(整理)传输矩阵法

Transfer Matrix MethodG.Eric Moorhouse,University of WyomingReference:Transfer Matrix MethodI.M.Gessel and R.P.Stanley,‘Algebraic Enu-meration’,in Handbook of Combinatorics Vol.2, ed.R.L.Graham et al.,Elsevier,1995,pp.1021–1061.References:Dimensions of CodesN.Hamada,‘The rank of the incidence matrixof points and d-flats infinite geometries’,J. Sci.Hiroshima Univ.Ser.A-I32(1968),381–396.M.Bardoe and P.Sin,‘The permutation mod-ules for GL(n+1,q)acting on P n(q)and F n+1q’,to appear in JLMS./~sin/preprints/hamada.dviG.E.Moorhouse,‘Dimensions of Codes from Finite Projective Spaces’(as html and as Maple worksheet)/~moorhous/src/hamada.html /~moorhous/src/hamada.mwsProblem1Let S k be the set of‘words’of length k consist-ing of‘a’s and‘b’s,with no two consecutive ‘b’s.Determine F k=|S k|.F0=1‘’F1=2‘a’‘b’F2=3‘aa’‘ab’‘ba’F3=5‘aaa’‘aab’‘aba’‘baa’‘bab’F4=8‘aaaa’‘aaab’‘aaba’‘abaa’‘abab’‘baaa’‘baab’‘baba’etc.This gives all but thefirst term of the Fibonacci sequence1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...To find a formula for F k ,we work instead with the generating function∞k =0F k t k =1+2t +3t 2+5t 3+8t 4+13t 5+···Observe that words w ∈S k correspond to paths of length k ,starting at vertex 1in the digraph12..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................append ‘a’append ‘a’append ‘b’Words not ending in ‘b’Words ending in ‘b’Agenda1.Motivating Problem1(above)2.Counting Walks by the Transfer Matrix Method3.Application to Problem14.Counting Closed Walks5.Counting Weighted Walks in Digraphs withWeighted Edges6.MAPLE Worksheet for Problem17.Application to Coding TheoryThe Transfer Matrix Method Let D be a digraph (directed graph),possibly with loops,having vertices 1,2,3,...,n .Let A =[a ij :1≤i,j ≤n ]be the adjacency matrix of D ;in other words,a ij = 1,if (i,j )is an edge of D ;0,otherwise.A walk of length k in D is a sequence......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................···◦◦◦◦i 0i 1i 2i k→→→→of (not necessarily distinct)vertices such that each ...........................................................................................◦◦i r −1i r →is an edge of D .Counting Walks from i to jLet w ij(k)be the number of walks of length k from vertex i to vertex j in D.Then w ij(k)is the(i,j)-entry of A k.This is readily computed by reading offthe coefficient of t k in the gen-erating function k≥0w ij(k)t k which in turn is the(i,j)-entry of(I−tA)−1=I+tA+t2A2+t3A3+···. Since the(i,j)-entry of(I−tA)−1is of the formpoly.in t of degree≤n−1det(I−tA),w ij(k)satisfies a linear recurrencew ij(k+n)=n−1r=0c r w ij(k+r)for all k≥0where det(I−tA)=1−c n−1t−c n−2t2−···−c0t n.The initial conditions w ij(0),w ij(1),..., w ij(n−1)depend on i and j but the recurrence does not.Counting All WalksLet w(k)= n i=1 n j=1w ij(k),the total num-ber of walks of length k.This is the coefficient of t k in the sum of the entries of(I−tA)−1.In particular w(k)satisfies the same recurrence as the w ij(k)’s:w(k+n)=n−1r=0c r w(k+r)for all k≥0but with different initial conditions.Counting Closed WalksLet w closed(k)= n i=1w ii(k),the total number of closed walks of length k(i.e.starting and ending at the same vertex).This is the coef-ficient of t k in trace((I−tA)−1).In particular w closed(k)satisfies the same linear recurrence as the w ij(k)’s and w(k),but again with different initial conditions.Here we assumed the initial/final vertex to be distinguished,i.e.the walks(i0,i1,i2,...,i k)and (i1,i2,...,i k,i0)are counted as distinct unless all i0=i1=···=i k.ExampleLet F k be the number of‘words’of length k consisting of‘a’s and‘b’s,with no two con-secutive‘b’s.F0=1‘’F1=2‘a’‘b’F2=3‘aa’‘ab’‘ba’F3=5‘aaa’‘aab’‘aba’‘baa’‘bab’F4=8‘aaaa’‘aaab’‘aaba’‘abaa’‘abab’‘baaa’‘baab’‘baba’etc.This gives all but thefirst term of the Fibonacci sequence1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...Observe that F k is the number of paths of length k ,starting at vertex 1in the digraph12.