1.5定积分的几何意义

1.5 定积分的概念三维目标：知识与技能：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江 省的国土面积。

此问题在学生九年级中已有涉及，在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P 足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A ，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二．合作探究问题一 曲边梯形的面积如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。

探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。

定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。

定积分的几何意义公式如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。

这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。

这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。

举个例子来说明这个公式的应用。

假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上，我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。

根据定积分的计算方法，我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间，然后计算每个小区间上的面积并求和。

这样，我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。

通过这个例子，我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。

同时，这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。

除了图形的面积，定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。

如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上，那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。

这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线的长度。

这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。

通过定积分的几何意义公式，我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。

它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度，还可以应用于计算体积、质心等方面。

总结起来，定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念，它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。

第7章 定积分第二节定积分的几何意义与性质1.定积分的几何意义2. 定积分的性质3. 小结、作业,0)(≥x f ⎰=b a A dx x f )(为曲边梯形的面积；如图：1. 定积分的几何意义()dx x f A ba ⎰=,0)(<x f ⎰-=b a A dx x f )(为曲边梯形的面积的负值。

如图：()dx x f A ba ⎰-=一般地。

数和，即之间的各部分面积的代及直线轴、曲线为介于面积有向b x a x x f y x dx x f ba===⎰,)( )( ()321A A A dx x f b a +-=⎰例1 用定积分表示下图中阴影部分的面积.解：如图被积函数 在 上连续,且 .由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为21x y =[]2,10>y ⎰=2121dx xA例2 用定积分的几何意义计算定积分 的值.解：如下图被积函数 在 上连续,且 .由定积分的几何意义可知,计算定积分 就是计算由直线 , , 以及 轴所围成的梯形的面积.所以0>y ⎰31xdx x y =[]3,1⎰31xdx x y =1=x 3=x x ()()[]()413312131=-+==⎰f f xdx A2. 定积分的性质补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．性质1性质2性质1,可推广到有限个函数代数和的情况,即()()()()()()⎰⎰⎰⎰+++=+++b a n b a b a b a n x f dx x f dx x f dx x f x f x f 2121][性质3（关于积分区间的可加性）若函数 在区间 与 上可积,则 在上也可积,且()()()dx x f dx x f dx x f bc c a b a ⎰⎰⎰+=(1)当 在区间 内时,由定积分的几何意义可知,c []b a ,()()()dx x f dx x f dx x f b c c a b a ⎰⎰⎰+=()x f []c a ,[]b c ,()x f []b a ,(2)当在区间 外时,不妨设 ,由定积分的几何意义可知,c []b a ,c b a <<()()()dx x f dx x f dx x f cb b ac a ⎰⎰⎰+=移项,得()()()dx x f dx x f dx x f cb c a b a ⎰⎰⎰-=而()()dx x f dx x f cb bc ⎰⎰-=所以()()()dx x f dx x f dx x f bc c a b a ⎰⎰⎰+=类似地,若时,也可以得出相同的结果.b a c <<dx b a ⋅⎰1dx b a ⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f b a . 性质4如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，性质6则dx x f b a ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，性质5（保号性）（证明略）解],0,2[ ,-∈∀>x x e xdx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰-≥dx e x ⎰-∴20.20dx x ⎰-≤设M 及m 分别是f 在[a ,b ]上的最大值及最小值，（证明略）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰. 性质7 （估值不等式）解, ],0[时当π∈x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰≤+≤⇒πππ.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x解 记,sin )(x x x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos xx x x -=有则对 , ]2 ,4[ ππ∈x ,0<∴)(x f 在]2,4[ππ上单调下降. ,22)4( ππ=∴f 最大值.2)2( ππ=f 最小值.22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x证.)(1M dx x f a b m b a ≤-≤∴⎰,],[上连续在区间b a f 由介值定理知，性质8（积分中值定理）积分中值公式).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰于是，有.],[ m M b a f 和别记为有最大值和最小值，分在∴存在ξ∈[a ,b ]，使,)(1)(⎰-=ξb adx x f a b f dx x f b a⎰)())((a b f -=ξ即证毕 .在],[b a 上至少存在一点ξ，几何解释：x y o a b 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。

