定积分的定义及几何意义

定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx 在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

定积分的几何意义
定积分定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。

即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；假设只有有限个连续点，那么定积分存在；假设有跳跃连续点，那么原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定 积 分教学重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义．教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点:过程的理解．1。

定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆(b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式:11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞)时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间,b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ． (2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ; ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰; 积分的物理意义: 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的性质根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx b a -=⎰1 性质2⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） 性质31212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中例题:求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割：将区间[]0,1等分成n 个小区间：11i i t n n n-∆=-= （2）近似代替:2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和: 1ni i S S ==∆∑ 从而得到S 的近似值 )12)(11(61n n s --= (4）取极限：1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 例1．利用定积分的定义计算dx x )1(210+⎰的值。

不定积分和定积分的几何意义摘要：一、不定积分的几何意义1.不定积分的概念2.不定积分的几何意义与应用3.不定积分与定积分的联系与区别二、定积分的几何意义1.定积分的概念2.定积分的几何意义与应用3.定积分与不定积分的联系与区别三、实例分析与计算1.简单实例分析2.复杂实例分析3.实际问题求解正文：一、不定积分的几何意义1.不定积分的概念不定积分是一种数学运算，通常表示为∫f(x)dx，其中f(x)是关于x的函数，x的取值范围为（a，b）。

在不定积分中，我们关心的是函数f(x)在区间（a，b）上的“面积”。

2.不定积分的几何意义与应用不定积分在几何上的意义可以理解为曲线y=f(x)与x轴所围成的面积。

在实际应用中，不定积分广泛应用于物理、化学、经济学等领域，如求解速度、加速度、密度等问题。

3.不定积分与定积分的联系与区别不定积分与定积分有着密切的联系，它们都是对函数进行积分运算。

不同的是，不定积分关注的是曲线与x轴所围成的面积，而定积分关注的是曲线与坐标轴所围成的面积。

二、定积分的几何意义1.定积分的概念定积分是一种数学运算，通常表示为∫∫f(x，y)dydx，其中f(x，y)是关于x 和y的函数，x和y的取值范围为（a，b）和（c，d）。

在定积分中，我们关心的是函数f(x，y)在区域内的“体积”。

2.定积分的几何意义与应用定积分在几何上的意义可以理解为曲面z=f(x，y)与xy平面所围成的体积。

在实际应用中，定积分广泛应用于物理、力学、地理信息系统等领域，如求解流量、速度场、密度场等问题。

3.定积分与不定积分的联系与区别定积分与不定积分都是积分运算，它们之间存在着联系。

定积分是三维空间中的积分，通常关注的是曲面与坐标平面所围成的体积，而不定积分是二维空间中的积分，关注的是曲线与坐标轴所围成的面积。

三、实例分析与计算1.简单实例分析例如，求解函数f(x)=x^2在区间[0，2]上的定积分。

根据定积分的几何意义，我们可以将问题转化为求解曲线y=x^2与x轴所围成的面积。

定积分的极限定义,几何意义
定积分的极限定义是通过将区间分割成无限小的小区间，然后对每个小区间内的函数值与区间长度的乘积进行求和，最后将分割的区间长度趋近于零，得到的和即为定积分。

几何意义上，定积分表示了函数曲线与x轴之间的面积。

对于非负函数，定积分可以看作是曲线下方到x轴之间的面积。

而对于有正负值的函数，定积分可以表示曲线上方的面积减去曲线下方的面积。

这里的面积是指在函数曲线与x轴之间的区域所包围的面积，即在x轴的上方或下方的区域，而不是绝对值。

如果函数的值为负，则表示在x轴的下方，面积为负值。

因此，定积分的几何意义是计算函数曲线与x轴之间的面积，可以用于求解各种几何问题，如曲线长度、曲线重心、平均值等等。