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................append ‘a’append ‘a’append ‘b’Words not ending in ‘b’Words ending in ‘b’A = 111(I −tA )−1=11−t −t 2 1t t 1−tk ≥0F k t k =sum of (1,1)-and (1,2)-entries of (I −tA )−1=1+t 1−t −t 2=1√5 α21−αt −β21−βt=1√5 k ≥0(αk +2−βk +2)t k where α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2.From (1−t −t 2) k ≥0F k t k =1+t we obtainF k = 1,if k =0;2,if k =1;F k −1+F k −2,if k ≥2so by induction,F k is the (k +1)st Fibonacci number.From the series expansion we obtain the explicit formulaF k =αk +2−βk +2√5for k ≥0.Wraparound VersionLet L k(for k≥0)be the number of‘words’of length k consisting of‘a’s and‘b’s with no consecutive‘b’s,and which do not both start and end with‘b’.For technical reasons we will take L0=2.For k≥2,we are simply counting necklaces with a mber and b lack beads having no two consecutive black beads;however,each neck-lace has a distinguished starting point(a knot in its cord)and a distinguished direction(clock-wise or counter-clockwise).L1=1‘a’L2=3‘aa’‘ab’‘ba’L3=4‘aaa’‘aab’‘aba’‘baa’L4=7‘aaaa’‘aaab’‘aaba’‘abaa’‘abab’‘baaa’‘baba’These are the familiar Lucas numbers which satisfy the same recurrence relation as the Fi-bonacci numbers,but a different initial condi-tion.Note that L k is the number of closed walks of length k in our digraph.k ≥0L k t k =trace ((I −tA )−1)=2−t 1−t −t 2=11−αt +11−βt=k ≥0(αk +βk )t kFrom (1−t −t 2) k ≥0L k t k =2−t we obtainL k = 2,if k =0;1,if k =1;L k −1+L k −2,if k ≥2From the series expansion we obtain the ex-plicit formulaL k=αk+βk for k≥0.Counting Walks with Weighted Edges As before,D is a digraph (directed graph),pos-sibly with loops,having vertices 1,2,3,...,n .Assign a weight to each edge:...........................................................................................◦◦i j →a ij (Non-edges have weight zero.)Define the weight of a walk......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................···◦◦◦◦i 0i 1i 2i k →→→→a i 0i 1a i 1i 2a i 2i 3a i k −1i k of length k to be the producta i 0i 1a i 1i 2a i 2i 3···a i k −1i k .Let A =[a ij :1≤i,j ≤n ].Thenw ij(k):=The sum of all weightsof walks in D of length k from vertex i to vertex j=(i,j)-entry of A khas generating function k≥0w ij(k)t k equal to the(i,j)-entry of(I−tA)−1=I+tA+t2A2+t3A3+···as before.ExampleWe have determined the number F k of words of length k consisting of‘a’s and‘b’s,with no two consecutive‘b’s.How many such words contain r‘a’s and(therefore)k−r‘b’s?12.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a ab A = a b a0 (I −tA )−1=11−at −abt 2 1bt at 1−atThe sum of the (1,1)-and (1,2)-entries is1+bt1−at −abt 2=1+(a +b )t +(a 2+2ab )t 2+(a 3+3a 2b +ab 2)t 3+(a 4+4a 3b +3a 2b 2)t 4+···Thus,for example,among the F 4=8words of length 4,1has 4‘a’s and 0‘b’s;4have 3‘a’s and 1‘b’;3have 2‘a’s and 2‘b’s.Codes from Finite GeometryConsider the projective plane of order 2:•••••••a bc d e f g ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................The binary code of this geometry is the sub-space C ≤F 7(where F ={0,1}mod 2)spanned by the lines:a b c d e f g a b c d e f g C ={0000000,1111111,1101000,0010111,0110100,1001011,0011010,1100101,0001101,1110010,1000110,0111001,0100011,1011100,1010001,0101110}|C|=24;dim C =4The code above is the 1-error correcting binary Hamming code of length 7.The projective plane is constructed from F 3by taking as points and lines the 1-and 2-dimensional subspaces of F 3.•••••••001010100011110111101.