定积分的几何意义物理意义一、定积分的几何意义定积分的几何意义可有趣啦！想象一下，你在一个平面直角坐标系里画了一条曲线，比如说y = x²。

如果我们要求从a到b这个区间上函数y = x²的定积分，那这个定积分的值就表示由曲线y = x²、x = a、x = b以及x轴所围成的图形的面积。

不过呢，这里要注意，如果曲线在x轴下方，那这部分面积可就得算成负的啦，就像欠了面积似的。

比如说y = -x²，从0到1求定积分，这个值就是负的，它表示的是x轴下方，曲线y = -x²和x轴以及x = 0和x = 1围成的图形的面积，只不过因为在下方所以是负的。

这就像是把平面的图形分成了上下两部分，x轴上面的是正面积，下面的是负面积，而定积分就把这些面积都加起来，得出一个总的“有正负之分的面积”值。

二、定积分的物理意义定积分在物理里也超级有用呢。

咱先说路程和速度的关系。

如果有一个物体，它的速度v是时间t的函数，比如v = 3t。

那从t₁时刻到t₂时刻这个物体走过的路程就可以用定积分来求啦。

这是为啥呢？你看啊，速度是描述物体运动快慢的，在一小段时间Δt里，物体近似看成是做匀速直线运动，那它走过的路程Δs就约等于vΔt。

当我们把整个时间段[t₁, t₂]分成无数个小时间段，每个小时间段都这么算路程，然后把这些小路程加起来，这不就是定积分干的事儿嘛。

所以定积分在这就表示这个物体从t₁时刻到t₂时刻走过的路程。

还有在做功方面。

假如有个力F是位移x的函数，例如F = 2x。

那力F在从x₁到x₂这段位移上做的功W就可以用定积分来求。

因为在一小段位移Δx里，力近似看成不变，那这一小段位移上做的功ΔW就约等于FΔx。

把整个位移区间[x₁, x₂]分成无数个小位移区间，每个小位移区间都这么算功，最后加起来就是总的功，这也就是定积分的意义。

定积分在物理里就像是一个神奇的工具，把很多连续变化的量通过这种分割、近似、求和的方式联系起来了呢。

新授课§1.5.2定积分的概念（四）知识与技能：掌握定积分的几何意义并能应用其去求简单的定积分问题；进一步理解定积分的概念。

进一步掌握掌握定积分的概念过程与方法：无限逼近的思想。

情感、态度与价值观：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

重点与难点重点：定积分的几何性质 难点：定积分的几何性质一体化设计：定积分的几何意义探究定积分几何意义的应用教学过程：一．复习定积分的概念及其相关相关概念 定积分的运算性质二．定积分的几何意义从前面的学习我们不难知道：如果在区间[a ，b]上孙数f(x)连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和()y f x =所围成曲线的曲边梯形的面积。

如图1图1三、探究（1）根据定积分的几何意义，你能用定积分表示如图2阴影部分的面积吗？（2）公式()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰你能从定积分的几何意义解释它吗？四、应用举例例1试用定积分的几何意义求⎰的值。

分析：如果直接用定义求定积分比较难，可以考虚其代表的几何图形的面积。

设y =则可有221x y +=且01x ≤≤，0y ≥其图像为四分之一圆周，所以所求的积分为四分之一圆的面积。

解：例2计算下列定积分，并从几何意义上解释这些值分别表示什么？ （1）031x dx -⎰（2）031x dx -⎰ （3）231x dx -⎰解：图2总函数的图像与定积分正负的关系。

