516【解析】移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动2次，向上移动3次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 10．(2018广东韶关调研)若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为________．【答案】1或2【解析】由题意得P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝⎛⎭⎪⎫1－135－k ，k ＝0,1,2,3,4,5，则P (ξ＝0)＝32243；P (ξ＝1)＝80243；P (ξ＝2)＝80243；P (ξ＝3)＝40243；P (ξ＝4)＝10243；P (ξ＝5)＝1243.故当k ＝1或2时，P (ξ＝k )最大．11．(2018温州十校联考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．【答案】34【解析】记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋 中”为事件B ，则事件A 的对立事件为事件B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123。