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Codes of Finite Projective SpacesLet F be thefield of order p e,p prime.Pro-jective n-space over F has as its points,lines, etc.the subspaces of F n+1of dimension1,2, etc.Problem:Compute the dimension of the code C=C n,p,e,k spanned by the subspaces of codi-mension k.Solution by Hamada’s Formula(the follow-ing theorem)is usually computationally infea-sible.Solution by the Transfer Matrix MethodTheorem(Bardoe and Sin,1999)Define M(t)=(1+t+t2+···+t p−1)n+1.Let D=D n,p,e,k be the digraph with vertices 1,2,...,k,and the edge from vertex i to vertex j has weight equal to the coefficient of t pj−i in M(t).Thendim C n,p,e,k=1+sum of weights of closed walks of length ein D=1+ coeff.of t ein tr[(I−tA)−1]where A is the k×k matrix whose(i,j)-entry is the weight of edge(i,j)(defined above).Example:Projective Plane of Order2C=binary code spanned by the seven lines (subspaces of codimension k=1)M(t)=(1+t)3=1+3t+3t2+t3A=[3](coefficient of t1in M(t))(I−tA)−1= 1 1−3ttr[(I−tA)−1]=11−3t=1+3t+9t2+27t3+···dim C=1+3=4。

光线传输矩阵推导过程光线传输矩阵（Ray Transfer Matrix）是描述光线在光学系统中传输的数学工具，也被称为 ABCD 矩阵。

在光学系统中，常常需要知道光线从一个位置传输到另一个位置，因此需要将光线传输过程用数学描述出来。

光线传输矩阵是一种简便的描述光线传输过程的方法，可以用于计算光学系统的成像性能、衍射现象等。

1. 光线传输是沿直线传播的；2. 光线的传播满足亥姆霍兹方程；3. 光学系统是轴对称的，即沿光路方向上的所有点都是轴对称的。

在这些假设的基础上，可以推导出光线传输矩阵的一般形式。

假设一束光线在一个点 P 处（位置矢量为 [x, y, z]）的方向余弦分别为 l, m, n，那么在向前传播一段距离 d 之后，在点 Q（位置矢量为[x′, y′, z′]）处的方向余弦分别为l′, m′, n′。

下面推导光线传输矩阵。

首先，根据第一条假设，可以得到：x′ = x + dly′ = y + dmz′ = z + dn然后，根据亥姆霍兹方程，可以得到：$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} + k^2\psi = 0$$其中，$\psi$ 表示复振幅，$k$ 表示波数，$k = 2\pi/\lambda$。

假设在点 P 处的复振幅为 $\psi_0$，则在点 Q 处的复振幅为：$$\psi = \psi_0e^{ikn′d}$$其中，$n′d$ 表示传输距离。

忽略高阶小量，可以进一步简化为：$$\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x^2}dl^2 +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y^2}dm^2 + \frac{\partial^2\psi_0}{\partialz^2}dn^2 + 2\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial y}dldm +2\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}dldn +2\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial z}dmdn + k^2\psi_0 = 0$$接下来，定义一个 2x2 的矩阵 A 和一个 2x2 的矩阵 B，它们分别表示在点 P 和点Q 处的光线倾斜角（slopes）和射线高度（heights）：然后，将光线传输方程改写为矩阵形式：$$\begin{bmatrix} l′ \\ m′ \end{bmatrix} = M\begin{bmatrix} l \\ m\end{bmatrix}$$其中，$M$ 表示光线传输矩阵，它可以通过将以上方程变形得到：根据矩阵乘法的定义，可以将 $M$ 表示为：其中，$$\begin{aligned} A_{11} &= 1 + \frac{\partial l}{\partial z}d +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}d\frac{\partial l}{\partial z}d \\ A_{12} &= d + l\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}d \\ A_{21} &=\frac{\partial m}{\partial z}d + m\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial z}d \\ A_{22} &= 1 + \frac{\partial m}{\partial z}d + \frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial z}d\frac{\partial m}{\partial z}d \\ B_1 &= x +l\frac{\partial\psi_0}{\partial z}d +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x^2}l^2 +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial x}lm +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}ldx\right)d \\ B_2 &= y +m\frac{\partial\psi_0}{\partial z}d +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial x}lm +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y^2}m^2 + \frac{\partial^2\psi_0}{\partialy\partial z}mdy\right)d \\ C_1 &= -\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial y}d^2lm \\ C_2 &= -\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi_0}{\partialy\partial x}d^2lm \end{aligned}$$可以看到，光线传输矩阵 $M$ 的每一项都可以用初始光线的方向余弦和位置来表示。

传输线矩阵法细线模型的馈电方法
王晖;谢树果;宁敏
【期刊名称】《遥测遥控》
【年(卷),期】2010(031)002
【摘要】针对TLM细线模型提出一种馈电方法,使得模型可用于计算线天线的端口特性.采用电压源激励,馈电点可位于细线模型的中心或者两个细线模型之间,分析得出相应的馈电点处的电流计算公式.采用馈电方法下的TLM细线模型仿真计算振子天线的输入阻抗,误差分析表明计算结果具有很好的精度,从而证明了馈电方法的有效性.馈电方法下的TLM细线模型可用于各种线结构端口特性的求解,具有实际意义.