六、知识回顾定积分的几何意义作业教材第60页B组第1题板书设计教学反思：。

1．定积分的概念一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作________，即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰． 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式．2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠，0y =和曲线()y f x =所围成的__________．这就是定积分()d baf x x ⎰的几何意义．3．定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： ①()d __________(ba kf x x k =⎰为常数）； ②1212[()()]d ()d ()d bb ba aaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰；③()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）． 4．微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ，即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰．微积分基本定理表明，计算定积分()d baf x x ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x ．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x ．学&科网5．定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．6．定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即________s =．②变力做功：一物体在恒力F (单位：N )的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功为W Fs =．已知某物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且该物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到()x b b a =>，求变力()F x 所做的功W ，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到_________W =．K 知识参考答案：6．①()d bav t t ⎰②()d baF x x ⎰K —重点 定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用 K —难点 运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积 K —易错 运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求()d baf x x ⎰的值的关键是确定由曲线()y f x =，直线x a =，直线x b =及x轴所围成的平面图形的形状．利用定积分的几何意义求π22π22()sin d d cos x x f x x x --+⎰⎰，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩．【答案】6-． 【解析】ππ20222ππ2222d d d ()sin cos (31)(21)sin cos d d f x x x x x x x x x x x x ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰．∵sin cos y x x =为奇函数，∴π2π2sin cos d 0x x x -=⎰．利用定积分的几何意义，如下图：学科@网∴271(31)28d 2x x -+-=-⨯=-⎰，2031(21)122d x x +-=⨯=⎰，故π22π22()sin co 6d s 820d f x x x x x --+=-++=-⎰⎰．【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．（2）设函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则若()f x 是偶函数，则0()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰；若()f x 是奇函数，则()d 0aaf x x -=⎰．利用微积分基本定理计算定积分求函数()f x 在某个区间上的定积分时，要注意：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差． （2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．计算下列定积分：（1）221(23)d x x x ++⎰； （2）πcos d (e )x x x --⎰； （3）π22d sin 2x x⎰；（4）94(1)d x x x +⎰．【答案】（1）253；（2）π11e -；（3）π24-；（4）2716．【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．定积分在几何中的应用对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时， （1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． （2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）．【答案】图形见解析，平面图形的面积为1S =．【解析】画出曲线22y x =+与3y x =，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩，可得12x x ==或．故平面图形的面积为322312221201133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=，所以所求图形的面积为1．【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．学科&网定积分在物理中的应用（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功． 【答案】将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为22.5J ．【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm 换算为m ．1．定积分()d baf x x ⎰的大小A ．与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关B ．与()f x 有关，与区间[],a b 以及i ξ的取法无关C ．与()f x 以及i ξ的取法有关，与区间[],a b 无关D ．与()f x 、区间[],a b 和i ξ的取法都有关2．在求由抛物线26y x =+与直线1x =，2x =，0y =所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为 A ．1[,]i in n- B ．1[,]n i n in n +-+ C ．[1,]i i -D ．1[,]i i n n+3．已知31()d 56f x x =⎰，则A ．21()d 28f x x =⎰ B ．32()d 28f x x =⎰C ．212()d 56f x x =⎰D ．2312()d ()d 56f x f x x x +=⎰⎰4．定积分1(2e )d x x x +=⎰A ．e 2+B ．e 1+C ．eD ．e 1-5．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22B ．42C ．2D ．46．计算：11||d x x -=⎰A ．11d x x -⎰B ．11d x -⎰C ．11()d d x x x x --+⎰⎰D ．110d ()d x x x x -+-⎰⎰7．由直线0y =，e x =，2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭图形的面积S = A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3-D ．e8．定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰A ．22+B ．22-C ．2D ．229．已知1201d 3x x =⎰，2217d 3x x =⎰，则220(1)d x x +=⎰________________． 10．计算：121(sin )d x x x -+=⎰________________．