【总页数】5页(P20-23,29)
【作者】王晖;谢树果;宁敏
【作者单位】北京航空航天大学电子信息工程学院,北京,100191;北京航空航天大学电子信息工程学院,北京,100191;北京航空航天大学电子信息工程学院,北
京,100191
【正文语种】中文
【中图分类】TN03
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第３９卷第８期大　学　物　理Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．８２０２０年８月ＣＯＬＬＥＧＥ　ＰＨＹＳＩＣＳＡｕｇ．２０２０收稿日期：２０１９－１１－０１；修回日期：２０２０－０１－０７　基金项目：２０１９年校级教育教学改革研究项目（精品课程建设专项）（２０１９ＪＧ０８４０Ｋ）、教育部高等学校电子信息类专业教学指导委员会光电信息科学与工程专业教学指导分委员会２０１９年教育教学研究项目资助　作者简介：马海霞（１９７６—），女，山东兖州人，南京航空航天大学理学院副教授，博士，主要从事大学物理教学和纳米光子学研究工作．基于传输矩阵法的多层介质膜反射特性研究马海霞，武艳军，王吉明，路元刚，杨雁南（南京航空航天大学理学院，江苏南京　２１１１０６）摘要：薄膜干涉是大学物理波动光学教学的重要内容，也是薄膜光学的理论基础．薄膜干涉的一个重要应用是用于设计减反膜和高反膜．本文基于传输矩阵法，定量计算了多层介质膜的反射率．以ＢＫ７玻璃为例，无镀膜时在可见光范围内，其反射率约为４％．利用薄膜的相消干涉可以减少表面的反射率．镀一层减反膜时，对设计波长５５０ｎｍ其反射率下降为１．３％，一旦偏离设计波长减反效果变差；镀两层减反膜时，在４７０ｎｍ～６７０ｎｍ范围内，减反效果明显改善，反射率均低于１．３％．利用薄膜的相长干涉可以增加表面的反射率．以熔石英为例，镀一层薄膜时，对设计波长１５００ｎｍ其反射率可由未镀膜时的３．３％提高到３０％；镀七组薄膜时在１３６０ｎｍ～１６６０ｎｍ范围内其反射率均可达９９％以上．通过这些定量计算，让学生更加深刻地理解所学理论知识在实际中的应用，培养工程意识，提高学习兴趣．关键词：薄膜干涉；传输矩阵法；减反膜；高反膜中图分类号：Ｏ４３６．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２０）０８ ００２５ ０６【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１９０５００光波经薄膜两表面反射后相互叠加形成的薄膜干涉既是日常生活中常见的光学现象，也是光学器件设计中需要考虑的一个重要环节．利用薄膜干涉原理，可以对光学材料表面的反射或透射特性进行调控，因此该方面的知识一直是大学物理教学中的重要内容．为了使学生更好地理解掌握该部分的理论知识，有多位学者对此开展了深入细致的教学研究．王文梁利用Ｍａｃｌｅｏｄ软件分析了楔形薄膜分振幅干涉的相长和相消的情形，以及薄膜干涉位相突变的情况［１］；刘萍讨论了薄膜干涉中条纹形状、条纹分布、薄膜干涉中相干光束个数等问题［２］．薄膜干涉的一个重要应用是用于设计减反膜和高反膜．针对学生学习过程中的一些疑惑，本文在大学物理的层面上，利用传输矩阵法以常用材料ＢＫ７玻璃和硅片为例，计算了没有镀膜时材料表面的反射率，镀一层、两层减反膜，以及多层高反膜时的反射率，并考虑了不同入射角以及不同入射波长时的反射情况，让学生更加深刻地理解薄膜干涉在实际中的应用，培养学生的工程意识．本文的研究结果有益于加深学生对薄膜干涉知识的理解，同时巩固电磁学知识，通过对大学物理知识适当的拓展，提高学习者的兴趣．１　传输矩阵法在薄膜干涉中的应用传输矩阵法是用矩阵的形式来描述电磁波在多层介质中的传播情况，在每一层介质传播过程中的运动规律满足Ｍａｘｗｅｌｌ方程组，层与层之间满足电磁场边界条件，该方法是光学薄膜计算与设计中常用和有效的方法［３］．图１表示由Ｎ个相邻的均匀介质层构成的多层介质，边界为介电常数为εａ和εｂ的介质，第ｎ层介质位置位于ｚｎ～ｚｎ＋１，介电常数为εｎ．对于垂直于入射面的线偏振光（ｓ波），它在第ｎ层介质中的矩阵Ｍｎｓ可以表示为Ｍｎｓ＝ｃｏｓδｎｑｎ－１ｓｉｎδｎ－ｑｎｓｉｎδｎｃｏｓδｎ（１）其中，ｑｎ＝（ω２／ｃ２）（εｎ－εａｓｉｎ２θａ槡），δｎ＝ｑｎ（ｚｎ＋１－ｚｎ），ｑｎ表示第ｎ层介质中波矢垂直于分界面的法向分量，ω代表圆频率，ｃ为光速，电磁波从介电常数为εａ的介质入射，θａ为入射角；经过Ｎ层介质后，从介电常数为εｂ的介质出射，δｎ表示电磁波从ｚｎ到ｚｎ＋１传播时相位的增量．这样我们可以写出每一层介质的矩阵，Ｍ１ｓ，Ｍ２ｓ，……，ＭＮｓ，对于整个多层介质而言，ｓ波的矩阵Ｍｓ可以表示为Ｍｓ＝ｍ１１ｓｍ１２ｓｍ２１ｓｍ２２ｓ＝ＭＮｓＭ（Ｎ－１）ｓ…Ｍｎｓ…Ｍ２ｓＭ１ｓ　（２）２６　大　学　物　理 第３９卷这样电磁波经过多层介质时，反射率Ｒｓ、透射率Ｔｓ可以表示为Ｒｓ＝（ｑａｑｂｍ１２ｓ＋ｍ２１ｓ）２＋（ｑｂｍ１１ｓ－ｑａｍ２２ｓ）２（ｑａｑｂｍ１２ｓ－ｍ２１ｓ）２＋（ｑｂｍ１１ｓ＋ｑａｍ２２ｓ）２（３）Ｔｓ＝４ｑａｑｂ（ｑａｑｂｍ１２ｓ－ｍ２１ｓ）２＋（ｑｂｍ１１ｓ＋ｑａｍ２２ｓ）２（４）其中，ｑａ，ｑｂ表示入射和出射介质中波矢垂直于分界面的法向分量，它们可以分别表示为ｑａ＝（ω２／ｃ２）（εａ－εａｓｉｎ２θａ槡）ｑｂ＝（ω２／ｃ２）（εｂ－εａｓｉｎ２θａ槡）对于在入射面内的线偏振光（ｐ波），它在第ｎ层介质层中的矩阵不同，其Ｍｎｐ可以表示为：Ｍｎｐ＝ｃｏｓδｎＱｎ－１ｓｉｎδｎ－Ｑｎｓｉｎδｎｃｏｓδｎ（５）其中，Ｑｎ＝ｑｎ／εｎ．同理我们可以写出ｐ波在每一层介质的矩阵，Ｍ１ｐ，Ｍ２ｐ，……，ＭＮｐ，对于整个多层介质而言，ｐ波的矩阵Ｍｐ可以表示为Ｍｐ＝ｍ１１ｐｍ１２ｐｍ２１ｐｍ２２ｐ＝ＭＮｐＭ（Ｎ－１）ｐ…Ｍｎｐ…Ｍ２ｐＭ１ｐ（６）ｐ波的反射率Ｒｐ以及透射率Ｔｐ可以表示为Ｒｐ＝（ＱａＱｂｍ１２ｐ＋ｍ２１ｐ）２＋（Ｑｂｍ１１ｐ－Ｑａｍ２２ｐ）２（ＱａＱｂｍ１２ｐ－ｍ２１ｐ）２＋（Ｑｂｍ１１ｐ＋Ｑａｍ２２ｐ）２（７）Ｔｐ＝４ＱａＱｂ（ＱａＱｂｍ１２ｐ－ｍ２１ｐ）２＋（Ｑｂｍ１１ｐ＋Ｑａｍ２２ｐ）２（８）基于传输矩阵法，我们可以获得每一层介质中的振幅，求出入射电磁场经过多层介质后总的反射率，透射率．图１　由Ｎ个相邻的均匀介质层构成的多层介质２　结果与分析２．１　无镀膜时材料表面的反射菲涅耳公式可以计算两种介质分界面入射光的反射率和透射率［４］，解释光的反射与折射的起偏及半波损失问题等．在垂直入射时，自然光由空气入射到某一介质时，介质的折射率越大，其反射率就越大．图２（ａ）表示ＢＫ７玻璃表面在波长为５５０ｎｍ的入射光下，ｓ波、ｐ波以及自然光在不同入射角下的反射率．ＢＫ７玻璃的折射率取自文献［５］．在可见光光谱内，它的折射率约为１．５２．在垂直入射时，其反射率大概为４％．当入射角小于１０度时，ｓ波和ｐ波反射率近似相等；一旦入射角增大，ｓ波和ｐ波表现出不一样的行为；ｐ波在入射角约为５７°时发生布儒斯特现象，这时它的反射率为０，全部透射；随着入射角的进一步增大，ｓ波和ｐ波的反射率迅速增加；掠入射时几乎全部反射．对于入射自然光的情况，自然光可以看成具有一切可能振动方向的光波的总和，对所有可能的方位角取值所对应的反射率取平均，可以得到自然光反射率．由于色散现象，当入射光波长改变时，玻璃的折射率亦发生改变．玻璃材料的折射率随波长的增加，折射率会逐渐减小．入射光垂直入射时，ＢＫ７玻璃随着入射波长的改变其反射率如图２（ｂ）所示，随着入射光波长的增大，其反射率略微减小．在整个可见光光谱内，ＢＫ７玻璃表面的反射率变化不大，都可以近似为４％．波长为５５０ｎｍ的单色光以不同入射角入射时的反射率．Ｒｓ代表ｓ分量，Ｒｐ代表ｐ分量，Ｒ代表自然光；垂直入射时不同入射光波长的反射率图２　不镀膜时ＢＫ７玻璃表面的反射率．第８期马海霞，等：基于传输矩阵法的多层介质膜反射特性研究２７　玻璃分成２大类：冕牌玻璃和火石玻璃．冕牌玻璃的特点是低折射率、低色散，火石玻璃的特点是高折射率、高色散．火石玻璃的折射率略高，反射率也略高，一般在５％左右．因此在粗略估计光学系统的光能损失时，冕牌玻璃反射率可以按照４％计算，火石玻璃反射率按照５％计算．对于硅片，在可见光区域，在波长５５０ｎｍ附近，折射率大概为４．１［６］，而且存在吸收现象，它的反射率要远大于玻璃．硅表面的反射情况如图３所示，在垂直入射时，在５５０ｎｍ的入射光下，它的反射率大概为３７％，入射角在约为７６°发生布儒斯特现象．垂直入射时，随着入射光波长的增加，其反射率下降比玻璃明显，反射率从４８％变化到３２％．波长为５５０ｎｍ的单色光以不同入射角入射时的反射率．Ｒｓ代表ｓ分量，Ｒｐ代表ｐ分量，Ｒ代表自然光；垂直入射时不同入射光波下的反射率图３　不镀膜时硅片表面的反射率由此可见，在垂直入射时材料表面都存在菲涅尔反射，当反射面增多时，其反射光能的损失也增多．以ＢＫ７玻璃为例，如果透镜的个数为３个透镜，一共６个和空气的接触面，反射能损失就达到２２％；而更复杂的系统，透镜的个数更多，反射损失就相当可观了．为了减少入射光能在透镜玻璃表面上反射时所引起的损失，常常通过镀膜的方式，利用薄膜干涉减少反射损失，这就是减反膜．２．２　单层减反膜最简单的是单层减反膜，在光垂直入射时，它的光学厚度为波长的四分之一，减反原理在大学物理教学中讲述，在这儿不再赘述．对于均匀的折射率为ｎｓ的材料，对于光学厚度为（１／４）λ（λ为波长）的减反膜，其薄膜的折射率要满足式（９）时，其反射率才会降为０［７］．ｎ＝ｎｓｎ槡ｅｎｖ（９）其中ｎｅｎｖ表示周围环境的折射率．对于光伏产业中常用的硅而言，在５５０ｎｍ的入射光下，需要镀一层厚度为６８ｎｍ、折射率为２．０２的薄膜，就可以使得反射率在该波长下降为０．Ｓｉ３Ｎ４材料的折射率接近２．