11．计算π220sin d 2xx =⎰________________．12．若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰，则实数a =________________．13．已知函数22()31f x x x =++，若11()()d 2f x x f a -=⎰成立，则实数a =________________． 14．已知函数2max (),{}f x x x =，则22()d f x x -=⎰________________．15．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S ．16．如图，抛物线的方程为21y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为A ．220()1d x x -⎰ B ．|220()1d x x -⎰|C ．220||1d x x -⎰D ．1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰17．设113d a x x =⎰，120d b x x =⎰，130d c x x =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>18．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+19．下列命题不正确的是A ．若()f x 是连续的奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰B ．若()f x 是连续的偶函数，则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在[],a b 上连续且恒正，则()d 0bax f x >⎰D ．若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰，则()f x 在[),a b 上恒正20．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是A ．1B ．2C ．π2D ．π21．已知()f x 是一次函数，若1()d 5f x x =⎰，117()d 6x x x f =⎰，则函数()f x 的解析式为 A ．3(4)f x x =+B ．4(3)f x x =+C ．2(4)f x x =-+D ．4(3)f x x =-+22．已知分段函数21,0()e ,0x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰A ．13e + B ．2e - C ．713e-D ．12e-23．已知π207sin()d 4x x ϕ-=⎰，则sin 2ϕ=________________． 24．若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中,()0t ∈π，则t =________________．25．已知函数21,10()1,01x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，则11()d f x x -=⎰________________． 26．如图，求由曲线1y x=，2y x =与直线2x =，0y =所围成的阴影部分的面积．1．【答案】A【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分()d baf x x ⎰的大小与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关，故选A ．学#科网2．【答案】B【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入1n -个点，将它等分成n 个小区间[1，1n n +]，[1n n +，2n n+]， (1),]n i n i n n +-+，…，[21n n-，2]，所以第i 个区间为1[,]n i n in n +-+ 1,2,(),i n =．故选B ．3．【答案】D 【解析】由题可得323112()d ()d ()d 56f x f x x x x f x =+=⎰⎰⎰，故选D ．4．【答案】C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x +=+=+-+=⎰，故选C ．5．【答案】D【解析】由已知得23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D ． 6．【答案】C7．【答案】B【解析】由题可得1e21e010122d d 2ln 3S x x x x x x=+=+=⎰⎰，故选B ．8．【答案】D 【解析】44044|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x x x x πππππππ-=-=-=++--=⎰⎰⎰22，故选D ．9．【答案】143【解析】根据定积分的性质可得2122220011714(1)d d d 22333x x x x x x +=++=++=⎰⎰⎰． 10．【答案】23【解析】12311112(sin )d (cos )33x x x x x --+=-=⎰．学*科网 11．【答案】π24- 【解析】πππ22220001cos 1π2sin d d (sin )2224x x x x x x --==-=⎰⎰． 12．【答案】2【解析】221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰，解得2a =．13．【答案】1-或1314．【答案】112【解析】如图，可得222,0(){},01,1max ,x x x f x x x x x x ⎧≤=⎪=<<⎨⎪≥⎩，所以201222221d d d d 11()2f x x x x x x x x --=++=⎰⎰⎰⎰． 15．【答案】（1）2()21f x x x =++；（2）9．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意可得240222b ac ax b x ⎧-=⎨+=+⎩，所以1,2,1a b c ===，所以2()21f x x x =++．（2）由2221341y x x x y x x ⎧=++⎪⇒=-⎨=--+⎪⎩或0x =， 所以022320332[(41)(21)]d (3)|93S x x x x x x x --=--+-++=--=⎰． 16．【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰，而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰，故选C ．17．【答案】B【解析】由题可得141133033d 44a x x x===⎰，1231011d 33b x x x ===⎰，1341011d 44c x x x===⎰，因为113434<<，所以a b c >>．故选B ． 18．【答案】C【解析】令25()7301v t t t =-+=+，解得4t =或83t =-（舍去）．故所求距离是4025(73)d 1t t t -+=+⎰242033[725ln(1)]|74425ln 5425ln 522t t t -++=⨯-⨯+=+，故选C ． 19．【答案】D20．【答案】B【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从π2x =-到π2x =与x 轴围成的面积与从π2x =到3π2x =与x 轴围成的面积相等，故阴影部分的面积ππ22ππ22cos d sin 2S x x x--===⎰，故选B ．21．【答案】A【解析】由题可设((0))f x ax b a =+≠，则11001()d ()d 52f x ax b x x a b =+=+=⎰⎰，1()d xf x x =⎰11117()d 326x ax b x a b +=+=⎰，所以152a b +=且1117326a b +=， 解得4a =，3b =，所以3(4)f x x =+．故选A ．学科@网 22．【答案】C23．【答案】916【解析】由题可得πππ2220sin()d (sin cos cos sin )d (cos cos sin sin )|x x x x x x x ϕϕϕϕϕ-=-=-+=⎰⎰7(sin cos )4ϕϕ--=，两边同时平方可得71sin 216ϕ-=，所以9sin 216ϕ=．24．【答案】π2【解析】由于00cos 2co s s s d in in tt t t x xx -=--==⎰，所以22sin sin 10t t --=，所以sin 1t =（负值舍去），又,()0t ∈π，所以t =π2． 25．【答案】124π+ 【解析】由题可得21012011121π1()d ()d d ()1|22144f x x x x x x x x ---π=+=++++=-⎰⎰⎰．26．【答案】2ln 23+．【解析】由题图知阴影部分的面积3121220101122d d|ln|ln233S x x x x xx=+=+=+⎰⎰．。