０２［８］，在光学厚度为四分之一波长时，在垂直入射时，对于不同波长的入射光其反射率如图４（ａ）所示．在波长为５５０ｎｍ时反射率接近零，入射波长一旦垂直入射时不同入射波长下的反射率波长５５０ｎｍ单色光入射时，不同入射角下的反射率图４　硅片表面镀单层Ｓｉ３Ｎ４薄膜时的反射率偏离５５０ｎｍ，其反射率将增加，在整个可见光光谱内，其反射率平均约为５．３％．图４（ｂ）给出了不同入２８　大　学　物　理　第３９卷射角下的反射率．单层（１／４）λ减反膜的最大问题是它只是在特定的波长和角度下才能够达到减反的目的，一旦入射角增大，比如掠入射时，减反效果消失．由等倾干涉的知识易知，当入射角改变时，经薄膜的上下表面反射后产生的一对相干光束的光程差发生改变，不能满足相消干涉的条件而导致反射率增加．实际上，对于很多低折射率衬底材料很难发现合适的单层（１／４）λ的减反膜材料．例如，对于玻璃材料ＢＫ７，其折射率为１．５２，根据式（９）其镀膜材料的折射率应该为１．２３．在自然界中，这样的材料不存在，因此，我们只能采用一些折射率接近这个数值的薄膜材料尽量地降低反射率．对于ＢＫ７玻璃，常用的镀膜材料如ＭｇＦ２，它的折射率约为１．３８，它的反射率如图５（ａ）所示．由于薄膜的相消干涉，在特定波长下它的反射率会降低，但不会到零．镀一层厚度为９９．６ｎｍ的ＭｇＦ２薄膜，在５５０ｎｍ左右获得的最低反射率为１．３％．波长一旦偏离５５０ｎｍ减反效果将变差．图５（ｂ）给出了不同入射角下的反射率．一旦入射角偏离垂直入射，其反射率会逐渐增大，到了掠入射时完全失去减反效果．单层膜的这种性质限制了它的使用．垂直入射时不同入射波长下的反射率波长５５０ｎｍ单色光入射时，不同入射角下的反射率图５　ＢＫ７玻璃表面镀单层ＭｇＦ２薄膜时的反射率２．３　双层减反膜为了获得更好的减反效果，可以采用双层膜或多层膜，本文以双层膜为例．对于双层膜的情况，首先在衬底上沉积一层高折射率材料薄膜，紧接着沉积折射率较低的材料如ＭｇＦ２，这是最靠近空气的一层薄膜．双层膜可以采用光学厚度为（１／４）λ～（１／４）λ膜系或者（１／２）λ～（１／４）λ膜系，不论哪种膜系，只有在特定的高折射率薄膜下才能在某一些波长下反射率为０．对于常用的薄膜组合ＺｎＳ／ＭｇＦ２，采用（１／２）λ～（１／４）λ膜系时其反射率曲线如图６所示，反射率曲线有两个谷值，分别在波长为４８９ｎｍ和６２７ｎｍ．图６中，ＢＫ７玻璃为衬底，ＺｎＳ薄膜和ＭｇＦ２薄膜，厚度分别为１１８ｎｍ和９９．６ｎｍ，折射率分别为２．３３和１．３８．和单层减反膜相比，利用双层薄膜可以在一个比较宽的波带内获得优良的减反效果，在４７０ｎｍ～６７０ｎｍ范围内，其反射率均低于１．３％．双层膜的优点是在可见光范围的中段有更低的反射率，缺点在于在红，蓝端的反射率上升过快，采用３层膜可以进一步拓宽带宽，并且获得更低的反射率［９］．图６　ＢＫ７衬底镀ＺｎＳ薄膜和ＭｇＦ２薄膜时的反射率２．４　高反膜采用薄膜干涉可以使得某种单色光干涉相消，也可以利用类似的方法，来加强某一特定单色光的反射强度，这就是高反膜，可用于激光器的谐振腔腔镜或者制作各种干涉滤色片．以熔石英为例，在其表面镀一层光学厚度为（１／４）λ（波长为１５００ｎｍ）的Ｎｂ２Ｏ５薄膜后，反射率曲线如图７（ａ）所示，对波长为１５００ｎｍ的入射光其反射率可由未镀膜时的３．３％提高到３０％以上．如果要进一步提高反射率，可采用多层膜．我们在熔石英玻璃表面交替镀高折射率的Ｎｂ２Ｏ５薄膜（折射率约为２．２３７）和低折射率的ＳｉＯ２薄膜（折射率约为１．４４），最后再镀一层高折射率薄第８期马海霞，等：基于传输矩阵法的多层介质膜反射特性研究２９　膜，采用光学厚度为（１／４）λ的膜系，即ＳｉＯ２薄膜的厚度为２６０ｎｍ，Ｎｂ２Ｏ５薄膜的厚度为１６８ｎｍ，示意图如图７（ｂ）所示．高折射率薄膜和低折射率薄膜合称为１组，图７（ｃ）给出了镀不同组数薄膜时的反射率．从图７（ｃ）可以看出，镀到七组薄膜时，其反射率在１３６０ｎｍ～１６６０ｎｍ波长范围内均可达９９％以上．如果要获得更高的反射率，还需增加镀膜组数．镀单层Ｎｂ２Ｏ５薄膜时的反射率镀多层高反膜时的示意图镀不同组数的高低折射率薄膜时的反射率图７　熔石英表面镀高反膜时的反射率ＴＦＣａｌｃ是一款光学薄膜设计和分析的通用工具，可以分析设计多层薄膜，可以计算反射率、透过率、吸收率、光密度、颜色、亮度等．为保证计算结果的正确性，本文所有的计算结果都经过ＴＦＣａｌｃ３．５验证，计算结果完全一致．３　结论本文采用传输矩阵法计算了常规材料表面镀不同减反膜、高反膜时的反射率．得到的结论如下：１）在可见光范围内，玻璃表面没有镀膜时，光近垂直入射时反射率约４％～５％，硅片表面的反射率高达３８％；大角度掠入射时反射率趋于１；２）通过镀单层光学厚度为四分之一波长的减反膜时，对设计波长５５０ｎｍ其反射率下降为１．３％，但对偏离设计波长的其它光波反射率改善较小；镀两层减反膜时，在４７０ｎｍ～６７０ｎｍ范围内，其反射率都有明显改善，均低于１．３％；３）对于高反膜，以熔石英为例，镀一层薄膜时，对设计波长１５００ｎｍ其反射率可由未镀膜时的３．３％提高到３０％；如果要达到高反的目的，通常需要交替镀高低折射率薄膜，镀七组薄膜时，在１３６０ｎｍ～１６６０ｎｍ波长范围内其反射率均可达９９％以上．通过这些定量计算，让学生更加深入具体地了解薄膜干涉在实际中的应用，进一步激发学习兴趣．参考文献：［１］　王文梁，戎晓红，陈华英．基于Ｍａｃｌｅｏｄ软件的分振幅薄膜干涉仿真教学［Ｊ］．大学物理，２０１８，３７（１１）：２４ ２７，５１．［２］　刘萍，苏亚凤，方爱平．浅谈薄膜干涉现象中的几个问题［Ｊ］．物理与工程，２０１７，２７（１）：４７ ４９，５４．［３］　ＬｅｋｎｅｒＪ．Ｔｈｅｏｒｙｏｆｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ：ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎａｎｄｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ，ｐａｒｔｉｃｌｅａｎｄａｃｏｕｓｔｉｃｗａｖｅｓ［Ｍ］．ｓｅｃｏｎｄｅｄｉｔｉｏｎ，ｓｐｒｉｎｇｅｒｓｅｒｉｅｓｏｎａｔｏｍｉｃ，ｏｐｔｉｃａｌ，ａｎｄｐｌａｓｍａｐｈｙｓｉｃｓ，ＳｐｒｉｎｇｅｒＣｈａｍＨｅｉｄｅｌｂｅｒｇＮｅｗＹｏｒｋＤｏｒｄｒｅｃｈｔＬｏｎｄｏｎ ＳｐｒｉｎｇｅｒＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＳｗｉｔｚｅｒｌａｎｄ，２０１６．［４］　郁道银，谭恒英．工程光学［Ｍ］．４版，北京：机械工业出版社，２０１５．［５］　ＳＣＨＯＴＴＺｅｍａｘｃａｔａｌｏｇ２０１７－０１－２０ｂ（ｏｂｔａｉｎｅｄｆｒｏｍｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｃｈｏｔｔ．ｃｏｍ）．［６］　ＡｓｐｎｅｓＤＥ，ＳｔｕｄｎａＡＡ．ＤｉｅｌｅｃｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｏｐｔｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆＳｉ，Ｇｅ，ＧａＰ，ＧａＡｓ，ＧａＳｂ，ＩｎＰ，ＩｎＡｓ，ａｎｄＩｎＳｂｆｒｏｍ１．５ｔｏ６．０ｅＶ［Ｊ］．ＰｈｙｓＲｅｖＢ，１９８３，２７：９８５ １００９．［７］　ＨｅｄａｙａｔｉＭＫ，ＥｌｂａｈｒｉＭ．Ａｎｔｉｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅｃｏａｔｉｎｇｓ：ｃｏｎ３０大　学　物　理 第３９卷ｖｅｎｔｉｏｎａｌｓｔａｃｋｉｎｇｌａｙｅｒｓａｎｄｕｌｔｒａｔｈｉｎｐｌａｓｍｏｎｉｃｍｅｔａｓｕｒｆａｃｅｓ，ａｍｉｎｉ－ｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，２０１６，９：４９７．［８］　ＰａｌｉｋＥＤ，Ｈａｎｄｂｏｏｋｏｆｏｐｔｉｃａｌｃｏｎｓｔａｎｔｓｏｆｓｏｌｉｄｓ［Ｍ］．ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，ＳａｎＤｉｅｇｏ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，１９９８．［９］　ＣｏｘＪＴ，ＨａｓｓＧ．Ｔｒｉｐｌｅ－ｌａｙｅｒａｎｔｉｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏａｔｉｎｇｓｏｎｇｌａｓｓｆｏｒｔｈｅｖｉｓｉｂｌｅａｎｄｎｅａｒｉｎｆｒａｒｅｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＯｐｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙｏｆＡｍｅｒｉｃａ，１９６２，５２（９）：９６５ ９６９．ＲｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｍｕｌｔｉｌａｙｅｒｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｌｍｂａｓｅｄｏｎｔｒａｎｓｆｅｒｍａｔｒｉｘｍｅｔｈｏｄＭＡＨａｉ ｘｉａ，ＷＵＹａｎ ｊｕｎ，ＷＡＮＧＪｉ ｍｉｎｇ，ＬＵＹｕａｎ ｇａｎｇ，ＹＡＮＧＹａｎ ｎａｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｐｐｌｉｅｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓａｎｄＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ２１１１０６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｎｆｉｌｍｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｅｎｔｉｎｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｗａｖｅｏｐｔｉｃｓｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｈｙｓｉｃｓ，ａｎｄｉｔｉｓａｌｓｏｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｏｆｔｈｉｎｆｉｌｍｏｐｔｉｃｓ．Ｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｉｎｆｉｌｍｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅｉｓｔｏｄｅｓｉｇｎａｎｔｉｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎａｎｄｈｉｇｈｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏａｔｉｎｇｓ．Ｒｅｆｌｅｃｔａｎｃｅｏｆｍｕｌｔｉｌａｙｅｒｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｌｍｉｓｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｌｙｃａｌ 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ｙｉ１，ＭＯＹｕｎ ｆｅｉ２，ＨＯＵＺｈａｏ ｙａｎｇ３，ＺＨＯＵＬｉ ｌｉ４（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｉａｎｈｅ，ＧｕａｎｇｄｏｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ５１０５４０，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｈａｎｇｓｈａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００２２，Ｃｈｉｎａ；３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ，Ｓｈａａｎｘｉ７１００６４，Ｃｈｉｎａ；４．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＧａｎｎａｎＭｅｄｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｘｉ３４１０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｏｒｍｕｌａｓｏｆｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｏｆｒｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｉｎｔｈｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｆｏｒｍｓ．Ｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，ａｎｄｉｔｓｓｐａｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｉｓｖｉｓｕａｌｉｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆＭＡＴ ＬＡＢ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｏｆｒｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔａｒｅａｌｓｏｄｅｒｉｖｅｄ，ａｎｄｉｔｓｖａｌｉｄｉｔｙｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄａｃｃｏｒｄ ｉｎｇｔｏｔｈｅｉｒｇｒａｐｈ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔ；ｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ；ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｄｉａｇｒａｍ。